2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程章末复习课学案新人教B版选修2-1(2021-2022学年)

第2章圆锥曲线与方程
圆锥曲线定义的应用
线右支上的动点，则|PF｜＋|PＡ|的最小值为（)
Ａ．9 B.５Ｃ．8 D.４
(2）若点M（1,2),点C是椭圆＼f（x2，１６)+错误!=1的右焦点,点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是____＿___．
(1)A(2）8-2＼ｒ(５）[(1）设右焦点为F′,则Ｆ′（4，０）,依题意,有|ＰF｜=｜PF′|+4,所以｜PF｜＋｜ＰＡ|＝|ＰＦ′｜＋|ＰA|+4≥|AＦ′｜+4=5＋4＝9.
(2)设点Ｂ为椭圆的左焦点,则B(-3，0),点M（1,２）在椭圆内,那么|BM｜+|AＭ｜＋｜AC|≥|AB|＋|ＡC|=2a，
所以|AM｜+|AC｜≥2a－｜BM|，
而a＝4,|BM｜＝错误!未定义书签。

＝2＼r（５），
所以（|ＡM|＋｜AC｜)mｉｎ＝8－2＼r(5)。

］
研究有关点间的距离的最值问题时,常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合几何图形利用几何意义去解决有关的最值问题.
提醒:应用定义解决问题时，需紧扣其内涵，注意限制条件是否成立,然后得到相应的结论。

１．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D，E两点．已知|ＡＢ｜=4错误!未定义书签。

，|DE｜=２错误!未定义书签。

,则C的焦点到准线的距离为（）Ａ．2 B．4 C．6 D．8
B［设抛物线的方程为y2=2px(p>0）,圆的方程为x2+y2＝ｒ2.
∵|AB｜=4错误!未定义书签。

,|ＤE|=25,
抛物线的准线方程为ｘ＝－错误!,
∴不妨设Ａ错误!未定义书签。

，D错误!未定义书签。

∵点A错误!未定义书签。

,Ｄ错误!在圆x2+y2=ｒ２上,
∴错误!∴错误!未定义书签。

+8=错误!未定义书签。

＋５,
∴p＝４(负值舍去）．
∴C的焦点到准线的距离为4．］
2.在平面直角坐标系中,两点Ｐ1(x1，y1），P2(x2，ｙ2）间的“L。

距离”定义为｜P1Ｐ2｜＝｜x１-x2｜＋｜ｙ1－y2|，则平面内与ｘ轴上两个不同的定点Ｆ１,F2的“L.距离"之和等于定值(大于|Ｆ1Ｆ2|）的点的轨迹可以是图中的( )
ﻬ
A［设Ｆ１（-c，０）,F２(c,0)，P(x,y),则点P满足:|PF1｜＋|PF2｜=2a(2ａ>｜F1F2|)，代入坐标，得|x+c|＋|x－c|+2|y|=２a。

当y>０时,y=错误!当y≤0时,ｙ＝错误!结合选项可知A正确,故选A。

]
圆锥曲线性质的应用
【例２】 (1)已知为坐标原点，是椭圆:＼f （）＋＝1(>>0)的左焦点，A ，B 分别为Ｃ的左、右顶点．Ｐ为C 上一点,且ＰＦ⊥ｘ轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点Ｅ。

若直线BM 经过O Ｅ的中点，则C 的离心率为( )
A.错误!未定义书签。

B ．错误!未定义书签。

Ｃ．错误!未定义书签。

D ．错误!未
定义书签。

(2）已知双曲线错误!未定义书签。

－错误!未定义书签。

＝1(ａ>0,b ＞０）的离心率e =错误!
未定义书签。

,点Ａ(０,１)与双曲线上的点的最小距离是错误!,求双曲线方程．
(1)A [如图所示，由题意得A (-a ，0）,Ｂ(ａ,0),F (－c,0)． 由PF ⊥x 轴得
Ｐ错误!.
设E (0，m ),
又PF ∥OE ，得错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

,
则|MF |=错误!。

①
又由OE ∥MF ，得错误!＝错误!未定义书签。

， 则｜MF ｜＝错误!.②
ﻬ由①②得
a －c =错误!(a +c )，即a =３c ,
∴ｅ＝c a
＝错误!。

故选A.]
(2)［解] ∵e =错误!未定义书签。

＝错误!,∴错误!=错误!未定义书签。

,∴a ２
=4ｂ2
,设双曲线错误!未定义书签。

－错误!=1上一点Ｂ(x ，y ），则|AB |２
=x ２
＋(y －1)2
=4b 2
＋4y ２
+（y －1）2
=５ｙ
2
-２y ＋4b 2+1＝5错误!未定义书签。

