多面体与欧拉公式
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欧拉公式
欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
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新授课 问题1：数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E并填表
1
2
3
4
图形编号 1 2 3 4
顶点数V 4 8 6 9
面数F 4 6 8 8
棱数E 6 12 12 15
规律：V+F-E=2（欧拉公式）
充以气体？
充以气体？
1简单多面体：
表面经过连续变形能变成一个球面的多面体。
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2 欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E及面数间F 有关系V+F-E=2
3欧拉公式 V+F-E=2 4 欧拉示性数 f(P)=V+F-E
不同类型的多面体欧拉示性数不同 带一个洞的多面体欧拉示性数等于0
5设正多面体的每个面的边数为n，每个顶点连的棱数为m 则 (1) E=nF／2
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V=4，F=5或V=5，F=4。 但是，有4 个顶点的多面体只有4个面，而四面体也只有 四个顶点。所以假设不成立，没有棱数是7 的简单多面体
问题3:欧拉公式的应用
例2 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的
三位科学家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简 单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出 3条棱，各面的形状分别为五边星或六边形两种．计算C60分 子中形状为五边形和六边形的面各有多少？
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(2) E=mV／2
6 正多面体只有正四、六、八、十二、二十多面体五种
7 简单多面体各面内角和=(E-F)×3600=(V-2)×3600
问题2:欧拉公式的应用
例1、有没有棱数是7 的简单多面体？ 解：假设有一个简单多面体的棱数E=7。
根据欧拉公式得 V+F=E+2=9 因为多面体的顶点数V≥4，面数F≥4，所以只有两种 情形：
解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y个．
由题意有顶点数V=60，面数=x+y，棱数E= （3×60） 根据欧拉公式，可得 60+（x+y) － （3×60）=2
另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即 （5x+6y)= （3×60）
由以上两个方程可解出 x=12,y=20 答：C60分子中形状为五边形和买的VIP时长期间，下载特权不清零。
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欧拉公式
学习目标
1 了解直棱住及正棱锥的直观图画法、 正多面体的概念、欧拉定理
2 了解正多面体的棱数与每个面的边数、面 数的关系及正多面体的棱数与每一个顶点的 棱数、面数的关系
3 了解欧拉示性数及欧拉公式的简单用途
4了解简单多面体各面的内角和=(E-F)×3600 =( V-2)×3600
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3欧拉公式 V+F-E=2 4 欧拉示性数 f(P)=V+F-E
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V=4，F=5或V=5，F=4。 但是，有4 个顶点的多面体只有4个面，而四面体也只有 四个顶点。所以假设不成立，没有棱数是7 的简单多面体
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解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y个．
由题意有顶点数V=60，面数=x+y，棱数E= （3×60） 根据欧拉公式，可得 60+（x+y) － （3×60）=2
另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即 （5x+6y)= （3×60）
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