一类特殊三色有向图的本原条件和指数上界
三色问题的代数解法
前言熟知，我们可用带余除法求一个整数被另一个非零整数除所得的商和余数，可用辗转相除法求两个整数或多个整数的最大公因子。
同样地，对于有理系数多项式或者系数在，一般域上的多项式，可用长除法求一个多项式被另一个非零多项式除得到的商多项式和余多项式，用欧几里得算法，即多项式的辗转相除法，求两个或多个多项式的最大公因子．实际上，这两者十分相似．用代数学中环论的观点看，整数全体组成的环和任意域走上单变元多项式全体组成的环[]k x 都是欧几里得环，当然也是主理想环．在这两个环中都有有效的除法算法和基于除法算法的用于求两个或多个元素的最大公因子的欧几里得算法．在主理想整环中，任意给定的”个元素12,,,n a a a 的最大公因子()12gcd ,,,n a a a 就是由12,,,n a a a 这卵个元素生成的理想I 的生成元．特别，在整数环Z 中，()12gcd ,,,n a a a 是由整数12,,,n a a a 生成的理想I 中绝对值最小的整数；而在域上单变元多项式环[]k x 中，()12gcd ,,,n a a a 是由多项式12,,,n a a a 以生成的理想I 中的多项式次数最低或最小的多项式．在环Z 中和环[]k x 中，判断断一个元素a 是否属于由12,,,n a a a 生成的理想I ，只要检验a 是否能被()12gcd ,,,n a a a 整除，即余数或余项是否为零．如果余数或余项为零，说明a 不能被()12gcd ,,,n a a a 整除，则a 属于理想I ；如果余数或余项不为零，说明a 不能被()12gcd ,,,n a a a 整除，则a 不属于理想I .如果我们不利用()12gcd ,,,n a a a 或者没有算法可由12,,,n a a a 求出()12gcd ,,,n a a a ，判断元素 a 是否属于理想I 就不会这样简单．事实上，()12gcd ,,,n a a a 作为理想I 的生成元，它不但具有好的性质，而且又有算法保让可具体求出它，这样才使得理想成员的判定问题得以解决。
图的色数与着色数的上界
图的色数与着色数的上界史小艺;张宁;薛婷婷【摘要】In this paper, it is proved that for graph G whose coloring number is X（G）≤c（（bk,2k＋1＋2）n）1/k＋1＋2 where c=c（k）with limk→∞c（k）=1and whose girth is at least 2k＋1, bl.k is the booksize of G. It is also proved that the coloring number for graph G with girth at least 2k ＋1 is σ（G）≤[bk,2k＋1＋1）n/2]1/k＋2.%证明了对于围长不少于2k1的图G,其色数X（G）≤c（（bk,2k＋1＋2）n）1/k＋1＋2,其中c=c（k）且limk→∞ c（k）=1,bt,k是G的booksize.另外还证明了对于围长不少于2k＋1的图G,其着色数σ（G）≤[bk,2k＋1＋1）n/2]1/k＋2.【期刊名称】《五邑大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(026)002【总页数】3页(P15-17)【关键词】无向图;色数;着色数;围长【作者】史小艺;张宁;薛婷婷【作者单位】中国矿业大学理学院,江苏徐州221116;中国矿业大学理学院,江苏徐州221116;中国矿业大学理学院,江苏徐州221116【正文语种】中文【中图分类】O157.5本文讨论的图都是有限、简单的无向图. 设、、和分别为图的点集、边集、最大度和最小度. 若是的一个非空子集，则称为的由导出的子图. 图的着色数定义为，其中是的子图. 图的着色是指映射（其中为颜色集，且），对于的任意2个相邻的顶点、，满足. 图的色数定义为，显然. 若，则存在一个最小度不小于导出子图（如是的临界子图）.图的围长与色数之间的关系一直被人们广泛研究，文献[1]讨论了已知图的围长与阶数如何确定色数上下界的问题. 定义，文献[2]证明了，文献[3]证明了. 当围长为奇数时，文献[1]给出色数的上界为；当围长为偶数时，文献[4]证明了色数的上界为.图的-book是指个长为的圈两两相交组成一条长为的路，即，其中、为整数且. 图的-booksize是指的最大值，记为. 文献[5]证明了无三圈（即）的图的着色数是倍数. 文献[4]和[6]讨论了图的色数与其-booksize的关系，并且证明了下列定理.定理1[4]118 设图的阶数为、围长至少为，且. 令，当且时，令；否则，令. 存在某一常数，则定理2[6]199 设图的阶数为且偶围长至少为，存在某一常数且，则本文对围长为的图进行了进一步的研究，对定理1中的常数进行了改进，得出了其色数及着色数的上界，即定理3、4.