[原创]2012年《高考风向标》高考文科数学一轮复习 第一章 第2讲 充分条件与必要条件 [配套课件]

误解分析：用向量研究一个角是钝角的充要条件时 忽视共线情况， → ·AC <0 只是∠BAC 是钝角的一个必 即AB → 要条件． → → → → → → 正解：AB＝OB－OA＝(2,3)，AC＝OC－OA＝(t－1， －2)， → → 因使∠BAC 是钝角的充要条件是AB·AC<0 又 A、B、C 三点不共线， ∴2(t－1)－6<0,2×(－2)≠3(t－1)， 1 解得 t<4 但 t≠－3. 1 ∴使∠BAC 是钝角的充要条件是 t<4 但 t≠－3.
1．证明充要性要从充分性、必要性两个方面来证明． 2 ．掌握用反证法证题的题型，如含有“至少有一 个”“至多有一个”等字眼．正难反易，多用反证法．
→ → → 解析：(1)∵OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5
－m，－3－m)，
→ → ∴AB＝(3,1)，AC＝(2－m,1－m)． 点 A、B、C 能构成三角形⇔A、B、C 三点不共线 2－m 1－m 1 ⇔ 3 ≠ 1 ，即 m≠2. 1 ∴点 A、B、C 能构成三角形的充要条件是 m≠2. → → (2)∠A 为直角的充要条件是AB·AC＝0， 7 ∴3(2－m)＋(1－m)＝0，得 m＝4. 在△ABC 中，∠A 为直角的充要条件是 → → AB·AC＝0.
考点 2 求充要条件 → → → 例 2：已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝ (5－m，－3－m)．
(1)求点 A、B、C 能构成三角形的充要条件； (2)求∠A 为直角的充要条件．
解题思路：点 A、B、C 能构成三角形的充要条件 是三点不共线．直角即垂直，可转化为向量的数量积．
1 1 3．“sinα＝2”是“cos2α＝2”的 A ） （
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1 1 解析：cos2α＝1－2sin α＝2⇔sinα＝±2.
2
4．设集合 U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x －y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点 P(2,3)∈ A∩(∁的充要条件是 ( B) A．m＜－1，n＜5 B．m＞－1，n＜5 C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞5 解析：∵∁UB＝{(x，y)|n＜x＋y}，将 P(2,3)分别代入 集合 A、∁UB 取交集即可．
(2)充分性，即“若 a＋b＋c＝0，则 x＝1 是方程 ax2 ＋bx＋c＝0 的根”．把 x＝1 代入方程的左边，得 a·12＋b·1 ＋c＝a＋b＋c.∵a＋b＋c＝0，∴x＝1 是方程的根． 综合(1)(2)知命题成立．
错源：误把必要条件当成充要条件 例 3：已知点 A 的坐标为(1,2)，点 B 的坐标为(3,5)， 点 C 的坐标为(t,0)，求使∠BAC 是钝角的充要条件．
【互动探究】 3．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n＋m(m 为常数)， 问：m＝－1 是数列{an}成等比数列的什么条件？ 解：m＝－1 时，Sn＝2n－1，当 n＝1 时，a1＝S1＝2 －1＝1； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n 1＝2n 1. 所以 an＝2n 1(n∈N*)，即数列{an}成等比数列． 所以 m＝－1 是数列{an}成等比数列的充分条件．
)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若 a∈R，则“a(a－3)<0”是“关于 x 的方程 x2 －ax＋a＝0 没有实数根”的( ) A A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：方程 x2－ax＋a＝0 没有实数根的充要条件是 a2－4a<0，即 0<a<4.
1 2 解题思路：x0 是二次函数 y＝2ax －bx 的极值点． 1 2 1 b2 b2 解析：由于 a>0，令 y＝2ax －bx＝2ax－a －2a， b 此时函数对应的开口向上，当 x＝a时，取得最小值 b2 b －2a，而 x0 满足关于 x 的方程 ax＝b，那么 x0＝a. 1 2 b2 因2ax0－bx0＝－2a＝ymin， 所以对于任意的 x∈R，都有
例 4：(2011 年湖南长沙 3 月模拟)已知 a＞0，则 x0 满足关于 x 的方程 ax＝b 的充要条件是( 1 2 1 2 A．∃x∈R，2ax －bx≥2ax0－bx0 1 2 1 2 B．∃x∈R，2ax －bx≤2ax0－bx0 1 2 1 2 C．∀x∈R，2ax －bx≥2ax0－bx0 1 2 1 2 D．∀x∈R，2ax －bx≤2ax0－bx0 )
①② 5．在下列四个结论中，正确的有______.(填序号) ①若 A 是 B 的必要不充分条件，则非 B 也是非 A 的 必要不充分条件； ②“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件． 解析：①正确，因原命题与其逆否命题等价；x≠0 ⇒/ x＋|x|＞0，反例 x＝－2，x＋|x|＝0.但 x＋|x|＞0⇒x＞0 ⇒x≠0.故②正确．
【互动探究】 2．求证：关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 有一根为 1 的 充分必要条件是 a＋b＋c＝0. 证明：(1)必要性，即 “若 x＝1 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的根，则 a＋b＋c＝ 0”． ∵x＝1 是方程的根，将 x＝1 代入方程，得 a·12＋b·1＋c＝0，即 a＋b＋c＝0.
2 则有 a1a3＝a2， 另一方面， 当数列{an}成等比数列时，
－ － －
而 a1＝S1＝2＋m，a2＝S2－S1＝22－2＝2， a3＝S3－S2＝23－22＝4，由 4(2＋m)＝22，解得 m＝ －1. 即 m＝－1 是数列{an}成等比数列的必要条件． 综上所述，m＝－1 是数列{an}成等比数列的充要条 件．
考点 1 条件的充分性和必要性的判断 例 1：设 p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1 在(－∞，＋∞) 4 内单调递增，q：m≥3，问：p 是 q 的什么条件？ 解题思路：通过导数来研究函数的单调性． 解析：f ′(x)＝3x2＋4x＋m， 若 p 成立，则 f′(x)＝3x2＋4x＋m≥0 恒成立， 4 只须 ∆＝42－4×3m≤0，即 m≥3.
第 2 讲 充分条件与必要条件
充分 1．如果 p⇒q，则 p 叫 q 的______条件． 必要 2．如果 q⇒p，则 p 叫 q 的______条件． ⇒ 3．如果既有 p⇒q，又有 q⇒p，记作 p⇔q，则 p 叫 充分必要 做 q 的___________条件．
1．“x>1”是“x2>x”的( A
故 p 是 q 的充分必要条件. 三次函数在(－∞，＋∞)内单调递增的充要 条件是 f′(x)≥0 恒成立． 【互动探究】 1．(2011 年北京 4 月模拟)对于非零向量 a、b，“a A ＋b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
1 2 b2 1 2 y＝2ax －bx≥－2a＝2ax0－bx0. 选 C.
点评：处理二次函数的极值问题，可以通过求导或配 方法解决．本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要 条件知识，考查了学生构造二次函数解决问题的能力．
【互动探究】 4．若非空集合 A、B、C 满足 A∪B＝C，且 B 不是 A 的子集，则( B ) A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件 D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x ∈A”的必要条件 解析：∵A∪B＝C，∴A⊆C，∴x∈A⇒x∈C，∵B 不 是 A 的子集，∴x∈C⇒/ x∈A.