八年级数学华师大版教学案67乘法公式——平方差完全平方公式

12.3 乘法公式
平方差与完全平方式
一、平方差公式：（a+b ）(a-b)=a 2-b 2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。

1、即：（a+b ）(a-b) = 相同符号项的平方 - 相反符号项的平方
2、平方差公式可以逆用，即：a 2-b 2=（a+b ）(a-b)。

3、能否运用平方差公式的判定
①有两数和与两数差的积 即：（a+b ）(a-b)或（a+b ）(b-a) ②有两数和的相反数与两数差的积 即：（-a-b ）(a-b)或（a+b ）(b-a) ③有两数的平方差 即：a 2
-b 2
或-b 2
+a 2
二、完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

1、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2=(a+b)2 a 2-2ab+b 2=(a-b)2
2、能否运用完全平方式的判定 ①有两数和（或差）的平方
即：(a+b)2或 (a-b)2或 (-a-b)2或 (-a+b)2
②有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。

即：a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2 -a 2-2ab-b 2或 -a 2+2ab-b 2
例题讲解：
例1.下列各式中哪些可以运用平方差公式计算 （1）()()c a b a -+ （2）()()x y y x +-+ （3）()()ab x x ab ---33 （4）()()n m n m +-- 例2.判断：
（1）()()22
422b a a b b a -=-+ （ ） （2）12
1
1211212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛+x x x （ ） （3）()()2
2
933y x y x y x -=+-- （ ）（4）()()2
2
422y x y x y x -=+--- （ ） （5）()()6322
-=-+a a a （ ） （6）()()933-=-+xy y x （ ）
例3、计算：
（1）)4)(1()3)(3(+---+a a a a （2）2
2
)1()1(--+xy xy
（3）)4)(12(3)32(2+--+a a a （4）)3)(3(+---b a b a
（5）22)3(x x -+ （6）22)(y x y +-
（7）24815
11111
(1)(1)(1)(1)22222
++
+++．
（8）
例4.先化简，再求值:
⑴(x+2)2
-(x+1)(x-1),其中x=1.5
⑵[]x y y x y x y x 25)3)(()2(22÷--+-+,其中21
,2=-=y x
(3) )2)(2(2))(2()2(2b a b a b a b a b a +--+--+，其中2,2
1
-==b a .
(4) (2a －3b)(3b ＋2a)－（a －2b ）2
,其中：a=－2,b=3
例5.有这样一道题，计算：2（x+y ）(x －y)+[（x+y ）2
－xy]+ [（x －y ）2
+xy]的值，其中x=2006，y=2007；某同学把“y=2007”错抄成“y=2070”但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由。

二、基础练习
（一）、选择题
1．平方差公式（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2中字母a ，b 表示（ ）
A ．只能是数
B ．只能是单项式
C ．只能是多项式
D ．以上都可以
2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b）
C．（1
3
a+b）（b－
1
3
a）D．（a2－b）（b2+a）
3．下列计算中，错误的有（）
①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；
③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（）
A．5 B．6 C．－6 D．－5
（二）、填空题
5．（－2x+y）（－2x－y）=______．
6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．
7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．
8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．
（三）、计算题
9．利用平方差公式计算：202
3
×21
1
3
．
10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．
三、提高题
1．计算：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；
（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－
4016
3
2
．
2．利用平方差公式计算：2009×2007－20082．
（1）利用平方差公式计算：
22007
200720082006
-⨯
．
（2）利用平方差公式计算：
2
2007 200820061
⨯+
．
3．解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．
4．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？
四、经典中考题
5．下列运算正确的是（ ）
A ．a 3+a 3=3a 6
B ．（－a ）3·（－a ）5=－a 8
C ．（－2a 2b ）·4a=－24a 6b 3
D ．（－13a －4b ）（1
3
a －4
b ）=16b 2－19a 2
6．计算：（a+1）（a －1）=______．
拓展题型
1．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x ）（1－x ）=1－x 2，（1－x ）（1+x+x 2）=1－x 3， （1－x ）（•1+x+x 2+x 3）=1－x 4．
（1）观察以上各式并猜想：（1－x ）（1+x+x 2+…+x n ）=______．（n 为正整数） （2）根据你的猜想计算：
①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______． ②2+22+23+…+2n =______（n 为正整数）． ③（x －1）（x 99+x 98+x 97+…+x 2+x+1）=_______． （3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①（a －b ）（a+b ）=_______． ②（a －b ）（a 2+ab+b 2）=______．
③（a －b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=______．
2．（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m ，n 和数字4．
五、新颖题
1．你能求出2111
1
(1+)(1+)(1+)(1+
)2416
2n
的值吗？
2．观察下列各式：
；
；
根据前面的规律，你能求出 的值吗？
二、完全平方公式变形的应用
完全平方式常见的变形有:
ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+
ab b a b a 4)(22
=--+）（
bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值
2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。

