04-讲义：10.4 桁架的影响线

第四节 桁架的影响线
对于桁架结构，荷载一般也是通过纵梁和横梁作用于桁架结点上的。

图10-11(a)所示为某钢桁架桥的示意图，其计算简图如图10-11(b)所示，作用在下弦的外荷载先由纵梁传给横梁，再由横梁传到桁架结构上。

横梁一般只在主桁架结点处设置，因此主桁架只在结点处受到由横梁传递来的间接荷载或结点荷载作用，其荷载传递方式与图10-11(c)所示的梁式体系相同。

因此，间接荷载作用下的影响线性质，对桁架结构也是适用的。

即：桁架结构任一量值影响线在相邻结点之间为直线。

所以，桁架结构影响线的作法如下：将单位集中荷载1F =依次放置于各结点上，计算所求量值的大小即为该量值在各相应结点处的影响线竖标，再将相邻结点处的竖标连以直线即可。

下面以图10-12(a)所示的简支平行弦桁架为例，说明桁架支座反力和杆件轴力的影响线绘制方法。

1、支座反力A F 和B F 的影响线
对于简支梁式桁架来说，其支座反力的计算与相应简支梁是相同的，故二者支座反力影响线也完全一样，分别如图10-12(b)和10-12(c)所示。

2、弦杆轴力Na F 和Nb F 的影响线
为求Na F ，可作截面Ⅰ-Ⅰ，以结点8为矩心，由力矩平衡条件求解。

图10-11 桁架受荷特征
(a)钢桁架桥示意图 (b)桁架计算简图 (c)等效间接荷载作用梁式体系
当1F =移动到截面Ⅰ-Ⅰ左侧结点（结点A 、1、2）上时，取截面Ⅰ-Ⅰ以右部分为隔离体，由平衡条件∑=08M 得：
03=⨯-⨯d F h F B Na
从而有：
3Na B d F F h
= （10-8a ） 当1F =移动到截面Ⅰ-Ⅰ右侧结点（结点3、4、5、B ）上时，取截面Ⅰ-Ⅰ以左部分为隔离体，由平衡条件
∑=08M 得： 03=⨯-⨯d F h F A Na
从而有： 3Na A d F F h =
（10-8b ） 利用式（10-8a ）将反力B F 影响线竖标乘以3/d h ，取结点A 、1、2处的竖标值；利用式（10-8b ）将反力A F 影响线竖标乘以3/d h ，取结点3、4、5、B 处的竖标值。

将相邻结点处的这些竖标用直线相连，就得到如图10-12(d)所示的Na F 影响线。

作上弦杆件轴力Nb F 的影响线，仍取截面Ⅰ-Ⅰ，以结点2为矩心，采用力矩平衡方程求解。

当1F =移动到截面Ⅰ-Ⅰ左侧结点（结点A 、1、2）上时，取截面Ⅰ-Ⅰ以右部分为隔离体，由平衡条件∑=02M 得：
04=⨯+⨯d F h F B Nb
从而有：
4Nb B d F F h
=- （10-9a ） 当1F =移动到截面Ⅰ-Ⅰ右侧结点（结点3、4、5、B ）上时，取截面Ⅰ-Ⅰ以左部分为隔离体，由平衡方程
∑=02M 得： 02=⨯+⨯d F h F A Nb
从而有： 2Nb A d F F h =-
（10-9b ）
图10-12 桁架支座反力和杆件轴力的影响线 (a) 桁架计算简图 (b)A F 影响线 (c)B F 影响线 (d)Na F 影响线 (e)Nb F 影响线 (f)yc F 影响线
(g)Nd F 影响线 (h)ye F 影响线
利用式（10-9a ）将反力B F 影响线竖标乘以4/d h 并反号后，取结点A 、1、2处的竖标值；利用式（10-9b ）将反力A F 影响线竖标乘以2/d h 并反号后，取结点3、4、5、B 处的竖标值。

将相邻结点处的这些竖标用直线相连，就得到如图10-12(e)所示的Nb F 影响线。

由上可知，为了求量值Na F 和Nb F ，仍然采用了静定桁架内力计算方法(截面法)，采用力矩平衡条件求解，只是这里的荷载是一个移动的单位集中荷载。

3、斜杆轴力Nc F 的影响线
为求Nc F ，作截面Ⅰ-Ⅰ，利用投影平衡方程
∑=0y F 求解。

当1F =移动到截面Ⅰ-Ⅰ左侧结点（结点A 、1、2）上时，取截面Ⅰ-Ⅰ以右部分为隔离体，由投影平衡方程∑=0y F 有：
B yc F F = （10-10a ）
当1F =移动到截面Ⅰ-Ⅰ右侧结点（结点3、4、5、B ）上时，取截面Ⅰ-Ⅰ以左部分为隔离体，由投影平衡方程∑=0y 有：
A yc F F -= （10-10b ）
这里，yc F 为Nc F 在竖向的分量。

利用式（10-10a ）由反力B F 影响线取结点A 、1、2处的竖标值，利用式（10-10b ）将反力A F 影响线反号后取结点3、4、5、B 处的竖标值。

将相邻结点处的这些竖标用直线相连，就得到如图10-12(f)所示的yc F 影响线。

再根据比例关系：
yc F h =
就很容易由yc F 影响线得到Nc F 影响线。

由上可知，求量值Nc F ，也是采用了静定桁架内力计算方法（截面法），由力的投影平衡条件求解，只是作用荷载是一个移动的单位集中荷载。

4、竖杆轴力Nd F 和端斜杆轴力Ne F 的影响线
为求Nd F ，结点1为隔离体，利用力的投影平衡方程∑=0y F 来求解。

当1F =移动到结点1处时，取结点1为隔离体，由投影平衡方程∑=0y F 有：
1=Nd F （10-11a ）
当1F =移动到其它结点（结点A 、2、3、4、5、B ）上时，取结点1为隔离体，由投影平衡方程∑=0y 有：
0=Nd F （10-11b ）
由式(10-11a)和(10-11b)可知，Nd F 影响线在结点1处的竖标为1，在其它结点处的竖标均为0。

