2019—大连市高新区八年级上期末数学试卷含

2021—2021 年大连市高新区八年级上期末数学试卷含答案
一、选择题〔共 8小题；每题 3分；总分值 24
分〕 1．以以下各组线段为边；能组成三角形的是〔 〕
A ． 1cm ； 2cm ；4cm
B ． 4cm ； 6cm ； 8cm
C ． 5cm ； 6cm ； 12cm
D ．2cm ； 3cm ； 5cm 2．以下计算正确的选项是〔 3 〕 3 3 2 2 4 2
3 3 3 2 5
A ． a ?a =2a
B ．〔 a 〕 =a
C ． a ÷a=a
D ．〔﹣ a b 〕 =a b
3．点〔 3；﹣ 2〕关于 x 轴的对称点是〔 〕 A ．〔﹣ 3；﹣ 2〕 B ．〔 3；2〕 C ．〔﹣ 3； 2〕 D ．〔 3；﹣ 2〕 4．如图；△ ABC ≌△ DEF ；那么以下判断错误的选项是〔 〕
A ． AB=DE
B ．BE=CF
C ． AC ∥DF
D ．∠ ACB= ∠ DEF
2
5．假设多项式 x +ax+b 分解因式的结果为 a 〔x ﹣ 2〕〔 x+3〕；那么 a ； b 的值分别是〔 〕
A ． a=1；b=﹣ 6
B ． a=5；b=6
C ． a=1； b=6
D ． a=5；b=﹣ 6 6．当分式 的值为零时； x 的值为〔 〕
A ．0
B ．2
C ．﹣ 2
D ．±2
7．如图；在平面直角坐标系中；点 A 〔 2； 1〕；点 P 在坐标轴上；假设以 P 、 O 、 A 为极点的三角形是等腰三角 形；那么满足条件的点 P 共有〔 〕个．
A ．5
B ．6
C ．8
D ．9
8．如图；△ AOB ≌△ ADC ；点 B 和点 C 是对应极点；∠ O= ∠D=90°；记∠ OAD=α ；∠ ABO=β ；当 BC ∥OA 时； α与 β之间的数量关系为〔 〕
A ． α =β
B ． α =2β
C ． α +β =90 °
D ．α +2β =180 °
二、填空题〔共 8小题；每题 3分；总分值 24分〕 9．计算：
=
．
10．分解因式： ax 2
﹣ 9a=
．
11． y 2
﹣ 8y+m 是完好平方式；那么 m=
．
12．等腰三角形一边等于 4；另一 边等于 6；那么这个等腰三角形的周长为 ． 13．假设正 n 边形的每个内角都等于 150 °；那么 n= ；其内角和为
．
14．一件工作；甲独做 a 小时完成；乙独做 b 小时完成；假设甲；乙两人合作完成；需要
小时．
15． a+
2
的值是
．
=5；那么 a
+
16．如图；在等腰三角形纸片 ABC 中； AB=AC ；∠ A=40°；折叠该纸片；使点 A 落在点 B 处；折痕为 DE ；那么
∠CBE= °．
三、解答题〔共 10小题；总分值 102分〕
17．〔 1〕计算：〔 〕 ﹣1﹣ +〔﹣ 2021〕 0
〔2〕分解因式： 3x 2
﹣6x+3 ．
18．〔 1〕解方程：
．
〔2〕先化简；再求值： 1﹣
；其中 a=3； b=﹣ 1．
19．如图； AC ⊥ BC ； BD ⊥ AD ；AC 与 BD 交于点 O ； AC=BD ；求证： BC=AD ．
20．如图；在平面直角坐标系中；△ ABC 的三个极点都在格点上；点 A 的坐标为〔 2； 4〕． （ 1〕画出△ ABC 关于 y 轴对称的△ A 1B 1C 1； （ 2〕写出点 A 1的坐标； （ 3〕在 x 轴上找一点 P ；使 PB+PC 的和最小．〔标出点 P 即可；不用求点 P 的坐标〕
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21．甲乙两人分别从距目的地 6千米和 10千米的两地同时出发；甲乙的速度比是3： 4；结果甲比乙提前20分
钟到达目的地；求甲、乙两人的速度．
