考点59 坐标系与参数方程-备战2021年高考数学(理)一轮复习考点一遍过

考点59 坐标系与参数方程
此部分知识属于选考内容，放在最后一题的位置，10分，只要熟练掌握几种方程的转化方法及其方程代表的几何意义，拿满分比较容易.
1．坐标系
(1)理解坐标系的作用.
(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.
(4)能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
(5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.
2．参数方程
(1)了解参数方程，了解参数的意义.
(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
(3)了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.
(4)了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.
一、坐标系
1．极坐标系的概念
在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM 叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
2．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是
平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ或⎩
⎪
⎨⎪⎧
ρ2＝x 2＋y 2，
tan θ＝y
x
(x ≠0).
3．圆的极坐标方程
若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2
＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心位于π
(,)2
M a ，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 4．直线的极坐标方程
若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；
(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过π(,)2
M b 且平行于极轴：ρsin θ＝b . 二、参数方程 1.直线的参数方程
若直线过(x 0,y 0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t 为参数).这是直线的参数方程,其中
参数t 有明显的几何意义. 2.圆的参数方程
若圆心在点M 0(x 0,y 0),半径为R,则圆的参数方程为0≤θ≤2π.
3.椭圆的参数方程
若椭圆的中心不在原点,而在点M 0(x 0,y 0),相应的椭圆参数方程为0≤t ≤2π.
【解题必备】一、参数方程与普通方程的互化技巧 1.参数方程化为普通方程
基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧. 2.普通方程化为参数方程
曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y 的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数. 二、直线与圆锥曲线的参数方程的应用规律
解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题,其一般思路为: 第一步,先把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程; 第二步,根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题.
另外,当直线经过点P (x 0,y 0),且直线的倾斜角为α,求直线与圆锥曲线的交点弦长问题时,可以把直线的参数方程设成
(t 为参数),交点A,B 对应的参数分别为t 1,t 2,计算时,把直线的参数方程代入圆锥曲线的
直角坐标方程,求出t 1+t 2,t 1·t 2,得到|AB |=|t 1-t 2|=.
考向一 平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0）y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为坐标系中的伸缩变换．
典例1 在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换'3:2'x x
y y ϕ=⎧⎨
=⎩
. (1)求点1
,23A ⎛⎫- ⎪⎝⎭
经过变换ϕ所得的点'A 的坐标；
(2)点B 经过变换ϕ得到点13,
2'B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，求点B 的坐标； (3)求直线:6l y x =经过变换ϕ后所得直线'l 的方程；
(4)求双曲线2
2
:164
y C x -=经过变换ϕ后所得曲线'C 的焦点坐标.
【答案】(1)(1,1)-；(2)(1,1)-；(3)y x =；(4)(5,0),(5,0)-.
【解析】(1)设'(',')A x y ，由伸缩变换'3:2'x x y y ϕ=⎧⎨=⎩得'31'2x x
y y
=⎧⎪
⎨=⎪⎩
，
由于1
,23A ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
所以1'313x =⨯
=，1
'(2)12
y =⨯-=-，即点'A 的坐标为(1,1)-. (2)设(,)B x y ，由伸缩变换'3:2'x x y y ϕ=⎧⎨=⎩，得到1'
32'
x x y y ⎧
=⎪⎨⎪=⎩，
由于13,
2'B ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭，则1(3)13x =⨯-=-，1
212
y =⨯=， 所以点B 的坐标为(1,1)-. (3)设直线'l 上任意一点'(',')P x y .
由(2)可知，将1'32'x x y y ⎧
=⎪⎨⎪=⎩
，代入6y x =得12'6'3y x ⎛⎫
=⨯ ⎪⎝⎭，所以''y x =，
所以直线'l 的方程为y x =.
(4)设曲线'C 上任意一点'(',')P x y ，将1'32'x x y y ⎧
=⎪⎨⎪=⎩，代入22
164y x -=，化简得22''1916x y -=，
即22
1916
x y -=为曲线'C 的方程，
可得'C 仍是双曲线，且该双曲线的焦点坐标分别为(5,0),(5,0)-.