２＋4b 2
＋错误!未定义书签。

当y =＼f （１,5）时,|A Ｂ|取得
最小值，为错误!，即错误!＝错误!,∴ｂ2
=1,双曲线方程为错误!－y 2
＝1。

圆锥曲线的性质综合性强,需弄清每个性质的真正内涵,然后正确地应用到解题中去。

３．（201９·全国卷Ⅱ）设F 为双曲线C ：错误!－错误!未定义书签。

＝１（a >０，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2
+y 2
＝a 2
交于P ，Ｑ两点,若|PQ |=|O Ｆ|,则C 的离心率为( )
D 。

5 A 。

错误!未定义书签。

B.＼ｒ(3) C ．２ Ａ [如图:以O Ｆ为直径的圆的方程为x -错误!2
+y
２
＝错误!,①
又x2＋y２＝ａ2，②
①-②得交线ＰQ的直线方程为：ｘ＝错误!未定义书签。

，
代入②,得y＝±错误!,
又｜PQ|＝|OF|,
则２错误!未定义书签。

＝c,∴a=ｂ,ｅ＝错误!未定义书签。

,
故选A。

］
ﻬ【例3】已知直线:=＋1(≠0）恒过椭圆：＋
签。

=1(a＞b>０)的右焦点Ｆ，且交椭圆C于A、B两点.
(1）若抛物线ｘ２=４错误!未定义书签。

y的焦点为椭圆Ｃ的上顶点,求椭圆C的方程；
（2)对于（1)中的椭圆C,若直线l交y轴于点M,且错误!未定义书签。

=λ1错误!未定义书签。

,错误! =λ2错误!未定义书签。

,当m变化时,求λ1＋λ2的值.
[解］（1)根据题意，直线l:ｘ＝ｍy+１(ｍ≠0）过椭圆C:错误!＋错误!=1（a〉b＞0)的右焦点F,
∴F(1,0)，∴c=1，
又∵抛物线x2=４错误!y的焦点为椭圆C的上顶点,
∴ｂ＝错误!,∴b２＝3。

∴ａ2=ｂ2+c２=4,
∴椭圆C的方程为错误!未定义书签。

+错误!未定义书签。

＝1.
(２）∵直线l与y轴交于M错误!未定义书签。

,
设A（x1，y1)，B(x2，y2)，由错误!
得(3ｍ2+4)y２＋6my-９=０,Δ＝14４（m２+1)〉0,
∴y1+ｙ2＝－错误!未定义书签。

，y１ｙ2=-错误!,
∴错误!未定义书签。

＋错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

（*)，
又由错误!未定义书签。

=λ１错误!,∴错误!＝λ1（1-x1,－ｙ１),
∴λ1＝-1-＼f（1,my1），
同理λ2＝-1-错误!，
∴λ1＋λ２＝－2-1
ｍ错误!
＝－2-错误!=-错误!，∴λ1+λ2=-错误!未定义书签。

．
直线与圆锥曲线的位置关系,主要涉及判定直线与圆锥曲线的交点个数、求弦长、最值等问题，它是圆锥曲线的定义、性质与直线的基础知识的综合应用,涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法.直线与圆锥曲线的位置关系主要有:(１)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合;(2)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系;(３)有关垂直问题，要注意运用斜率关系及根与系数的关系,设而不求，简化运算。

４.如图所示,在直角坐标系xＯy中,点Ｐ错误!未定义书签。

到抛物线C：ｙ2＝２px(p〉０)的
准线的距离为5
４
．点M（t,１）是C上的定点,A,Ｂ是C上的两动点,且线段AB的中点Q(ｍ，n)在直线OＭ上．
(1)求曲线C的方程及t的值;
(2）记d＝错误!未定义书签。

,求d的最大值．
[解] (1）y2=２px(p〉0）的准线为ｘ＝－错误!未定义书签。

，
∴１－错误!=错误!未定义书签。

，p=错误!,
∴抛物线C的方程为ｙ2＝x.
又点M(t,1)在曲线C上,∴ｔ=１。

(2)由（１）知,点M（1，１),从而n＝m,即点Ｑ(m，m),
依题意,直线ＡB的斜率存在,且不为0，设直线AB的斜率为k(ｋ≠0)，
且A(ｘ1，y1),B（x2，y２)，
由错误!得(y1-y2)(ｙ１＋y2）=x1-x2，
故k·2ｍ＝１，
∴直线AB的方程为y-ｍ=错误!未定义书签。