22．：如图；在△ ABC 中； AB=AC ；∠ A=45°；点 D在 AC 上； DE ⊥AB 于 E；且 DE=DC ；连接 EC．请写出图中所有等腰三角形〔△ ABC 除外〕；并说明原由．
23．：如图；四边形ABCD 中； AD ∥ BC；连接 AC ； BD交于点 O；设△ AOD ；△ AOB ；△ BOC ；△ CO D的面积分别为 S1； S2； S3； S4．
〔1〕求证： S2=S4；
〔2〕设 AD=m ；BC=n ；；= ；依照上述条件；判断 S1+S3与S2+S4的大小关系；并说明原由．
24．某商场有甲、乙两箱不相同价格的糖果；甲糖果为mkg ；单价为 a元 /kg；乙糖果为 nkg；单价为 b元 /kg．商场决定对两种糖果混杂销售；混杂单价为元/kg ．〔混杂单价=〕．
〔1〕假设 a=30； m=30 ； b=25； n=20；那么混杂后的糖果单价为元/kg；
（2〕假设 a=30；商场现在有单价为 24元 /kg的这种混杂糖果 100kg；商场想经过增加甲种糖果；把混杂后的单
价提高 15%；问应参加甲种糖果多少千克？
（3〕假设 m=40 ；n=60；从甲、乙两箱取出相同质量的糖果；将甲箱取出的糖果与乙箱节余的糖果混杂：将
乙箱取出的糖果与甲箱节余的混杂；两种混杂糖果的混杂单价相同；求甲、乙两箱取出多少糖果．
25．在 Rt△ ABC 中；∠ ACB=90°；∠ A=30°； BD 是△ ABC 的角均分线； DE ⊥AB 于 E．
（1〕如图 1；连接 CE；求证：△ BCE 是等边三角形；
（2〕如图 2；点 M 为 CE上一点；连接 BM ；作等边△ BMN ；连接 EN ；求证： EN ∥BC；
（3〕如图 3；点 P为线段 AD 上一点；连接 BP；作∠ BPQ=60°； PQ交 DE延长线于 Q；研究线段 PD； DQ 与AD 之间的数量关系；并证明．
26．在等腰 Rt△ ABC 中；∠ BAC=90°； AB=AC ；在△ ABC 外作∠ ACM=∠ ABC；点D为直线BC上的动点；
过点 D 作直线 CM 的垂线；垂足为E；交直线 AC 于 F．
〔1〕当点 D 在线段 BC 上时；如图 1所示；①∠ EDC=°；
②研究线段 DF与 EC的数量关系；并证明；
〔2〕当点 D 运动到 CB 延长线上时；请你画出图形；并证明此时DF与 EC的数量关系．
2021-2021学年辽宁省大连市高新区八年级〔上〕期末数学试卷
参照答案与试题解析
一、选择题〔共8小题；每题 3分；总分值 24分〕
1．以以下各组线段为边；能组成三角形的是〔〕
A ． 1cm； 2cm；4cm
B ． 4cm； 6cm； 8cm C． 5cm； 6cm； 12cm D ．2cm； 3cm； 5cm
【考点】三角形三边关系．
【解析】依照三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边〞；进行解析即可．【解答】解：依照三角形的三边关系；知
A 、 1+2＜ 4；不能够组成三角形；
B、 4+6 ＞8；能够组成三角形；
C、 5+6 ＜12；不能够组成三角形；
D、 2+3=5；不能够组成三角形．
应选 B．
【谈论】此题观察了三角形的三边关系．判断可否组成三角形的简略方法是看较小的两个数的和可否大于第
三个数．
2．以下计算正确的选项
是〔
35〕
32242
33323
A ． a ?a =2a
B ．〔 a〕 =a C． a ÷a=a D．〔﹣ a b〕 =a b
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【解析】依照同底数幂的乘法、除法；幂的乘方与积的乘方；即可解答．
336
【解答】解： A 、a ?a =a ；故错误；
236
B、〔 a 〕 =a ；故错误；
32
C、 a ÷a=a ；故错误；
22 4 2
D、〔﹣ a b〕 =a b ；正确；
应选： D．
