2020_2021学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.4频率与概率学案含解析新人教B版必修第二册202008101138

5.3.4 频率与概率
素养目标·定方向
课程标准学法解读
1.了解频率、概率的区别与联系．2．能用频率估计概率．通过本节课的学习，提升学生的数学抽象和数据分析素养．
必备知识·探新知
知识点
频率与概率
在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大．
思考1：同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的概率都一样吗？
提示：概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量，是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关；同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的概率都是一样的．
知识点
频率和概率之间的联系
在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个数值附近摆动，事件的频率是概率的一个近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
思考：怎样根据频率求事件发生的概率？
提示：在实践中，在大量的重复试验后，人们经常采用频率估计概率．
关键能力·攻重难
题型探究
题型
概率概念的理解
┃┃典例剖析__■
典例1 下列说法正确的是( D )
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
[解析] 一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A 不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．
规律方法：对概率的深入理解
1．概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件的本质属性，随机事件发生的概率是大量重复试验中事件发生的频率的近似值．
2．由概率的定义我们可以知道随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
3．正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
┃┃对点训练__■
1．某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明( D )
A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
[解析] 合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率．
题型
概率与频率的关系及求法
┃┃典例剖析__■
典例2 下面是某批乒乓球质量检查结果表：
抽取球数50100200500 1 000 2 000
优等品数4592194470954 1 902 优等品出现的频率
(1)
(2)估计该批乒乓球优等品的概率．
[解析] (1)
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数 45 92 194 470 954 1 902 优等品出现的频率
0.9
0.92
0.97
0.94
0.954
0.951
(2)从表中数据估计这批乒乓球优等品的概率是0.95． 规律方法：频率与概率的认识
1．理论依据：频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率．
2．计算频率：频率＝频数
试验次数．
3．得出概率：从频率估计出概率．
[母题探究1] 例2中若抽取乒乓球的数量为1 700只，则优等品的数量大约为多少？ [解析] 由优等品的概率的估计值为0.95，可知抽取1 700只乒乓球时，优等品数量大约为1 700×0.95＝1 615．
[母题探究2] 例2中若检验得到优等品数量为1 700只，则抽取数量大约为多少？ [解析] 由优等品概率的估计值为0.95，可知抽取数量大约为1 700÷0.95≈1 789． 题型
概率的应用
┃┃典例剖析__■
典例3 为了估计水库中鱼的条数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出2
000条鱼，给每条鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500条，查看其中有记号的鱼，有40条，试根据上述数据，估计水库中鱼的条数．
[解析] 设水库中鱼的条数是n ，现在要估计n 的值，假定每条鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一条鱼，设事件A ＝{带记号的鱼}，则P (A )＝2 000n
．
第二次从水库中捕出500条鱼，其中带记号的有40条．即事件A 发生的频数为40，由概率的统计定义知P (A )≈40500，即2 000n ≈40500
，解得n ≈25 000．
所以估计水库中的鱼有25 000条．
规律方法：1.由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．
2．实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．
┃┃对点训练__■
2．某中学为了了解高中部学生的某项行为规范的养成情况，在校门口按系统抽样的方法：
每2分钟随机抽取一名学生，登记佩戴胸卡的学生的名字．结果，150名学生中有60名佩戴胸卡．第二次检查，调查了高中部的所有学生，有500名学生佩戴胸卡．据此估计该中学高中部一共有多少名学生．
[解析] 设高中部有n 名学生， 依题意得60150＝500
n ，解得n ＝1 250．
所以该中学高中部共有学生大约1 250名．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 把一枚质地均匀的硬币连续掷了1 000次，其中有496次正面朝上，
504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为__0.5__．
[错解] 0.496
[辨析] 解本题时，很容易由f n (A )＝n A n ＝496
1 000
＝0.496，得掷一次硬币正面朝上的概率
是0.496.导致以上错误的原因是混淆了概率与频率的概念，事实上频率是随机的，做同样的试验得到的事件的频率是不同的，如本题中的0.496是1 000次试验中硬币正面向上的频率，而概率是一个确定的常数，与试验次数无关．
[正解] 0.5。