2022届江苏省南京市第十八中学中考联考数学试题(含答案解析)

2022届江苏省南京市第十八中学中考联考数学测试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、测试卷卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．已知a,b 为两个连续的整数,且a<11<b,则a+b 的值为( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
2．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（090x <≤）近似满足函数关系y=ax 2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）
A ．18
B ．36
C ．41
D ．58
3．实数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置大致如图所示，O 为原点，则下列关系式正确的是( )
A ．a ﹣c ＜b ﹣c
B ．|a ﹣b |＝a ﹣b
C ．ac ＞bc
D ．﹣b ＜﹣c
4．如图，等腰直角三角形的顶点A 、C 分别在直线a 、b 上，若a ∥b ，∠1=30°，则∠2的度数为（ ）
A ．30°
B ．15°
C ．10°
D ．20°
5．下列分子结构模型的平面图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．一、单选题
在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加了决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（ ）
A ．平均数
B ．众数
C ．中位数
D ．方差
7．下列4个数：9，227，π，(3)0，其中无理数是( ) A ．9 B ．227
C ．π
D ．(3)0 8．下列计算正确的是（ ） A ．a 3﹣a 2＝a B ．a 2•a 3＝a 6
C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2
D ．（﹣a 2）3＝﹣a 6 9．下列运算正确的是（ ）
A ．a 2+a 2=a 4
B ．（a+b ）2=a 2+b 2
C ．a 6÷a 2=a 3
D ．（﹣2a 3）2=4a 6
10．已知抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于（x 1，0）、（x 2，0）两点，且0<x 1<1，1<x 2<2与y 轴交于（0，-2），下列结论：①2a+b>1；②a+b<2；③3a+b>0；④a<-1，其中正确结论的个数为( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=_______度．
12．当03x ≤≤时，直线y a =与抛物线2
(1)3y x =﹣﹣有交点，则a 的取值范围是_______． 13．若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为______．
14．如图所示，点C 在反比例函数k y (x 0)x
=>的图象上，过点C 的直线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且AB BC =，已知AOB 的面积为1，则k 的值为______．
15．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．
16．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝____．
17．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长_____________cm．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EF过点O，并与AD，BC分别交于点E，F，已知AE=3，BF=5
（1）求BC的长；
（2）如果两条对角线长的和是20，求三角形△AOD的周长．
19．（5分）在下列的网格图中.每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.
(1)试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；
(2)若点B的坐标为(-3，5)，试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标；
(3)根据(2)中的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并标出B2、C2两点的坐标.
20．（8分）如图，Rt ABP 的直角顶点P 在第四象限，顶点A 、B 分别落在反比例函数k y x
=图象的两支上，且PB x ⊥轴于点C ，PA y ⊥轴于点D ，AB 分别与x 轴，y 轴相交于点F 和.E 已知点B 的坐标为()1,3．
()1填空：k =______；
()2证明：//CD AB ；
()3当四边形ABCD 的面积和PCD 的面积相等时，求点P 的坐标．
21．（10分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y （℃）和通电时间x （min ）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x ≤8和8＜x ≤a 时，y 和x 之间的关系式；
（2）求出图中a 的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过40℃的开水，问他需要在什么时间段内接水．
22．（10分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图①），图②是平面图．光明中学的数学兴趣小组针对风电塔杆进行了测量，甲同学站在平地上的A 处测得塔杆顶端C 的仰角是55°，乙同学站在岩石B 处测得叶片的最高位置D 的仰角是45°（D ，C ，H 在同一直线上，G ，A ，H 在同一条直线上），他们事先从相关部门了解到叶片的长度为15米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），岩石高BG 为4米，两处的水平
距离AG 为23米，BG ⊥GH ，CH ⊥AH ，求塔杆CH 的高．（参考数据：
tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）
23．（12分）小李在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考，请你帮他完成如下问题：
他认为该定理有逆定理：
“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立.即如图①，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若AD BD CD ==，求证：90BAC ∠=︒.如图②，已知矩形ABCD ，如果在矩形外存在一点E ，使得AE CE ⊥，求证：BE DE ⊥.（可以直接用第（1）问的结论）在第（2）问的条件下，如果AED ∆恰好是等边三角形，请求出此时矩形的两条邻边AB 与BC 的数量关系.