3．已知 2
()16,4,a b ab +==求223
a b +与2()a b -的值。

练一练
1．已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。

2．已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。

3、已知224,4a b a b +=+=求22a b 的值。

4、已知(a +b)2=60，(a -b)2=80，求a 2+b 2及a b 的值
5．已知6,4a b ab +==，求22223a b a b ab ++的值。

6．已知222450x y x y +--+=，求21
(1)2
x xy --的值。

7．已知1
6x x
-=，求221x x +的值。

8、0132=++x x ，求（1）2
2
1x
x +
（2）44
1x x +
9、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。

10、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？
能力提升 一、请准确填空
1、若a 2
+b 2
－2a +2b +2=0,则a
2004
+b
2005
=________.
2、一个长方形的长为(2a +3b ),宽为(2a －3b ),则长方形的面积为________.
3、5－(a －b )2
的最大值是________，当5－(a －b )2
取最大值时，a 与b 的关系是________. 4.要使式子0.36x 2+4
1y 2
成为一个完全平方式，则应加上________. 5.(4a
m+1
－6a m
)÷2a
m －1
=________.
6.29×31×(302
+1)=________. 7.已知x 2－5x +1=0,则x 2
+
2
1
x =________.
8.已知(2005－a )(2003－a )=1000,请你猜想(2005－a )2+(2003－a )2
=________.
二、相信你的选择
9.若x 2－x －m =(x －m )(x +1)且x ≠0,则m 等于（ ） A.－1
B.0
C.1
D.2
10.(x +q )与(x +5
1
)的积不含x 的一次项，猜测q 应是（ ）
A.5
B.51
C.－51
D.－5
11.下列四个算式:①4x 2y 4÷4
1
xy =xy 3;②16a 6b 4c ÷8a 3b 2=2a 2b 2c ;③9x 8y 2÷3x 3y =3x 5y ; ④
(12m 3+8m 2－4m )÷(－2m )=－6m 2+4m +2，其中正确的有（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
12.设(x m －1y n +2)·(x 5m y －2)=x 5y 3,则m n 的值为（ ） A.1
B.－1
C.3
D.－3
13.计算［(a 2－b 2)(a 2+b 2)］2等于（ ） A.a 4－2a 2b 2+b 4
B.a 6+2a 4b 4+b 6
C.a 6－2a 4b 4+b 6
D.a 8－2a 4b 4+b 8
14.已知(a +b )2=11,ab =2,则(a －b )2的值是（ ） A.11
B.3
C.5
D.19
15.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是（ ） A.
2
7y 2
B.
2
49y 2
C.
4
49y 2
D.49y 2
16.若x ,y 互为不等于0的相反数，n 为正整数,你认为正确的是（ ） A.x n 、y n 一定是互为相反数 B.(
x 1)n 、(y
1
)n 一定是互为相反数 C.x 2n 、y 2n 一定是互为相反数 D.x 2n －1、－y 2n －1一定相等 三、考查你的基本功
(1)(a －2b +3c )2－(a +2b －3c )2;
(2)［(x +2y )(x －2y )+4(x －y )2－6x ］÷6x .
(3）x (9x －5)－(3x －1)(3x +1)=5.
四、生活中的数学
如果运载人造星球的火箭的速度超过11.2 km/s(俗称第二宇宙速度)，则人造星球将会挣脱地球的束缚，成为绕太阳运行的恒星.一架喷气式飞机的速度为1.8×106 m/h,请你推算一下第二宇宙速度是飞机速度的多少倍？
五、探究拓展与应用
已知：(2+1)(22+1)(24
+1)
=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22－1)(22+1)(24+1)
=(24－1)(24+1)=(28－1).
根据上式的计算方法，请计算
(3+1)(32+1)(34+1)…(332+1)－2364
的值.
“整体思想”在整式运算中的运用
1、当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.
2、已知2083-=
x a ，1883-=x b ，168
3-=x c ，求：代数式bc ac ab c b a ---++222的值。

3、已知4=+y x ，1=xy ，求代数式)1)(1(22++y x 的值
4、已知2=x 时，代数式10835=-++cx bx ax ，求当2-=x 时，代数式
835-++cx bx ax 的值
5、若123456786123456789⨯=M ，123456787123456788⨯=N 试比较M 与N 的大小
6、已知012=-+a a ，求200722
3++a a 的值.
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