甘肃省岷县一中2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题 理

2017-2018年第二学期期末考试题
高二数学（理）
附：独立性检验临界值表
2
2
()()()()()()
a b c d ad bc a b c d a c b d χ+++-=++++
最小二乘法求线性回归方程系数公式,)()
)((ˆ2
1
1
x x y y x x b
i n
i i i i -∑--∑===x b y a
ˆˆ-=
一．选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分） 1. 已知
i b i
i
a +=+2（R
b a ∈,）
，其中i 为虚数单位，则=+b a （ ） A.1 B.2 C.1- D.3
2.已知21()n x x
+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数为（ ） A ．5
B ．20
C ．10
D ．40
3.2637--与的大小关系为（ ） A. 2637->- B. 2637-<-
C. 2637-=-
D.大小关系不确定
4.曲线2
+=
x x
y 在点)1,1(--处的切线方程为（ ） A.012=+-y x B. 012=--y x C.032=++y x
D. 022=++y x
5.实验测得四组),(y x 的值是(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)，则y 与x 之间的回归直线的方程是（ ）
A ．1ˆ-=x y
B ．2ˆ+=x y
C ．12ˆ+=x y
D ．1ˆ+=x y
6. 5个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有1人，则不同的站法种数有（ ） A ．18种
B ．26种
C ．36种
D ．48 种
7. 设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的斜率是b ，纵截距是a ，那么必有（ ） A ．b 与r 的符号相同 B ．a 与r 的符号相同 C ．b 与r 的相反
D ．a 与r 的符号相反
8. 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（ ） A ．30种 B ．60种 C ．90种 D ．150种
9.已知随机变量ξ服从正态分布N (2,2σ),且P (ξ4<)=8.0,则P (<0ξ2<)等于（ ） A ．6.0
B ．4.0
C ．3.0
D ．2.0
10. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ， （,,(0,1)a b c ∈），已知他投篮一次得分的均值为2，则
21
3a b
+的最小值（ ） A ．
16
3
B ．
283 C ．143 D ． 323
11. 从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数中任选三个构成数列，其中构成的数列是等比数列的个数为 （ ） A. 6
B. 8
C.4
D.3
12.设x e x g x
e x x
f x
=+=-)(,)(2
2，对任意R x x ∈21,，有1)()(21+≤k x g k x f 恒成立，则正数k 的取值范围是（ ） A ．)1,0( B ．),0(+∞
C ．),1[+∞
D ．),1
21[
2
+∞-e
二．填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）
13．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则P (A B |)= _____________ .
14．若曲线1
y x
=
与直线0,1,y x x a ===，所围成封闭图形的面积为2，则a =_________． 15. 函数x x x f ln 2)(2
-=的单调递增区间是_______________.
16. 若2
222)2(321)(n n f +⋅⋅⋅+++=，则)1(+k f ，与)(k f 的递推关系式是_________． 三．解答题（本大题共6个小题，其中17题10分，其余各题均为12分，共70分）
17.(本小题10分)
有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求符合下列要求的选法种数：
（1）3个女生中女生甲必须担任语文课代表； （2）有女生但人数必须少于男生.
18. (本小题12分)
甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多
2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 1
()2
p p >，且各局胜负相互独立．已知
第二局比赛结束时比赛停止的概率为59
． （1）求p 的值；
（2）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求ξ的分布列和数学期望E ξ． 19. (本小题12分)
已知数列{}n a 满足.12+=+n a S n n （1）写出,,,321a a a 并推测n a 的表达式； （2）用数学归纳法证明所得的结论．
20. (本小题12分)
已知函数0,13)(3
≠--=a ax x x f . （1）求)(x f 的单调区间；
（2）若)(x f 在1-=x 处取得极值，直线m y =与)(x f y =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围.
21. (本小题12分)
在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人.女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休
闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动. （1）根据以上数据建立一个2×2的列联表.
（2）判断性别与休闲方式是否有关系.
22．(本小题12分) 已知函数2
()ln a a
f x x x x =-
+(a R ∈). （1）若1a =,求函数()f x 的极值；
（2）若()f x 在[1,)+∞内为单调增函数，求实数a 的取值范围； （3）对于n N *∈,求证:
)1ln()
1(....)13(3)12(2)11(12
222+<+++++++n n n
.
高二数学答案 (理科)
一．选择题
1-5：ACBAD 6-10：CADCA 11-12：BC 二．填空题 13.
41 14. 21
e
或2e 15. ),2
1[+∞ 16.2
2
)22()12()()1(++++=+k k k f k f 三．解答题
17. 解：（1）共有8404
447=⋅A C 种排法. ……………5分
（2）先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，有1
3452335C C C C +， 后排有55A 种，共有5400)(5
513452335=⋅+A C C C C 种排法. ……………10分
18. 解：(1) …………………………4分
19. (2) 随机变量的分布列为：
……… ………8分
…… ………4分
19.(1)由S n +a n =2n+1得a 1=
23， a 2=47，a 3=8
15 ∴a n =n
n n 21
22121-=-+ ……… ………12分
(2)证明：当n=1时，命题成立 假设n=k 时命题成立，即a k =122k
-
当n=k+1时，a 1+a 2+…+a k +a k+1+a k+1=2(k+1)+1 ∵a 1+a 2+…+a k =2k+1-a k
∴2a k+1=4-k 21 ∴a k+1=2-
1
2
1
+k 成立
根据上述知对于任何自然数n ，结论成立 ……… ………12分
20.解：（1）).(333)(2
2
a x a x x f -=-='
当0<a 时，对R x ∈，有0)(>'x f ，所以，当0<a 时，)(x f 的单调增区间为),(+∞-∞. 当0>a 时，由0)(>'x f 解得a x -<，或a x >
，由0)(<'x f 解得a x a <<-，
所以，当0>a 时，)(x f 的单调增区间为),(),,(+∞--∞a a
)(x f 的单调减区间为),(a a -. ………………6分
（2）因为)(x f 在1-=x 处取得极值，1,03)1(3)1(2
=∴=--⨯=-'a a f
33)(,13)(23-='--=∴x x f x x x f ，由0)(='x f 解得，1,121=-=x x ，
由（1）中的单调性知，)(x f 在1-=x 处取得极大值1)1(=-f ， 在1=x 处取得极小值3)1(-=f .
因为直线m y =与)(x f y =的图象有三个不同的交点，
结合)(x f 单调性可知m 的取值范围是)1,3(-. ………………12分 21. 解：(1)2×2的列联表如下：
……………………………………………………4分 (2)假设“休闲方式与性别无关”， 计算k=
≈6.201，因为k>5.024，………………………………8分
所以，有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“休闲方式与性别有关”. …………………………12分
22.
取
1
()
n
x n N
n
*
+
=∈,
1
1
n
n
+
>
2
22
1
ln
1(1)(1)
n n n n
n n n n
+
∴>-=
+++ 2
1
231
ln ln ln ln(1)
12
(1)
n i
i n
n
n
i
=+
∴<+++=+
+
∑…………………………………………12分。