引理1 设图的围长至少为，且. 设是的任意顶点，令，其中表示顶点与之间的距离，则.证明当时，，结论成立；当，有. 下证.i）的任一顶点在有且只有一个邻点，否则，中会出现围长至多为的圈，矛盾. ii），. 否则，中会出现围长至多为的圈，矛盾.因此，对任意的，因为，所以可知的任一顶点在中至少有个邻点. 又因为中的任意2个顶点在中不能有共同的邻点，所以有，即.若任意，有，则称图是临界图.引理2[6]198 设是导出子图封闭的一类图，对任意的临界图，，若包含一个导出子图，且满足：，（其中、为整数），则存在常数，对，有.2 主要结果在文献[6]中M.Zake研究了阶数为且偶围长至少为的图的色数的上界，即本文的定理2. 本文借鉴定理2中的证明方法证明了围长至少为的图的色数的上界，此结论和文献[4]中的结论（即本文定理1）相比主要是改进了色数上界的值，即对于存在的常数由原来定理1中的改为定理3中的，的取值变小，从而色数的上界范围变小.定理3 设图的阶数为且围长至少为. 则存在某一常数且，其中为正整数，使得下式成立：.证明令，. 则，.记为所有围长不小于的图，下证满足引理2的条件.设，不妨设是临界图，令，，其中. 由引理1知，.令，，因为是临界图且，则.令，下证.设，为顶点在中的邻点. 令路为，路为，. 显然路与、与是互不相交的（除了顶点），否则将形成围长小于的圈. 因此，构成一个-book，所以，因此，. 由，，，而且与之间没有边直接相连，所以. 即是满足图条件的导出子图，则满足引理2的条件，定理成立.定理4 设是有个顶点围长至少为的图，令，则.证明设，是图的导出子图且. ，令，由引理1知，.设，与之间相连接的边数为. 设，为顶点在中的邻点，由定理1知. 因为中的顶点在中有且只有一个邻点，得.又. 所以. 即.参考文献Bounds for Chromatic and Coloring Number of GraphsSHI Xiao-yi, ZHANG Ning, XUE Ting-ting(College of Sciences, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221008, China)Abstract: In this paper, it is proved that for graph whose coloring number is where with and whose girth is at least , is the booksize of . It is also proved that the coloring number for graph with girth at least is.Key words: undirected graph; chromatic number; coloring number; girth 文章编号：1006-7302（2012）02-0015-03中图分类号：O157.5文献标志码：A收稿日期：2011-10-21基金项目：中央高校基本科研业务费专项基金资助（2010LKSX06）作者简介：史小艺（1986—），女，江苏沛县人，在读硕士生，研究方向为图论及其应用.证明当时，，结论成立；当，有. 下证.i）的任一顶点在有且只有一个邻点，否则，中会出现围长至多为的圈，矛盾. ii），. 否则，中会出现围长至多为的圈，矛盾.因此，对任意的，因为，所以可知的任一顶点在中至少有个邻点. 又因为中的任意2个顶点在中不能有共同的邻点，所以有，即.若任意，有，则称图是临界图.引理2[6]198 设是导出子图封闭的一类图，对任意的临界图，，若包含一个导出子图，且满足：，（其中、为整数），则存在常数，对，有在文献[6]中M.Zake研究了阶数为且偶围长至少为的图的色数的上界，即本文的定理2. 本文借鉴定理2中的证明方法证明了围长至少为的图的色数的上界，此结论和文献[4]中的结论（即本文定理1）相比主要是改进了色数上界的值，即对于存在的常数由原来定理1中的改为定理3中的，的取值变小，从而色数的上界范围变小.定理3 设图的阶数为且围长至少为. 则存在某一常数且，其中为正整数，使得下式成立：证明令，. 则，.记为所有围长不小于的图，下证满足引理2的条件.设，不妨设是临界图，令，，其中. 由引理1知，.令，，因为是临界图且，则令，下证.设，为顶点在中的邻点. 令路为，路为，. 显然路与、与是互不相交的（除了顶点），否则将形成围长小于的圈. 因此，构成一个-book，所以，因此，. 由，，，而且与之间没有边直接相连，所以. 即是满足图条件的导出子图，则满足引理2的条件，定理成立.定理4 设是有个顶点围长至少为的图，令，则证明设，是图的导出子图且. ，令，由引理1知，.设，与之间相连接的边数为. 