24．（14分）已知，在菱形ABCD 中，∠ADC=60°，点H 为CD 上任意一点（不与C 、D 重合），过点H 作CD 的垂线，交BD 于点E ，连接AE ．
（1）如图1，线段EH 、CH 、AE 之间的数量关系是 ；
（2）如图2，将△DHE绕点D顺时针旋转，当点E、H、C在一条直线上时，求证：AE+EH=CH．
2022学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、A
【答案解析】
∵9<11<16，
<<，
91116
即3114
<<，
∵a，b为两个连续的整数，且11
<<，
a b
∴a=3，b=4，
∴a+b=7，
故选A.
2、C
【答案解析】
根据已知三点和近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0)可以大致画出函数图像，并判断对称轴位置在36和54之间即可选择答案.
【题目详解】
解：由图表数据描点连线，补全图像可得如图，
抛物线对称轴在36和54之间，约为41℃
∴旋钮的旋转角度x在36°和54°之间，约为41℃时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气.
故选：C，
【答案点睛】
本题考查了二次函数的应用，二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数图像对称性质，判断对称轴位置是解题关键.综合性较强，需要有较高的思维能力，用图象法解题是本题考查的重点．
3、A
【答案解析】
根据数轴上点的位置确定出a，b，c的范围，判断即可．
【题目详解】
由数轴上点的位置得：a＜b＜0＜c，
∴ac＜bc，|a﹣b|＝b﹣a，﹣b＞﹣c，a﹣c＜b﹣c.
故选A．
【答案点睛】
考查了实数与数轴，弄清数轴上点表示的数是解本题的关键．
4、B
【答案解析】
分析：由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD=60°，即可得出∠2的度数．
详解：如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴∠1+∠BAC=30°+90°=120°，
∵a∥b，
∴∠ACD=180°-120°=60°，
∴∠2=∠ACD-∠ACB=60°-45°=15°；
故选B．
点睛：本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，由平行线的性质求出
∠ACD的度数是解决问题的关键．
5、C
【答案解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【题目详解】
解：A是轴对称图形，不是中心对称图形；B，C，D是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选:C．
【答案点睛】
掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
6、C
【答案解析】
由于其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，共有7名选手参加，故应根据中位数的意义分析．
【题目详解】
由于总共有7个人，且他们的成绩各不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前3名，故应知道中位数的多少．故选C．
【答案点睛】
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
7、C
【答案解析】
，
227是无限循环小数，π是无限不循环小数，01=，所以π是无理数，故选C ．
8、D 【答案解析】
各项计算得到结果，即可作出判断．
解：A 、原式不能合并，不符合题意；
B 、原式=a 5，不符合题意；
C 、原式=a 2﹣2ab+b 2，不符合题意；
D 、原式=﹣a 6，符合题意，
故选D
9、D
【答案解析】
根据完全平方公式、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方，即可解答．
【题目详解】
A 、a 2+a 2=2a 2，故错误；
B 、（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，故错误；
C 、a 6÷a 2=a 4，故错误；
D 、（-2a 3）2=4a 6，正确；
故选D ．
【答案点睛】
本题考查了完全平方公式、同底数幂的除法、积的乘方以及合并同类项，解决本题的关键是熟记公式和法则． 10、A
【答案解析】
如图，120112x x ＜＜
，＜＜ 且图像与y 轴交于点()0,2-，
可知该抛物线的开口向下，即0a <,2c =-
①当2x =时，4220y a b =+-<
422a b +< 21a b +<
故①错误．
②由图像可知，当1x =时，0y >
∴20a b +->
∴2a b +>
故②错误．
③∵120112x x ＜＜
，＜＜ ∴1213x x +＜＜， 又∵12b x x a +=-
， ∴13b a
-＜＜， ∴3a b a <<-﹣，
∴30a b +<，
故③错误；
④∵1202x x <<，122c x x a
=
<， 又∵2c =-，
∴1a <-．
故④正确．
故答案选A.
【答案点睛】
本题考查二次函数2y ax bx c =++系数符号的确定由抛物线的开口方向、对称轴和抛物线与坐标轴的交点确定．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、270
【答案解析】
根据三角形的内角和与平角定义可求解．
【题目详解】
解析：如图，根据题意可知∠5=90°，
∴ ∠3+∠4=90°，
∴ ∠1+∠2=180°+180°-（∠3+∠4）=360°-90°=270°，故答案为：270度.
