考点16尺规作图-中考数学考点讲解

考点16尺规作图
知识整今
一、尺规作图
1.尺规作图的定义
在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图.
2.五种基本作图
（1）作一条线段等于已知线段；
（2）作一个角等于已知角：
（3）作一个角的平分线；
（4）作一条线段的垂直平分线；
<5）过一点作已知直线的垂线.
3.根据基本作图作三角形
（1）已知三角形的三边，求作三角形；
（2）已知三角形的两边及貝夹角，求作三角形；
<3）已知三角形的两角及貝夹边，求作三角形；
（4）已知三角形的两角及英中一角的对边，求作三角形：
（5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形.
4.与圆有关的尺规作图
（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；
（2）作三角形的内切圆.
5.有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型.
6.作图题的一般步骤
（1）已知；（2）求作；（3）分析：（4）作法：（5）证明：（6）讨论.
苴中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹.
二、尺规作图的方法
1.尺规作图的关键
<1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么：
（2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题.
2.根据已知条件作等腰三角形或直角三角形
求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判泄，常借助基本作图来完成, 如作直角三角形就先作一个直角.
考向一基本作图
1.最基本、最常用的尺规作图，通常称为基本作图.
2.基本作图有五种：（1）作一条线段等于已知线段：（2）作一个角等于已知角：（3）作一个角的平分线.
（4）作一条线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线.
典例引领
典例1已知：线段和AB外一点C.
求作：的垂线，使它经过点C （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）・
【答案】见解析.
【解析】如图所示，直线仞即为所求.
典例2如图，已知ZMAM点B在射线AM上.
（1）尺规作图：
①在AN上取一点C,使BC=BA；
②作ZMBC的平分线BD （保留作图痕迹.不写作法）
（2）在（1）的条件下，求证：BD//AN.
【解析】（1）①以B点为圆心，84长为半径画孤交AN于Q点：如图，点C即为所求作:
②利用基本作图作BD平分ZMBC；如图，BD即为所求作：
⑵ 先利用等黴三角形的性质得厶再利用角平分线的定义得到△时乙CBD,然后根採三角形外角性质可得厶，最后利用平行线的判定得到结论•
•：AB=AC, ••厶=ZBCA,
TED平分乙MBC,：・3BM乙CBD,
•：SBC二厶SCA,即乙\促》乙CB"乙A-乙BCA,
二上⑷》厶,:.BDII AN.
变式拓展
1.如图，已知线段BC,分别以B、C为圆心，大于-BC为半径作弧，两弧相交于E、F两点，连接CE,
2
过点E作射线％,若ZCE4=60°, CE=4,则ABCE的而积为
A.4
C・8 D・8
2.如图，在RtAABC中，ZC=90°,以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N, 再分别以点M、N为圆心，大于丄MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若2 CD=2, AB=6,则ZXABD的面积是
C. 12
D. 18
考向二复杂作图
利用五种基本作图作较复杂图形.
典例引领
典例2如图，在同一平而内四个点A, B, C, D.
（1）利用尺规，按下而的要求作图.要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论.
①作射线AC：
②连接AB, BC, BD,线段BD与射线AC相交于点0：
③在线段AC上作一条线段CF,使CF=AC-BD.
（2）观察（1）题得到的图形，我们发现线段AB+BC>AC,得出这个结论的依据是_
【答案】见解析.
【解析】（1）①如图所示，射线AC即为所求；②如图所示，线段AB, BC,即为所求:
③如图所示，线段CF即为所求：
（2）根拯两点之间，线段最短，可得AB+BC>AC.
故答案为：两点之间，线段最短.
变式拓展
3.作图题：学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画岀一个与已知三角形一模一样的三角形来.比如给泄一
个AABC,可以这样来画：先作一条与相等的线段A'B',然后作ZBAC=ZBAC,再作线段AV=AC,最后连接B'C f,这样△ A'B'C就和已知的AAFC -模一样了.请你根拯上面的作法画一个与给左的三角形一模一样的三角形来.（请保留作图痕迹）
给定的三角形你画的三角形
••• tB iB SI •••. ••• iB •••iB Mi iB .MB. •••.MB.
、歹点冲关*
1.根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是
A.用尺规作一条线段等于已知线段
B.用尺规作一个角等于已知角
C.用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角
D.不能确泄
2.下列作图属于尺规作图的是
A.画线段MN=3 cm
B.用量角器画出ZAOB的平分线
C.用三角尺作过点A垂直于直线/的直线
D.已知Za,用没有刻度的直尺和圆规作ZAOB，使ZA0B=2Za
3.如图，用直尺和圆规作ZA'O'B'=ZAOB，能够说明作图过程中厶CO'D'^ACOD的依据是
A ・角角边
C.边角边 4. 如图，点C 在ZAOB 的OB 边上，用尺规作出了 ZAOB=ZNCB.作图痕迹中，弧FG 是
A. 以点C 为圆心，OD 为半径的弧
B. 以点C 为圆心，DM 为半径的弧
C. 以点E 为圆心，OD 为半径的弧
D. 以点E 为圆心，DM 为半径的弧
5. 用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是
A. 作一个角等于已知角
B. 作已知直线的垂线
C. 作一条线段等于已知线段
D. 作角的平分线
6. 如图，△ABC 为等边三角形，要在△ABC 外部取一点D,使得△ABC 和△DBC 全等，下而是两名同学
做法：学十科网
甲：①作ZA 的角平分线/：
②以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交/于点D,点D 即为所求：
乙：①过点B 作平行于AC 的直线/：
A O f A f
B.角边角 D.边边边
D
②过点C 作平行于AB 的直线m
7在△赵中'按以下步骤作图：①分别必B 为圆心'大于0的长为半径画弧，相交于两点〃 N ； ②作直线MN 交AC 于点D 连接BD ・若CD=BC, ZA=35°,则ZC= _______________ ・ 8. 如图，已知线段“，b. c ・请画一条线段，使它的长度等于亦r （不写画法，保留痕迹）.
9. 已知：如图，线段AB 和射线BM 交于点B.
<1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）.
① 在射线BM 上作一点C,使AC=AB ；
② 作ZABM 的角平分线交AC 于D 点；
③ 在射线CM 上作一点E,使C ■民CD,连接DE.
（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD 与DE 的数量关系，并证明.
A ・两人都正确
C.甲正确，乙错误 B. 两人都错误
D.甲错误，乙正确
1. （2017•襄阳）如图，在ZVIBC 中，ZACB=90°, ZA=30°, BC=4,以点f 为圆心，CB 长为半径作弧， 交AB 于点再分别以点B 和点D 为圆心，大于丄BD 的长为半径作弧，两弧相交于点E,作射线CE 2
交AB 于点F,则AF 的长为
C. 7 D ・ 8
2. （2017>宜昌）如图，在ZkAEF 中，尺规作图如下：分别以点&点F 为圆心，大于丄EF 的长为半径作 2 弧，两弧相交于G, H 两点，作直线GH,交EF 于点0,连接AO,则下列结论正确的是
3. （2017・南宁）如图，在AABC 中，AB>AC, ZCAD 为△ABC 的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下 列结论错误的是
直通中考
A. AO 平分ZEAF
C ・GH 垂直平分
D. GH 平分AF
A・ZDAE=ZB
C・AE//BC D・ZDAE=ZEAC
4.（2017・南通）已知ZAOB,作图.
步骤1：在0B上任取一点M,以点M为圆心，M0长为半径画半圆，分别交OA、0B于点、P、Q；
步骤2：过点M作P0的垂线交P0于点C：
步骤3：画射线0C.学科网
则下列判断：©PC = CO：②MC〃。

