2020年泉州市名校数学高二第二学期期末调研试题含解析

2020年泉州市名校数学高二第二学期期末调研试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是111,AC A B 的中点．点P 在该正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于（） A ．51+ B ．52+
C ．251+
D ．252+
【答案】B 【解析】
分析：根据题意先画出图形，找出满足题意的点P 所构成的轨迹，然后再根据长度计算周长 详解：如图：
取1BB 的中点E ，1CC 的中点F ，连接AE ，EF ，FD ，则BN ⊥平面AEFD 设M 在平面1AB 中的射影为O ，过MO 与平面AEFD 平行的平面为α
∴能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD 的周长相等 Q 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1
∴矩形AEFD 52
故选B
点睛：本题主要考查了立体几何中的轨迹问题。

考查了学生的分析解决问题的能力，解题的关键是运用线面垂直的性质来确定使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹，继而求出结果。

2．对于函数x y e =，曲线x y e =在与坐标轴交点处的切线方程为1y x =+，由于曲线x
y e =在切线1
y x =+的上方，故有不等式1x e x ≥+．类比上述推理：对于函数()ln 0y x x =>，有不等式（ ） A ．ln 1(0)x x x ≤-> B ．ln 1(0)x x x ≥+> C ．ln 1(0)x x x ≥-> D ．ln 1(0)x x x ≤->
【答案】A 【解析】 【分析】
求导，求出函数与x 轴的交点坐标，再求出在交点处的切线斜率，代入点斜式方程求出切线，在与函数图
像的位置比较，即可得出答案． 【详解】
由题意得()1ln y x x
''==
，且ln y x =的图像与x 轴的交点为()1,0，则在()1,0处的切线斜率为1，在()1,0处的切线方程为1y x =-，
因为切线1y x =-在()ln 0y x x =>图像的上方，所以ln 1(0)x x x ≤-> 故选A 【点睛】
本题考查由导函数求切线方程以及函数图像的位置，属于一般题． 3．椭圆2241y x +=的长轴长为（ ）
A ．1
B ．2 C
D
【答案】B 【解析】 【分析】
将椭圆方程化成标准式，根据椭圆的方程可求a ，进而可得长轴2a . 【详解】
解：因为2
2
41y x +=，
所以2
2
11
4
x y +=，即21a =，2
14
b =， 所以1a =，故长轴长为22a = 故选：B 【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义的求解及基本概念的考查，属于基础题．
4．一个口袋中装有若干个除颜色外都相同的黑色、白色的小球，从中取出一个小球是白球的概率为35
，连续取出两个小球都是白球的概率为25
，已知某次取出的小球是白球，则随后一次取出的小球为白球的概率为（ ） A ．
35
B ．
23
C ．25
D ．
15
【答案】B 【解析】
【分析】
直接利用条件概率公式求解即可. 【详解】
设第一次取白球为事件A ，第二次取白球为事件B ，连续取出两个小球都是白球为事件AB ， 则()P A =
35，()P AB =2
5
，某次取出的小球是白球，则随后一次取出的小球为白球的概率为()()()2
2
5|335
P AB P B A P A ===，故选B.
【点睛】
本题主要考查条件概率公式的应用，属于基础题.求解条件概率时，一要区分条件概率与独立事件同时发生的概率的区别与联系；二要熟记条件概率公式()()()
|P AB P B A P A =
.
5．已知函数2
()21x
f x a =++为奇函数,则()f a =（ ） A ．
13
B ．23
C ．1-
D ．12
-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据奇函数性质,利用(0)0f =计算得到a ,再代入函数计算()f a 【详解】
由函数表达式可知，函数在0x =处有定义，则(0)0f =，1a =-，则2()121x f x =-++，1
(1)3
f -=.
故选A. 【点睛】
解决本题的关键是利用奇函数性质(0)0f =,简化了计算,快速得到答案.
6．已知ABC ∆的三边满足条件()2
23a b c bc
--=，则A ∠=（ ）
A ．30°
B ．45︒
C ．60︒
D ．120︒
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意首先求得cos A 的值，然后确定A ∠的大小即可. 【详解】
由
()2
23a b c bc
--=可得：()2
2
3b c a bc --=-，
则2221
cos 22
b c a A bc +-=
=-，据此可得120A ∠=o . 本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查余弦定理及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）． A ．[2,2]- B ．[1,1]-
C ．[0,4]
D ．[1,3]
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即
()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.
【点睛】
解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-
(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.
8．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个红球与都是红球 B ．至少有一个红球与都是白球 C ．恰有一个红球与恰有二个红球 D ．至少有一个红球与至少有一个白球 【答案】C 【解析】 【详解】
从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种： 3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球. 选项A 中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件； 选项B 中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；
选项D 中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个
红球2个白球”；
选项C 中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C. 9．定义在上的奇函数
满足
，且在
上单调递增，则下列结论中正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】
试题分析：由()()4f x f x =-可得：()()4f x f x +=，所以函数()f x 的周期4T =，又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，又在[)0,2上单调递增，所以当[)0,2x ∈时，()0f x ≥，因此
()()510f f =>，()()110f f -=-<，所以()()105f f -<<。