【名师点睛】本题主要考查了图形的伸缩变换公式的应用，其中解答中熟记图形的伸缩变换的公式，代入曲线的方程，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
1．已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变
换1
312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
得到曲线'C .
(1)求曲线'C 的普通方程；
(2)若点A 在曲线'C 上，点()3,0B ，当点A 在曲线'C 上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程.
考向二 极坐标和直角坐标的互化
1．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)．
2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧．
典例2 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C
的极坐
标方程为2
cos 2sin ρθθ=
，它在点π4M ⎛⎫
⎪⎝
⎭
处的切线为直线l . (1)求直线l 的直角坐标方程；
(2)设直线l 与2
2
14
y x +=的交点为P 1，P 2，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 【答案】(1)220x y --=；(2)3
4sin 2cos ρθθ
=-
+.
【解析】(1)∵曲线C 的极坐标方程为2
cos 2sin ρθθ=，
∴22
cos 2sin ρθρθ=，
∴曲线C 的直角坐标方程为2
12
y x =，∴y x '=，
又π4M ⎛⎫
⎪⎝
⎭
的直角坐标为(2，2)， ∴2|2x k y ='==.
∴曲线C 在点(2，2)处的切线方程为22(2)y x -=-，即直线l 的直角坐标方程为220x y --=.
(2)2
21014
02220
y x x x y y x y ⎧==⎧⎧+
=⎪⎨⎨⎨==-⎩⎩⎪--=⎩
由解得或， 不妨设P 1(1，0)，P 2(0，-2)，则线段P 1P 2的中点坐标1,-1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
为 所求直线斜率为k 1
,2
=-
于是所求直线方程为y +111,22x ⎛⎫=-
- ⎪⎝⎭
化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ+4ρsin θ=-3，即ρ3
.4sin +2cos θθ
=-
【名师点睛】这个题目考查了极坐标和直角坐标的互化，涉及中点坐标的计算，导数的几何意义，即函数在某点处的导数值即为在该点处的切线的斜率.求解时，(1)先将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再由导数的几何意义得到切线的斜率，根据点斜式得到切线方程；(2)联立直线和椭圆得到两点坐标，再由中点坐标公式得到中点坐标1,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
为，直线斜率为k 1,2=-进而得到直线方程.
2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的直角坐标方程为()()2
2
113x y -++=，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标系方程为()4
R π
θρ=∈.
(1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)判断：直线l 与曲线C 是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.
考向三 参数方程与普通方程的互化
1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．
2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．
典例3 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C
：1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
(t 是参数)，曲线2C
：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ是参
数)，若曲线1C 与2C 相交于A ，B 两个不同点，则|AB |=_______.
【答案】
3
【解析】曲线C 1
：212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 是参数)，转化为直角坐标方程为：x ﹣y ﹣1=0， 曲线C 2
：sin x y θ
θ
⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ是参数)，转化为直角坐标方程为：2212x y +=， 建立方程组：22
10
1
2
x y x y --=⎧⎪
⎨+=⎪⎩ ，得到：3x 2﹣4x =0，解得：x =0或43.
所以A (0，﹣1)，B (41,33)，所以|AB
3．
故答案为
3
. 【名师点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，两点间距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．首先把方程转换为直角坐标方程，进一步利用方程组求出A 、B 的坐标，再求出|AB |的长．
典例4 在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 、2C 的参数方程分别为1C
：2cos x y θ
θ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数），2C ：
1cos sin x t y t θ
θ
=+⎧⎨
=⎩(t 为参数）． (1)求曲线12,C C 的普通方程；
(2)已知点()1,0P ，若曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，求PA PB +的取值范围．
【答案】(1)22
143x y +=；1x =；(2)[]3,4.
【解析】(1)曲线1C 的普通方程为：22
143
x y +=，
曲线2C 的普通方程为：sin cos sin 0x y θθθ--=， 或：当π
π2
k k θ≠+∈Z ，时，曲线2C 的普通方程为：()tan 1tan tan y x x θθθ=-=-， 当π
=
π2
k k θ+∈Z ，时，曲线2C 的普通方程为：1x =. (2)将2C ：1cos sin x t y t θθ
=+⎧⎨=⎩(t 为参数）代入1C ：22
143x y +=，化简整理得：()22sin 36cos 90t t θθ++-=， 设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、，
则(
)
2
2
36cos 36sin 31440θθ∆=++=>恒成立，1212
226cos 9,sin 3sin 3t t t t θθθ--+=
=++，
12122
12sin 3
PA PB t t t t θ∴+=+=-==+， []2sin 0,1θ∈，
[]3,4PA PB ∴+∈.
