【数学】2021届高三入学调研试卷(三)(理)(解析版)
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【解析】（1）因为 ，
由正弦定理有 ，即有 ，
由余弦定理得 ，
又 为锐角，∴ ．
（2） ，
又在锐角 中，有 ，
所以 ，所以 ，
（2）若 在 上为增函数，求 的取值范围．
21．（12分）已知 ， ， 分别为锐角 三个内角 ， ， 的对边，且 ．
（1）求 的大小；
（2）求 的取值范围．
22．（12分）已知 ．
（1）若 ，求 在 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 在 上的最大值为 ，求 的值．
参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【解析】（1）由 ，得 ，所以 ，
∵ ，所以 ．
（2）由正弦定理得 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ．
20．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）因为 ，且 在 处的切线方程为 ，
所以 ，所以 ．
（2）因为 在 上为增函数，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，所以有 ．
21．【答案】（1） ；（2） ．
要使 恒成立，则 ，
故 的最大取值为 ．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）因为 ， ，所以 ，记 ，
又因为 ，所以 或 ，记 ，
又 是 的必要不充分条件，所以有 ，且 推不出 ，
所以 ，即 ，
所以实数 的取值范围为 ．
12．【答案】D
【解析】由题意可得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
由 ，得 ，
因为 ， ，所以 ，
故选D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】【解析】因 Nhomakorabea ，所以 ，
由余弦定理得 ，故 ．
14．【答案】
【解析】∵函数 在 内单调递增，在 内单调递减，
∴ 在 处取得最大值， ；
故所求切线方程为 ，即 ．
10．【答案】C
【解析】由函数 可知，
当 时， ，函数必须满足 ，否则函数无最小值，此时 ；
当 时， 单调递减，满足 ，所以 ，解得 ．
11．【答案】D
【解析】函数 是定义在 上的函数，所以由 ，
不等式 可变形为 ，
构造函数 ， ，
所以 在 上单调递增，
由 ，可得 ，故选D．
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知函数 ，若 ， ，则（）
A． B．
C． D． 与 的大小不能确定
4．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， （ 为常数），则 的值为（）
A． B． C． D．
5．已知函数 ，则 （）
A． B． C． D．
6．若 ，则 （）
A． B． C． D．
7．在 中， ， ， ，则 （）
16．定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，若对 ， 恒成立，则 的最大取值为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知 ，其中 ； ．
（1）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
在 处取得最小值， ，
所以 在 上的值域为 ．
15．【答案】
【解析】由题意知 ，
由 ，得函数 的两个极值点为 和 ，
则只要这两个极值点有一个在区间 内，函数 在区间 上就不单调，
∴ 或 或 或 ．
16．【答案】
【解析】∵ ，∴ ．
依题意，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
令 ，解得 ，结合函数图象的特征可知，
18．（12分）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．
（1）求函数 的解析式；
（2）若对任意实数 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
19．（12分）已知 内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的面积．
20．（12分）已知函数 （ ）．
（1）若 在 处的切线方程为 ，求 ， 的值；
A． B． C． D．
12．将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得到 的
图象，若 ，且 ， ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在 中， ， ，三角形的面积为 ，则 外接圆的直径是．
14．函数 在 上的值域为．
15．已知函数 在区间 上不单调，则 的取值范围是．
1．【答案】D
【解析】 ， ，
则 ．
2．【答案】B
【解析】“没有金刚钻，不揽瓷器活”的逆否命题为“揽瓷器活则有金刚钻”；
根据互为逆否命题的真假性相同，可得“揽瓷器活”是“有金刚钻”的充分条件，
则“有金刚钻”是“揽瓷器活”的必要条件．
3．【答案】A
【解析】 ，
因为 ，则 ，则 ．
4．【答案】C
【解析】∵ 是定义在 上的奇函数，则 ，故 ，
A． B． C． D．
8．将函数 的图象上的所有点向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得到函数 的图象，则 的解析式为（）
A． B．
C． D．
9．曲线 在点 处的切线方程为（）
A． B． C． D．
10．若函数 存在最小值，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
11．设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，则不等式 的解集为（）
则 ，
∴当 时， ，∴ ．
5．【答案】A
【解析】由题意得 ，∴ ，∴ ．
6．【答案】B
【解析】 ，所以 ，即 ．
7．【答案】A
【解析】由 ，则 ，
∴ ，∴ ．
8．【答案】B
【解析】由题可得，将函数 的图象上的所有点向左平移 个单位，
再向上平移 个单位，得到函数 的图象，
则 ．
9．【答案】A
【解析】依题意， ，故切线斜率 ，
（2）因为 是 的充分不必要条件，则有 ，且 推不出 ，即 ，
所以有 ，即 ，
所以实数 的取值范围是 ．
18．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）当 时， ，
又 是奇函数，∴ ，
∴ ，∴ ．
（2）由 和 是奇函数，得 ，
由 的图象知 为 上的增函数，
∴ ， ，∴ ．
19．【答案】（1） ；（2） ．
2021届高三入学调研数学试卷（三）（理）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．古人常说：“没有金刚钻，不揽瓷器活”，则“有金刚钻”是“揽瓷器活”的（）
