北师大版八下数学《分式方程》典型例题2

《分式方程》典型例题
例1．甲、乙二人同时从A 地前往距A 地30千米的B 地，甲比乙每小时快2千米，结果比乙先到半小时，若设乙的速度为x 千米/小时，则可列出的方程为
A ．
2123030=--x x B ．2
123030=+-x x C ．2130230=-+x x D ．2130230=--x x
例2．某校学生进行急行军，预计行60千米的路程可在下午5点钟到达，后来由于每小时加快速度的5
1，结果于4点钟到达，这时的速度是多少？
例3．甲、乙两人合做某项工作，如果先由两人合作3天，剩下的由乙单独来做，那么再有1天便可完成. 已知乙单独做全部工作所需天数是单独做所需天数的2倍. 求甲、乙单独做这项工作各需多少天？
例4．某工人现在平均每天比计划多做20个零件，已知现在做4000个 零件和原计划做3000个零件所用的时间相同，问现在平均每天做多少个？
例5． A 、B 两地相距7千米，甲由A 地走向B 地，刚走完了1千米到达C ，在A 地的乙发现甲有物遗忘，为送物追甲，乙在D 处追上甲后又立即返回，当乙回到A 地时，甲正好到了B 地，求C 、D 间的距离.
例6．编一道可化为一元一次方程的分式方程应用题，并解答，编写要求.
（1）要联系实际生活，其解符合实际.
（2）根据题意列出的分式方程只含有两项分式，不含常数项，分式的分母均含有未知数，并且可化为一元一次方程.
（3）题目完整，题意清楚.
参考答案
例1．分析1 比较分母的大小判断分式的值的大小，知A 、C 左边均为负数，不可能与右边相等，故应排除A 、C. 又，根据题设，甲的速度为)2(+x 千米/小时，在D 式中没出现2+x ，故排除D.
分析2 按列方程解应用题的常规办法列方程得B 式（详细分析过程从略） 解答 B
例2．分析 此为行程问题. 基本关系式为：路程＝速度×时间. 本题欲求速
度，则设原计划速度为x 千米/时，而实际速度为x )5
11(+千米/时，所以，计划时间x 60时，实际时间x )5
11(60+时，以时间关系为相等关系来列方程. 解答 设原计划速度为x 千米/时， （务必写明意义和单位） 则实际速度为x )5
11(+千米/时，依题意，得 1)5
11(6060=+-x x 化为整式方程，得 125
6=x ∴ 10=x
经检验：10=x 是原方程的根. 则.12)5
11(=+x 答：这时的速度为12千米/时.
说明 对于行程问题，已知距离求速度，以时间为相等关系.
例3．分析 此题为总工作量为1的工程问题. 设甲单独做需x 天，则乙单独做需x 2天，甲每天的工作量为x 1，乙每天的工作量为x
21，依题意可列出仅含一个未知数x 的分式方程，于是问题得解.
解答 设甲单独做需x 天，则乙单独做需x 2天，依题意，得
121)211(3=++x
x x 解这个方程，得 5=x
经检验知5=x 是原方程的解.
∴ 102=x .
答：甲单独做需5天，乙单独做需10天.
说明 工作总量看做1的工程问题，通常以工作总量为相等关系.
例4．分析 此为工作总量不为1的工程问题，要求效率，设现在平均每天做x 个，计划每天做)20(-x 个，现在做4000个所用的时间为
x 4000天，计划生产3000个所用时间为20
3000-x 天，以时间为相等关系可求解. 解答 设现在每天生产x 个零件，计划每天生产)20(-x 个零件，依题意，得 20
30004000-=x x 去分母，整理得
800001000=x
∴ 80=x
经检验 80=x 是原方程的解.
答：现在平均每天做80个零件.
说明 总工作量不是1的工程问题已知总工作量，求工作效率，通常以时间为等量关系. 工作时间工作效率
工作总量=. 例5．分析一 甲自C 到D 所行的时间与乙自A 到D 所行的时间相同，甲自C 到B 所行的时间与乙自A 到D 再回到A 所用的时间相同. 如图示：
解答一 设甲的速度是每小时x 千米，乙的速度是每小时y 千米，又设CD 的距离是s 千米，依题意，得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y s x
y x x s )1(26,1 两式相除，消去x 、y ，得3=s .
分析二 甲自C 到D 所行的时间与乙自A 到D 所行的时间相同，甲自D 到B 所行的时间与乙自D 到A 所行的时间相同.
解答二 设甲的速度是每小时x 千米，乙的速度是每小时y 千米，又设CD 的距离是s 千米，于是得方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=.16,1y s x
s y s x s 两式相除，消去x 、y ，得3=s .
分析三 由于甲自C 到D 所行的时间与乙自A 到D 所行的时间相同，甲自D 到B 所行的时间与乙自D 到A 所行的时间相同. 而DA AD = 则DB CD =即D 为CB 中点.
解答三 设CD 的距离s ，于是得.712=+s 解得3=s .
说明 为列方程起见，第一、二种解法增设了甲乙二人的速度，它们在求解过程中自行消失. 而在列方程过程中降低了思维难度，为列方程起到很好的辅助作用. 第三种解法在对问题深刻分析的基础上，得到D 是CB 中点的结论，从而列出了一个很简单的方程. 说明审题时，深入分析题意很重要，可得到最佳的解题方略. 同时，图示法、列表法等在分析总是过程中的直观作用，是分析问题的有效工具.
例6．分析 本题着重从三步考虑：
①依题意，确定一个有意义的数字：
如5，当作所列应用题方程的一个根，建立一个题设要求的等式：如2
56510-=. ②把上述等式中的5用未知数x 代替变等式方程为分式方程
2
610-=x x ③根据方程编出应用题
甲、乙二人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做2个，甲做10个所用的时间与乙做6个所用时间相等. 求，甲、乙每小时各做多少个？
解：设甲每小时做x 个，则乙每小时做)2(-x 个
根据题意，得 2
610-=x x 整理，得 x x 62010=- ∴ 5=x 经检验5=x 是方程的根.
答：甲每小时做5件，乙每小时做3件.。