【名师点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化及直线参数方程参数几何意义的应用，属于基础题.
(1)由22sin cos 1θθ+=，消参即可得普通方程；
(2)由直线的参数方程与椭圆方程联立，利用直线参数的几何意义，可知1212PA PB t t t t +=+=-，从而得解.
3．在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，直线l
的参数方程为y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t
为参数)．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P
的极坐标为π2⎫⎪⎭
． (1)求点P 的直角坐标，并求曲线C 的普通方程；
(2)设直线l 与曲线C 的两个交点为A ，B ，求PA PB +的值．
考向四 极坐标方程与参数方程的综合应用
参数方程与极坐标方程在高考中往往综合考查，各自的特征都较为突出，都是极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程方程转化为普通方程，最后转化为平面几何知识进行解决.
典例5 在直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程为cos x y α
α
=⎧⎪⎨
=⎪⎩(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C
的极坐标方程为cos()4
ρθπ
-= (1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
(2)已知点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．
【答案】(1)
2
21
3
y
x+=，60
x y
+-=；(2)最小值为22，点P的直角坐标为
13
(,)
2
2
．
【解析】(1)由
cos
3sin
x
y
α
α
=
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
可得22
()1
3
x+=，即
2
21
3
y
x+=，
故曲线1
C的普通方程为
2
21
3
y
x+=，
由cos()32
4
ρθ
π
-=可得22
cos sin32
ρθρθ
+=，即
22
32
x y
+=，即60
x y
+-=，故曲线2
C的直角坐标方程为60
x y
+-=．
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos,3sin)
αα，
因为曲线2
C是直线，
所以||
PQ的最小值即点P到直线60
x y
+-=的距离的最小值，
易得点P到直线60
x y
+-=的距离为
|cos3sin6|
2|sin()3|
6
2
d
αα
α
+-π
==+-，
当且仅当2()
3
k k
α
π
=π+∈Z时，d取得最小值，即||
PQ取得最小值，最小值为22，此时点P的直角坐标为
13
(,)
22
．
4．在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为
3cos
sin
x
y
θ
θ
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
(θ为参数)，将曲线C上的点按坐标变换
3
3
x x
y y
⎧
'
='
=
⎪
⎨
⎪
⎩
得到曲线C'，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.设A点的极坐标为
3
,π
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
.
(1)求曲线C'的极坐标方程；
(2)若过点A且倾斜角为
π
6
的直线l与曲线C'交于,
M N两点，求AM AN
⋅的值.
1
．在极坐标系中，已知点π2A ⎫
⎪⎭
，B (1，π)，C (1，0). (1)求A ，B ，C 三点的直角坐标；
(2)已知M 是△ABC 外接圆上的任意一点，求|MA |2＋|MB |2＋|MC |2的值.
2．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 过点(1,0)且倾斜角为60°，曲线C
的参数方程为2cos x y α
α
=⎧⎪⎨
=⎪⎩(α为参数).
(1)以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； (2)求直线l 被曲线C 所截得的线段的长度.
3．已知平面直角xOy 中，曲线1C 的参数方程为2x t
y t
=⎧⎨
=+⎩(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2
cos 2sin 0ρθθ-=,已知()0,2P ，若1C 与2C 交于A ，B 两
点，M 是线段AB 的中点. (1)求1C 和2C 的直角坐标方程； (2)求线段PM 的长.
4．已知圆的极坐标方程为：2
π8sin()1206
ρρθ--+=． (1)将极坐标方程化为普通方程；
(2)若点(),P x y 1y +-的最大值和最小值．
5．已知曲线1C 的极坐标方程为1ρ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，点M 为曲线1C 上的动点，点M 在x 轴上的射影为点N ，且满足OQ OM ON =+. (1)求动点Q 的轨迹2C 的方程；
(2)直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 12ρθρθ-=，点P 为直线l 上的动点，求PQ 的最小值.