【谈论】此题观察了同底数幂的乘法、除法；幂的乘方与积的乘方；解决此题的要点是熟记同底数幂的乘法、除法；幂的乘方与积的乘方．
3．点〔 3；﹣ 2〕关于 x轴的对称点是〔〕
A ．〔﹣ 3；﹣ 2〕 B．〔 3；2〕 C ．〔﹣ 3； 2〕 D ．〔 3；﹣ 2〕
【考点】关于 x轴、 y轴对称的点的坐标．
P〔 x； y〕；关于 x轴的对称点的坐标是〔x；﹣ y〕．【解析】熟悉：平面直角坐标系中任意一点
【解答】解：依照轴对称的性质；得点〔3；﹣ 2〕关于 x轴的对称点是〔3； 2〕．
应选 B．
【谈论】此题比较简单；观察平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆；另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点；横坐标
不变；纵坐标变成相反数．
4．如图；△ ABC ≌△ DEF ；那么以下判断错误的选项是〔〕
A ． AB=DE
B ．BE=CF C． A
C ∥DF D．∠ ACB= ∠ DEF 【考
点】全等三角形的性质．
【解析】依照全等三角形的性质对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵△ ABC ≌△ DEF ；
∴A B=DE ； A 正确；
BE=CF ； B正确；
AC ∥DF； C正确；
∠A CB= ∠DFE ；D判断错误；
应选： D．
【谈论】此题观察的是全等三角形的性质；掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的要点．
2
a 〔x ﹣ 2〕〔 x+3〕；那么 a ；
b 的值分别是〔 〕 5．假设多项式 x +ax+b 分解因式的结果
为
A ． a=1；b=﹣ 6
B ． a=5；b=6
C ． a=1； b=6
D ． a=5；b=﹣ 6 【考点】 因式分解的意义．
【解析】 依照 x 2
+ax+b 分解因式的结果为 a 〔 x ﹣ 2〕〔 x+3 〕；可得公因式是 a ；常数项的积是 b ．
2
【解答】 解：∵ x +ax+b=a 〔 x ﹣ 2〕〔 x+3 〕；
∴ a =1； b=﹣2×3=﹣ 6； 应选： A ．
【谈论】 此题观察了因式分解的意义；注意b 是两个常数项的积．
6．当分式
的值为零时； x 的值为〔 〕
A ．0
B ．2
C ．﹣ 2
D ．±2 【考点】 分式的值为零的条件．
【专题】 计算题．
【解析】 要使分式的值为 0；必定使分式分子的值为 0；并且分母的值不为 0．
【解答】 解：∵ |x|﹣ 2=0； ∴ x =±2；
而x= ﹣ 2时；分母 x ﹣2= ﹣ 2﹣ 2=﹣ 4≠0； x=2时分母 x ﹣ 2=0 ；分式没有意义．
应选 C ．
【谈论】 要注意分母的值必然不能够为 0；分母的值是 0时分式没有意义．
7．如图；在平面直角坐标系中；点 A 〔 2； 1〕；点 P 在坐标轴上；假设以 P 、 O 、 A 为极点的三角形是等腰三角 形；那么满足条件的点 P 共有〔 〕个．
A ．5
B ．6
C ．8
D ．9
【考点】 等腰三角形的判断；坐标与图形性质．
【解析】 分别以点 O 、 A 为圆心；以 OA 的长度为半径画弧；与坐标轴的交点即为所求的点 P 的地址．
【解答】 解：如图；以点 O 、 A 为圆心；以 OA 的长度为半径画弧； OA 的垂直均分线与坐标轴的交点有 2个综上所述；满足条件的点 P 有8个． 应选 C ．
【谈论】 此题观察了等腰三角形的判断；坐标与图形性质；利用数形结合的思想求解更简略．
8．如图；△ AOB ≌△ ADC ；点 B 和点 C 是对应极点；∠ O= ∠D=90°；记∠ OAD=α ；∠ ABO=β ；当 BC ∥OA 时； α与 β之间的数量关系为〔 〕
A ． α =β
B ． α =2β
C ． α +β =90 °
