(第23题(3))2012年4月上海市浦东高三数学二模(理)
上海浦东2012届高三第二次六校联考理科数学试题
2011-12月浦东高三第二次六校联考数学试卷（理工类）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、座位号、准考证号等填写清楚。
2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．若复数z 满足()1z i i +=（i 为虚数单位），则z z ⋅=____________． 2．已知数列{}n a 是等比数列，则行列式1425a a a a =_______ ．3．已知集合{}3A x x =<，集合401x B x x ⎧+⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则A B =______________．4．已知矩阵2134A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2143B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A B ⨯=______________． 5．若函数()log m f x x =的反函数图象过点()2,n ，则n m -的最小值是______．6．822x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 项的系数为 ____________．7．已知()1,3a =-，()6,2b =，向量a b λ+与3a b -垂直，则实数λ=_______．8．对任意非零实数a 、b ，若a b ⊗的运算原理如 右图程序框图所示，则32⊗= ． 9．将甲、乙、丙、丁四名志愿者分到三个不同的 社区进行社会服务，每个社区至少分到一名志愿 者，则不同分法的种数为___ __． 10．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+*()n N ∈， 则limnn nna S →∞=_______．11．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且第()2n n ≥行两端的数均为1n，每个数都是它下一行左右相邻两数的和，如 111122=+，111236=+，1113412=+，…，则第7行第3 个数（从左往右数）为___________．12．设ABC ∆的三个内角分别为A 、B 、C ，则下列条件中能够确定ABC ∆为钝角三角形的条件共有________个． ①::7:20:25A B C =； ②sin :sin :sin 7:20:25A B C =； ③cos :cos :cos 7:20:25A B C =； ④tan :tan :tan 7:20:25A B C =。
2012届高三二模考试数学试卷(理)及答案
2012届高三模拟考试数学试题数学试题（理科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面面积，h 为锥体的高. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数(1)i ai ⋅+是纯虚数，则实数a 的值是（ ）A. 1B. 1-C.0D. 0或1-2．已知集合{||2,A x x x =≤∈R },{2,B x x =≤∈Z },则A B = （ ）A. (0,2)B. [0,2]C. {0, 2}D. {0,1,2}3．设25025..12,25,()2.a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（C ）A.a c b >>B. c a b >>C. a b c >>D.b a c >>4．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为. A. 1 B. 3 C 6 D. 25．设向量(1,0)a = ，11(,)22b = ，则下列结论正确的是 ( )A.a b =B.2a b ⋅= C. a ∥b D. a b - 与b 垂直6．执行如图1所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围（ ）A.715816P <≤ B. 1516P > C. 715816P ≤< D.3748P <≤ 7. 下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>； ③从总体中抽取的样本12221111(,),(,),,(,),,n nn n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑ 若记，则回归直线y =bx a +必过点（,x y ）④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>= 其中正确的个数有： （ ）A ．0个B ． 1 个C ．2 个D ．3个8. 定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设111sgn()1sgn()122()()22x x f x f x -+-+=⋅+2()f x ⋅，[0,1]x ∈，其中1()f x =12x +, 2()f x ⋅=2(1)x -, 若1[()][0,)2f f a ∈，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(0,]4B. 11(,)42C. 11(,]42D. 3[0,]8二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分.(一)必做题(9～13题)9．. 已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记AOB α∠=, 若点A的纵坐标为35．则s i n α=_____________;tan(2)πα-=_______________.10．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且被y 轴截得的弦长等于2的圆的方程为__________________.11．从如图所示的长方形区域内任取一个点()y x M ,，则点M 取自阴影部分的概率为____________.12．已知,x y 满足约束条件5000x y x y y ++⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则24z x y =+的最小值是_________.13.设()11f x x x =-++，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______________________.(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，DE AD =，6,8==BD AB ,则ADAC= ;15．(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 方程是11x ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数），,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为1ρ=，则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 11a =，且1S ，22S ，33S 成等差数列. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 前n 项和n T ．17．(本小题满分14分) 有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为ξ. （１）求0ξ=的概率； （２）求ξ的分布列和数学期望.18．(本小题满分14分)如图5(1)中矩形ABCD 中，已知2AB =，AD =MN 分别为AD 和BC 的中点，对角线BD 与MN 交于O 点，沿MN 把矩形ABNM 折起，使平面ABNM 与平面MNCD 所成角为60 ，如图5(2).（1） 求证：BO DO ⊥；（2） 求AO 与平面BOD 所成角的正弦值.OABDC MNABDCMNO图6B A19．(本小题满分12分)在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中2c =，且cos cos 1A bB a == (1)求证：ABC ∆是直角三角形；(2)如图6，设圆O 过,,A B C 三点，点P 位于劣弧AC ︿上，求PAC ∆面积最大值.20.(本小题满分14分)在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线2x =的距离之比是2，设动点P 的轨迹为1C ，Q 是动圆2222:C x y r +=(12)r <<上一点. （1）求动点P 的轨迹1C 的方程； （2）设曲线1C上的三点1122(,),(,)A x y B C x y 与点F 的距离成等差数列，若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ；（3）若直线PQ 与1C 和动圆2C 均只有一个公共点，求P 、Q 两点的距离PQ 的最大值.21．(本小题满分14分)已知函数()ln(1)f x x mx =++，当0x =时，函数()f x 取得极大值. （１）求实数m 的值；（２）已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在，且1a >-，则存在0(,)x a b ∈，使得0()()()f b f a f x b a-'=-.试用这个结论证明：若121x x -<<，函数121112()()()()()f x f x g x x x f x x x -=-+-，则对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >；（３）已知正数12,,,n λλλL ，满足121n λλλ+++=L ，求证：当2n ≥，n N ∈时，对任意大于1-，且互不相等的实数12,,,nx x x L ，都有1122()n n f x x x λλλ+++>L 1122()()()n n f x f x f x λλλ+++L .2012届高考模拟测试数学试题(理科)参考答案和评分标准一．选择题：CACBD ABB二填空题：9.35（2分）247（3分） 10. 22(1)2x y -+= 11. 13 12. 15- 13. 33(,][,)22-∞-+∞ 14. 4315.1三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本题满分14分)解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，……………1分若1q =，则111S a ==，21244S a ==，31399S a ==，故13231022S S S +=≠⨯，与已知矛盾，故1q ≠，………………………………………………2分从而得1(1)111n nn a q q S q q--==--，………………………………………………4分由1S ，22S ，33S 成等差数列，得132322S S S +=⨯，即321113411q q q q--+⨯=⨯--， 解得13q =……………………………………………5分 所以11113n n n a a q--⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.………………………………………………6分（2）由（１）得，11()3n n n b a n n -=+=+，………………………………7分 所以12(1)(2)()n n T a a a n =++++++1(1)(1)(12)12n n b q n nS n q -+=++++=+- ………………………………10分2111()(1)333.12213n n n n n n --+++-=+=-……………………………12分 17．(本题满分12分)（１）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，61(0)6010P ξ=== … （3分） （２）由（1）可知1(0)10P ξ==；11(1)30P ξ==；2(2)5P ξ==；2(3)15P ξ== … （7分）… （10分）E ξ=0×110+1×1130+2×25+3×215=4730 …（12分）18(本题满分14分)解：（1）由题设，M ，N 是矩形的边AD 和BC 的中点，所以AM ⊥MN, BC ⊥MN, 折叠垂直关系不变，所以∠AMD 是平面ABNM 与平面MNCD 的平面角，依题意，所以∠AMD=60o ， ………………………………………………………………………………………………………２分 由AM=DM ，可知△MAD 是正三角形，所以AD=2，在矩形ABCD 中，AB=2,AD=所以，，由题可知，由勾股定理可知三角形BOD 是直角三角形，所以BO ⊥DO ……………………………………………………………………………………… 5分解（２）设E ，F 是BD ，CD 的中点，则EF ⊥CD, OF ⊥CD, 所以，CD ⊥面OEF, OE CD⊥ 又BO=OD ，所以OE ⊥BD, OE⊥面ABCD, OE ⊂面BOD , 平面BOD ⊥平面ABCD过A 作AH ⊥BD ，由面面垂直的性质定理,可得AH ⊥平面BOD ，连结OH ，…………………… 8分 所以OH 是AO 在平面BOD 的投影，所以∠AOH 为所求的角,即AO 与平面BOD 所成角。