【答案点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理和内角与外角之间的关系．要会熟练运用内角和定理求角的度数．
12、31a -≤≤
【答案解析】
直线y a ＝与抛物线2
13y x ＝（﹣）﹣有交点，则可化为一元二次方程组利用根的判别式进行计算． 【题目详解】
解:法一：y a ＝与抛物线2
13y x ＝（﹣）﹣有交点 则有213a x ＝（﹣）﹣，整理得2220x x a ﹣﹣﹣＝
244420b ac a ∴∆++≥＝﹣＝（）
解得3a ≥﹣，
03x ≤≤，对称轴1x ＝
23131y ∴＝（﹣）﹣＝
1a ∴≤
法二：由题意可知，
∵抛物线的 顶点为13（，﹣），而03x ≤≤
∴抛物线y 的取值为
31y ≤≤﹣ y a ＝，则直线y 与x 轴平行，
∴要使直线y a ＝与抛物线213y x ＝（﹣）﹣有交点，
∴抛物线y 的取值为
31y ≤≤﹣，即为a 的取值范围， ∴31a ≤≤﹣
故答案为：31a -≤≤
【答案点睛】
考查二次函数图象的性质及交点的问题，此类问题，通常可化为一元二次方程，利用根的判别式或根与系数的关系进行计算．
13、3.
【答案解析】
连接OA 、OB ，根据正六边形的性质求出∠AOB ，得出等边三角形OAB ，求出OA 、AM 的长，根据勾股定理求出即可．
【题目详解】
连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，
∵正六边形ABCDEF ，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF ，∴∠AOB=60°，OA=OB ，
∴△AOB 是等边三角形， ∴OA=OB=AB=2，∵AB ⊥OM ，∴AM=BM=1，
在△OAM 中，由勾股定理得：3
14、1
【答案解析】
根据题意可以设出点A 的坐标，从而以得到点C 和点B 的坐标，再根据AOB 的面积为1，即可求得k 的值．
【题目详解】
解：设点A 的坐标为()a,0-，
过点C 的直线与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，且AB BC =，AOB 的面积为1，
∴点k C a,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴点B 的坐标为k 0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 1k a 122a
∴⋅⋅=， 解得，k 4=，
故答案为：1．
【答案点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
15、60 17
．
【答案解析】
如图，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论. 【题目详解】
如图，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=ED，DE∥CF，
设ED=x，则CD=x，AD=12-x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴DE
BC
＝
AD
AC
，
∴x
5
＝
12-x
12
，
∴x=60 17
，
故答案为60 17
.
【答案点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．16、5
【答案解析】
测试卷分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE=1
2
AB=5.
考点：直角三角形斜边上的中线．17、36.
【答案解析】
测试卷分析：∵△AFE 和△ADE 关于AE 对称，∴∠AFE ＝∠D ＝90°，AF ＝AD ，EF ＝DE.∵tan ∠EFC ＝＝，∴可设EC ＝3x ，CF ＝4x ，那么EF ＝5x ，∴DE ＝EF ＝5x.∴DC ＝DE ＋CE ＝3x ＋5x ＝8x.∴AB ＝DC ＝8x.
∵∠EFC ＋∠AFB ＝90°, ∠BAF ＋∠AFB ＝90°,∴∠EFC ＝∠BAF.∴tan ∠BAF ＝tan ∠EFC ＝，∴＝.∴AB ＝8x,∴BF ＝6x.∴BC ＝BF ＋CF ＝10x.∴AD ＝10x.在Rt △ADE 中，由勾股定理，得AD 2＋DE 2＝AE 2.∴（10x ）2＋（5x ）2＝（5）2.解得x ＝1.∴AB ＝8x ＝8,AD ＝10x ＝10.∴矩形ABCD 的周长＝8×
2＋10×2＝36. 考点：折叠的性质；矩形的性质；锐角三角函数；勾股定理.
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、 (1)8;(2)1.
【答案解析】
（1）由平行四边形的性质和已知条件易证△AOE ≌△COF ，所以可得AE=CF=3，进而可求出BC 的长； （2）由平行四边形的性质：对角线互相平分可求出AO+OD 的长，进而可求出三角形△AOD 的周长．
【题目详解】
（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AO=CO ，
∴∠EAO=∠FCO ，
在△AOE 和△COF 中
EAO FCO AO CO
AOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△AOE ≌△COF ，
∴AE=CF=3，
∴BC=BF+CF=5+3=8；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AO=CO ，BO=DO ，AD=BC=8，
∵AC+BD=20，
∴AO+BO=10，
∴△AOD 的周长=AO+BO+AD=1．
【答案点睛】
本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定以及全等三角形的性质，能够根据平行四边形的性质证明三角形全
等，再根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．
19、（1）作图见解析；(2)如图所示，点A 的坐标为(0，1)，点C 的坐标为(-3，1)；(3)如图所示，点B 2的坐标为(3，-5)，点C 2的坐标为(3，-1).