6．如图所示，已知曲线C 1
ρ
=，点2,2P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，以极点为原点，
极轴为x 轴建立平面直角坐标系xOy ．
(1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)已知直线l 的参数方程为3,
{
24x t y t
=-=+，(t 为参数)，若直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，求
11PM PN
+的值．
7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos ,
sin .
x t y t αα=+⎧⎨
=⎩(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C ：4cos ρθ=. (1)求曲线2C 的直角坐标方程；
(2)若点1,0A ，且1C 和2C 的交点分别为点M ，N ，求11
AM AN
+的取值范围.
8．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴
的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 2tan (0)a a ρθθ=>． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)设(1,0)P ，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，若PM ，MN ，PN 成等比数列，求实数a 的值．
9．已知直线l 过定点()1,1P ，且倾斜角为
4
π
，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ=+．
(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程：
(2)若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A 、B ，求AB 及PA PB ⋅的值．
10．在平面直角坐标系 xOy 中，直线l
的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数).以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为()2cos 0a a ρθ=>，且曲线 C 与直线l 有且仅有一个公共点. (1)求a ；
(2)设,A B 曲线 C 上的两点，且3
AOB π
∠=，求OA OB +的最大值．
11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的方程为：20x --=，直线l
上一点(5P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.
(1)判断曲线C 的形状并求出曲线C 的直角坐标方程； (2)直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求PA PB ⋅的值.
12．曲线1C ：2121
x t y t =+⎧⎨=-⎩(其中t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极
坐标系，曲线2C ：()2cos 0a a ρθ=>关于1C 对称. (1)求曲线1C 的普通方程，曲线2C 直角坐标方程；
(2)将2C 向左平移2个单位长度，
按照12x x y y ⎧=⎪⎪
⎨=''⎪⎪⎩
变换得到3C ，点P 为3C 上任意一点，求点P 到曲线1
C 距离的最大值.
13．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为12
1x y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
(t 为参数)，圆C 的方程为22(2)(1)5x y -+-=.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线l 及圆C 的极坐标方程；
(2)若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求cos AOB ∠的值.
14．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为1x t y t =⎧⎪
⎨=⎪⎩
(t 为参数且0t >)，以坐标原点为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C 上的点的极径的最小值；
(2)
直线22
:2x m l y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(m 为参数)，已知点(2,0)A ，若直线l 与曲线C 有唯一公共点B ，求||AB .
15．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin .x t y t αα=+⎧⎨=+⎩
，
(t 为参数，0πα≤<)，以原点为极
点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
212
3sin ρθ
=
+，直线l 与曲线C 的交点
为A ，B . (1)若π
2
α=
，求AB ；
(2)设点()1,1P ，求PA PB PA PB
－的最小值.
1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13,
24x t y t
=+=+⎧⎨⎩(t 为参数)，则点(1，0)到直线l 的距离
是 A ．
15
B ．
25
C ．
45
D ．
65
2．【2018年高考北京卷理数】在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =__________．
3．【2017年高考北京卷理数】在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为(1，0)，则|AP |的最小值为__________．
4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
．
(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．
2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
，2cos sin 110ρθθ++=
5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． (1)当0=
3
θπ
时，求0ρ及l 的极坐标方程； (2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．
6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4
C 3π
，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2
π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．
(1)分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；
(2)曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =
P 的极坐标．
7．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,
,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭
，直线l 的方程为sin 34
ρθπ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭
．
(1)求A ，B 两点间的距离； (2)求点B 到直线l 的距离．
8．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．