D ．α +2β =180 ° 【考点】 全等三角形的性质．
【解析】 依照全等三角形对应边相等可得 AB=AC ；全等三角形对应角相等可得∠ BAO= ∠ CAD ；尔后求出∠ BAC=α ；再依照等腰三角形两底角相等求出∠ ABC ；尔后依照两直线平行；同旁内角互补表示出∠ OBC ； 整理即可．
【解答】 解：∵△ AOB ≌△ ADC ； ∴AB=AC ；∠ BAO= ∠CAD ； ∴∠ BAC= ∠ O AD=α ；
在△ ABC 中；∠ ABC=
〔 180°﹣ α〕；
∵BC ∥OA ；
∴∠ OBC=180° ﹣∠ O=180°﹣ 90°=90°；
∴β+〔180°﹣ α〕 =90°；
整理得； α=2β． 应选 B ．
【谈论】 此题观察了全等三角形的性质；等腰三角形两底角相等的性质；平行线的性质；熟记各性质并正确识图理清图中各角度之间的关系是解题的要点． 二、填空题〔共 8小题；每题 3分；总分值 24分〕
9．计算：
= ﹣1 ．
【考点】 分式的加减法．
【解析】 依照同分母的分式进行加减计算即可．
【解答】 解：原式 =
=﹣1．
故答案为﹣ 1．
【谈论】 此题观察了分式的加减运算；题目比较简单；注意分式的加减运算中；若是是同分母分式；那么分母不变；把分子直接相加减即可；若是是异分母分式；那么必定先通分；把异分母分式化为同分母分式；尔后再相加减．
10．分解因式： ax 2
﹣ 9a= a 〔 x+3〕〔 x ﹣ 3〕 ． 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用．
【解析】 先提取公因式 a ；再对余下的多项式利用平方差公式连续分解．
2
=a 〔x 2
﹣ 9〕；
=a 〔x+3 〕〔 x ﹣ 3〕．
故答案为： a 〔 x+3 〕〔 x ﹣ 3〕．
【谈论】 此题观察了用提公因式法和公式法进行因式分解；一个多项式有公因式第一提取公因式；尔后再用其他方法进行因式分解；同时因式分解要完好；直到不能够分解为止．
2
11． y ﹣ 8y+m 是完好平方式；那么
m= 16 ．
【解析】 利用完好平方公式的结构特点求出
m 的值即可．
2
∴
m =16 ． 故答案为： 16．
【谈论】 此题观察了完好平方式；熟练掌握完好平方公式是解此题的要点．
12．等腰三角形一边等于 4；另一边等于 6；那么这个等腰三角形的周长为 14或16 ．
【考点】 等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【解析】 题目给出等腰三角形有两条边长为 4和 6；而没有明确腰、底分别是多少；所以要进行谈论；还要应 用三角形的三边关系考据可否组成三角形．
【解答】 解：〔 1〕当三角形的三边是 4； 4； 6时；那么周长是 14； 〔2〕当三角形的三边是 4； 6； 6时；那么三角形的周长是 16； 故它的周长是 14或 16． 故答案为： 14或 16．
【谈论】 此题观察了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；没有明确腰和底边的题目必然要 想到两种 情况；分类进行谈论；还应试据各种情况可否能组成三角形进行解答；这点特别重要；也是解题的要点．
13．假设正 n边形的每个内角都等于150 °；那么 n= 12；其内角和为1800 ° ．
【考点】多边形内角与外角．
【解析】先依照多边形的内角和定理求出 n；再依照多边形的内角和求出多边形的内角和即
可．【解答】解：∵正 n边形的每个内角都等于 150°；
∴=150°；
解得； n=12；
其内角和为〔 12﹣ 2〕×180°=1800°．
故答案为： 12； 1800°．
【谈论】此题观察的是多边形内角与外角的知识；掌握多边形内角和定理： n边形的内角和为：〔 n﹣ 2〕×18 0°是解题的要点．
