专题21.2一元二次方程的解法：直接开平方法与配方法-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题21.2一元二次方程的解法：直接开平方法与配方法姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•南平期末）关于x的一元二次方程x2＝1的根是（）
A．x＝1B．x1＝1，x2＝﹣1C．x＝﹣1D．x1＝x2＝1
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解析】：∵x2＝1，
∴x1＝1，x2＝﹣1，
故选：B．
2．（2021•南充一模）方程（9x﹣1）2＝1的解是（）
A．x1＝x2=1
3B．x1＝x2=
2
9
C．x1＝0，x2=2
9D．x1＝0，x2=−
2
9
【分析】利用直接开平方法求解即可．【解析】：∵（9x﹣1）2＝1，
∴9x﹣1＝1或9x﹣1＝﹣1，
解得x1＝0，x2=2 9，
故选：C．
3．（2020秋•高邮市期末）若一元二次方程（x﹣2）2＝9可转化为两个一元一次方程，一个一元一次方程是x﹣2＝3，则另一个一元一次方程是（）
A．x﹣2＝3B．x﹣2＝﹣3C．x+2＝3D．x+2＝﹣3
【分析】直接开平方即可得．
【解析】：原方程两边开方可得：x﹣2＝±3，
即x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
故选：B．
4．（2020秋•绿园区期末）若一元二次方程（x+6）2＝64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝8，则另一个一元一次方程是（）
A．x﹣6＝﹣8B．x﹣6＝8C．x+6＝8D．x+6＝﹣8
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解析】：∵（x+6）2＝64，
∴x+6＝8或x+6＝﹣8，
故选：D．
5．（2020秋•南海区期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，配方后所得方程为（）A．（x+1）2＝0B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝2D．（x﹣1）2＝2
【分析】先把常数项1移到方程右边，再把方程两边加上，然后根据完全平方公式得到（x﹣1）2＝2．【解析】：x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，
（x﹣1）2＝2．
故选：D．
6．（2020秋•兰陵县期末）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，方程应变形为（）
A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝10C．（x﹣6）2＝10D．（x﹣6）2＝8
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解析】：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x+9＝8，
∴（x﹣3）2＝8，
故选：A．
7．（2020秋•朝阳区期末）用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，将方程变为（x﹣m）2=1
3的形式，则m的值为
（）
A．9B．﹣9C．1D．﹣1【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可求出m的值．【解析】：方程3x2﹣6x+2＝0，
变形得：x2﹣2x=−2 3，
配方得：x2﹣2x+1=1
3，即（x﹣1）
2=1
3，
故选：C．
8．（2019春•西湖区校级月考）若P=1
3m﹣2，Q＝2m
2−2
3m+1，则P，Q的大小关系是（）
A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．不能确定
【分析】利用求差法比较大小，计算Q﹣P＝2m2−2
3m+1﹣（
1
3
m﹣2），利用配方法得到Q﹣P＝2（m−
1
2）
2+5
2，然后利用非负数的性质可确定P与Q的大小．
【解析】：Q﹣P＝2m2−2
3m+1﹣（
1
3
m﹣2）
＝2m2﹣m+3
＝2（m2−1
2m+
1
4
−14）+3
＝2（m−1
2）
2+5
2，
∵2（m−1
2）
2≥0，
∴2（m−1
2）
2+5
2＞0，
∴Q﹣P＞0，
即Q＞P．
故选：B．
9．（2020春•邗江区期中）关于代数式﹣x2+4x﹣2的取值，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣2B．有最大值2C．有最大值﹣6D．恒小于零
【分析】先利用配方法将代数式﹣x2+4x﹣2转化为完全平方与常数的和的形式，然后根据非负数的性质进行解答．
【解析】：∵﹣x2+4x﹣2
＝﹣（x2﹣4x+4）+4﹣2
＝﹣（x﹣2）2+2，
又∵（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2≤0，
∴﹣（x﹣2）2+2≤2，
∴代数式﹣x2+4x﹣2有最大值2．
10．若a，b，c是△ABC的三边长，且a2﹣15b2﹣c2+2ab+8bc＝0，则下列式子的值为0的是（）A．a+5b﹣c B．a﹣5b+c C．a﹣3b+c D．a﹣3b﹣c
【分析】用因式分解把已知等式转化为（a+5b﹣c）（a﹣3b+c）＝0，再由三角形的三边关系得a+5b﹣c ＞0，进而得出结论．
【解析】：∵a2﹣15b2﹣c2+2ab+8bc＝0，
∴（a2+2ab+b2）﹣（16b2﹣8bc+c2）＝0，
∴（a+b）2﹣（4b﹣c）2＝0，
∴（a+5b﹣c）（a﹣3b+c）＝0，
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a+b＞c，
则a+5b＞c，