【答案解析】
（1）分别作出点B 个点C 旋转后的点，然后顺次连接可以得到；
（2）根据点B 的坐标画出平面直角坐标系；
（3）分别作出点A 、点B 、点C 关于原点对称的点，然后顺次连接可以得到.
【题目详解】
（1）△A 11B C 如图所示；
（2）如图所示，A （0，1），C （﹣3，1）；
（3）△222A B C 如图所示，2B （3，﹣5），（3，﹣1）．
20、（1）1；（2）证明见解析；（1）P 点坐标为()
1
323-，． 【答案解析】 ()1由点B 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k 值；
()2设A 点坐标为3a,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则D 点坐标为30,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，P 点坐标为31,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，C 点坐标为()1,0，进而可得出PB ，PC ，PA ，PD 的长度，由四条线段的长度可得出PC PD PB PA
=，结合P P ∠∠=可得出PDC ∽PAB ，由相似三角形的性质可得出CDP A ∠∠=，再利用“同位角相等，两直线平行”可证出CD//AB ；
()3由四边形ABCD 的面积和PCD 的面积相等可得出PAB PCD S 2S =，利用三角形的面积公式可得出关于a 的方程，解之取其负值，再将其代入P 点的坐标中即可求出结论．
【题目详解】
()1解：B点()
1,3在反比例函数
k
y
x
=的图象，
k133∴=⨯=．
故答案为：1．
()2证明：反比例函数解析式为3
y
x
=，
∴设A点坐标为
3
a,.
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
PB x
⊥轴于点C，PA y
⊥轴于点D，
D
∴点坐标为
3
0,
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，P点坐标为
3
1,
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，C点坐标为()
1,0，
3
PB3
a
∴=-，
3
PC
a
=-，PA1a
=-，PD1
=，
3
PC1
a
3
PB1a
3
a
-
∴==
-
-
，
PD1
PA1a
=
-
，
PC PD
PB PA
∴=．
又P P
∠∠
=，
PDC
∴∽PAB，
CDP A
∠∠
∴=，
CD//AB
∴．
()3解：四边形ABCD的面积和PCD的面积相等，PAB PCD
S2S
∴=，
()
1313
31a21
2a2a
⎛⎫⎛⎫
∴⨯-⨯-=⨯⨯⨯-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
整理得：2
(a1)2
-=，
解得：1a 1=，2a 1=舍去)，
P ∴点坐标为()1,3-．
【答案点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形的面积，解题关键是：()1根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k 值；()2利用相似三角形的判定定理找出PDC ∽PAB ；()3由三角形的面积公式，找出关于a 的方程．
21、（1）当0≤x≤8时，y=10x+20；当8＜x≤a 时，y=
800x ；（2）40；（3）要在7：50～8：10时间段内接水． 【答案解析】
（1）当0≤x≤8时，设y ＝k 1x ＋b ，将(0，20)，(8，100)的坐标分别代入y ＝k 1x ＋b ，即可求得k 1、b 的值，从而得一次函数的解析式；当8＜x≤a 时，设y ＝2k x ，将(8，100)的坐标代入y ＝2k x
，求得k 2的值，即可得反比例函数的解析式；（2）把y ＝20代入反比例函数的解析式，即可求得a 值；（3）把y ＝40代入反比例函数的解析式，求得对应x 的值，根据想喝到不低于40 ℃的开水，结合函数图象求得x 的取值范围，从而求得李老师接水的时间范围．
【题目详解】
解： (1)当0≤x≤8时，设y ＝k 1x ＋b ，
将(0，20)，(8，100)的坐标分别代入y ＝k 1x ＋b ，可求得k 1＝10，b ＝20
∴当0≤x≤8时，y ＝10x ＋20.
当8＜x≤a 时，设y ＝
2k x
， 将(8，100)的坐标代入y ＝2k x ， 得k 2＝800
∴当8<x≤a 时，y ＝800x
. 综上，当0≤x≤8时，y ＝10x ＋20；
当8＜x≤a 时，y ＝
800x
(2)将y ＝20代入y ＝800x ， 解得x ＝40，即a ＝40.
