江苏省南京一中高一下学期期中考试(数学)

江苏省南京一中高一下学期期中考试（数学）
一、填空题：（ 共14小题，每小题3分，满分共42分） 1、在等比数列
{}n a 中，已知5a =1，9a =16，则公比q = ．
2、在△ABC 中，若∠A=30°, AB=2 3 , AC=3, 则△ABC 的面积是 ．
3、在正方体ABCD —A1B1C1D1中，AB1与BC 所成的角为 ．
4、设
2
, 2,a x x b x =-=-则a 与b 的大小关系为 ． 5、有以下四个命题： ①三个点确定一个平面；
②经过一点和一条直线有且只有一个平面；
③四个点中的任意三个点都不共线，则这四个点必不共面；
④若一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线必在同一个平面内。

其中正确命题的序号是 ．
6、不等式2
20ax bx -+>的解集为{x |1<x <2},则a +b = ． 7、△ABC
中，
7, a b c ===，则最小内角的大小是 ．
8、已知数列{}n a 的前n 项和23n S n n =+，则其通项公式为=
n
a ．
9、等比数列
{}n a 中，991a a 、为方程016102=+-x x 的两根，则2080a a ⋅的值为 ．
10、在下列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列， 则z y x ++的值为 ．
11、经过互相平行的两条直线中的一条，作平面与另一条平行，这样的平面可以作 个
12、海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望 C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 海里.
13、已知不等式3x 2+kx +2k
x 2+x +2
>2对一切实数x 都成立,则k 的取值范围是 ．
14、若0,0>>y x ，且,12=+y x 则y x 11+
的最小值为 ．
二、解答题：（共六小题，满分共58分，要求写出必要的计算和推理过程）
15、（本题满分8
分）求函数1
()1f x x =
+-.
16、（本题满分8分）设n
S 是等差数列
{}n a 的前n 项和，已知4
,184
==S S ,
求
13141516
a a a a +++的值.
17、（本题满分10分）已知2x >，求函数
6
32y x x =+
-的最小值，并指出取最小值时x 对应的值。

18、（本题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．
（Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）若a =，5c =，求b ．
19、（本题满分10分）某人从2010年初向银行申请个人住房商业贷款10万元用于购房，贷款的月利率为
1 %，并按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月开始归还．如果15年还清，那么每月应还贷
多少元？
说明：对于分期付款，银行有如下的规定：（1）分期付款按复利计息，每期所付款额相同，且在期末付款；
（2）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利和等于商品售价的本利和．（3）参考数据：179
1.01≈5.94；
1801.01≈6.00
本题满分12分）已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d ＞0，且第二项、第五项、 第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn ＝
1
(3)
n n a +（n ∈N *），Sn ＝b1＋b2＋…＋bn ，求Sn ；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的Sn ，是否存在实数t，使得对任意的n均有：8(3)
n n
S t a
≤+
成立？若存在，求
出t的范围，若不存在，请说明理由．
参考答案一、填空题：（14小题，每小题3分，满分共42分）
1、在等比数列{}
n
a
中，已知5
a
=1，9
a
=16，则公比q= 2
±。

2、在△ABC中，若∠A=30°, AB=2, AC=3, 则△ABC的面积是
__________．3、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB1与BC所成的角为0
90。

4、设
2, 2,
a x x
b x
=-=-则a与b的大小关系为a b
>。

5、有以下四个命题：
①三个点确定一个平面；
②经过一点和一条直线有且只有一个平面；
③四个点中的任意三个点都不共线，则这四个点必不共面；
④若一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线必在同一个平面内。

其中正确命题的序号是．
6、不等式
220
ax bx-
+>的解集为{x|1<x<2},则a+b= 2 .
7、△ABC
中，
7,
a b c
===，则最小内角的大小是．
8、已知数列{}
n
a
的前n项和
23
n
S n n
=+
，则其通项公式为
=
n
a。

9、等比数列{}
n
a
中，99
1
a
a、
为方程0
16
10
2=
+
-x
x的两根，则2080
a a⋅
的值为．
10、在下列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，
则
z
y
x+
+的值为．
11、经过互相平行的两条直线中的一条，作平面与另一条平行，这样的平面可以作个
12、海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛 和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 海里.
13、已知不等式对一切实数x 都成立,则k 的取值范围是 2<k<10 .
14、若0,0>>y x ，且,12=+y x 则
y x 11+
的最小值为 13 . 二、解答题：（六小题，满分共58分，要求写出必要的计算和推理过程）
15、（本题满分8
分）求函数1
()1f x x =
-.
16、（本题满分8分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知4,184==S S ,
求13141516a a a a +++的值.
17
、6+
19、（本题满分10分）某人从2010年初向银行申请个人住房商业贷款10万元用于购房，贷款的月利率为
1 %，并按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月开始归还．如果15年还清，那么每月应还贷
多少元？
说明：对于分期付款，银行有如下的规定：（1）分期付款按复利计息，每期所付款额相同，且在期末付款；
（2）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利和等于商品售价的本利和．（3）参考值：179
1.01≈5.94；
1801.01≈6.00
解：设每月应还贷x 元，付款次数为180次，则：
2179180[1(11%)(11%)(11%)]100000(11%)x +++++
++=+，
即180180
[(11%)1]
100000(11%)(11%)1x +-=++-， 1801801000001%(11%)1200
(11%)1x ⨯⨯+=≈+-（元）．
本题满分12分）已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d ＞0，且第二项、第五项、 第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn ＝1
(3)n n a +（n ∈N *），Sn ＝b1＋b2＋…＋bn ，求Sn ；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的Sn ，是否存在实数t ，使得对任意的n 均有：8(3)
n n S t a ≤+成立？若存在，求
出t 的范围，若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）由题意得（a1＋d ）（a1＋13d ）=（a1＋4d ）2， ……………………… 2 分 整理得2a1d ＝d2．
∵a1＝1，解得（d ＝0舍），d ＝2． ………………………………………… 4 分 ∴an ＝2n －1（n ∈N *）． …………………………………………………… 6 分
（Ⅱ）bn ＝1(3)n n a +＝)1(21+n n ＝21（n 1－11
+n ）
，
∴Sn ＝b1＋b2＋…＋bn ＝21［（1－21）＋（21－31）＋…＋（n 1－11+n ）］
＝21（1－11
+n ）＝)
1(2+n n ． …………………………………… 10 分
（Ⅲ）假设存在整数t 满足
8(3)
n n S t a ≤+总成立.
得22(1)n t n ≥+，而22221
1(1)2222n n n n =≤=++++，即
2
21(1)2n n +的最大值为， ∴1
2t ≥
适合条件 ………………………………………… 12分。