设，为顶点在中的邻点，由定理1知. 因为中的顶点在中有且只有一个邻点，得.又. 所以. 即.【相关文献】[1] JENSEN T R, TOFE B. Graph coloring problems[M]. New York: John Wiley &Sons, 1995.[2] CHUNG F. Open problems of Paul Erdos in graph theory[J]. J Graph Theory, 1997, 25: 3-36.[3] SPENCER J. Asymptotic lower bounds for Ramsey functions[J]. Discrete Math, 1997, 20: 69-76.[4] ZAKER M. New bounds for the chromatic number of graphs[J]. J Graph Theory, 2008, 58: 110-122.[5] EROS P, HAJNAL A. Chromatic number of finite and infinite graphs[J]. Discrete Math, 1985, 53: 281-285.[6] ZAKER M. Bounds for chromatic number in terms of even-girth and booksize[J]. Discrete mathematics, 2011, 311: 259-270.。
图的条件着色的两个上界
收稿日期:2009-12-26 作者简介:林越(1981-),男,海南海口人,琼州学院理工学院助教,硕士,研究方向为图论与其应用.第17卷 第2期琼州学院学报2010年4月28日Vol .17 No .2Journal of Q i ongzhou University Ap r .28.2010图的条件着色的两个上界林 越1,王哲河2(1琼州学院理工学院,海南三亚572022;2琼州学院教务处,海南三亚572022)摘 要:通过构造一个可行算法———条件图算法,给出了一般图的条件边集合,并由此得到条件图,对条件图应用正常着色已有性质,证明了两个条件着色色数上界表达式.关键词:条件着色;条件图算法;条件图;Moore 图中图分类号:O157.6 文献标识码:A 文章编号:1008-6722(2010)02-0008-020 引言论文中所研究的图除特别说明外,均为宀单有限连通图,没给出的定义或术语可参考文献[1].关于图G =(V (G ),E (G )),v γV (G )的顶点度定义为图中G 与v 关联的边的数目,记为d G (v ),v 的邻域记为N (v ).用Δ,δ分别代表G 的最大和最小的顶点度,若H 是G 的导出子图,记δ′=m ax H ΑG δ(H ).设k >0,r >0,k,r ∈Z.图G 的一个(k,r )-着色(r -条件着色)是一个映射c:V (G )| C (k )且满足:如果uv ∈E (G ),那么c (u )≠c (v )并且Πv ∈V (G ),|c (N (v ))|Εm in {r ,d G (v )}.可(k,r )-着色的最小的k 为G 的条件色数,记为χr (G ).条件着色χr (G )的存在性是显然的.1 预备知识把图G 按规定添加某些边得到图G ′,使得对图G ′进行正常着色,即对图G 进行了条件着色.该过程可以用条件图算法实现:step 0 对图G =(V,E )的顶点进行排序:v 1,v 2,…,v n .step 1 E r = ,i =2.step 2 在图G 中检查N G (v 1),若已存在K m in {r ,d G (v 1)},转step 3.否则在v 1的邻域中添加边集合 E 1r ={e 11,e 12,…,e 1k },e 1jE,j =1,…,k,使得在v 1的邻域中形成一个K m in {r ,d G (v 1)}图, E r :=E r ∪E 1r .step 3 v 1:=v i ,若i >n,结束,否则i:=i +1,转step 2.称通过以上算法得到的E r 为图G 的一个条件边集合,称G r =(V,E ∪E r )为G 的一个条件图.由于对图G 顶点的排序的不同及添加边的规则不同,所以E r 不唯一,条件图也不是唯一的.若在step 2中所添加的边已有e 1j ∈E r ,E r :=E r ∪E 1r ,那么重复添加e 1j 到边集合E r 中和只添加一次效果一样,因而不会形成重边.实际上有以下命题:命题1 若G r 是G 的条件图,则χr (G )Φχ(G r ).证明 由条件边集合的算法与条件图的定义可知,在条件图中,每个顶点v 的邻域中都至少包含了一个K m in {r ,d G (v )},所以条件图的顶点着色必定是图的一个条件着色,所以χr (G )Φχ(G r ).证毕.