(1)求2C 的直角坐标方程；
(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．
9．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
2cos
4sin
xθ
yθ
=
⎧
⎨
=
⎩
，
(θ为参数)，直线
l的参数方程为
1cos
2sin
x tα
y tα
=+
⎧
⎨
=+
⎩
，
(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
10．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】在平面直角坐标系xOy中，O
⊙的参数方程为
cos
sin
x
y
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
，
(θ为参数)，过
点(0，且倾斜角为α的直线l与O⊙交于A B，两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
11．【2018年高考江苏卷数学】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26
ρθ-=，曲线C 的方程为ρ=
4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．
12．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,
sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩
(θ为参数)，直
线l 的参数方程为4,
1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩
（为参数）．
(1)若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；
(2)若C 上的点到l a ．
13．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
(2)设点A 的极坐标为(2,)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．
14．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,
,x t y kt =⎧⎨=⎩
(t 为参数)，直线l 2
的参数方程为2,,x m m m
y k =-+⎧⎪
⎨=⎪⎩
（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (1)写出C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设(
)3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．
15．【2017年高考江苏卷数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82
x t t
y =-+⎧⎪
⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C
的参数方程为2
2x s
y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．
16．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k k
x t y t
⎧=⎪
⎨=⎪⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． (1)当1k =时，1C 是什么曲线？
(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．
17．【2020年高考全国II卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)已知曲线C1，C2的参数方程分别为
C1：
2
2
4cos
4sin
x
y
θ
θ
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
(θ为参数)，C2：
1
,
1
x t
t
y t
t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
(t为参数)．
(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且
经过极点和P的圆的极坐标方程．
18．【2020年高考全国III卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
2
2
2
23
x t t
y t t
⎧=--
⎪
⎨
=-+
⎪⎩
(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A、B
两点．
(1)求||
AB；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
19．【2020年高考江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π
(,)6
B ρ在圆:4sin
C ρθ=上(其中0ρ≥，
02θ≤<π)．
(1)求1ρ，2ρ的值；
(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．
1．【答案】(1)22:1C x y +=' (2)22
31()2
4
x y -+= 【分析】
(1)根据坐标变换，代入变换方程，即可得到变换后的参数方程，进而转化为普通方程．
(2)根据中点坐标公式求出P 点的参数方程，代入普通方程得到中点的轨迹，再化为标准方程即可． 【详解】
(1)将32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩代入1'3
1'2x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
得'C 的参数方程为x cos y sin θ
θ
=⎧⎨
=⎩，
∴曲线'C 的普通方程为2
2
1x y +=.
(2)设(),P x y ，()00,A x y ，又()3,0B ，且AB 中点为P ， 所以有：00
23
2x x y y =-⎧⎨
=⎩，
又点A 在曲线'C 上，∴代入'C 的普通方程22
001x y +=得
()()
22
2321x y -+=，
∴动点P 的轨迹方程为2
23124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭. 【点睛】
本题主要考查了利用迭代法求方程的方法，参数方程与普通方程间的转化，属于简单题． 2．【答案】(1)22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=；(2)直线l 与曲线C 相交，公共弦的长为2. 【分析】
(1)将22(1)(1)3x y -++=化为222210x y x y +-+-=，代入极坐标公式即得解； (2)联立()4
R π
θρ=∈和圆的极坐标方程求出11ρ=，21ρ=-，即可判断直线和圆相交，再求弦长得
解. 【详解】
(1)将22(1)(1)3x y -++=化为222210x y x y +-+-=， 化为极坐标方程为2
2cos 2sin 10ρρθρθ-+-=； (2)将4
π
θ=
代入2
2cos 2sin 10ρρθρθ-+-=得，2
10ρ-=，
0∆>，所以方程210ρ-=有2个不同的根11ρ=，21ρ=-，
所以直线l 与曲线C 相交，公共弦的长为122ρρ-=.
【点睛】
方法点睛：求极坐标方程里的弦长常用的方法有：(1)都化为直角坐标方程，再利用弦长公式求解；(2)直接利用极坐标方程求解.
3．【答案】(1)(P ，22194x y +=；(2)
13
. 【分析】
(1)由cos ,sin x y ρθρθ==即可求出P 的直角坐标，利用22cos sin 1ϕϕ+=消去参数ϕ即得曲线C 的普通方程；
(2)将直线参数方程代入曲线C ，利用1212t t t t PA B P =+-+==.