上海市普陀区2012届高三数学4月质量调研(二模)试题 理 沪教版
上海市普陀区2012年高三年级第二次质量调研数学试卷 （理科）说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。
本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写．．．在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1. 函数22()sin cos 22x xf x =-的最小正周期是 . 2. 二项式6)1(xx -的展开式中的常数项是 ．（请用数值作答） 3. 函数1log 121-=x y 的定义域是 .4. 设1e 与2e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123CB e e =+，122CD e e =-，则当A B D 、、三点共线时，k = .5. 已知各项均为正数的无穷等比数列{}n a 中，121a =+，321a =-，则此数列的各项和S = .6. 已知直线l 的方程为230x y --=，点(1,4)A 与点B 关于直线l 对称，则点B 的坐标为 .7. 如图，该框图所对应的程序运行后输出的结果S 的值为 .8. 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点的坐标为(10,0)，则该双曲线的标准方程为 .9. 如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是32cm 2的照片. 排版设计为纸上左右留空各3cm ，上下留空各2.5cm ，图间留空为1cm .照此设计，则这张纸的最小面积是 cm 2.10. 给出问题：已知ABC △满足cos cos a A b B ⋅=⋅，试判定ABC △的形状.某学生的解答如下：解：（i ）由余弦定理可得，开始2012?n ≤sin3n S S π←+1n n ←+输出S 结束是否0,0S n ←←第7题图第9题图22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅，⇔()()()2222222a b c a b a b -=-+， ⇔222c a b =+,故ABC △是直角三角形.（ii ）设ABC △外接圆半径为R .由正弦定理可得，原式等价于2sin cos 2sin cos R A A R B B =sin2sin2A B ⇔=A B ⇔=， 故ABC △是等腰三角形.综上可知，ABC △是等腰直角三角形.请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果. . 11. 已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为nS.若1020S =，2060S =，则3010S S = . 12.的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为 . 13. 用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1,2,3,,9的9个小正方形（如右图），需满足任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色. 则符合条件的所有涂法中，恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的概率为 .14. 设*N n ∈，n a 表示关于x 的不等式144log log (54)21n x x n -+⨯-≥-的正整数解的个数，则数列{}n a 的通项公式n a = .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分. 15. “lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的 （ ）A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．既非充分也非必要条件.16. 设θ是直线l 的倾斜角，且cos 0a θ=<，则θ的值为 （ ）第13题图A. arccos a π-；B. arccos a ；C. arccos a -；D. arccos a π+.17. 设全集为R ，集合22|14x M x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，3|01x N x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则集合2231|24x x y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭可表示为 （ ）A. M N ；B. MN ； C. R C M N ⋂； D. R M C N ⋂18. 对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是（ ）A ．若,,a m a n ⊥⊥,m n αα≠≠⊂⊂，则a α⊥； B. 若//,,a b b α≠⊂则//a α； C. 若,,//,//a b a b ββαα≠≠⊂⊂，则//a β； D. 若//,,,a a b βαγβγ⋂=⋂=则//a b ．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤. 19. （本题满分12分）已知函数()2f x kx =+，0k ≠的图像分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，且22AB i j =+，函数6)(2--=x x x g . 当x 满足不等式()()f xg x >时，求函数()1()g x y f x +=的最小值.20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图,已知圆锥体SO 的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点. （1）求圆锥体的体积；（2）异面直线SO 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．21. （本大题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知ABC △中，1AC =，23ABC π∠=.设BAC x ∠=，记()f x AB BC =⋅. （1） 求()f x 的解析式及定义域；AB第20题图（2）设()6()1g x m f x =⋅+，是否存在实数m ，使函数)(x g 的值域为31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22. （本大题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）已知数列{}n a 是首项为2的等比数列，且满足nn n pa a 21+=+*(N )n ∈.（1） 求常数p 的值和数列{}n a 的通项公式；（2） 若抽去数列{}n a 中的第一项、第四项、第七项、……、第23-n 项、……，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{}n b ，试写出数列{}n b 的通项公式；（3） 在（2）的条件下，设数列{}n b 的前n 项和为n T .是否存在正整数n ，使得1113n n T T +=？若存在，试求所有满足条件的正整数n 的值；若不存在，请说明理由.23. （本大题满分20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题最高分10分）设点F 是抛物线L ：22y px =(0)p >的焦点，123n P P P P 、、、、是抛物线L 上的n个不同的点（3,n ≥*N n ∈）.（1） 当2p =时，试写出抛物线L 上的三个定点1P 、2P 、3P 的坐标，从而使得123||||||6FP FP FP ++=；（2）当3n >时，若1230n FP FP FP FP ++++=，求证：123||||||||n FP FP FP FP np ++++=；（3） 当3n >时，某同学对（2）的逆命题，即： “若123||||||||n FP FP FP FP np ++++=，则1230n FP FP FP FP ++++=.”开展了研究并发现其为假命题.请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）； ② 对任意给定的大于3的正整数n ，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分）.【评分说明】本小题若选择不止一个研究方向，则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.2012年普陀区高三第二次质量调研数学试卷参考答案一、填空题（每小题4分，满分56分）： 1. π2； 2. 20-； 3. （文） )1(∞+，； （理）(0,1)(12)，； 4. 8-；5. 2232+； 6. )2,5(； 7. 3； 8. 1922=-y x ； 9. 196； 10. 等腰或直角三角形； 11. （文）6；（理）7； 12. （文）π34；（理） 29π； 13. （文）108；（理）181； 14. 1*341,N n n -⋅+∈. 二、选择题（每题5分，满分20分）：三、解答题（满分74分）： 19.（本题满分12分） 解：由题意知：)0,2(k A -、)2,0(B ，则)2,2()2,2(==kAB 可解得：1=k ，即2)(+=x x f因为)()(x g x f >，即622-->+x x x ，解不等式得到()4,2-∈x2()15()2g x x x y f x x +--==+2(2)5(2)112522x x x x x +-++==++-++ 因为()4,2-∈x ，则()6,0)2(∈+x 所以35212)(1)(-≥-+++=+x x x f x g ，当且仅当212+=+x x ，即12=+x ，1-=x 时，等号成立. 所以，当1-=x 时，)(1)(x f x g +的最小值为3-.20.（本题满分12分）解：（1）由题意，15OA SB ππ⋅⋅=得5BS =，xCBA 故2222534SO SB OB =-=-=从而体积2211341233V OA SO πππ=⋅⋅=⨯⨯=.（2）如图2，取OB 中点H ，联结PH AH 、.由P 是SB 的中点知PH SO ∥，则APH ∠(或其补角)就是异面直线SO 与PA 所成角.由SO ⊥平面OAB ⇒PH ⊥平面OAB ⇒PH AH ⊥.在OAH ∆中，由OA OB ⊥得22352AH OA OH =+=； 在Rt APH ∆中，90AHP O ∠=，122PH SB ==，35AH =， 则35tan AH APH PH ∠==SO 与PA 所成角的大小35arctan .21. （本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分） 解：（1）如图，在ABC ∆中，由23ABC π∠=，x BAC =∠， 可得x ACB -=∠3π，又 1AC =，故由正弦定理得 2sin 3sin()sin 33ABBC AC x x ππ===- ⇒sin()33AB x π=-、3BC x =.则函数()f x AB BC =⋅2||||cossin sin()333AB BC x x ==-ππ231sin sin )32x x x =-2312sin 3x x =- 11(32cos 2)66x x =+-11sin(2)366x π=+-， 其中定义域为0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π. 说明：亦可用积化和差方法化简：2111()sin sin()[cos cos(2)]cos(2)33333336f x x x x x ==-=---=--ππππ. （2）()6()12sin(2)16g x mf x m x m =+=+-+π由0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π可得52(,)666x πππ+∈⇒)62sin(π+x ]1,21(∈.显然，0m ≠，则 1O 当0>m 时，()(1,1]g x m ∈+，则)(x g 的值域为]23,1(⇔231=+m ⇔21=m ； 2O 当0m <时，()[1,1)g x m ∈+，不满足)(x g 的值域为]23,1(； 因而存在实数21=m ，使函数)(x g 的值域为31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.22. （本大题满分16分，第1小题满分5分，第二小题满分5分，第3小题满分6分）（1）解：由n n n pa a a 2,211+==+得222+=p a ，42223++=p p a ，又因为存在常数p ，使得数列{}n a 为等比数列，则3122a a a =即)422(2)22(22++=+p p p ，所以1=p .故数列{}n a 为首项是2，公比为2的等比数列，即nn a 2=.