命题2 若G r 是G 的条件图,则(i )Δ(G r )Φr Δ(G ),(ii )δ(G r )Φr δ(G ).证明 (i )对Πv ∈V (G ),由条件边集合的构造有d G r (v )Φd G (v )+(r -1)d G (v )Φrd G (v )ΦrΔ.由顶点v的任意性,所以有Δ(Gr)ΦrΔ(G).(ii)对Πv∈V(G),由条件边集合的构造有d Gr(v)Φrd G(v)δ(Gr)Φrd G(v)δ(Gr)Φrδ(G).证毕.2 主要结论引理1 若Δ是G的最大度,则χ(G)ΦΔ+1.引理2[5] rΕ2,χr(G)ΦΔ(G)+r2-r+1,如果ΔΦr.引理3 χr(G)ΦΔ2+1,等号成立当且仅当G为Moore图.定理1 若G不是完全图,则χr(G)ΦrΔ+1,且χr(G)=rΔ+1当且仅当r=Δ,G是Moore图.证明 首先由命题3、命题4以及引理1得到:x r(G)≤x(G r)≤Δ(G r)+1≤rΔ+1.下面证明,χr(G)=rΔ+1当且仅当r=Δ,G是Moo re图.必要性:假设χr(G)=rΔ+1,用反证法证明r=Δ.当r>Δ时,由引理3,即χr(G)ΦΔ2+1<rΔ+1,等号不可能成立.当r<Δ时,又因为G不是完全图,所以图G的距离不会为1.下面只需分两种情况讨论:(1)当G是距离为2的图时,断定在最大度为Δ的顶点(不妨假设为v0点)的邻域中,必有两个顶点没有连接,否则v将与其邻点构成Δ+1阶完全子图,若其任意邻点都不外接其他顶点,那么图G是完全图,距离为1,这与G是距离为2的图矛盾.若存在某一v的邻点外接其他顶点,那么这个邻点的度将是大于等于Δ+ 1,这与v0是最大度为Δ的顶点矛盾.所以当G是距离为2的图时,在最大度顶点的邻域中必存在两个不相连的顶点,既Gr不是完全图,则等号不能成立.(2)当G是距离为大于等于3的图时,由条件边集合的构造与条件图的定义,则距离大于等于3的两个顶点不可能连接起来,因为它们不处于某一顶点的同一邻域中,所以Gr也不能达到完全图,所以等号也不能成立.综上所述,Gr不是完全图,很显然也不是奇圈,由B rooks定理得到:χr(G)<rΔ+1.这与假设矛盾,所以等号成立当且仅当r=Δ,G是Moore图.充分性:当r=Δ,G是Moo re图时,由引理3有:χΔ(G)=Δ2+1χr(G)=rΔ+1.证毕.若H是G的导出子图,记δ′=m axHΑGδ(H),则有如下引理:引理4 G是简单连通图,则χ(G)Φ1+δ.定理2 G是简单连通图,则χ(G)Φ1+rδ.证明 设Gr 是G条件图,而H,Hr分别是G与Gr的导出子图,由命题3与引理4得:χr(G)Φχ(G r)Φ1+δ(G r)=1+m ax HrΑG r{δ(H r)}Φ1+m ax HΑG{rδ(H)}=1+r m ax HΑG{δ(H)}=1+rδ′.证毕.(下转第13页)9 第2期 林 越,王哲河:图的条件着色的两个上界3 结束语在数字通信系统中,数字调制与解调技术占有非常重要的地位.QPSK 调制电路的FPG A 设计与实现为研究软件无线电提供了参考,多进制数字调制技术与FPG A 的结合使得通信系统的性能得到了提高.参考文献:[1]段吉海,胡媛媛.基于VHDL 的MSK 调制解调器的建模与设计[J ].微计算机信息,2006(7-2):205-207.[2]罗文超;徐钊;盛祥佐.一种基于DDS 的QPSK 调制器及其FPG A 实现[J ].电讯技术,2007(4):156-158.[3]宋广怡,彭继强.基于FPG A 的QPSK 高速解调器的设计与实现[J ].无线电工程,2006(5):47-49.[4]段吉海,黄智伟.基于CP LD /FPG A 的数字通信系统建模与设计[M ].北京:电子工业出版社,2004:238-245.[5]江国强.E DA 技术与应用[M ].北京:电子工业出版社,2006:11-23.D esi gn of QPSK M odul a ti on C i rcu it Ba sed on FPGAS UN Zhi -xi ong,SH I Huan -yu(College of Electr onics and I nf or mati on Engineering ,Q i ongzhou University,Sanya Hainan 572022,China )Abstract:W ith the devel opment of FPG A technol ogy,the combinati on of digital communicati on technol ogy and FPG A is a certainly trend.The paper intr oduces the p rinci p le of QPSK modulati on ,the circuit are als o be realized based on FPG A.The si m ulati on result under Quartus II indicates that the method is feasible .Key words:QPSK;FPG A;modulati on(上接第9页)参考文献:[1]徐俊明.