圆锥的侧面积 - 教师版

3.11圆锥的侧面积
教学目标
1、经历探索圆锥侧面积计算公式的过程；
2、会运用圆锥侧面积计算公式计算有关问题.
教学重难点
重点：圆锥的侧面积公式的推导与应用
难点：综合弧长与扇形面积的计算公式计算圆锥的侧面积
教学过程
一、情境创设
七年级时，我们在“展开与折叠”的学习活动中，已经知道圆柱的侧面展开图是一个______，底面半径为r，母线长为l的圆柱体的侧面积为___________，全面积为_____________。

圆柱的侧面展开图是一个______，那么怎样求圆锥的侧面展开图的面积呢？
二、探索活动
1、圆锥的基本概念
如图的圆锥中，连结圆锥的顶点S和底面圆上任意一点的线段SA、SA1……叫做____________________，
连接顶点S与底面圆的圆心O的线段叫做_________。

2、圆锥中的各元素与它的侧面展开图——扇形的各元素之间的关系上图中，将圆锥的侧面沿母线l剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r，这个扇形的半径等于_______,
扇形的弧长__________.
3、圆锥侧面积计算公式
从上图中可以看出，圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，这样，
S圆锥侧=S扇形=__________= __________.
4、圆锥全面积计算公式
S圆锥全=S圆锥侧＋S圆锥底面= _________ ＋_________ =_________.
三、应用迁移：
例1、制作如图的圆锥形铁皮烟囱帽，其尺寸要求为：底面直径80㎝，母线长50㎝，求烟囱帽铁皮的面积（精确到1㎝2）
例2.在半径为2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90º的最大扇形.
(1)求这个扇形的面积（结果保留 ）；
(2)用所剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆半径；
(3)在被剪掉得3块余料中，能否从中选取一块剪出一个圆作为（2）中所围成的圆锥的底
面？
例题3.如图1所示，⊙O、⊙T、⊙Q半径均为1，则三个扇形的的面积之和为
变式：如图2，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积。

例题4某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
①请你补全这个输水管道的圆形截面图；
②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.
【答案】①作法略.如图所示.
②如图所示，过O作OC⊥AB于D，交于C，
∵ OC ⊥AB ，∴
. 由题意可知，CD=4cm.设半径为x cm ，则
. 在Rt △BOD 中，由勾股定理得：
∴
.∴ . 即这个圆形截面的半径为10cm.
巩固练习 1. 用半径为30cm ，圆心角为120︒的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）
A ．5cm
B ．10cm
C ．15cm
D ．20cm
解：设这个圆锥底面半径为cm r ，由题意得：120302180
ππ⨯=r ， 2.用一块弧长16πcm 的扇形铁片，做一个高为6cm 的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm 2
解：∵弧长16πcm 的扇形铁片，∵做一个高为6cm 的圆锥的底面周长为16πcm ，
∵圆锥的底面半径为：16π÷2π=8cm ，∵10cm =，
∵扇形铁片的面积=161102
80ππ⨯⨯=cm 2，故答案是：80π． 10(cm)r =，即这个圆锥底面半径为10cm ，故选：B ．
3.已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．
解：∵底面圆的半径为4，∵底面周长为8π，∵侧面展开扇形的弧长为8π，
设扇形的半径为r ，∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°， ∵120180
r π＝8π，解得：r ＝12，∵侧面积为π×4×12＝48π，故答案为：48π． 4如图，方老师用一张半径为18cm 的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是10cm ，那么这张扇形纸板的面积是________2cm （结果用含π的式子表示）．
解：由题意得：该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长，即为221020cm r πππ=⨯=，
∵该扇形的面积为2111820180cm 22
S lR ππ==⨯⨯=；故答案为180π． 5底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为__________．（结果保留π）
【答案】12π圆锥的侧面积=()112341222
lR ππ=⨯⋅⨯= 6.若一个圆锥的底面半径为1cm ，它的侧面展开图的圆心角为90︒，则这个圆锥的母线长为____ cm ．
解：设母线长为R ，由题意得：2180n R l r ππ==，∵902180
R ππ⋅=， 解得：4R =，∵这个圆锥的母线长为4cm ，故答案为4．
7.如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F ．
（1）求证：DF ⊥AC ；（2）若⊙O 的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．
【答案与解析】
（1）证明：连接OD ，∵OB=OD ，∴∠ABC=∠ODB ，
∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∴∠ODB=∠ACB ，
∴OD ∥AC ，∵DF 是⊙O 的切线，∴DF ⊥OD ，∴DF ⊥AC ．
（2）解：连接OE ，∵DF ⊥AC ，∠CDF=22.5°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE ，∴∠AOE=90°，
∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE =4π，S △AOE=8 ，∴S 阴影=4π﹣8．
8.某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED 与母线AD 长之比为1:2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB AC =，AD BC ⊥．将扇形AEF 围成圆锥时，AE ，AF 恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角BAC ∠的大小
（2）若圆锥底面圆的直径ED 为5cm ，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）
解：（1）设ED =x ，则AD =2x ，∵EF 弧长222180x n x ππ⨯=⨯
=， ∵90n =︒，∵BAC ∠=90°；
（2）∵ED =5cm ，∵AD =2ED =10cm ，∵AB AC =，BAC ∠=90°，
∵∵ABC 为等腰直角三角形，∵AD BC ⊥，∵BD =CD =AD =10cm ，
∵BC =BD +CD =20cm ，∵S ∵BAC =
11201010022BC AD ⨯=⨯⨯=cm 2， ∵EF S 扇形29010==25360
ππ⨯⨯，∵S 阴影= S ∵BAC -EF S 扇形=（100-25π）cm 2．
【拓展延伸】
如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B′C″的位置，设BC=1，AC= 3 ，则顶点A运动到A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是。