此时11222++=+=n n n n a 也满足，则所求常数p 的值为1且*2(N )n n a n =∈.（2）解：由等比数列的性质得：（i ）当*2(N )n k k =∈时，kk n a b 332==； （ii ） 当*21(N )n k k =-∈时，13132--==k k n a b ，所以312*322,21,(N )2,2,n n nn k b k n k +⎧=-⎪=∈⎨⎪=⎩. （3）（文科）解：注意到21{}n b -是首项14b =、公比8q =的等比数列，2{}n b 是首项28b =、公比8q =的等比数列，则（i ）当2n k =*(N )k ∈时，21321242()()n k k k T T b b b b b b -==+++++++4(81)8(81)8181kk--=+--2128121281277nk⋅-⋅-==；（ii ）当21n k =-*(N )k ∈时，12212212812581258128777n k kk n k k k T T T b +-⋅-⋅-⋅-==-=-==. 即12*25812,217(N )12812,27n n nn k T k n k+⎧⋅-⎪=-⎪=∈⎨⎪⋅-⎪=⎩.（3）（理科）解：（续文科解答过程）假设存在正整数n 满足条件，则1111118133n n n n n n n n n T T b b b T T T T +++++==+=⇔=， 则（i ）当*2,(N )n k k =∈时，3212122288888128121281237k k k n k k kn kb b T T +++⋅====⇒=⋅-⋅-1k ⇒=， 即当2n =时满足条件；（ii ）当*21,(N )n k k =-∈时，128788968581258123197k k kn k k k n n b b T T +⋅====⇒=⋅-⋅-. 因为*N k ∈，所以此时无满足条件的正整数n . 综上可得，当且仅当2n =时，1113n n T T +=.23. （本大题满分20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题最高分10分） （理）解：（1）抛物线L 的焦点为(,0)2pF ，设111222333(,)(,)(,)P x y P x y P x y 、、， 分别过123P P P 、、作抛物线L 的准线l 的垂线，垂足分别为123Q Q Q 、、.由抛物线定义得123112233123||||||||||||()()()222p p pFP FP FP PQ P Q PQ x x x ++=++=+++++ 623321=+++=px x x因为2p =，所以3321=++x x x ，故可取，，)2,1()2,21(21P P 3P )6,23(满足条件. （2）设111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、，分别过123n P P P P 、、、、作抛物线L 的准线l 垂线，垂足分别为123n Q Q Q Q 、、、、.由抛物线定义得123112233||||||||||||||||n n n FP FP FP FP PQ PQ PQ PQ ++++=++++123()()()()2222n p p ppx x x x =++++++++123()2n np x x x x =+++++ 又因为1230n FP FP FP FP ++++=⇒123()()()()02222n p p ppx x x x -+-+-++-=⇒221np x x x n =+++ ； 所以123||||||||n FP FP FP FP ++++123()2n npx x x x =+++++np =. （3） ①取4=n 时，抛物线L 的焦点为(,0)2pF ， 设111222333(,)(,)(,)P x y P x y P x y 、、，),(444y x P 分别过123P P P 、、4P 、作抛物线L 的准线l 垂线，垂足分别为123Q Q Q 、、4Q 、.由抛物线定义得=+++44332211Q P Q P Q P Q P +++=244321px x x x ++++p 4=， 则p x x x x 24321=+++，不妨取22,411p y px ==；,22px =p y =2；,23px =p y -=3；443,4p x y ==， 则=+++4321FP FP FP FP (p x x x x 24321-+++，)4321y y y y +++0,2p ⎛⎫= ⎪⎝⎭0≠.故1,42p P ⎛⎫⎪⎝⎭，2,2p P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2p P p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，434p P ⎛⎝⎭是一个当4n =时，该逆命题的一个反例.(反例不唯一)② 设111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、，分别过123n P P P P 、、、、作 抛物线L 的准线l 的垂线，垂足分别为123n Q Q Q Q 、、、、，由123||||||||n FP FP FP FP np ++++=及抛物线的定义得np np x x x n =++++221 ，即221np x x x n =+++ . 因为上述表达式与点111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、的纵坐标无关，所以只要将这n 点都取在x 轴的上方，则它们的纵坐标都大于零，则=+++n FP FP FP 21(,221npx x x n -+++ )21n y y y +++ (=,0)21n y y y +++ ，而021>+++n y y y ，所以021≠+++n FP FP FP . （说明：本质上只需构造满足条件且120n y y y +++≠的一组n 个不同的点，均为反例.）③ 补充条件1：“点i P 的纵坐标i y （1,2,,i n =）满足 1230n y y y y ++++=”，即：“当3n >时，若123||||||||n FP FP FP FP np ++++=，且点i P 的纵坐标iy （1,2,,i n =）满足1230n y y y y ++++=，则1230n FP FP FP FP ++++=”.此命题为真.事实上，设111222333(,)(,)(,)(,)n n n P x y P x y P x y P x y 、、、、，分别过123n P P P P 、、、、作抛物线L 准线l 的垂线，垂足分别为123n Q Q Q Q 、、、、，由12||||||n FP FP FP np +++=，及抛物线的定义得np np x x x n =++++221 ，即221npx x x n =+++ ，则 =+++nFP FP FP 21(,221npx x x n -+++ )21n y y y +++ (=,0)21n y y y +++ ，又由1230n y y y y ++++=，所以1230n FP FP FP FP ++++=，故命题为真.补充条件2：“点k P 与点1n k P -+(n 为偶数，*N )k ∈关于x 轴对称”，即：“当3n >时，若123||||||||n FP FP FP FP np ++++=，且点k P 与点1n k P -+(n 为偶数，*N )k ∈关于x 轴对称，则1230n FP FP FP FP ++++=”.此命题为真.（证略）23.（文）（1）解：抛物线L 焦点(1,0)F ，准线l 方程为：1-=x .由抛物线定义得11||1FP x =+，22||1FP x =+，33||1FP x =+，∴ 73||||||321321=+++=++x x x FP FP FP .（2）证明：由)0,1(F ，),1(111y x FP -=，),1(222y x FP -=，…，),1(n n n y x FP-= ， 1230n FP FP FP FP ++++=⇒0)1()1()1(21=-++-+-n x x x ，即n x x x n =+++)(21 .则12||||||n FP FP FP +++)1()1()1(21++++++=n x x xn x x x n ++++=)(21 n 2=.（3）经推广的命题：“当3n >时，若021=+++n FP FP FP ，则np FP FP FP n =+++||||||21 .” 其逆命题为：“当3n >时，若np FP FP FP n =+++||||||21 ，则021=+++n FP FP FP ”. 该逆命题为假命题.不妨构造特殊化的一个反例：设2p =，4n =，抛物线x y 42=，焦点)0,1(F .由题意知：1234||||||||8FP FP FP FP +++=；根据抛物线的定义得：8)1()1()1()1(4321=+++++++x x x x ⇒44321=+++x x x x ；不妨取四点坐标分别为)0,0(1P 、)2,1(2P 、)2,1(3-P 、)22,2(4P ，但0)22,0()22,1()2,0()2,0()0,1(4321≠=+-++-=+++FP FP FP FP ，所以逆命题是假命题.。
2012年上海高考杨浦区数学二模试卷(理科 含答案)
2012杨浦区高考数学质量抽查试卷——数学（理科）一、填空题（每小题4分，满分56分）1．若线性方程组的增广矩阵为135246⎛⎫⎪⎝⎭，则其对应的线性方程组是 ．2．51)的展开式中2x 的系数是 （结果用数字作答）.3．若双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为023=-y x ，则a =_________．4．计算：2111lim(1)333n n →∞++++= . 5．若直线l 过点(2,0)-，且与圆221x y +=相切，则直线l 的斜率是 . 6．函数2)cos (sin )(x x x f -=的最小正周期为 .7．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________.8．若行列式093114212=-x x ，则=x ． 9．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面 内的两个测点C 与D .测得 75=∠BCD ， 60=∠BDC ，30=CD 米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为 60，则塔高=AB ________米.10. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （米/秒）和燃料的质量M （千克）、火箭（除燃料外）的质量m （千克）的关系式是)1ln(2000mMv +=.当燃料质量与火箭（除燃料外）的质量之比为 时，火箭的最大速度可达12（千米/秒）．11.圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm ． 12. 设幂函数3)(x x f =，若数列{}n a 满足：20121=a ，且)(1n n a f a =+，)(*∈N n 则数列的通项=n a ．13. 对任意一个非零复数z ，定义集合{}*∈==N n z A n z ,ωω，设α是方程012=+x 的一个根，若在αA 中任取两个不同的数，则其和为零的概率为P = (结果用分数表示)． 14．函数11y x=-的图像与函数2sin y x π= )42(≤≤-x 的图像所有交点的横坐标之和等于__________.二、选择题（每小题5分，满分20分）1A A BECD1B 1C 1D 15．下列函数中既是奇函数，又在区间()1,1-上是增函数的为 ( )．()A y x = ()B sin y x =()Cx x y e e -=+ ()D 3y x =-16．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）()A 1. ()B 1-. ()C 2- . ()D 0.17．“tan 3x =-”是“5π6x =” ( )．()A 充分非必要条件. ()B 必要非充分条件. ()C 充要条件.()D 既非充分也非必要条件.18．已知点(1,1)A --．若曲线G 上存在两点,B C ，使ABC △为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：①3(03)y xx =-+≤≤； ② 0)y x =≤； ③ 1(0)y x x=->． 其中，Γ型曲线的个数是( )．()A . 0 ()B . 1 ()C . 2 ()D . 3三．解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分 ． 已知关于x 的不等式022<-+mx x 解集为()2,1-. （1）求实数m 的值；（2）若复数ααsin cos ,221i z i m z +=+=，且21z z ⋅为纯虚数，求α2tan 的值. 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．如图所示, 直四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱1AA 长为a , 底面ABCD 是边长2AB a =, BC a =的矩形,E 为11C D 的中点,(1)求证: DE ⊥平面EBC ；(2)求点C 到平面EBD 的距离.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设R a ∈,122)(2+-⋅=-x x a a x f 为奇函数.