图论及应用[M ].合肥:中国科学技术大学出版社,2004.104-245.[2]王树禾.图论[M ].北京:科学出版社,85-119.[3]丁超,樊锁海,赖洪建.图的条件着色[J ].暨南大学学报,2008,29(1):35-38.[4]J.A Bondy,U S R.Murty .Graph Theory with App licati ons[M ].North -Holland Elsevier,1976.[5]Hong -J ian LA I,J ianliang L I N ,B ruce Montgomery,Taozhi SHU I,Suohai F AN.Conditi onal col orings of graphs[J ].D iscrete M athematics 306(2006):1997–2004.Two New Upper Bounds of Cond iti ona l Color i n g i n GraphsL IN Yue 1,WANG Zhe -he 2(1.College of Science and Engineering,Q i ongzhou University,Sanya Hainan 572022,China;2.Dean ’s Office ,Q i ongzhou University,Sanya Hainan 572022,China )Abstract:Finding a conditi onal graph of si m p le graphs thr ough a feasible algorith m ,discuss the relati onshi p bet w een the chr omatic nu mber of conditi onal graph and the chr omatic number of original graph,and then get t w o upper bounds of conditi onal col oring .Key words:conditi onal col oring;graph of conditi on algorith m;conditi onal graph;moore graph 31 第2期 孙志雄,石焕玉:基于FPG A 的QPSK 调制电路设计。
一个本原图的scrambling指数
到 Ｉ和 都有 长为 的途径 ， ｔ 且这 个 ｋ是所 有满足上 述条件 中的最 小的整数 ， 就是 Ｄ的 ｓｒ ｃａ ｍ— ｂｉｇ ｌ 指数 ， ｎ 记作 ｋ Ｄ）． （ 文章给 出 了一个特 殊的本原 图的 ｓｒｍ ｌ ｇ指数 ． ｃａ ｂｉ ｎ
［ 关键 词 ］ 原 图 ； 本 对称 图； ｃａ ｌｇ指数 ｓｒ ｉ ｍｂｎ
（） ２
（ ）＝ｍ ｘ ｋ（ ， ｆ ， ∈Ｖ Ｄ ｝ ３ Ｄ ａ ｛。 ｕ ） （ ） ．（ ）
定 义 ３ Ｃ 是指在 本原 图 Ｄ中 ， 。 含有一 个长
［ 稿 日期 ］００—１ 收 ２１ ２—２ １
奇数 Ｐ的圈 Ｃ ，（， 。 ． 『 ）∈ Ｖ Ｄ）， ： （ 则
［ 基金项 目］ 山西省 自然科学基金资助项 目（０ ８ １０ ９ ． ２０ ０ １０ ）
（ ＜ Ｄ）
．
这 与 ２ …（ ＜ｄ ｕ ｋ Ｄ） （ ，）矛 盾． 故
（。 Ｄ ）：盟
（ｉ 在 Ｃ 圈上 可找 到一 点 ｉ ） 得 Ｗ 和 Ｗ ＿ 有长 为 ２ ２÷
．
图 ｌ所示 ， 则 （ Ｄ） ＝ ［ ＋ ｔ
ｌ１
．
２
∈ Ｖ Ｃ ）， （ 使 的途 径 ，
［ 者简介 ］ 作 王小 书 （９ ８一） 女 ， 徽 宿 州人 ， 士 研究 生 ， 要 从事 组 合 数 学方 面 的 研究 １８ ， 安 硕 主 ８
…
Ｊ
（ Ｄ）≤ ｍ Ｄ ｄ ａ ｛ （， ｃ
证明
） ，（， ）ｄ ，
）｝ ）＋
．
，
ｍ｝ ， （ ，）∈ Ｖ Ｄ ）， 时 即 ｕ （ 有如 下情况 ：
１９ （５ ）９ ９ ７ ２ ８ ：５—１ ７ ２．
【国家自然科学基金】_h圈_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ6 47 48 49