14．一件工作；甲独做a小时完成；乙独做b小时完成；假设甲；乙两人合作完成；需要小时．
【考点】列代数式〔分式〕．
【专题】工程问题．
【解析】把工作总量看作单位1；依照：工作时间=工作总量÷工作效率；甲的工作效率是；乙的工作效率是；进而求得二人合作完成需要的时间．
【解答】解：设作总量看作单位1；依照：工作时间=工作总量÷工作效率；甲的工作效率是；乙的工作效
率是；
那么两人合作需要的时间为=．
【谈论】工程问题要有“工作效率〞；“工作时间〞；“工作总量〞三个要素；数量关系为：工作效率×工作时间 = 工作总量．注意公式的灵便变形．
2
的值是 23 ．
15． a+ =5；那么 a +
【考点】完好平方公式．
【解析】依照完好均分公式；即可解答．
【解答】解： a 2
+=．
故答案为： 23．
【谈论】此题观察了完好均分公式；解决此题的要点是熟记完好均分公式．
16．如图；在等腰三角形纸片ABC 中； AB=AC ；∠ A=40°；折叠该纸片；使点 A 落在点 B 处；折痕为 DE；那么∠C BE= 30 °．
【考点】翻折变换〔折叠问题〕．
【解析】第一运用等腰三角形的性质求出∠ ABC 的大小；借助翻折变换的性质求出∠ ABE 的大小问题即可解决．
【解答】解：∵ AB=AC ；且∠ A=40°；
∴∠ ABC= ∠ C=；
由题意得： AE=BE ；
∴∠ A= ∠ ABE=40° ；
∴∠ CBE=70° ﹣40°=30°； 故答案为： 30．
【谈论】 该命题主要观察了翻折变换的性质及其应用问题；解题的要点是依照翻折变换的性质找出图中相等的边或角；利用等腰三角形的性质等几何知识来解析、判断、解答．
三、解答题〔共 10小题；总分值 102分〕
17．〔 1〕计算：〔
〕﹣1﹣ +〔﹣ 2021〕 0 〔2〕分解因式： 3x 2
﹣6x+3 ．
【考点】 实数的运算；提公因式法与公式法的综合运用；零指数幂；负整数指数幂． 【专题】 计算题；实数．
【解析】 〔1〕第一把
化成 4；尔后依照负整数指数幂、零指数幂的运算方法；分别求出 、〔
﹣ 2021〕 0的值各是多少；最后依照实数的运算序次；从左向右依次计算；求出算式的值是多少即
可．〔2〕第一提取公因式 3；尔后把余下的多项式应用完好平方公式分解即可．
【解答】 解：〔 1〕〔 〕﹣1﹣ +〔﹣ 2021〕0
=3﹣ 4+1 =﹣1+1 =0
（ 2〕 3x 2
﹣ 6x+3
2
=3〔 x ﹣ 2x+1 〕
【谈论】 〔1〕此题主要观察了实数的运算；要熟练掌握；解答此题的要点是要明确：在进行实数运算时；和有理数运算相同；要从高级到初级；即先算乘方、开方；再算乘除；最后算加减；有括号的要先算括号里面的；同级运算要依照从左到有的序次进行．别的；有理数的运算律在实数范围内依旧适用．
〔2〕此题还观察了零指数幂的运算；要熟练掌握；解答此题的要点是要明确：①
a =1〔 a ≠0〕；② 0 ≠1．
〔3〕此题还观察了负整数指数幂的运算；要熟练掌握；解答此题的要点是要明确：①
﹣ p
a = 〔 a ≠0； p 为正
整数〕；②计算负整数指数幂时；必然要依照负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时；只要把分子、分母颠倒；负指数即可变成正指数．
〔4〕此题还观察了提公因式法分解因式和完好平方公式分解因式；要熟练掌握． 18．〔 1〕解方程：
．
〔2〕先化简；再求值： 1﹣
；其中 a=3； b=﹣ 1．
【考点】 分式的化简求值；解分式方程．
【解析】 〔1〕先去分母；把分式方程化为整式方程；再求解即可；注意检验；
（ 2〕先通分；再化简；最后把 a=3； b= ﹣1代入求值即可．【解答】 解：〔 1〕方程两边同乘以 3〔x+1 〕 3x=2x+3x+3 ﹣ 2x=3
x=﹣
检验：当 x=﹣时；3〔x+1〕≠0；
∴原方程的解为x= ﹣；
〔2〕原式 =1﹣?