【详解】
解：(1)02
x π
=
=，2
y π
==
∴P 的直角坐标为(P ，
由3cos 2sin x y ϕϕ
=⎧⎨=⎩，得cos 3x ϕ=，sin 2y
ϕ=．
∴曲线C 的普通方程为22
194
x y +=．
(2)
将x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
代入
2222
149369422x y t t ⎛⎫⎫+=⇒-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 化简得21336360t t +-=， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 则123613t t +=-
，1236
13
t t ⋅=-． ∵P 点在直线l 上，
∴
1212t t t t PA B P =+-+==
13==
． 【点睛】
关键点睛：本题考查参数方程中参数的几何意义的应用，解题的关键是联立直线与曲线，利用参数的集
合意义得出1212t t t t PA B P =+-+==.
4．【答案】(1)1ρ=；(2)5
4
. 【分析】 (1)
将 x y y ''
⎧=⎪
⎨
=⎪⎩，代入曲线C 的普通方程，求得C
'的普通方程，再由ρ=.
(2)根据A 在直角坐标为3,02
⎛⎫- ⎪⎝⎭
和倾斜角为π6
，得到直线l 的参数方程，代入22
:1C x y +=，利用参数的几何意义结合韦达定理求解. 【详解】
(1)曲线C 的普通方程为：2
213
x
y +=，
将曲线C
上的点按坐标变换x x y y ⎧'='=
⎪⎨⎪⎩
，
得到x y y ''
⎧=⎪⎨=⎪
⎩，代入得2
2)13y ''+=，
所以C '的方程为：221x y +=. 化为极坐标方程为：1ρ= .
(2)点A 的直角坐标为3,02
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，因为直线l 过A 且倾斜角为
π6
， 设直线l
的参数方程为3212x y t
⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
代入2
2
:1C x y +=
得：25
04
t -
+=， 设两点对应的参数分别为12,t t
，则12125
24
t t t t +==. 所以125
4
AM AN t t ⋅== 【点睛】
结论点睛：直线参数方程中的t 的几何意义是t 代表直线上定点到直线上另一个点的距离，这个几何意义必须是在直线参数方程为标准参数方程下成立.
1．【答案】(1)(0A ，(10)B -，
，(10)C ，；(2)8. 【分析】
(1)根据极坐标与直角坐标的互化公式cos ρθ=，sin ρθ=计算可得结果；
(2)利用三角形△ABC 的外接圆的参数方程设M 的坐标，然后用两点间的距离公式计算可得结果. 【详解】 (1)由π2A ⎫⎪⎭知ρ=2
πθ=，所以π02A x ==，π
2A
y (0A ， 由(1
π)B ，知1ρ=，θπ=，所以1cos π1B x ==- ，1sin π0B y == ，所以(10)B -，， 由(1
0)C ，知1ρ=，0θ=，1cos01C x == ，1sin 00C y == ，所以(10)C ，.
所以A ，B ，C
三点的直角坐标分别为(0A ，(10)B -，
，(10)C ，. (2)
因为||2AB ==
，||2AC ==
，||2BC ==， 所以ABC 是边长为2
的等边三角形，故外接圆圆心坐标为10O ⎛ ⎝⎭
，
外接圆半径为
2π
2sin
3
r =
=
所以外接圆的参数方程为()x y ααα⎧=
⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，为参数，，
设(
cos ,sin )333
M αα+，
所以222
22
4cos 4sin 8sin 4||)3333MA ααααα=+=+-+，
222
22
4cos 4sin 4sin 1||1))13333
MB ααααα=++=+++，
222
22
4cos 4sin 4sin 1||1))13333
MC ααααα=-+=+++，
所以222||||||MA MB MC ++=224cos 4sin 48αα++=. 【点睛】
关键点点睛：第(2)问利用三角形△ABC 的外接圆的参数方程设M 的坐标，然后用两点间的距离公式计算是解题关键. 2．【答案】(1)2212
3sin ρθ=+；
(2)165
. 【分析】
(1)把曲线C 的参数方程化为普通方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得曲线C 的极坐标方程； (2)设出直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，由根与系数的关系以及弦长公式得出线段的长度． 【详解】
(1)因为曲线C
的参数方程为2cos x y α
α
=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数).
所以其普通方程为22
143
x y +=，
将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得曲线C 的极坐标方程为
2212
3sin ρθ
=
+.