科研热词 推荐指数 顶板破断 1 长程相关性 1 锂离子电池 1 连通图 1 血栓 1 血小板粘附 1 薄基岩 1 纳米颗粒 1 浅埋煤层 1 浅型水库 1 活性区 1 沉积物 1 极图刻划 1 极图 1 本原指数 1 本原双色有向图 1 指数 1 成矿元素 1 微震 1 广义hurst指数 1 平图 1 对偶树 1 对偶图 1 富锂正极材料 1 多重分形谱 1 多重分形消除趋势波动分析 1 多壁纳米碳圈 1 圈 1 固相法 1 喷雾干燥法 1 可溶性磷 1 可溶性氮 1 双色有向图 1 共沉淀法 1 上界 1 三个圈 1 thin base rock 1 shallow depth seam 1 roof breaking 1 microseism 1 li1.2ni0.17co0.07mn0.56o2 1 laplacian矩阵 1 laplacian特征多项式 1 l-谱 1 l-同谱 1 ic-着色 1 ic-指数 1 h圈 1 4着色 1
科研热词 推荐指数 圈 4 线性荫度 2 笛卡尔积 2 中间图 2 pebbling数 2 graham猜想 2 饱和烃 1 适宜性 1 连通图 1 运动轨迹 1 轮 1 路 1 表层沉积物 1 螺旋生长花纹与气孔构造 1 融冻时间比 1 线性森林 1 纳米压印 1 纤溶酶 1 等可填充 1 碳同位素 1 硅油 1 石油污染 1 生物标志物 1 环境水力学 1 熵值法 1 热流体波 1 热毛细对流 1 温泉旅游开发 1 渤海 1 沥青 1 沉降特性 1 水沙两相流 1 母光栅 1 欧拉示性数 1 模型试验 1 梭锥管 1 极大填充 1 杏仁状玄武岩 1 本原指数 1 有向图 1 最大填充 1 曲面 1 旋转 1 旅游系统 1 成因 1 微纳制造 1 微刻划 1 川南与滇北交界处 1 嵌入图 1 多重图 1 多圈管 1 双色 1
一类恰含两个圈的本原不可幂定号有向图的广义基
Ｇｅ ｅ ａ ｉ ｅ ｓ ｓ ｏ ａ ｓ ｏ ｉ ｉｉ ｅ Ｎｏ ’ ｗｅ ｆ ｌＳ ｇ ｅ ａ ｌ ｎ ｒ ｌｚ ｄ Ｂａ ｅ ｆａ Ｃｌ ｓ ｆ Ｐｒ ｍ ｔｖ ｎ ｐｏ ｒ ｕ ｉ ｎ ｄ Ｎｅ ｒｙ
Ｒｅ ｃ ｂ ｅ Ｄｉ ｒ ｐｈ ｔ ｄｕ ｉ ｌ ｇ ａ ｓ ｗｉｈ Ｔｗｏ Ｃｙ ｌ ｓ ｃｅ
记 为 ｓｎ ． ｇＷ
定 义 １ ４ 在定 号有 向图 中的两 条途径 ． 号 ，则称 它们 为 Ｓ Ｓ Ｓ Ｄ途 径对．
ＨＵＯ ｉ ａ ｇ Ｌ — ｎ ～．பைடு நூலகம்ＡＯ — ｉ ｆ Ｙｕ ｂ ｎ
（ ． ｌｅ ｅｏ ｃｅ ｃ ，Ｎｏ ｔ ｉ ｅ ｓｔ ｆＣｈ ｎ ， Ｔａｙ ａ ３ ０ １ Ｓ ａ ｘ ， Ｃｈ ｎ １ Ｃｏ ｌｇ ｆＳ ｉｎ ｅ ｒｈ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｉａ ｉｕ ｎ０ ０ ５ ， ｈ ｎ ｉ ｉａ；２ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｆ ． ｐ ｒｍｅ ｔ ｏ
ｅｐ （ ） ｘ Ｄ ，称 ｅ ｐ （ ）为 Ｄ 的第 ｋ个 广 义本原 指数 ，记 为 ｅ ｐ （ ） ｘＤ ｘ Ｄ屉 ．
定义 １ ３ 设 Ｄ是 有 向 图 ，将 Ｄ 中 的每条 弧被 标记 １为 一１ ． ，则 称 为定 号有 向图 ，记 为 ５ 定号 有 向 ． 图 Ｓ中的一 条途径 ｗ 是 由一 系列 的 弧 ｅ ，ｅ ，… ，ｅ 组 成 的 ，并 且 ｅ 的 终 点 与 ｅ 的始 点 相 同 （ 一 １ 。 。 ｉ ， ２ ，… ，ｋ１ ．途 径 中弧的条数 就是 途径 ｗ 的长 度 ，记 为 ｚｗ ） －） （ ．途 径 ｗ 的符 号 被 定 义为 Ⅱ ｓ ｎ ｛ ， ｇ ｅ｝
１ 基本 概 念
定义 １ １ 设 Ｄ 是一 个有 向图 （ ． 允许有 环但 不能 有重 弧 ） ，如果存 在 一个 正 整 数 ｋ ，使得 Ｄ 中任 意 两 个 顶点 和 ，（ 以相 同）都有 长为 是的途 径 ，则 称 Ｄ 是 本 原 的 ，最 小 的 ｋ就 是 Ｄ 的本 原 指 数 ，记 作 可
一类特殊本原有向图的广义的scrambling指数
第３ １卷
第 ４期
一
类 特 殊 本 原 有 向 图 的 广 义 的 ｓｒｍ ｌ ｇ指 数 ｃａ ｂｉ ｎ
孙琳 莉 ， 雷英 杰
（ 中北 大学数学系 ，山西 太原 ０ ０５ ） ３０ １
［ 摘
要］ 文章研 究一类合 有 ３个 圈的 本 原有 向 图的 广义 ｓｒｍ ｌ ｇ指数 ， 中 ２个 圈的 长度 ｃａ ｂｉ ｎ 其
相 同， 通过运 用本 原有 向 图的 ｓｒｍｂｉｇ指数 和 广 义 ｓｒｍｂｎ ｃａ ｌ ｎ ｃａ ｌ ｇ指数 的 概念 ， ｉ 分析 图 中点 的特 点 ， 出此 类特 殊 的本原 有 向 图的 ｓｒｍ ｌ ｇ 数 和广 义 ｓｒｍ ｌ ｇ指数 ． 得 ｃａ ｂｉ 指 ｎ ｃａｓｒｍ ｌ ｇ 数 ｓｒｍ ｌ ｎ 广 ｃａ ｂｉ 指 ｎ
为
阶本原有 向图 ， Ｄ中最小 圈长 为 ｓ， １≤ ｓ ｎ 且 ≤
一
１， 如果 ｇｄ ，）＝ １，０ ： ｃ（ Ｓ 贝有
（ Ｄ）≤ Ｋ（ ，） ＝ｎ—ｓ＋ ／ ｓ ｎｓ （， ）． ／ ，