=1﹣
=
=；
当a=3； b=﹣1时；
原式===．
【谈论】此题观察了分式的化简求值以及解分式方程；注意解分式方程必然要验根．
19．如图；AC ⊥ BC； BD ⊥ AD ；AC 与 BD 交于点 O； AC=BD ；求证： BC=AD ．
【考点】全等三角形的判断与性质．
【专题】证明题．
【解析】利用 HL 进行△ ABC 和△ BAD 全等的判断即可得出结论．
【解答】证明：∵ AC ⊥BC； BD ⊥ AD ；
∴△ ABC 、△ BAD 都是直角三角形；
在Rt△ ABC 和 Rt△ BAD 中；
；
∴△ ABC ≌△ BAD 〔 HL 〕；
∴BC=AD ．
【谈论】此题观察了全等三角形的判断与性质；解答此题的要点是熟练全等三角形的判判定理．
20．如图；在平面直角坐标系中；△ABC 的三个极点都在格点上；点 A 的坐标为〔 2； 4〕．（1〕画出△ ABC 关于 y轴对称的△ A 1B 1C1；
（2〕写出点 A 1的坐标；
（3〕在 x轴上找一点 P；使 PB+PC的和最小．〔标出点 P即可；不用求点 P的坐标〕
【考点】作图 -轴对称变换；轴对称-最短路线问题．
【解析】〔1〕作出各点关于y轴的对称点；再按次连接即可；
（2〕依照点 A 1在坐标系中的地址即可得出结论；
（3〕作点 B 关于 x轴的对称点 B′；连接 B′C交 x轴于点 P；那么点 P 即为
所求．【解答】解：〔 1〕以以下图：
（2〕由图可知； A1〔﹣ 2；4〕；
（3〕以以下图；点 P即为所求．
【谈论】此题观察的是作图﹣轴对称变换；熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的要点．
21．甲乙两人分别从距目的地6千米和 10千米的两地同时出发；甲乙的速度比是3： 4；结果甲比乙提前20分钟到达目的地；求甲、乙两人的速度．
【考点】分式方程的应用．
【专题】应用题．
【解析】求的是速度；行程明显；必然是依照时间来列等量关系；此题的要点描述语是：甲比乙提前20分钟到达目的地．等量关系为：甲走6千米用的时间 +=乙走 10千米用的时间．
【解答】解：设甲的速度为3x千米 /时；那么乙的速度为4x千米 /时．
依照题意；得；
解得 x=1.5 ．
经检验；是原方程的根．
所以甲的速度为3x=4.5 千米 /时；乙的速度为4x=6 千米 / 时．
答：甲的速度为千米 /时；乙的速度为6千米 /时．
【谈论】此题观察分式方程的应用；解析题意；找到要点描述语；找到合适的等量关系是解决问题的要点．
当题中出现比值问题时；应设比中的每一份为x．
22．：如图；在△ ABC 中； AB=AC ；∠ A=45°；点 D在 AC 上； DE ⊥AB 于 E；且 DE=DC ；连接 EC．请写出图中所有等腰三角形〔△ ABC 除外〕；并说明原由．
【考点】等腰三角形的判断与性质．
【解析】依照等腰直角三角形的性质获取∠ ADE=45°；推出∠ A= ∠ ADE ；获取△ AED 为等腰直角三角形；由
DE=DC ；获取△ DEC 为等腰三角形；依照∠ BEC=180° ﹣90°﹣ 22.5 °67.5 °；证得∠°；获取∠ B= ∠B
EC；获取△ BEC 为等腰三角形．
【解答】解：等腰三角形△AED ；△ DEC ；△ BEC；
证明：∵∠ A=45°；DE⊥ AB 于 E；
∴∠ AED=90°；
∴∠ ADE=45°；
∴∠ A= ∠ADE ；
∴A E=DE ；
∴△ AED 为等腰直角三角形；
∵DE=DC ；
∴△ DEC 为等腰三角形；
∵∠ BEC=180° ﹣90°﹣ 22.5 °=67.5 °；
又∵∠ A=45°； AE=AC ；
∴∠°；
∴∠ B= ∠BEC ；
∴BC=EC ；
∴△ BEC 为等腰三角形．
【谈论】此题观察了等腰直角三角形的判断和性质；三角形的内角和；垂直的定义．熟练掌握等腰三角形的
判断是解题的要点．
23．：如图；四边形ABCD 中； AD ∥ BC；连接 AC ； BD交于点 O；设△ AOD ；△ AOB ；△ BOC ；△ CO D的面积分别为 S1； S2； S3； S4．