A．充分条件B．必要条件
由正弦定理有 ，即有 ，
由余弦定理得 ，
又 为锐角，∴ ．
（2） ，
又在锐角 中，有 ，
所以 ，所以 ，
（2）若 在 上为增函数，求 的取值范围．
21．（12分）已知 ， ， 分别为锐角 三个内角 ， ， 的对边，且 ．
（1）求 的大小；
（2）求 的取值范围．
22．（12分）已知 ．
（1）若 ，求 在 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 在 上的最大值为 ，求 的值．
参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【解析】（1）由 ，得 ，所以 ，
∵ ，所以 ．
（2）由正弦定理得 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ．
20．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）因为 ，且 在 处的切线方程为 ，
所以 ，所以 ．
（2）因为 在 上为增函数，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，所以有 ．
21．【答案】（1） ；（2） ．
要使 恒成立，则 ，
故 的最大取值为 ．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）因为 ， ，所以 ，记 ，
又因为 ，所以 或 ，记 ，
又 是 的必要不充分条件，所以有 ，且 推不出 ，
所以 ，即 ，
所以实数 的取值范围为 ．
12．【答案】D
【解析】由题意可得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
由 ，得 ，
因为 ， ，所以 ，
故选D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】【解析】因 Nhomakorabea ，所以 ，
由余弦定理得 ，故 ．
14．【答案】
【解析】∵函数 在 内单调递增，在 内单调递减，
∴ 在 处取得最大值， ；
故所求切线方程为 ，即 ．
10．【答案】C
【解析】由函数 可知，
当 时， ，函数必须满足 ，否则函数无最小值，此时 ；
当 时， 单调递减，满足 ，所以 ，解得 ．
11．【答案】D
【解析】函数 是定义在 上的函数，所以由 ，
不等式 可变形为 ，
构造函数 ， ，
所以 在 上单调递增，
由 ，可得 ，故选D．
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知函数 ，若 ， ，则（）
A． B．
C． D． 与 的大小不能确定
4．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， （ 为常数），则 的值为（）
A． B． C． D．
5．已知函数 ，则 （）
A． B． C． D．
6．若 ，则 （）
A． B． C． D．
7．在 中， ， ， ，则 （）
16．定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，若对 ， 恒成立，则 的最大取值为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知 ，其中 ； ．
（1）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
在 处取得最小值， ，
所以 在 上的值域为 ．
15．【答案】
【解析】由题意知 ，
由 ，得函数 的两个极值点为 和 ，
则只要这两个极值点有一个在区间 内，函数 在区间 上就不单调，
∴ 或 或 或 ．
16．【答案】
【解析】∵ ，∴ ．
依题意，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
令 ，解得 ，结合函数图象的特征可知，
18．（12分）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．
（1）求函数 的解析式；
（2）若对任意实数 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
19．（12分）已知 内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的面积．
20．（12分）已知函数 （ ）．
（1）若 在 处的切线方程为 ，求 ， 的值；
A． B． C． D．
12．将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得到 的
图象，若 ，且 ， ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在 中， ， ，三角形的面积为 ，则 外接圆的直径是．
14．函数 在 上的值域为．
15．已知函数 在区间 上不单调，则 的取值范围是．
1．【答案】D
【解析】 ， ，
则 ．
2．【答案】B
【解析】“没有金刚钻，不揽瓷器活”的逆否命题为“揽瓷器活则有金刚钻”；
根据互为逆否命题的真假性相同，可得“揽瓷器活”是“有金刚钻”的充分条件，
则“有金刚钻”是“揽瓷器活”的必要条件．
3．【答案】A
【解析】 ，
因为 ，则 ，则 ．
4．【答案】C
【解析】∵ 是定义在 上的奇函数，则 ，故 ，
A． B． C． D．
8．将函数 的图象上的所有点向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得到函数 的图象，则 的解析式为（）
A． B．
C． D．
9．曲线 在点 处的切线方程为（）
A． B． C． D．
10．若函数 存在最小值，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
11．设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，则不等式 的解集为（）
则 ，
∴当 时， ，∴ ．
5．【答案】A
【解析】由题意得 ，∴ ，∴ ．
6．【答案】B
【解析】 ，所以 ，即 ．
7．【答案】A
【解析】由 ，则 ，
∴ ，∴ ．
8．【答案】B
【解析】由题可得，将函数 的图象上的所有点向左平移 个单位，
再向上平移 个单位，得到函数 的图象，
则 ．
9．【答案】A
【解析】依题意， ，故切线斜率 ，
（2）因为 是 的充分不必要条件，则有 ，且 推不出 ，即 ，
所以有 ，即 ，
所以实数 的取值范围是 ．
18．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）当 时， ，
又 是奇函数，∴ ，
∴ ，∴ ．
（2）由 和 是奇函数，得 ，
由 的图象知 为 上的增函数，
∴ ， ，∴ ．
19．【答案】（1） ；（2） ．
2021届高三入学调研数学试卷（三）（理）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．古人常说：“没有金刚钻，不揽瓷器活”，则“有金刚钻”是“揽瓷器活”的（）
A．充分条件B．必要条件