其 中
（ ）：ｍｎ Ｄ ｉ｛ ｚ ｌ 厂
显然有 ：
，— －∞ ∞Ｅ Ｄ ｝ ＋ ； （ ）．
２０ （３ ） ：１１—１３ ． ０ ９ ４０ １ １ １０
［ ］ ｈｎＳｅｉ ｉ Ｂ ｌｎ ｈ ｃａ ｂｉ ｄｘｏ ｍ— ３ Ｃ ｅ ｈｘ，Ｌｕ ｏ ａ．Ｔ ｅｓｒｍ ｌ ｇｉ ｅ ｆ ｙ ｉ ｎ ｎ ｓ
Ｊ
［ ］ ｋｌｅ ２ Ａ ｅｂｋ Ｍ，Ｋｒｌｎ ． ｏｆｃ ｎｓｏ ｒｏｉｔ ａｄ ｉ ａｄＳ Ｃ ｅ ｉｅｔ ｆｅｇｄｃ ｙ ｎ ｋ ｉ ｉ ｔｅｓｒｍ ｌ ｇ ｎｅ Ｊ ．Ｌｎ ａ ＡｇｂａＡ ｐｉ ｔ ｎ ， ｈ ａ ｂｉ ｄｘ［ ］ ｉｅｒ ｌ ｒ ｐｌ ａ ｏｓ ｃ ｎｉ ｅ ｃｉ
一类本原不可幂定号有向图的k重上广义基
【 ｓ （ ）记为ｓ 如果一个定号有向图中的两条途径 和 有相同的起点和终点， ＿ｇ ｅ ， 】ｎ ｇ ｎ 长度也相同，
ｉ ｌ ＝
但是 符号 相反 ， 则称 它 们 为一个 Ｓ Ｓ Ｓ Ｄ途径 对 ｊ ．
定义 １ 设 Ｄ为有 向图 ， 果存 在正 整数 ｌ 使 得对 于 Ｄ 的任 意顶 点 ｉ 可 以相 同 ） 在 ， ¨ 如 ， ， Ｊ（ ， Ｊ中都存 在从 ｉ 到 的长 为 ｚ 的途径 ，则称 Ｄ为 本原 有 向 图． 上述 最小 的 Ｚ 称为 Ｄ 的本原 指数 ，记为 ｅ ｐ Ｄ） ｘ（ ．
基金项 目： 山西省 自 然科学基 金资助项 目（０７１０７２００ｔ０ ） ２００ １１， ８ １０９ ． ０
作者简 介 ： 张 波 （９ ３ ） 男 ， １８ 一 ， 湖北监利人 ， 中北 大学数学系 ２０ ０ ８级硕士研究生 ， 主要从事组合数学 方面的研 究 ． 通讯作者 ： 邵燕灵 （９ ３ ） 女 ， １６ 一 ， 山西平 定人 ， 中北大学数学系教授 ， 博士 ， 博士生导师 ， 主要从事图论与组合数学方面的研究
个 圈的ｋ 本原不可幂定号 有向图的 ｋ 重上广义基进 行了研究 ， 这类 图中存在两个长度相 同的圈． 运用 “ 异 圈对 ” Ｆｏｅｉｓ 以及本原指 数等相关知识 ， 、 ｒｂｎｕ 集 分别讨论 了在这类 图中长度相 同的两个圈 的同号或异 号 的情况下 ， 是否存在相应 的 Ｓ Ｓ Ｓ Ｄ途径对 ， 而获得 了这类 本原不 可幂定 号有 向图在 这两种 情况 下的 ｋ 从
山西 师 范 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
第２ ４卷第 ３期
２１ ００年 ９月
Ｊｕ ｎ ｌｏ ｈ ｎ ｉ ｒ ｌＵ ｉｅｓｔ ｏ ｒａ ｆ ａ ｘ ｍａ ｎｖ ｒｉ Ｓ Ｎｏ ｙ
某类本原不可幂定号有向图基的界
【 关键 词 】 Ｓ Ｓ 途径对 ； ； ＳＤ 基 定号有 向图； 原指数 本
Ｂｏ ｎ ｓｏ ｈ ａ ｅ ｆｔ ｅＣｌｓ ｉ ｔｖ ｎ Ｐｏ ｒ ｕ ｉｎ ｄ Ｄｉ ｒ ｐ ｓ ｕ ｄ ｎ ｔ ｅｂ ｓ ｓｏ ｈ ａ ｓＰｒｍｉｉ ｅＮｏ — ｗｅ ｆ ｌＳ ｇ ｅ ｇ ａ ｈ
析此 类 图 的特点 ， 用相 关 知识 给 出 了 和 ５ 运 基
的界
Ｖｍ Ｉ Ｖ 一 Ｉ ２
Ｗ的符号被定义为Ｉ ｓ （ ） ｌ ｇ ｅ， ｎ 记为ｓ （ 。 ｇ Ｗ）如 ｎ
果一 个 定号有 向图 中的两 条途径 和 有 相 同 的起 点 和相 同 的终点及 相 同 的长度 ， 但是 符 号相反 ，
了研 究 ， 基 础 图分 别 为 Ｄ。如 图 １ 其 （ ）和 Ｄ （ 图 如 ２ 。 然 ， 包 含 三个 圈 ， 中两个 圈 长相 等 为 ｍ ， ）显 Ｄ 其 另外 一个 圈 长为 ｍ ＋１ Ｄ， 含 了 四个 圈 ， 中两 。 包 其
个圈长相等为 ｍ， 另两个圈长相等为 ｍ＋１通过分 。
模 式 矩 阵周 期 与 基 ； 献 ［］中作者 介 绍 了不 可 约 文 ４
广义符号模式矩 阵基 的界 ； 文献 ［ ］ ５ 中给出了几乎
可约 符号模 式 矩 阵基 的界 。
本文 对本 原 不 可 幂 定 号 有 向 图 Ｊ ｓ 和 Ｓ 进 行
个符号 １ 一１ 或 所得的图称为 Ｄ（ 的定号有向图 ， Ａ）
记 为 ． Ａ） Ｓ ）为 Ａ 的 伴 随 定 号 有 向 图 ，即 ｓ （ ，（ Ｄ（ 就成 为 ５（ Ａ） Ａ）的基 础 有 向图 。 Ｊ 的一 条 途 ｓ中 径 是一 个 有关 弧 的序列 ： ｅ， ， 使 得 ｅ ｅ， … ｅ， 的 终 点 与 ｅ 的起 点相 同 ， 中 ｉ＝ １２ … ， 其 ， ， ｋ一１所 。 含 弧 的条数 七即是 途径 的长度 ， 为 Ｚ ）途 径 记 （ 。
本原极小强连通有向图1-指数的下界
本原极小强连通有向图1-指数的下界
胡亚辉
【期刊名称】《数学理论与应用》
【年(卷),期】2006(026)002
【摘要】本文给出了n阶本原极小强连通有向图1-指数的下图:expD(1)≥4.且这个下界是可以达到的.