〔1〕求证： S2=S4；
〔2〕设 AD=m ；BC=n ；；= ；依照上述条件；判断 S1+S3与S2+S4的大小关系；并说明原由．
【考点】面积及等积变换．
【解析】〔1〕过 A、 D分别作 AE ⊥BC 于 E； DF⊥ BC于 F；依照同底等高的两个三角形面积相等获取 S△ABC = S△DBC；证明结论；
（2〕依照题意用 S1分别表示 S2、 S3；利用求差法和非负数的性质进行判断即
可．【解答】证明：〔 1〕过 A 、D 分别作 AE ⊥ BC 于E； DF⊥ BC 于 F；
∵AD ∥ BC；
∴AE=DF ；
∴S△ABC =S△DBC；
∴S△ABC﹣ S△OBC=S△DBC﹣ S△OBC；即 S△ABO =S△DCO；
∴S2=S4；
〔2〕∵；
∴S2=S1；
∵=；
∴S3=S1；
∴S3+S1=S1；
∵S2=S4；
∴S2+S4=S1；
∴〔 S13〕﹣〔S24〕=S1﹣ S1
=1；
+S+S S
当m=n时；=0 ；
S1+S3=S2+S4；
当 m≠n时；＞0；
〔S1+S3〕﹣〔 S2+S4〕＞ 0；
〔S1+S3〕＞〔 S2+S4〕．
【谈论】此题观察的是面积及等积变换；掌握等底等高的两个三角形面积相等、相似三角形的面积比等于相
似比的平方以及等量代换是解题的要点．
24．某商场有甲、乙两箱不相同价格的糖果；甲糖果为mkg ；单价为 a元 /kg；乙糖果为 nkg；单价为 b元 /kg．商场决定对两种糖果混杂销售；混杂单价为元/kg ．〔混杂单价=〕．
〔1〕假设 a=30； m=30 ； b=25； n=20；那么混杂后的糖果单价为28元/kg；
（2〕假设 a=30；商场现在有单价为 24元 /kg的这种混杂糖果 100kg；商场想经过增加甲种糖果；把混杂后的单
价提高 15%；问应参加甲种糖果多少千克？
（3〕假设 m=40 ；n=60；从甲、乙两箱取出相同质量的糖果；将甲箱取出的糖果与乙箱节余的糖果混杂：将
乙箱取出的糖果与甲箱节余的混杂；两种混杂糖果的混杂单价相同；求甲、乙两箱取出多少糖果．
【考点】分式方程的应用．
【解析】〔1〕将 a=30；m=30 ； b=25； n=20 代入；计算即可；
〔2〕设应参加甲种糖果x千克；依照混杂后的单价提高15% 列出方程；求解即可；
〔3〕设甲、乙两箱各取出y千克糖果；依照两种混杂糖果的混杂单价相同列出方程=；整理得出 5y〔 b﹣ a〕 =120〔 b﹣ a〕；进而求出 y的值．
【解答】解〔 1〕假设 a=30； m=30 ； b=25； n=20；
那么混杂后的糖果单价为==28．
故答案为 28；
（2〕设应参加甲种糖果 x千克；那么
=24 ×〔1+15% 〕；
解得： x=150 ；
经检验； x=150是原方程的解；且吻合题意．
答：应参加甲种糖果150千克；
〔3〕设甲、乙两箱各取出y千克糖果；由题意得
=；
整理得 5y〔 b﹣ a〕 =120〔 b﹣ a〕；
∵两种单价不相同的糖果；
∴a≠b；∴ b﹣ a≠0；
∴5y=120 ；
解得 y=24 ；
答：甲、乙两箱糖果各取出24千克的糖果．
【谈论】此题观察分式方程的应用；解析题意；找到合适的等量关系是解决问题的要点．
25．在 Rt△ ABC 中；∠ ACB=90°；∠ A=30°； BD 是△ ABC 的角均分线； DE ⊥AB 于 E．
（1〕如图 1；连接 CE；求证：△ BCE 是等边三角形；
（2〕如图 2；点 M 为 CE上一点；连接 BM ；作等边△ BMN ；连接 EN ；求证： EN ∥BC；
（3〕如图 3；点 P为线段 AD 上一点；连接 BP；作∠ BPQ=60°； PQ交 DE延长线于 Q；研究线段 PD； DQ 与AD之间的数量关系；并证明．
【考点】全等三角形的判断与性质．
【解析】〔1〕由直角三角形的性质得出∠ABC=60°；由角均分线的定义得出∠A= ∠DBA ；证出 AD=BD ；由线段垂直均分线的性质得出AE=BE ；由直角三角形斜边上的中线性质得出CE= AB=BE ；即可得出结论；