(3)当y ＝40时，x ＝80040
＝20 ∴要想喝到不低于40 ℃的开水，x 需满足8≤x≤20，即李老师要在7：38到7：50之间接水．
【答案点睛】
本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，是一个分段函数问题，分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
22、塔杆CH的高为42米
【答案解析】
作BE⊥DH，知GH=BE、BG=EH=4，设AH=x，则BE=GH=23+x，由CH=AHtan∠CAH=tan55°•x知
CE=CH-EH=tan55°•x-4，根据BE=DE可得关于x的方程，解之可得．
【题目详解】
解：如图，作BE⊥DH于点E，
则GH=BE、BG=EH=4，
设AH=x，则BE=GH=GA+AH=23+x，
在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=tan55°•x，
∴CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣4，
∵∠DBE=45°，
∴BE=DE=CE+DC，即23+x=tan55°•x﹣4+15，
解得：x≈30，
∴CH=tan55°•x=1.4×30=42，
答：塔杆CH的高为42米．
【答案点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
23、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）3
BC
【答案解析】
（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结论；
（2）先判断出OE=1
2
AC，即可得出OE=
1
2
BD，即可得出结论；
（3）先判断出△ABE是底角是30°的等腰三角形，即可构造直角三角形即可得出结论．【题目详解】
（1）∵AD=BD ，
∴∠B=∠BAD ，
∵AD=CD ，
∴∠C=∠CAD ，
在△ABC 中，∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=∠B+∠C+∠B+∠C=180°
∴∠B+∠C=90°，
∴∠BAC=90°，
（2）如图②，连接AC 与BD ，交点为O ，连接OE
四边形ABCD 是矩形 1122OA OB OC OD AC BD ∴===== AE CE ⊥
90AEC ∴∠=︒
12
OE AC ∴=
12OE BD ∴= 90BED ∴∠=︒
BE DE ∴⊥
（3）如图3，过点B 做BF AE ⊥于点F
四边形ABCD 是矩形
AD BC ∴=，90BAD ∠=︒
ADE ∆是等边三角形
AE AD BC ∴==，60DAE AED ∠=∠=︒
由（2）知，90BED ∠=︒
30BAE BEA ∴∠=∠=︒
2AE AF ∴=
在Rt ABF ∆中，30BAE ∠=︒
2AB AF ∴=，AF =
AE ∴=
AE BC =
BC ∴=
【答案点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，直角三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和公式，解（1）的关键是判断出∠B=∠BAD ，解（2）的关键是判断出OE=
12
AC ，解（3）的关键是判断出△ABE 是底角为30°的等腰三角形，进而构造直角三角形．
24、 (1) EH 2+CH 2=AE 2；(2)见解析.
【答案解析】
分析：（1）如图1，过E 作EM ⊥AD 于M ，由四边形ABCD 是菱形，得到AD=CD ，∠ADE=∠CDE ，通过△DME ≌△DHE ，
根据全等三角形的性质得到EM=EH ，DM=DH ，等量代换得到AM=CH ，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图2，根据菱形的性质得到∠BDC=∠BDA=30°，DA=DC ，在CH 上截取HG ，使HG=EH ，推出△DEG 是等边三角形，由等边三角形的性质得到∠EDG=60°，推出△DAE ≌△DCG ，根据全等三角形的性质即可得到结论． 详解： （1）EH 2+CH 2=AE 2，
如图1，过E 作EM ⊥AD 于M ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD=CD ，∠ADE=∠CDE ，
∵EH ⊥CD ，
∴∠DME=∠DHE=90°，
在△DME 与△DHE 中，
DME DHE MDE HDE DE DE ＝＝＝∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
， ∴△DME ≌△DHE ，
∴EM=EH ，DM=DH ，
∴AM=CH ，
在Rt △AME 中，AE 2=AM 2+EM 2，
∴AE 2=EH 2+CH 2；
故答案为：EH 2+CH 2=AE 2；
（2）如图2，
∵菱形ABCD ，∠ADC=60°，
∴∠BDC=∠BDA=30°，DA=DC ，
∵EH ⊥CD ，
∴∠DEH=60°，
在CH 上截取HG ，使HG=EH ，
∵DH ⊥EG ，∴ED=DG ，
又∵∠DEG=60°，
∴△DEG 是等边三角形，
∴∠EDG=60°，
∵∠EDG=∠ADC=60°，
∴∠EDG ﹣∠ADG=∠ADC ﹣∠ADG ，
∴∠ADE=∠CDG ，
在△DAE 与△DCG 中，
DA DC ADE CDG DE DG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ， ∴△DAE ≌△DCG ，
∴AE=G C ，
∵CH=CG+GH ，
∴CH=AE+EH ．
点睛：考查了全等三角形的判定和性质、菱形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．。