【总页数】2页(P13-14)
【作者】胡亚辉
【作者单位】中南大学数学科学与计算技术学院,长沙,410004
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.围长为2的奇数阶本原极小强连通有向图的1-指数集 [J], 胡亚辉;王晋
2.围长为2的奇数阶本原极小强连通有向图的1-指数集 [J], 胡亚辉;王晋
3.围长为2的偶数阶本原极小强连通有向图的1-指数集 [J], 胡亚辉;王晋
4.围长为2的本原极小强连通有向图的1-指数集 [J], 王晋;胡亚辉
5.极小强连通本原有向图的非本原指数的一个新下界 [J], 胡志庠
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三色(原)染色法
三色(原)染色法
三色(原)染色法是一种图论中常用的染色方法，用于对图的节
点进行染色，使相邻节点的颜色不相同。
具体步骤如下：
1. 给图的一个节点染上初始颜色，一般选择颜色集合中的第一个颜色。
2. 遍历所有未染色的节点，对于每个未染色的节点，检查与它相邻的所有已染色节点的颜色。
如果相邻节点中的某个节点颜色与当前节点相同，则将当前节点染上下一个颜色。
如果相邻节点中不存在和当前节点相同的颜色，则继续遍历下一个未染色节点。
3. 重复步骤2，直到所有节点都染色完成。
4. 最后得到的染色结果，是一种使得相邻节点颜色不相同的染色方案。
这种染色方法的正确性和有效性可以通过图的邻接矩阵或邻接表来进行实现。
在实际应用中，此种染色方法通常用于解决图的顶点着色问题，例如地图上的区域着色问题、时间表安排问题等。
需要注意的是，染色方案不唯一，根据图的结构和算法的不同，可能会存在不同的染色结果。
离散数学有向图与网络流分析
离散数学有向图与网络流分析离散数学：有向图与网络流分析离散数学是一门研究离散结构及其性质的学科，其中有向图与网络流是离散数学中一项重要且常用的分析工具。
本文将针对有向图与网络流进行分析，探讨其概念、性质及应用。
一、有向图介绍有向图是离散数学中的一种重要的图模型，由顶点集合和有向边集合组成。
每条有向边由两个顶点构成，其中一个为起点，另一个为终点。
有向图可以用来描述各种实际问题，如交通流、信息传输等。
有向图的相关概念包括度、路径、强连通等。
1.1 有向图的度有向图中，每个顶点的度定义为以该顶点为起点或终点的有向边的数目。
分为入度和出度两种。
入度表示以该顶点为终点的有向边的数目，出度表示以该顶点为起点的有向边的数目。
1.2 有向图的路径有向图中，路径是由若干个边连接的顶点序列。
有向图中的路径可以是有向边从起点出发，按照指定的方向到达终点。
路径也可以是从终点出发，按照指定的方向到达起点。
1.3 有向图的强连通性在有向图中，如果对于图中的任意两个顶点v和w，存在从v到w 和从w到v的路径，则称有向图是强连通的。
强连通性是有向图的一个重要性质，与图的连通性密切相关。
二、网络流介绍网络流是离散数学中的一个重要概念，是用来描述在网络中物质、信息等在各个节点之间的流动情况。
网络流可以应用于解决各种实际问题，如货物调度、通信网络传输等。
网络流的相关概念包括源点、汇点、容量、流量等。
2.1 源点与汇点在网络流中，源点是指物质或信息的起始点，而汇点是指物质或信息的终点。
源点和汇点是网络流问题的两个关键角色。
2.2 容量与流量在网络中，每条边都有一个固定的容量，表示该边能够承载的最大流量。
而流量则是指通过每条边的实际流量大小。
在网络流问题中，流量不能超过容量，这是一个重要的限制条件。
三、有向图在网络流分析中的应用有向图作为离散数学的一项重要工具，在网络流分析中发挥着重要作用。
有向图可以用来表示网络中的各个节点及其之间的关系，从而解决各种实际问题。
本原有向图 Dn，q，s的 scrambling 指数
本原有向图 Dn，q，s的 scrambling 指数尤利华;陈芳【期刊名称】《华南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(000)005【摘要】设n，q，s是正整数，满足1≤s＜q≤n，g．c．d．（q，s）＝1，且q ＋s≥n＋1．定义有向图Dn，q，s ＝（V，E），其中V＝｛1，2，⋯，n｝，E＝｛（i，i＋1）1≤i≤n-1｝∪｛（s，1），（n，n-q＋1）｝．显然，Dn，q，s是本原有向图，且是一类重要的极图．运用了数论和图论的方法得到了Dn，q，s的scrambling 指数，根据本原有向图D的本原指数exp （ D）与scrambling 指数k（D）的已知结论，猜想limn→∞ k（D）exp（D）＝12．%Let n,q,s be integers,1≤s<q≤n,g.c.d.(q,s)=1,and q+s≥n+1.Define the d igraph Dn,q,s=(V, E), where V={1,2,⋯,n},E={(i,i+1)|1≤i≤n-1}∪{(s,1),(n,n-q+1)}.Obviously, Dn,q,s is a primitive digraph.In fact, Dn,q,s is an important extremal digraph.Scrambling index of Dn,q,s is studied by the method of Number theory and Graph theory .Moreover,based on the results of exponent exp ( D) and scrambling in-dex k( D) of the important primitive digraph D, conjecture lim n→∞k( D) exp( D) =1 2 is proposed .【总页数】6页(P7-12)【作者】尤利华;陈芳【作者单位】华南师范大学数学科学学院，广东广州510631;华南师范大学数学科学学院，广东广州510631【正文语种】中文【中图分类】O151.21【相关文献】1.2个本原有向图的scrambling指数及广义scrambling指数 [J], 段洁;雷英杰2.一个本原有向图的scrambling指数及广义scrambling指数 [J], 张佩;高玉斌3.一个特殊本原有向图的scrambling指数及广义scrambling指数 [J], 张佩;王卓宇;高玉斌4.一个含4个圈的本原有向图的 scrambling指数及广义 scrambling指数 [J], 申佳;高玉斌5.一类本原有向图的scrambling指数和广义scrambling指数 [J], 李林倩;李星星因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。