（1）求函数11242)()(-+-+=xxx f x F 的零点； （2）设)1(log 2)(2k x x g +=, 若不等式1()()f x g x -≤在区间12[,]23上恒成立, 求实数k 的取值范围.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知数列12:,,,n n A a a a .如果数列12:,,,n n B b b b 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-，其中2,3,,k n = ，则称n B 为n A 的“生成数列”.（1）若数列41234:,,,A a a a a 的“生成数列”是4:5,2,7,2B -，求4A ；（2）若n 为偶数，且n A 的“生成数列”是n B ，证明：n B 的“生成数列”是n A ；（3）若n 为奇数，且n A 的“生成数列”是n B ，n B 的“生成数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的第(1,2,,)i i n = 项取出，构成数列:,,,i i i i a b c Ω .探究：数列i Ω是否为等差数列,并说明理由.23．（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题的①满分6分; ②满分8分.如图，椭圆14:221=+y x C ，x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长.（1）求实数b 的值；（2）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点B A 、，直线MB MA 、分别与1C 相交与、D E .①证明：0=⋅ME MD ②记△B MA ，△MDE 的面积分别是12,S S . 若21S S =λ，求λ的取值范围. . 、、(23题图)2012年杨浦区高三年级二模数学试卷(理科)参考答案和评分标准说明：1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2、评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一．填空题（本大题满分56分）1.⎩⎨⎧=+=+64253y x y x ； 2. 5 ； 3. 2 ； 4. 23； 5. 33±；6. π；7. 12 ；8. 2或3-；9. 245； 10. 16-e ； 11 . 4；12. 132012-n ； 13. 31； 14. 8；二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. B ； 16. D ； 17. B ； 18.C ；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题 19. 解：(1)4＋2m －2＝0，解得m=－1(2) 21z z ⋅=(－cos α－2sin α)＋ (－sin α＋2cos α)i 为纯虚数 所以，－cos α－2sin α＝0，tan α=－12, 所以，α2tan =－4320.(1)证明: 由EC ED ==, 2CD a EC ED =⇒⊥,……2分BC ⊥平面11CC D D BC DE ⇒⊥, ……4分 即DE 垂直于平面EBC 中两条相交直线,因此DE ⊥平面EBC, ……7分(2) 解1: 结合第(1)问得，由a DE a DB 2,5==，……8分a BE 3= ， BE DE ⊥，所以，2263221a a a S BED ==∆ ……10分 又由BCD E BED C V V --=得 32312631a a h= ……12分故C 到平面BDE 的距离为a h 36=……14分 解2: 如图建立直角坐标系,则(0,,)E a a ,(0,,)OE a a = , (,2,0)B a a , (,2,0)OB a a =, ……9分 因此平面EBD 的一个法向量可取为(2,1,1)n =-, 由(0,2,0)C , 得(1,0,0)BC =-, ……11分 因此C 到平面BDE 的距离为||||n BC d n ⋅== . （其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） 21. 解：由f(x)是奇函数，可得a=1，所以，f （x ）＝2121xx-+ （1）F （x ）＝2121x x -+＋42121xx --+＝2(2)2621x x x+-+ 由2(2)26x x +-＝0，可得2x ＝2，所以，x=1，即F （x ）的零点为x ＝1。
四区联考2012学年度第二学期高三(理)
2012学年静安、杨浦、青浦、宝山区高三年级高考模拟考试 数学试卷（理科） 2013.04.（满分150分，答题时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U .2．若复数z 满足)2(z i z -=（i 是虚数单位），则=z .3．已知直线012=++y x 的倾斜角大小是θ，则=θ2tan .4．若关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围 是 . 5．已知函数)(x f y =和函数)1(l o g 2+=x y 的图像关于直线0=-y x 对称，则函数)(x f y =的解析式为 . 6．已知双曲线的方程为1322=-y x ，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 .7．函数xx x x x x x f sin cos sin 2)cos(cos sin )(--+=π的最小正周期=T .8．若n x )21(+展开式中含3x 项的系数等于含x 项系数的8倍，则正整数=n .9．执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是7，则输出S 的值是 .10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 cm ．11．某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙3名学生，这3名学生选择的选修课互不相同的概率是 (结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→n n n S S ， 则其公比q 的取值范围是 .13．已知两个不相等的平面向量，(0≠)满足||＝2，且与－的夹角为120°，则|α|的最大值是 . 14．给出30行30列的数表A ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1074216183150117216342720131832721159150201510511713951 ，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数10743421101，，，，， 按顺序构成数列{}n b ，存在正整数)1(t s t s <<、使t s b b b ,,1成等差数列，试写出一组),(t s 的值 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于………………………（ ） （A ）71． （B ）71- ． （C ） 7． （D ）7-． 16．已知圆C 的极坐标方程为θρsin a =，则“2=a ”是“圆C 与极轴所在直线相切”的 ………………………………………………………………………………（ ）（A ）充分不必要条件．（B ）必要不充分条件．（C ）充要条件．（D ）既不充分又不必要条件．17． 若直线2=+by ax 经过点)sin ,(cos ααM ，则 …………………………（ ）（A ） 422≤+b a ． （B ） 422≥+b a ． （C ）41122≤+b a ． （D ）41122≥+ba ．18．已知集合{})(),(x f y y x M ==，若对于任意M y x ∈),(11，存在M y x ∈),(22，使 得02121=+y y x x 成立，则称集合M 是“Ω集合”. 给出下列4个集合：① ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y x M 1),( ②{}2),(-==x e y y x M ③{}x y y x M cos ),(== ④ {}x y y x M ln ),(==其中所有“Ω集合”的序号是……………………………………………………（ ）（A ）②③ ． （B ）③④ ． （C ）①②④． （D ）①③④．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为CD B A ,11的中点．（1）求直线EC 与平面11BCC B 所成角的大小；（2）求二面角B AF E --的大小．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ．（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的大小；（2）设θ=∠COP ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．已知函数a x x f +=2)(．（1）若12)()(++=bx x f x F 是偶函数，在定义域上ax x F ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1=a 时，令)())(()(x f x f f x λϕ-=，问是否存在实数λ，使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数，在()0,1-上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知点)0,1(A ，1P 、2P 、3P 是平面直角坐标系上的三点，且1AP 、2AP 、3AP 成等差数列，公差为d ，0≠d ．（1）若1P 坐标为()1,1-，2d =，点3P 在直线3180x y --=上时，求点3P 的坐标；（2）已知圆C 的方程是222)3()3(r y x =-+-)0(>r ，过点A 的直线交圆于31P P 、两点，2P 是圆C 上另外一点，求实数d 的取值范围；（3）若1P 、2P 、3P 都在抛物线24y x =上，点2P 的横坐标为3，求证：线段13PP 的垂直平分线与x 轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足a a =1 (3≠a )，n n n S a 31+=+，设n n n S b 3-=，*∈N n ． （1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若1+n a ≥n a ，*∈N n ，求实数a 的最小值；（3）当4=a 时，给出一个新数列{}n e ，其中⎩⎨⎧≥==2,1,3n b n e n n ，设这个新数列的前n 项和为n C ，若n C 可以写成p t (*∈N p t ,且1,1>>p t )的形式，则称n C 为“指数型和”．问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．。
2012年上海高考数学试卷及答案(理科)
2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：=+-ii13 （i 为虚数单位）。
2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A 。
3．函数1sin cos 2)(-= x xx f 的值域是 。
4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。
5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 。
6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 。
7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）。
若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。
8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。
9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g 。
10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf 。
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果 用最简分数表示）。
12．在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD上的点，且满足||||||||CD CN BC BM =，则AN AM ⋅的取值范围是 。
13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图像与x 轴围成的图形的面积为 。
14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=， 且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最 大值是 。