(2)因为直线l 过点(1,0)且倾斜角为60︒，
则直线l
的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
(t 为参数). 将直线的参数方程代入曲线C 的方程22
143
x y +=中，可得254120t t +-=.
设1t 2t 为方程254120t t +-=的两个根， 则1245t t +=-
，1212
5
t t =-
. 所以直线被曲线C 所截得的线段的长度为
12165t t -=
==
.
【点睛】
方法点睛：本题考查参数方程和普通方程的互化，考查极坐标方程和普通方程的互化，考查直线的参数方程，过点()00,P x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为00cos sin x x t y y t α
α=+⎧⎨=+⎩
(t 为参数)，设12,P P 为直线上
两点，所对应的参数分别为12,t t ，则 1.1212PP t t =-； 2.0102P P P P +=12t t +； 3.0102P P P P ⋅=12t t ．
3．【答案】(1)2y x =+，22x y =
；【分析】
(1)将曲线1C 的参数方程中的参数消去可得1
C 的直角坐标方程，将2cos 2sin 0ρθθ-=方程两边同乘
以ρ，得2
2
cos 2sin 0ρθρθ-=，再代入cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩可得2
C 的直角坐标方程. (2)设1 C
参数方程为222x y ''⎧=
⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
， 代入曲线2 C
中整理得280t ''--=，设A ，B 两点所对应的参数分别为1t '，2t '
，根据据韦达定理和弦的中点的参数可得答案. 【详解】
(1)因为曲线1C 的参数方程为2x t
y t
=⎧⎨
=+⎩(t 为参数)，所以消去t 得：1 C 的直角坐标方程为：2y x =+，
将2
cos 2sin 0ρθθ-=方程两边同乘以ρ，得2
2
cos 2sin 0ρθρθ-=，再代入cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
得，2
C 的直角坐标方程为：2
2x y =.
(2)设1 C
参数方程为222x y ''⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
， 代入曲线2 C
中整理得280t ''--=， 设A ，B 两点所对应的参数分别为1t '，2t '
，据韦达定理有12t t ''
+=128t t ''⋅=-，
故12||
||2
t t PM ''+==【点睛】
本题考查直线的参数方程与普通方程的互化，以及抛物线的极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，记准转化公式，注意直线的参数方程中的参数的意义是解决问题的关键，属于中档题. 4．【答案】
(1)224120y x x +-++=；(2)最大值为3，最小值为5-． 【分析】
(1)将2
π8sin()1206
ρρθ--+=先由两角差的余弦公式展开，再化为普通方程．
(2)
由题可知圆的参数方程为2cos 2
2sin x y θθ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)，因为点(,)P x y
在该圆上，所以
(2cos 2,2sin P θθ-+
π
14sin()13
y θ+-==+-，从而得出答案．
【详解】
解：(1)由圆的极坐标方程为：2
π8sin()1206
ρρθ--+=，
可得21
8(
cos )12022
ρρθθ--+=，
即2sin 4cos 120ρθρθ-++=，
所以直角坐标方程为224120y x x +-++=． (2)
圆的方程为222)(4(x y ++-=，
所以圆的参数方程为2cos 2
2sin x y θθ=-⎧⎪⎨
=+⎪⎩θ为参数，θ∈R )， 因为点(),P x y
在该圆上，所以(2cos 2,2sin P θθ-+，
12sin 1y θθ+-=-+
1
2sin 1sin )12
θθθθ=+-=+- π
4sin()13
θ=+-
∵R θ∈，∴π
sin()3
θ+
的最大值为1，最小值为1-，
1y +-的最大值为3，最小值为5-． 【点睛】
准确掌握极坐标方程与普通方程的互化公式，与圆锥曲线有关的最值问题可转化为三角函数求最值．
5．【答案】(1)2214x y +=；
(2)min 13
PQ =
【分析】
(1)利用向量关系将M 的坐标用Q 表示出来，再代入1C 方程即可求出；
(2)得出l 的直角坐标方程为23120x y --=，设()2cos ,sin Q αα，利用点到直线距离公式即可求出. 【详解】
解：(1)可得1C 的直角坐标方程为2
2
1x y +=，。