川③OP=PQ；④0C平分ZAOB.其中正确的个数为
B. 2
A・1
C・3 D・4
5.（2017•河北）如图，依据尺规作图的痕迹，计算Zx __________ 1
6.（2017-济宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M, N为圆心，大于丄MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P（＜/, b）,则2“与b的数量关系是 _________ ・
7.（2017-成都）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别
交^衲于点M, N；②分别畑N为圆心，以大于和N的长为半径际两弧相交于点P ：
③作AP射线，交边CD于点Q,若DQ=2QC, BC=3,则平行四边形ABCD周长为 ___________________
亠 r
A 丸 B
8.（2017・青海）如图，在四边形ABCD中，AB=AD, AD//BC・
<1）在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF,分別交BD、BC于点E、F.（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接DF,证明四边形ABFD为菱形.
变式拓展
1・【答案】B
【解析】如图，连接EF交BC于H.
由题意EB=EC=4.£尸丄BC,:・ZB=ZC,
V ZA£C=Zfi+ZC=60°, ：.EH=*E=2, BH=CH=£EH=2^，：.BC=4® :. S A EBC= | •BC-EH= x4 ./J x2=4 ^3 ・故选
B.
2.【答案】B
【解析】作DE L AB于迟，由基本作图可知，肿平分zc迟•.•肿平分ZCAR, ZOPO%应丄朋,
:.DE=DC=2, ：.^BD的面积占XQDE=6,故选B.
C
3.【解析】首先作一条射线，进而截取AB=A'B', ZCAB^ZCA^,进而截取AC=A f C f,进而得出答案.
如图所示：AA'B'C'即为所求.
给定的三角形
考点冲关
1.【答案】C
【解析】根据已知条件作符合条件的三角形，需要使三角形的要素符合要求，或者是作边等于已知线段, 或者是作角等于已知角，故选C.
2.【答案】D
【解析】选项A,画线段MN=3cm,需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误：选项B, 用量角器画岀ZAOB的平分线，量角器不在尺规作图的工具里，错误：选项C,用三角尺作过点人垂直于直线/的直线，三角尺也不在作图工具里，错误：选项D,正确.故选D.
3.【答案】D
【解析】由题意可知，OD=OC=O'D'=O'C, CD=C'D\
OC=O f C r
在△COD 和厶COD中，＜OD= O r D r,
CD=CD
:仏COD9HCQD（SSS）,故选D.
4.【答案】D
【解析】作图痕迹中，弧FG是以点疗为圆心，DM対半径的弧，故选D.
5.【答案】C
【解析】根据三边作三角形用到的基本作團是；作一条线段等于已知线段.故选C・6.【答案】A
【解析】（甲）如图一所示，
•••△ABC为等边三角形，AD是ZBAC的角平分线，A ZBEA=90°,
•••ZBED=90。