2012年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析
2012年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（56分）：1．（4分）（2012•上海）计算：= 1﹣2i （i为虚数单位）．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案解答：解：故答案为1﹣2i点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握2．（4分）（2012•上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=（﹣，3）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由题意，可先将两个数集化简，再由交的运算的定义求出两个集合的交集即可得到答案解答：解：由题意A={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，所以A∩B=（﹣，3）故答案为（﹣，3）点评：本题考查交集的运算，解题的关键是熟练掌握交集的定义及运算规则，正确化简两个集合对解题也很重要，要准确化简3．（4分）（2012•上海）函数f（x）=的值域是．考点：二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据二阶行列式的运算法则求出函数的解析式，然后化简整理，根据正弦函数的有界性可求出该函数的值域．解答：解：f（x）==﹣2﹣sinxcosx=﹣2﹣sin2x∵﹣1≤sin2x≤1∴﹣≤﹣sin2x≤则﹣≤﹣2﹣sin2x≤﹣∴函数f（x）=的值域是故答案为：点评：本题主要考查了二阶行列式的求解，以及三角函数的化简和值域的求解，同时考查了计算能力，属于基础题．4．（4分）（2012•上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为arctan2 （结果用反三角函数值表示）．考点：平面向量坐标表示的应用．专题：计算题．分析：根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据k=tanα可求出倾斜角．解答：解：∵=（﹣2，1）是直线l的一个法向量∴可知直线l的一个方向向量为（1，2），直线l的倾斜角为α得，tanα=2∴α=arctan2故答案为：arctan2点评：本题主要考查了方向向量与斜率的关系，以及反三角的应用，同时运算求解的能力，属于基础题．5．（4分）（2012•上海）在的二项展开式中，常数项等于﹣160 ．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．解答：解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160故答案为：﹣160点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．6．（4分）（2012•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═．考点：数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求解答：解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为an则∴=是以1为首项，以为公比的等比数列则（V1+V2+…+v n）==故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题7．（4分）（2012•上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1] ．考点：指数函数单调性的应用．专题：综合题．分析：由题意，复合函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数可得出内层函数t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数，又绝对值函数t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，可得出[1，+∞）⊆[a，+∞），比较区间端点即可得出a的取值范围解答：解：因为函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1故答案为（﹣∞，1]点评：本题考查指数函数单调性的运用及复合函数单调性的判断，集合包含关系的判断，解题的关键是根据指数函数的单调性将问题转化为集合之间的包含关系，本题考查了转化的思想及推理判断的能力，属于指数函数中综合性较强的题型．8．（4分）（2012•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．解答：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆锥的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．9．（4分）（2012•上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）= ﹣1 ．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：计算题．分析：由题意，可先由函数是奇函数求出f（﹣1）=﹣3，再将其代入g（﹣1）求值即可得到答案解答：解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1．点评：本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的方程，基本题型．10．（4分）（2012•上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）= ．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ，在三角形POM中，利用正弦定理建立等式关系，从而求出所求．解答：解：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ在三角形POM中，利用正弦定理可知：解得ρ=f（θ）=故答案为：点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及正弦定理的应用，同时考查了分析问题的能力和转化的思想，属于基础题．11．（4分）（2012•上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．解答：解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2中选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：点评：本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题．12．（4分）（2012•上海）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是[2，5] ．考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．解答：解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（），设==λ，λ∈[0，1]，M（2+），N（），所以=（2+）•（）=﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．故答案为：[2，5]．点评：本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力．13．（4分）（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．考点：函数的图象．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：根据题意求得f（x）=，从而y=xf（x）=，利用定积分可求得函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积．解答：解：由题意可得，f（x）=，∴y=xf（x）=，设函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S，则S=10x2dx+（﹣10x2+10x）dx=10×+（﹣10）×+10×=﹣+5﹣==．故答案为：．点评：本题考查函数的图象，着重考查分段函数的解析式的求法与定积分的应用，考查分析运算能力，属于难题．14．（4分）（2012•上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题．分析：作BE⊥AD于E，连接CE，说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE．取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可．解答：解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭圆上，且BE、CE都垂直于焦距AD，AB+BD=AC+CD=2a，显然△ABD≌△ACD，所以BE=CE．取BC中点F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，要求四面体ABCD的体积的最大值，因为AD是定值，只需三角形EBC的面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a，∴AB=a，所以EB=，EF=，所以几何体的体积为：×=．故答案为：．点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．二、选择题（20分）：（5分）（2012•上海）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）15．A．b=2，c=3B．b=﹣2，c=3C．b=﹣2，c=﹣1D．b=2，c=﹣1考点：复数相等的充要条件．专题：计算题；转化思想．分析：由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项解答：解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0∴，解得b=﹣2，c=3故选B点评：本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题16．（5分）（2012•上海）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定考点：余弦定理的应用；三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围解答：解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cosC=∴∴△ABC是钝角三角形故选C点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题17．（5分）（2012•上海）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A．Dξ＞Dξ21B．Dξ=Dξ21C．Dξ＜Dξ21D．Dξ与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关1考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题；压轴题．分析：根据随机变量ξ、ξ2的取值情况，计算它们的平均数，根据随机变量ξ1、ξ2的取1值的概率都为0.2，即可求得结论．解答：解：由随机变量ξ、ξ2的取值情况，它们的平均数分别为：1=（x1+x2+x3+x4+x5），=（++++）=且随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，所以有Dξ1＞Dξ2，故选择A．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式．记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题．18．（5分）（2012•上海）设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25B．50C．75D．100考点：数列的求和；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；压轴题．