将相邻结点处的这些竖标用直线相连，就得到如图10-12(g)所示的Nd F 影响线。

同理，为求Ne F ，可取结点A 为隔离体，利用力的投影平衡方程∑=0y F 来求解。

当1F =移动到结点A 处时，取结点A 为隔离体，由投影平衡方程∑=0y
F 有： 0=ye F （10-12a ）
当1F =移动到其它结点（结点1、2、3、4、5、B ）上时，取结点A 为隔离体，由投影平衡方程∑=0y F 有：
A ye F F -= （10-12b ）
这里，ye F 为Ne F 在竖向的分量。

由式(10-12a)知ye F 影响线在结点A 处的竖标为0，由式（10-12b ）将A F 影响线反号后取结点1、2、3、4、5、B 处的竖标。

将相邻结点处的这些竖标用直线相连，就得到如图10-12(h)所示的ye F 影响线，再由比例关系很容易得到Ne F 的影响线。

由上可知，求量值Nd F 、Ne F ，采用了静定桁架内力计算方法中的结点法，只是作用荷载是一个移动的单位集中荷载。

当桁架组成较复杂时，绘制某些杆件内力影响线时可能要联合应用结点法和截面法来求解，有
时还需要把其他杆件内力影响线先行求出，然后根据它们之间的静力学关系，用叠加法作所求杆件的内力影响线。

下面以图10-13所示桁架结构为例说明这个问题，其中荷载沿下弦移动，要求作竖杆a 的轴力Na F 影响线。

由结点10的竖向投影平衡条件可知，欲求a 杆内力，应先求得b 杆及d 杆的内力。

b 杆内力可由结点K 的平衡条件及截面Ⅰ-Ⅰ的投影方程联合求得。

同样地，d 杆内力可由结点'K 的平衡条件及截面Ⅱ-Ⅱ的投影方程联合求得。

先作b 杆轴力影响线。

若取结点K 为隔离体，由平衡条件0x F =∑可知：
xb xc F F =- 从而有：
yb yc F F =-，Nb Nc F F =- （10-13a ）
这里，xb F 、yb F （xc F 、yc F ）分别为b 杆（c 杆）杆轴力Nb F (Nc F )在水平及竖直方向的分量。

然后作截面Ⅰ-Ⅰ。

当1F =在截面Ⅰ-Ⅰ左侧移动时，取截面右侧为隔离体，由0y F =∑有：
（10-13b ）
将式（10-13a ）代入（10-13b ）,从而得：
（10-13c ）
当1F =在截面Ⅰ-Ⅰ右侧移动时，取截面左侧为隔离体，由0y F =∑有： （10-13d ）
将式（10-13a ）代入（10-13d ）,从而得：
（10-13e ）
从式（10-13c ）、（10-13d ）可知，由支座反力A F 和B F 的影响线，可确定yb F 影响线在各结点处的竖标值，将相邻结点处的竖标用直线相连，就得到yb F 影响线，如图10-13(b)所示。

再作d 杆轴力影响线。

由结点'K 的平衡条件
0x F =∑可知： xd xe F F =-
从而有： yd ye F F =-，Nd Ne F F =- （10-14a ）
这里，xd F 、yd F （xe F 、ye F ）分别为d 杆（e 杆）杆轴力Nd F (Ne F )在水平及竖直方向的分量。

0yb yc B F F F --=12yb B F F =0yb yc A F F F -+=12yb A F F =-
图10-13联合应用结点法和截面法作桁架内力影响线
(a)K 字型桁架 (b)yb F 影响线 (c)yd F 影响线(d)Na F 影响线
然后作截面Ⅱ-Ⅱ。

当1F =在截面Ⅱ-Ⅱ左侧移动时，取截面右侧为隔离体，由0y F =∑有：
（10-14b ）
将式（10-14a ）代入（10-14b ）,从而得：
（10-14c ）
当1F =在截面Ⅱ-Ⅱ右侧移动时，取截面左侧为隔离体，由0y F =∑有：
（10-14d ）
将式（10-14a ）代入（10-14d ）,从而得：
（10-14e ）
从式（10-14c ）、（10-14d ）可知，由支座反力A F 和B F 的影响线，可确定yd F 影响线在各结点处的竖标值，将相邻结点处的竖标用直线相连，就得到yd F 影响线，如图10-13(c)所示。

有了b 杆和d 杆轴力的影响线，就可以作a 杆轴力影响线。

考虑结点10的平衡条件
0y F =∑可知： ()Na yb yd F F F =-+ （10-15）
因此，将b 、d 杆轴力竖向分量yb F 、yd F 影响线，在对应结点处竖标叠加并反号，即得a 杆轴力影响线，如图10-13(d)所示。

值得注意的是，在绘制桁架内力影响线时，要分清单位集中荷载1F =
是沿上弦移动（上弦承0yd ye B F F F -+=12yd B F F =-0yd ye A F F F --=12yd A F F =
载）还是沿下弦移动（下弦承载），因为有时这两种情况下所作出的影响线是不相同的。

如图10-14所示桁架结构中，分别作出了在上弦承载和下弦承载两种情况下下弦杆、上弦杆和腹杆的轴力影响线，读者可自行对比。

图10-14 上(下)弦承载时桁架影响线的对比 (a)桁架计算简图 (b)Na F 影响线(上承载) (c)Na F 影响线(下承载)
(d)yb F 影响线(上承载) (e)yb F 影响线(下承载)。