，•••ZBEA=ZBEE90。

,由甲的作法可知，AB=BD,
AB=BD
:.ZABC=ZDBC.在AABC 与△DBC 中，^ZABC=ZDBC , BC=BC
：.^ABC^ADBC.故甲的作法正确：
（乙）如图二所示，
/ ■ / <
图二
9：BD//AC. CD//AB, :. ZABC=ZDCB. ZACB=ZDBC,
ZABC=ZDCB
在 2MBC 和/kDCB 中，BC=CB ,
乙ACB= ZDBC
A ^ABC^^DC
B (ASA),二乙的作法是正确的.故选A.
7-【答案】40°
【解析】I •根据作图过程和痕迹发现赵V 垂直平分A5,
:.DA^DB, /.ZD^4-Z.4-35O ,
•：dC , -\ZCM=ZCBD=2Z-4=702, /.ZC=40% 故答案为:40。

•
【解析】利用尺规作图，作一条线段等于已知线段，即可求解.
如下图所示，线段OD 即为所求.
直通中考
1. 【答案】B
8. 9. 【解析】（1）如图所示:
(2) BD=DE ・
证明：•:BD 平分ZABC t :.Z\=-ZABC. 2
\9AB=AC 9 :. ZABC=Z4・.\Z1 = - Z4.
2 •:CE=CD 、AZ2=Z3.
—2必，・・.亠*.
AZl=Z3. ：.BD=DE.
B
【解析】连接CD,
•••在ZUBC 中，ZACB=90。

，ZA=30% BC=4, :.AB=2BC=S.
由作法可知BC=CD=4, CE是线段BD的垂直平分线，:.CD是斜边AB的中线,
•••BD=AD=4,:・BF=DF=2. :.AF=AD+DF=4+2=6.故选B・
2.【答案】C
【解析】由题意可得，GH垂宜平分线段EF.故选C.
3.【答案】D
【解析】根据图中尺规作图的痕迹，可得ZDAE=ZB,故A选项正确，
:.AE//BC,故C选项正确，Z.Z£AC=ZC,故B选项正确，
9：AB>AC,:・ZC>ZB, :.ZCAE>ZDAE.故D 选项错误，故选D.
4.【答案】C
【解析】TOQ対直径，•••ZOP—90。

，加丄PO. 'JMCVPQ, ：.O A UMC,结论②正确;
'SOAIIMC, ：.^POQ=Z_C^O. '：^0^0=2ACOQ, :.£COQ=^ 乙POQ=“OC, ,-.?C = c3, OC平分厶OB,结论①④正确；
•「厶少的度数未知，ZPO0和ZPQO互氣二ZPOQ不一定等于ZPQ6
•••OP不—定等于P0结论③错误.综上所述：正确的结论有①②④，共3个.故选C.
5.【答案】56
【解析】•••四边形ABCD是矩形，:.AD//BC. :. ZDAC=ZACB=6^.
如图，山作法AF^ZDAC的平分线…••Z£AF=：L Z ZMC=：34。

.
2
•••由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线,.-.ZAEF=90°,
A ZAFE=90o-34°=56°, A Za=56°.
故答案为：56.
6 •【答案】a+h=O
【解析】根据作图方法可得，点P在第二象限角平分线上，
.•.点P到x轴、y轴的距离相等，即问=1“1,
又•••点P3 b）第二象限内、：・bf即a+b=O9故答案为：“+b=0・
7.【答案】15
【解析】•••由题意可知，坨是如的平分线八加*乙加0.
T 四边形ABCD杲平行四边形,:.CDl/AB, BC-43, ZBAO^ZDOA, :.ZDAO-^DQA, ••心QD是等腰三角形…•.DS/43.
13 3 9
•:D0-20C〉：QC= — D0= —〉二CM4C0-3一一 = 一〉
7 〜 * 〜 2 7 2 2 7 2 ?
9
•:平行四边形拇CD周长=2〈DC-AD）=2x <--3> =15.
2
故答案为：15.
8.【解析】（1）宜接利用线段垂直平分线的作法作图如下：
(2)如图，连接DF,
•:AD〃BC、:・ZADE=ZEBF, TAF垂直平分別人:.BE=DE.
ZADE = ZEBF
在ZUDE 和△"£ 中，ZAED = ZFEB ,
BE = DE
：.^ADE^/^FBE(AAS),:・AE=EF・
:.BD AF互相垂直且平分，.••四边形ABFD为菱形.。