∴a+5b﹣c＞0，
∴a﹣3b+c＝0，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021•广东二模）方程x2﹣4＝0的解是±2．
【分析】首先移项可得x2＝4，再两边直接开平方即可．
【解析】：x2﹣4＝0，
移项得：x2＝4，
两边直接开平方得：x＝±2，
故答案为：±2．
12．（2020秋•岳阳县期末）方程25x2﹣9＝0的解是x1=3
5，x2=−
3
5．
【分析】先移项，再二次项的系数化成1，再开方，即可得出答案．【解析】：25x2﹣9＝0，
移项得：25x2＝9，
x2=9 25，
开方得：x＝±√9 25，
解得：x 1=35，x 2=−35，
故答案为：x 1=35，x 2=−35．
13．（2020秋•丘北县期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣a ＝0有一个根为x ＝2，则a 的值为 4 ．
【分析】把x ＝2代入方程得出4﹣a ＝0，再求出方程的解即可．
【解析】：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣a ＝0有一个根为x ＝2，
∴22﹣a ＝0，
解得：a ＝4，
故答案为：4．
14．（2020秋•龙湖区期末）若关于x 的方程（ax ﹣1）2﹣16＝0的一个根为2，则a 的值为
52或−32 ． 【分析】将x ＝2代入原方程即可求出a 的值．
【解析】：将x ＝2代入（ax ﹣1）2﹣16＝0，
∴（2a ﹣1）2﹣16＝0，
∴2a ﹣1＝±4，
∴a 1=52或a 2=−32，
故答案为：52
或−32． 15．（2019秋•渭滨区期末）如果方程x 2+4x +n ＝0可以配方成（x +m ）2＝3，那么（n ﹣m ）2020＝ 1 ．
【分析】先根据配方法求出m 、n 的值，再代入计算可得．
【解析】：∵x 2+4x ＝﹣n ，
∴x 2+4x +4＝4﹣n ，即（x +2）2＝4﹣n ，
又（x +m ）2＝3，
∴m ＝2，n ＝1，
则（n ﹣m ）2020＝（1﹣2）2020＝1，
故答案为：1．
16．（2020春•如皋市期末）已知方程x 2﹣6x ﹣2＝0，用配方法化为a （x +b ）2＝c 的形式为 （x ﹣3）2＝11 ． 【分析】方程移项后，两边加上一次项系数一半的平方，变形得到结果，即可作出判断．
【解析】：方程x 2﹣6x ﹣2＝0，
移项得：x 2﹣6x ＝2，
配方得：x2﹣6x+9＝11，即（x﹣3）2＝11．
故答案为：（x﹣3）2＝11．
17．（2020秋•大同区校级期中）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求xy＝﹣6．
【分析】先利用配方法对含x的式子和含有y的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出x和y的值，二者相乘可得答案．
【解析】：∵x2+y2﹣4x+6y+13＝0，
∴（x2﹣4x+4）+（y2+6y+9）＝0，
∴（x﹣2）2+（y+3）2＝0，
∵（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0，
∴（x﹣2）2＝0，（y+3）2＝0，
∴x﹣2＝0，y+3＝0，
∴x＝2，y＝﹣3．
∴xy＝2×（﹣3）＝﹣6．
故答案为：﹣6．
18．（2020•日照二模）对于实数p、q．我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，因此min{﹣π+2，−√3）＝−√3；若min{（x+1）2，x2}＝4，则x＝2或﹣3．
【分析】根据新定义运算即可求出答案．
【解析】：∵﹣π+2＞−√3，
∴min{﹣π+2，−√3}=−√3，
由于（x+1）2﹣x2＝x2+2x+1﹣x2＝2x+1，
当2x+1＞0时，
即x＞−1 2，
∴min{（x+1）2，x2}＝x2，∴x2＝4，
∴x＝2或x＝﹣2（舍去），当2x+1＜0时，
∴x＜−1 2，
∴min{（x+1）2，x2}＝（x+1）2，
∴（x+1）2＝4，
∴x+1＝±2，
∴x＝1（舍去）或x＝﹣3，当2x+1＝0时，
此时x=−1 2，
∴min{（x+1）2，x2}＝（x+1）2＝x2，
此时x2≠4，不符合题意，
综上所述，x＝2或x＝﹣3．
故答案为：−√3，2或﹣3．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021•兰州模拟）用配方法解方程：x2+27＝12x．
【分析】利用配方法求解即可．
【解析】：移项得x2﹣12x＝﹣27，
配方得x2﹣12x+36＝﹣27+36，
即（x﹣6）2＝9，
开方得x﹣6＝±3，
∴x1＝9，x2＝3．
20．（2021春•包河区期中）选择合适的方法解方程：
（1）2（x+3）2＝18；
（2）3x2﹣6x﹣4＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【解析】：（1）∵2（x+3）2＝18，
∴（x+3）2＝9，
∴x+3＝±3，
则x1＝0，x2＝﹣6；
（2）∵3x2﹣6x﹣4＝0，
∴3x2﹣6x＝4，
∴x 2﹣2x =43，
则x 2﹣2x +1=43+1，即（x ﹣1）2=73，
∴x ﹣1＝±
√213， ∴x 1＝1+√213，x 2＝1−√213．
21．（2019秋•惠山区校级月考）解方程：
（1）（x ﹣2）2﹣9＝0；
（2）x 2﹣2x ﹣5＝0．
【分析】（1）首先移项，把﹣9移到方程的右边，再两边直接开平方即可；
（2）方程移项后，利用配方法求出解即可．
【解析】：（1）移项得：（x ﹣2）2＝9，
两边直接开平方得：x ﹣2＝±3，
则x ﹣2＝3，x ﹣2＝﹣3，
解得：x 1＝5，x 2＝﹣1；
（2）（2）方程移项得：x 2﹣2x ＝5，
配方得：x 2﹣2x +1＝6，即（x ﹣1）2＝6，
开方得：x ﹣1＝±√6，
解得：x 1＝1+√6，x 2＝1−√6．