分析：由于f（n）=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a26，a27，…，a49＜0，f（n）=单调递减，a25=0，a26…a50都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24，从而可判断解答：解：由于f（n）=sin的周期T=50由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0且sin，sin…但是f（n）=单调递减a26…a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24∴S1，S2，…，S25中都为正，而S26，S27，…，S50都为正同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，故选D点评：本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）（2012•上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．考点：直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角．专题：证明题；综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形，然后在Rt△PAD中，利用勾股定理得到PD=2，最后得到三角形PCD的面积S；（2）[解法一]建立如图空间直角坐标系，可得B、C、E各点的坐标，从而=（1，，1），=（0，2，0），利用空间向量数量积的公式，得到与夹角θ满足：cosθ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为；[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF，△PBC中，利用中位线定理，得到EF∥BC，从而∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．解答：解：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴CD⊥PA．∵矩形ABCD中，CD⊥AD，PA、AD是平面PDC内的相交直线．∴CD⊥平面PDA，∵PD⊂平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形．∵Rt△PAD中，AD=2，PA=2，∴PD==2．∴三角形PCD的面积S=×PD×DC=2．（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，，1）．∴=（1，，1），=（0，2，0），设与夹角为θ，则cosθ===，∴θ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF、AC，∵△P BC中，E、F分别是PC、PB的中点，∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角．∵Rt△PAC中，PC==4．∴AE=PC=2，∵在△AEF中，EF=BC=，AF=PB=∴AF2+EF2=AE2，△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．点评：本题根据一个特殊的四棱锥，求异面直线所成的角和证明线面垂直，着重考查了异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的性质等知识，属于中档题．20．（14分）（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．考点：函数的周期性；反函数；对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．解答：解：（1）f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），要使函数有意义，则由解得：﹣1＜x＜1．由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，∴．由，得：．（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），由单调性可知y∈[0，lg2]，又∵x=3﹣10y，∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．点评：本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．21．（14分）（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？考点：圆锥曲线的综合．专题：应用题．分析：（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中，可得P的纵坐标，利用|AP|=，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可得到结论．解答：解：（1）t=0.5时，P的横坐标x P=7t=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标y P=3．…2分由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．…6分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=，整理得．…10分因为，当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分点评：本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．22．（16分）（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN 的距离是定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：（1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出三角形的面积．（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b2=2，通过求解=0．证明PO⊥OQ．（3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直x 轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），推出直线OM的方程为y=，利用，求出，，设O到直线MN的距离为d，通过（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，求出d=．推出O到直线MN的距离是定值．解答：解：（1）双曲线C1：左顶点A（﹣），渐近线方程为：y=±x．过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，所以，解得．所以所求三角形的面积为S=．（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=2，由，得x2﹣2bx﹣b2﹣1=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，又y1y2=（x1+b）（x2+b）．所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2=2（﹣1﹣b2）+2b2+b2=b2﹣2=0．故PO⊥OQ．（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），则直线OM的方程为y=，由得，所以．同理，设O到直线MN的距离为d，因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，所以==3，即d=．综上，O到直线MN的距离是定值．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用，设而不求的解题方法，点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．23．（18分）（2012•上海）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，x n的通项公式．考点：数列与向量的综合；元素与集合关系的判断；平面向量的综合题．专题：计算题；证明题；综合题；压轴题．分析：（1）在Y中取=（x，2），根据数量积的坐标公式，可得Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，结合x＞2，可得x的值．（2）取=（x1，x1），=（s，t）根据，化简可得s+t=0，所以s、t异号．而﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当x n＞1时，x1=1．（3）[解法一]先猜想结论：x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n．记A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}，k=2，3，…，n，通过反证法证明出引理：若A k+1具有性质P，则A k也具有性质P．最后用数学归纳法，可证明出x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n；[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于，得到一正一负的特征，再记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则可得结论：数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称．又注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣x n}，共有n﹣1个数，所以B∩（0．+∞）也有n﹣1个数．最后结合不等式的性质，结合三角形数阵加以说明，可得==…=，最终得到数列的通项公式是x k=x1•（）k﹣1=q k﹣1，k=1，2，3，…，n．解答：解：（1）选取=（x，2），则Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，又∵x＞2，∴只有b=2，从而x=4．（2）取=（x1，x1）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得（s+t）x1=0，s+t=0，所以s、t异号．因为﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，所以1∈X，假设x k=1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜x n．再取=（x1，x n）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得sx1+tx n=0，所以s、t异号，其中一个为﹣1①若s=﹣1，则x1=tx n＞t≥x1，矛盾；②若t=﹣1，则x n=sx1＜s≤x n，矛盾；说明假设不成立，由此可得当x n＞1时，x1=1．（3）[解法一]猜想：x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n记A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}，k=2，3，…，n先证明若A k+1具有性质P，则A k也具有性质P．任取=（s，t），s、t∈A k，当s、t中出现﹣1时，显然有满足当s、t中都不是﹣1时，满足s≥1且t≥1．因为A k+1具有性质P，所以有=（s1，t1），s1、t1∈A k+1，使得，从而s1、t1其中有一个为﹣1不妨设s1=﹣1，假设t1∈A k+1，且t1∉A k，则t1=x k+1．由（s，t）（﹣1，x k+1）=0，得s=tx k+1≥x k+1，与s∈A k矛盾．所以t1∈A k，从而A k也具有性质P．再用数学归纳法，证明x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n当n=2时，结论显然成立；假设当n=k时，A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}具有性质P，则x i=q i﹣1，i=1，2，…，k当n=k+1时，若A k+1═{﹣1，x1，x2，…，x k+1}具有性质P，则A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}具有性质P，所以A k+1═{﹣1，q，q2，…，q k﹣1，x k+1}．取=（x k+1，q），并设=（s，t）∈Y，满足，由此可得s=﹣1或t=﹣1若t=﹣1，则x k+1=，不可能所以s=﹣1，x k+1=qt=q j≤q k且x k+1＞q k﹣1，因此x k+1=q k综上所述，x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣x n}，共有n﹣1个数．所以B∩（0，+∞）也有n﹣1个数．由于＜＜＜…＜，已经有n﹣1个数对以下三角形数阵：＜＜＜…＜，＜＜＜…＜…注意到＞＞＞…＞，所以==…=从而数列的通项公式是x k=x1•（）k﹣1=q k﹣1，k=1，2，3，…，n．点评：本题以向量的数量积的坐标运算为载体，着重考查了数列的通项公式的探索、集合元素的性质和数列与向量的综合等知识点，属于难题．本题是一道综合题，请同学们注意解题过程中的转化化归思想、分类讨论的方法和反证法的运用．。
2012年上海黄浦高三数学二模(含答案)
A