（2〕由等边三角形的性质得出 BC=BE ； BM=BN ；∠ EBC=∠ MBN=60°；证出∠ CBM= ∠ EBN ；由 SAS证明△CBM ≌△ EBN ；得出∠ BEN= ∠BCM=60°；得出∠ BEN= ∠ EBC ；即可得出结论；
〔3〕延长 BD 至 F；使 DF=PD ；连接 PF；证出△ PDF为等边三角形；得出 PF=PD=DF ；∠ F=∠PDQ=60°；获取∠ F= ∠PDQ=60°；证出∠ Q=∠ PBF；由 AAS 证明△ PFB≌△ PDQ；得出 DQ=BF=BD+DF=BD+DP ；证出 A D=BD ；即可得出结论．
【解答】〔1〕证明：∵∠ACB=90°；∠ A=30°；
∴∠ ABC=60°；
∵BD 是△ ABC 的角均分线；
∴∠ DBA=∠ABC=30° ；
∴∠ A= ∠DBA ；
∴AD=BD ；
∵DE⊥AB ；
∴A E=BE ；
∴C E= AB=BE ；
∴△ BCE 是等边三角形；
（2〕证明：∵△ BCE与△ MNB 都是等边三角形；
∴BC=BE ； BM=BN ；∠ EBC= ∠ MBN=60°；
∴∠ CBM= ∠ EBN ；
在△ CBM 和△ EBN 中；
；
∴△ CBM ≌△ EBN 〔 SAS〕；
∴∠ BEN= ∠BCM=60°；
∴∠ BEN= ∠EBC ；
∴EN ∥ BC；
（3〕解： DQ=AD+DP ；原由以下：
延长 BD 至 F；使 DF=PD ；连接 PF；以以下图：
∵∠ PDF= ∠ BDC= ∠ A+ ∠ DBA=30° +30°=60°；
∴△ PDF为等边三角形；
∴PF=PD=DF ；∠F=60°；
∵∠ PDQ=90° ﹣∠ A=60°；
∴∠ F= ∠PDQ=60°；
∴∠ BDQ=180° ﹣∠ BDC ﹣∠
PDQ=60°；∴∠ BPQ= ∠BDQ=60°；
∴∠ Q=∠ PBF；
在△ PFB和△ PDQ中；
；
∴△ PFB≌△ PDQ；
∴D Q=BF=BD+DF=BD+DP ；
∵∠ A= ∠ABD ；
∴A D=BD ；
∴D Q=AD+DP ．
【谈论】此题观察了全等三角形的判断与性质、等边三角形的判断与性质、平行线的判断、直角三角形斜边
上的中线性质等知识；此题综合性强；有必然难度；特别是〔 3〕中；需要经过作辅助线证明等边三角形和三角形
全等才能得出结论．
26．在等腰 Rt△ ABC 中；∠ BAC=90°； AB=AC ；在△ ABC 外作∠ ACM=∠ ABC；点D为直线BC上的动点；
过点 D 作直线 CM 的垂线；垂足为E；交直线 AC 于 F．
〔1〕当点 D 在线段 BC 上时；如图 1所示；①∠°；
②研究线段 DF与 EC的数量关系；并证明；
〔2〕当点 D 运动到 CB 延长线上时；请你画出图形；并证明此时DF与 EC的数量关系．
【考点】全等三角形的判断与性质；等腰直角三角形．
【解析】〔1〕①由等腰直角三角形的性质得出∠ ABC= ∠ACB=4 5°；求出∠°；即可得出∠ EDC 的度数；
②作∠ PDE=22.5 ；交 CE的延长线于 P点；交 CA的延长线于 N ；证明 PD=CD ；得出 PC=2CE；由 ASA 证明△ D NF≌△ PNC；得出 DF=PC ；即可得出结论；
（2〕作∠ PDE=22.5 ；交 CE的延长线于 P点；交 CA 的延长线于 N；证明 PD=CD ；得出 PC=2CE；由 ASA 证明△DNF ≌△ PNC；得出 DF=PC ；即可得出结论．
【解答】〔1〕①解：如图1所示：
∵∠ BAC=90 °； AB=AC ；
∴∠ ABC= ∠ ACB=45°；
∵∠ ACM=∠ ° ；
∴∠°；
∵DE⊥CM ；
∴∠ EDC=90° ﹣∠°；
故答案为：；
②D F=2CE ．原由以下：
证明：作∠ PDE=22.5 ；交 CE的延长线于 P点；交 CA 的延长线于 N；如图 2所示：
∵DE ⊥ PC；∠ ECD=67.5 ；
∴∠°；
∴∠ PDE= ∠ EDC；∠ NDC=45°；
∴∠°
∴PD=CD ；
∴P E=EC ；
∴P C=2CE ；
∵∠ NDC=45°；∠ NCD=45°；。