22．（2019春•正定县期末）“a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x 2+4x +5＝x 2+4x +4+1＝（x +2）2+1，∵（x +2）2≥0，∴（x +2）2+1≥1，∴x 2+4x +5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：x 2﹣4x +5＝（x ﹣2 ）2+ 1 ；
（2）已知x 2﹣4x +y 2+2y +5＝0，求x +y 的值；
（3）比较代数式：x 2﹣1与2x ﹣3的大小．
【分析】（1）根据配方法的方法配方即可；
（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x 、y 的值，再代入得到x +y 的值；
（3）将两式相减，再配方即可作出判断．
【解析】：（1）x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1；
（2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，
（x﹣2）2+（y+1）2＝0，
则x﹣2＝0，y+1＝0，
解得x＝2，y＝﹣1，
则x+y＝2﹣1＝1；
（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）
＝x2﹣2x+2
＝（x﹣1）2+1，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+1＞0，
∴x2﹣1＞2x﹣3．
故答案为：﹣2，1．
23．（2020春•成都期末）（1）已知：a（a+1）﹣（a2+b）＝3，a（a+b）+b（b﹣a）＝13，求代数式ab的值．
（2）已知等腰△ABC的两边分别为a、b，且a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，求△ABC的周长．【分析】（1）首先将已知条件化简，进而得出a2﹣2ab+b2＝9①，a2+b2＝13②，把②代入①可得结论；
（2）首先将已知等式配方后，根据非负性可得a和b的值，根据三角形三边关系和等腰三角形的定义可得结论．
【解析】：（1）a（a+1）﹣（a2+b）＝3，
a2+a﹣a2﹣b＝3，
a﹣b＝3，
两边同时平方得：a2﹣2ab+b2＝9①，
a（a+b）+b（b﹣a）＝13，
a2+ab+b2﹣ab＝13，
a2+b2＝13②，
把②代入①得：13﹣2ab＝9，
13﹣9＝2ab，
∴ab＝2；
（2）a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，
a2﹣6a+9+b2﹣14b+49＝0，
（a﹣3）2+（b﹣7）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣7＝0，
∴a＝3，b＝7，
当3为腰时，三边为3，3，7，因为3+3＜7，不能构成三角形，此种情况不成立，
当7为腰时，三边为7，7，3，能构成三角形，此时△ABC的周长＝7+7+3＝17．
24．（2020秋•二道区期末）【阅读材料】把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用．
例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式．
配方：x2﹣6x+8
＝x2﹣6x+32﹣32+8
＝（x﹣3）2﹣1
分解因式：x2﹣6x+8
＝（x﹣3）2﹣1
＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）
＝（x﹣2）（x﹣4）
【解决问题】根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式．
（2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式．
（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．
【分析】（1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行变形即可配方法．
（2）先利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35变形，再利用平方差公式分解即可．
（3）△ABC为等边三角形，将a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0利用配方法变形，再根据偶次方的非负性可得答案．
（4）分别对含x和含y的式子进行配方，再利用偶次方的非负性可得答案．【解析】：（1）x2﹣4x﹣5
＝x2﹣4x+22﹣22﹣5
＝（x﹣2）2﹣9．
（2）x2﹣2x﹣35
＝x2﹣2x+1﹣1﹣35
＝（x﹣1）2﹣62
＝（x﹣1+6）（x﹣﹣6）
＝（x+5）（x﹣7）．
（3）△ABC为等边三角形，理由如下：
∵a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2b+1）+3（c2﹣2c+1）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，3（c﹣1）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，
∴a＝b，b＝1，c＝1，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
（4）证明：x2+y2+4x﹣6y+15
＝x2+4x+4+y2﹣6y+9+2
＝（x+2）2+（y﹣3）2+2，
∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0，
∴（x+2）2+（y﹣3）2+2≥2，
∴代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．。