因为 n2 ⊥ PB ， n2 ⊥ BC ，所以 n2 ⋅PB = 0 ， n2 ⋅ BC = 0 ，
即 4u − 5 w = 0 ， −4u + 4v = 0 ，解得 w = 4 u ， v = u ，
B x
5
��
取 u = 5，得 n2 = (5,−5,4)．
（4分）
�� �� 设 n1 与 n2 的夹角为 ϕ ，则 cos ϕ =
2012 年上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试
数学试卷（理科）
（2012 年 4 月 12 日） 考生注意： 1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解
答一律无效． 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚． 3．本试卷共 23 道试题，满分 150 分；考试时间 120 分钟． 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接
[解]（1）解法一：设 BC 的中点 D，联结 AD ， PD ，易知在等腰三角形 PBC 、 ABC 中，
PD ⊥ BC ， AD ⊥ BC ，故 ∠PDA为二面角 P − BC − A 的平面角．
（2分）
在等腰 Rt △ ABC 中，由 AB = AC = 4 及 AB ⊥ AC ，得 AD = 2 2 ．
D．至多有两个钝角
三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规
定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2
P
小题满分 4 分．
已知三棱锥 P − ABC ， PA ⊥平面 ABC ， AB ⊥ AC ，
上海市浦东区2012届高三二模试卷
A．Ar B．SiO2 C．Na2O2 D．金刚石 3．根据物质性质进行的分类正确的是 A．HF：弱酸 B．Mg(OH) 2 ：强碱 D．Al2O3：碱性氧化物 C．ZnSO4：难溶盐 4．下列符号代表的微粒不影响水的电离平衡的是
H O C O
A．H∶S∶H
氮气＋水蒸气
五、 （本题共8分）某研究小组向2 L密闭容器中加入过量的活性炭和0.2 mol NO，恒温(T1℃) 下发生反应：C(s)＋2NO(g) N2(g)＋CO2(g)＋Q(Q>0)。30 min后达到平衡，测得NO 浓度为0.04 mol/L。回答下列问题： 27．该反应的平衡常数表达式K＝______；T1℃达到平衡时，N2的平均反 应速率＝_______。 28．30 min 后，若改变某一条件提高 NO 的转化率，则可以改变的条件是______________。 29．30 min 后，升高温度至 T2℃，达到平衡后，容器内 NO、N2、CO2 的关系不可能是____。 a．5:3:3 b．1:1:1 c．4:3:3 d．2:1:1 30．若开始时密闭容器的体积为1 L，其它条件不变，达到平衡后，与原平衡相比，下列说 法正确的是_________。 a．NO 的转化率不变 b．N2 的浓度是原来的 2 倍 c．反应放出的热量为 0.1Q d．达到平衡的时间是原来的一半 六、 （本题共8分）酒后驾车已成为一个社会问题。检测 驾驶人员呼气中酒精浓度（BrAC） 的方法有多种。 31．早期是利用检测试剂颜色变化定性判断 BrAC，曾用如下反应检测 BrAC： 3CH3CH2OH＋2KMnO4→3CH3CHO＋2MnO2＋2KOH＋2H2O 。 上述反应中发生还原反应的过程是__________ →___________。 32．已知KMnO4在酸性条件下氧化性增强，能得到更多的电子，若在稀硫酸中反应的氧化 产物为乙酸，则还原产物为___________；若反应产生了12.0 mg乙酸，则转移的电子数 目是________。 33．受上述方法启发，后来用五氧化二碘的淀粉溶液检测BrAC，乙醇被氧化为乙醛，该反 应的化学方程式为__________________________________________________。 34．1994年美国首次批准使用唾液酒精含量检测方法，成为血液、呼气之后的第三种检测手 段。其原理是在乙醇氧化酶作用下，乙醇与氧气反应生成乙醛和过氧化氢，判断该条件 下乙醇、 氧气、 乙醛和过氧化氢四种物质中氧化性最强的物质是________ 填写化学式） （ 。 七、 （本题共12分）乙醚极易挥发、微溶于水、是良好的有机溶剂。乙醇与浓硫酸的混合物 在不同温度下反应能生成乙烯或乙醚。某实验小组用下图装置制取乙醚和乙烯。
2012年4月浦东高三数学二模(理)内含答案
浦东新区2011学年度第二学期高考预测 高三数学（理科）答案要点及评分标准2012.041．抛物线x y 42=的焦点坐标是_____________.)0,1( 2．复数i z +=11（其中i 是虚数单位），则z =_____11i 22+ 3.向量(3,4)a =在向量(1,0)b =方向上的投影为______.34.若集合2{560}A x x x =-+≤，集合},02{Z a ax x B ∈=-=，且A B ⊆，则实数a =__0或1_.5.已知三个球的表面积之比是3:2:1，则这三个球的体积之比为______1:6. 在△ABC 中，若1=b ,3=c , 32π=∠C ,则______=∆ABC S .437.在极坐标系中，点(2,)2A π关于直线:cos 1l ρθ=的对称点到极点的距离是_ _.8.甲、乙、丙三位旅行者体验城市生活，从地铁某站上车，分别从前方10个地铁站中随机选择一个地铁站下车，则甲、乙、丙三人不在同一站下车有________种方法（用数字作答）.9909.执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P=____.3 10.若数()f x x a =+有且只有一个零点，则实数a =__________.11.已知数列{}*()n a n N ∈，首项156a =，若二次方程2110n n a x a x +--=的根α、β且满足331ααββ++=，则数列{}n a 的前n 项和____________=n S .111()2223n n +-⋅12．毕业生小王参加人才招聘会，分别向A 、B 两个公司投递个人简历.假定小王得到公司面试的概率为13，得到B 公司面试的概率为p ，且两个公司是否让其面试是独立的。
记ξ为小王得到面试的公司个数.若0=ξ时的概率1(0)2P ξ==，则随机变量ξ的数学期望()E ξ=_____71213．手机产业的发展催生了网络新字“孖”.某学生准备在计算机上作出其对应的图像，其中(2,2)A ，如图所示.在作曲线段AB 时，该学生想把函数]2,0[,21∈=x x y 的图像作适当变换，得到该段函数的曲线.请写出曲线段AB 在[23]x ∈，上对应的函数解析式________.1222y x =-+）. 14．在证明恒等式2222*1123(1)(21)(N )6n n n n n ++++=++∈时，可利用组合数表示2n，即22112(N )n n n C C n+=-∈推得.类似地，在推导恒等式33332*(1)123[](N )2n n n n +++++=∈时，也可以利用组合数表示3n 推得.则3n =______________.31321*121666()n n n n n C C C C C n N ++++-+∈或二、选择题（本大题满分20分）15．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的 （ C ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16．设1z 、2z 为复数，下列命题一定成立的是（ ）DA.如果02221=+z z ，那么021==z z B. 如果21z z =，那么21z z ±=C. 如果a z ≤1，a 是正实数，那么a z a ≤≤-1D. 如果a z =1，a 是正实数，那么211a z z =⋅17．若双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦点相同，且12a a >给出下列四个结论：①22221221a a b b -=-； ②1221a b a b >； ③双曲线1C 与双曲线2C 一定没有公共点； ④2121b b a a +>+；其中所有正确的结论序号是（ ）B A. ①② B, ①③ C. ②③ D. ①④18．已知函数12,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，且1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=，1,2,3,n =.则满足方程()n f x x =的根的个数为（ ）CA 、2n 个B 、22n 个C 、2n个 D 、2(21)n-个19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 2)(+=， （1）求函数)(x f 的单调递增区间； （2）将函数)(x f y =图像向右平移4π个单位后，得到函数)(x g y =的图像，求方程1)(=x g 的解.【解答】（1）1)42sin(2)(++=πx x f ，由)(224222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ得：)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8,83ππππk k )(Z k ∈； （2）由已知，142sin 2)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx x g ，由1)(=x g ，得042sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-πx ， 82ππ+=∴k x ，)(Z k ∈. 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，BC BA ⊥. （1）若1BB BA =，求证：⊥1AB 平面BC A 1； （2）若21===BB BC BA ，M 是棱BC 上的一动点.试确定点M 的位置，使点M 到平面C B A 11的距离等于22. 【解答】（1）证明：当1BB BA =，可知，B A AB 11⊥ .又 BA BC ⊥，1BB BC ⊥，且B BB BA =⋂1，∴⊥BC 平面1ABB .而⊂1AB 平面1ABB ，∴BC AB ⊥1.∴由⎪⎩⎪⎨⎧=⋂⊥⊥B BC B A BCA BA A 1111B B ⊥⇒1B A 平面BC A 1. （2）解：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为()2,0,0C 、()0,2,0B 1、()0,2,2A 1、并设()h ,0,0M .设平面C B A １１的法向量为(),,n u v w =，则11B A ,B ⊥⊥n C n １.()2,2,0B 1-=C ，()0,0,2B A 11-=，且0B A ,0B 111=⋅=⋅C ，⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=-∴002022u vw u w v ，取1=v ， 得平面C B A １１的一个法向量为()1,1,0=，2=，又()h -=,2,0MB 1 ，于是点M 到平面C B A １１的距离1222222100=⇒=-=-⨯+⨯==h h hd ，或3=h （舍） 所以，当点M 为棱BC 的中点时，点M 到平面C B A 11的距离等于22. 21．（本大题满分14分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满5分，第3小题满5分.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，左右焦点分别为21,F F ，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形，直线l 经过点2F ，倾斜角为︒45，与椭圆交于B A ,两点.（1）若22|21=F F ｜，求椭圆方程； （2）对（1）中椭圆，求1ABF ∆的面积；（3）M 是椭圆上任意一点，若存在实数μλ,，使得OB OA OM μλ+=，试确定μλ,的关系式.【解答】（1）由已知，可得2=c ，b a 3=， ∵222c b a +=，∴3=a ，1=b ，∴1322=+y x . （2）设),(11y x A ，),(22y x B，直线:l y x =，代入椭圆方程得2430x x -+=，122x x +=，1234x x =，12||2x x -=1212||||2y y x x -=-=，∴122S ∆=⨯=. （3）由已知椭圆方程为22233x y b += ①，右焦点F的坐标为,0)，直线AB所在直线方程为y x = ②，由①②得：22430x b -+=，设11(,)A x y ，22(,)B x y，则122x x +=，21234b x x =， 设(,)M x y ，由OM OA OB λμ=+得，12x x x λμ=+，12y y y λμ=+，∵点M 在椭圆上，∴2221212()3()3x x y y b λμλμ+++=，整理得：222222211221212(3)(3)2(3)3x y x y x x y y b λμλμ+++++=，212121212121233()()4()60x x y y x x x x x x x x b +=+-=-++= ③，又点,A B 在椭圆上，故2221133x y b += ④，2222233x y b += ⑤， 由③④⑤式得221λμ+=.22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.