（ｘ-m），
即ｘ-2mｙ＋2m２－m=0。

由错误!未定义书签。

消去x,
整理得y2－2my＋2m２－ｍ＝0，
∴Δ＝4m－4m2〉０,y1+y2＝2m,ｙ1ｙ2＝2m２－ｍ.
从而｜ＡB|＝1＋＼f（1
k２）·|y1－y2｜
＝错误!·错误!未定义书签。

＝2错误!未定义书签。

∴d=错误!未定义书签。

=2错误!未定义书签。

≤m+(1－m)=1,
当且仅当m=1－ｍ，即m=错误!时,上式等号成立,
又m＝错误!未定义书签。

满足Δ=４m－4m2>0。

∴ｄ的最大值为1。

１1
(1)求动点Ｃ的轨迹方程;
(2)过点Ｆ的直线ｌ２交轨迹于两点Ｐ,Q,交直线l1于点R，求错误!未定义书签。

·错误!的最小值．
[解］(１)由题设知点Ｃ到点Ｆ的距离等于它到ｌ１的距离,
∴点C的轨迹是以Ｆ为焦点,l1为准线的抛物线,
∴动点Ｃ的轨迹方程为x2＝4y。

（２)由题意知,直线l２的方程可设为y=kｘ＋1（k≠0),
与抛物线方程联立消去y,得ｘ2-4ｋx-4＝０。

设P（ｘ1,y1）,Ｑ(ｘ２,y2），则x1＋x２=４k，x1x2=-4．
又易得点R的坐标为错误!,
∴错误!·错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

·错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

错误!＋（kx1+2)(kｘ2＋２)
=(1＋k2)x1x2+错误!（x1+x2）＋错误!未定义书签。

+４
＝-4(１+k2）＋4ｋ错误!＋错误!+4
＝4错误!未定义书签。

+8。

∵ｋ2+错误!未定义书签。

≥2,当且仅当k2=1时取等号，
∴错误!·错误!≥４×2+8=16,即错误!·错误!未定义书签。

的最小值为1６。

函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想及数形结合思想在圆锥曲线的综合问题应用广泛,主要涉及最值、范围、探索问题及曲线方程的求法等问题。

ﻬ
5.设圆ｘ2＋y2+2ｘ-15=0的圆心为A，直线l过点Ｂ(1,0)且与ｘ轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交ＡＤ于点E.
(1)求证|EA｜+｜ＥB|为定值，并写出点E的轨迹方程;
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两
点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
[解]（1）证明：因为|ＡD|＝｜AC|,ＥＢ∥AC,
所以∠EＢＤ=∠AＣＤ=∠ＡDＣ,
所以|ＥB|＝|ＥＤ|，
故|ＥA|＋|EB｜＝|EA|+|ED｜＝|AD｜.
又圆A的标准方程为(x+1)2+ｙ2＝16,从而｜AD|=4，所以｜EA|+|EB｜＝4.
由题设得A(-1,0）,B(1,０）,|AB|＝2，
由椭圆定义可得点E的轨迹方程为错误!＋错误!=1(y≠０).
（2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为ｙ=k(x－1)（k≠0)，M(x1,ｙ1)，N(x2，y2).
由错误!未定义书签。

得(4k２+3）x2－8ｋ2ｘ+４k2－12＝0。

则x1+ｘ2＝错误!,x1ｘ2＝错误!.
所以｜MN｜=1＋k２|x1-x2|＝错误!。

过点Ｂ(1，0）且与l垂直的直线m的方程为y＝-错误!未定义书签。

（x－1），点A到直线ｍ的距离为错误!,
所以｜PQ|＝2错误!未定义书签。

=４４ｋ２+３k２＋1
,
故四边形MPNＱ的面积S＝1
2
|MＮ｜·|PＱ｜＝１2错误!未定义书签。

可得当l与ｘ轴不垂直时,四边形MPＮQ面积的取值范围为(12，8错误!未定义书签。

）．当ｌ与x轴垂直时,其方程为x=１，|MN|=３，|PQ|＝8,四边形ＭPNQ的面积为1２.
综上,四边形MＰNQ面积的取值范围为［12，８错误!).
ﻬ
ﻬ。