记数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知向量cossin ,133n n a ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（*N n ∈）和,cos sin33n n n b a ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（*N n ∈）满足//a b . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求3n S ；（3）设2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项的和为n T ．【解答】（1）∵//a b∴n a =cossin 33n n ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos sin 33n n ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=22cossin 33n n ππ- =2cos 3n π∴2cos 3n n a π=；（2）数列{}1111:,,1,,,1,2222n a ----为周期为3的周期数列且()323130N .k k k a a a k *--++=∈3123n n S a a a =+++()()()12345632313n n n a a a a a a a a a --=+++++++++1110.22n ⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭（3）222cos.3nnn n n b a π== 当()3n k k N*=∈时，∵ 32313333231311222152.22k k k k k k k b b b -----⎛⎫⎛⎫++=-+-+⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴ ()()()333335551222121.77k k n n k T T -==+++=-=-当()31n k k N *=-∈时，()312333133525252121.777k n k kn k k k T T T b ++-++==-=--⋅=-=-当()32n k k N *=-∈时，31323132313125125252.7277k k n k n k k k T T T b +-----+++⎛⎫==-=--⋅-=-=- ⎪⎝⎭故()()()()()2521,3,725,31,.725,32,7nn n n n k T n k k N n k +*⎧-=⎪⎪+⎪=-=-∈⎨⎪⎪+-=-⎪⎩23、（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.已知函数D x x f y ∈=),(，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有)()(x f m T x f ⋅>+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T .若恒有)()(x f m T x f ⋅=+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类周期函数，周期为T .（1）已知函数ax x x f +-=2)(是[)∞+,3上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知 1=T ，)(x f y =是[)∞+,0上m 级类周期函数，且)(x f y =是[)∞+,0上的单调递增函数，当[)1,0∈x 时，xx f 2)(=，求实数m 的取值范围；（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，问题（Ⅰ）6分，问题（Ⅱ）8分，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分.（Ⅰ）已知当[]4,0∈x 时，函数x x x f 4)(2-=，若)(x f 是[)∞+,0上周期为4的m 级类周期函数，且)(x f y =的值域为一个闭区间，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使函数kx x f cos )(=是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，若存在，求出实数k 和T 的值，若不存在，说明理由. 【解答】（1）由题意可知： )(2)1(x f x f >+，即)(2)1()1(22ax x x a x +->+++-对一切[)∞+,3恒成立， ()1212--<-x x a x ，∵3x ≥∴1122---<x x x a ()1212---=x x ()121---=x x ，令t x =-1，则[)∞+∈,2t ，tt t g 2)(-=在[)∞+,2上单调递增，∴1)2()(min ==g t g ，∴1<a .（2）∵[)1,0∈x 时，xx f 2)(=，∴当[)2,1∈x 时，12)1()(-⋅=-=x m x mf x f ，当[)1,+∈n n x 时，)()2()1()(2n x f m x f m x mf x f n-==-=-= nx n m -⋅=2，即[)1,+∈n n x 时，nx nm x f -⋅=2)(，*n N ∈，∵)(x f 在[)∞+,0上单调递增， ∴0>m 且()1122----⋅≥⋅n n n nn nm m ，即2≥m .（3）问题（Ⅰ）∵当[]4,0∈x 时，[]0,4-∈y ，且有)()4(x mf x f =+， ∴当[]4,44,x n n n Z ∈+∈时，)4()4()(n x f m x mf x f n -==-= =()()[]n x n x m n 4442---，当10≤<m 时，[]0,4)(-∈x f ； 当01<<-m 时，[]m x f 4,4)(--∈； 当1-=m 时，[]4,4)(-∈x f ； 当1>m 时，(]0,)(∞-∈x f ； 当1-<m 时，()+∞∞-∈,)(x f ； 综上可知：01<≤-m 或10≤<m .问题（Ⅱ）：由已知，有)()(x Tf T x f =+对一切实数x 恒成立， 即kx T T x k cos )(cos =+对一切实数恒成立， 当0=k 时，1=T ；当0≠k 时， ∵R x ∈，∴R kx ∈,R kT kx ∈+，于是[]1,1cos -∈kx ， 又∵[]1,1)cos(-∈+kT kx ，故要使kx T T x k cos )(cos =+恒成立，只有1±=T ，当1=T 时，kx k kx cos )cos(=+ 得到 πn k 2=，Z n ∈且0≠n ； 当1-=T 时，kx k kx cos )cos(-=- 得到 ππ+=-n k 2， 即π)12(+=n k ，Z n ∈；综上可知：当1=T 时，πn k 2=，Z n ∈；当1-=T 时，π)12(+=n k ，Z n ∈。
上海市浦东高三数学试题及答案(理科)2012.01范文
浦东新区2011学年度第一学期期末质量抽测高三数学（理科）试卷 2012.01注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．已知函数)0(1)(2≥+=x x x f 的反函数为1()f x -，则=-)5(1f _____.2．椭圆15922=+y x 的焦点坐标为____________. 3．方向向量为(3,4)d =，且过点)1,1(A 的直线l 的方程是______.4．若0)1(lim =-∞→nn a ，则实数a 的取值范围是 .5．某个线性方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛110201，此方程组的解记为),(b a ，则行列式0123212a b 的值是_ . 6．某校师生共1200人，其中学生1000人，教师200人。
为了调查师生的健康状况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，应抽取学生人数为 .7．若9)(xa x +的二项展开式中3x 的系数为84-，则实数=a ____________. 8．已知向量)1,(sin θ=a ，)cos ,1(θ=b ，若⊥，则=θ______.9．从集合}54,3,2,1{，中随机选取一个数a ，从}3,2,1{中随机选一个数b ，则 b a ≥的概率为_____.10．已知函数()1log (1)(01)a f x x a a =+->≠且的图像恒过定点P ，又点P 的坐标满足方程1=+ny mx ，则mn 的最大值为 .11．已知正三棱锥ABC O -的底面边长为1，且侧棱与底面所成的角为︒60，则此三棱锥的体积为 . 12．已知函数||4||)(x x x f +=，当]1,3[--∈x 时，记)(x f 的最大值为m ，最小值为n ，则=+n m ______.13．函数),2,(cos sin )(*R x n N n x x x f n n ∈≠∈+=的最小正周期为__________. 14．若X 是一个非空集合，M 是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X M ∈、M ∅∈；②对于X 的任意子集A 、B ，当A M ∈且B M ∈时，有A B M ∈； ③对于X 的任意子集A 、B ，当A M ∈且B M ∈时，有A B M ∈； 则称M 是集合X 的一个“M —集合类”.例如：}},,{,},{,}{,}{,{c b a c b c b M ∅=是集合},,{c b a X =的一个“M —集合类”。
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23、（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分．
已知函数D x x f y ∈=),(，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有)()(x f m T x f ⋅>+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T ．若恒有)()(x f m T x f ⋅=+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类周期函数，周期为T ．
（1）已知函数ax x x f +-=2)(是[)∞+,3上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；
（2）已知 1=T ，)(x f y =是[)∞+,0上m 级类周期函数，且)(x f y =是[)∞+,0上的单调递增函数，当[)1,0∈x 时，x x f 2)(=，求实数m 的取值范围；
（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，问题（Ⅰ）6分，问题（Ⅱ）8分，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分．
（Ⅰ）已知当[]4,0∈x 时，函数x x x f 4)(2-=，若)(x f 是[)∞+,0上周期为4的m 级类周期函数，且)(x f y =的值域为一个闭区间，求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k ，使函数kx x f cos )(=是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，若存在，求出实数k 和T 的值，若不存在，说明理由．
（3）问题（Ⅰ）
∵当[]4,0∈x 时，有[]()4,0f x ∈-，且)()4(x mf x f =+，
∴当[]4,44,x n n n N ∈+∈时，有[]40,4x n -∈，进而[](4)4,0f x n -∈-，
)4()4()(n x f m x mf x f n -==-= ，即 ()(4)n f x m f x n =-，
当10≤<m 时，[]0,4)(-∈x f ；
当01<<-m 时，[]m x f 4,4)(--∈；
当1-=m 时，[]4,4)(-∈x f ；
当1>m 时，(]0,)(∞-∈x f ；
当1-<m 时，()+∞∞-∈,)(x f ；
综上可知：01<≤-m 或10≤<m ，
从而，实数m 的取值范围是[10)(01]- ，
，．
问题（Ⅱ）：由已知，有)()(x Tf T x f =+对一切实数x 恒成立，
即kx T T x k cos )(cos =+对一切实数恒成立，
当0=k 时，1=T ；
当0≠k 时， ∵R x ∈，∴R kx ∈，R kT kx ∈+，于是[]1,1cos -∈kx ，
— 2 — 又∵[]1,1)cos(-∈+kT kx ，
故要使kx T T x k cos )(cos =+恒成立，只有1±=T ，
当1=T 时，kx k kx cos )cos(=+ 得到 πn k 2=，Z n ∈且0≠n ； 当1-=T 时，kx k kx cos )cos(-=- 得到 ππ+=-n k 2， 即π)12(+=n k ，Z n ∈；
综上可知：当1=T 时，πn k 2=，Z n ∈；
当1-=T 时，π)12(+=n k ，Z n ∈．。