考点：函数的性质。

10．将函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），再将所得图象上所有的点向左平移
π
4
个单位长度，则所得图象对应的函数解析式为（ ） A ．sin(2)4y x π=+ B ．sin()24x y π
=+
C ．cos 2
x
y = D ．cos 2y x =
【答案】D 【解析】 【分析】
由正弦函数的周期变换以及平移变换即可得出正确答案. 【详解】
函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍（纵坐标不变）得到sin 2y x =，再将所得图象上所有的点向左平移π4个单位长度，得到sin 2sin 2cos 242y x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故选：D 【点睛】
本题主要考查了正弦函数的周期变换以及平移变换，属于中档题. 11．函数()x x
f x e
=- (1)a b <<,则 ( ) A ．()()f a f b = B ．()()f a f b <
C ．()()f a f b >
D ．(),()f a f b 大小关系不能确定
【答案】C
【解析】 【分析】
对函数求导得到函数的导函数，进而得到原函数的单调性，从而得到结果. 【详解】 函数()x x f x e =-
(1)a b <<,对函数求导得到()1
,x
x f x e
-'=当x>1时，导函数大于0，函数单调增，当x<1时，导函数小于0，函数单调递减，因为1a b <<，故得到()()f a f b >. 故答案为C. 【点睛】
这个题目考查了导函数对于研究函数单调性的应用，函数的单调性可以通过常见函数的性质得到，也可以通过定义法证明得到函数的单调性，或者通过求导得到函数的单调性．
12．设α，β是两个不重合的平面，l ，m 是空间两条不重合的直线，下列命题不正确．．．的是（） A ．若l α⊥，l β⊥，则αβ∥ B ．若l α⊥，m α⊥，则l m P C ．若l α⊥，l β∥，则αβ⊥ D ．若l α⊥，αβ⊥，则l β∥
【答案】D 【解析】 【分析】
选项逐一分析，得到正确答案. 【详解】
A.正确，垂直于同一条直线的两个平面平行；
B.正确，垂直于同一个平面的两条直线平行；
C.正确，因为平面β内存在直线m ，使//l m ，若l α⊥，则,m m αβ⊥⊂Q ，则αβ⊥；
D.不正确，有可能l β⊂. 故选D. 【点睛】
本题重点考查了平行和垂直的概念辨析问题，属于简单题型. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知平面向量a r
，b r
满足|a r
|=1，|b r
|=2，|a r
﹣b r
a r
在b r
方向上的投影是__________． 【答案】12
【解析】
分析：根据向量的模求出a r •b r
=1，再根据投影的定义即可求出．
详解：∵|a r
|=1，|b r
|=2，|a r
﹣b r
|=3， ∴|a r
|2+|b r
|2﹣2a r •b r
=3，
解得a r •b r
=1，
∴a r 在b r
方向上的投影是a b b ⋅r r r =12
，
故答案为
1
2
点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题．
14．某保险公司新开设了一项保险业务.规定该份保单任一年内如果事件E 发生，则该公司要赔偿a 元，假若在一年内E 发生的概率为p ，为保证公司收益不低于a 的1
10
，公司应要求该份保单的顾客缴纳的保险金最少为____________元. 【答案】1()10
p a + 【解析】 【分析】
用X 表示收益额，设顾客缴纳保险费为x 元，则X 的取值为x 和x a -，由题意可计算出X 的期望． 【详解】
设顾客缴纳的保险金为x 元，用X 表示收益额，设顾客缴纳保险费为x 元，则X 的取值为x 和x a -，
()()(1)E X p x a p x x pa =-+-=-，
则110x pa a -≥，1()10x p a ≥+，x 的最小值为1
()10
p a +． 故答案为：1
()10
p a +．
【点睛】
本题考查利用离散型随机变量的期望解决实际问题，解题关键是正确理解题意与期望的意义．属于基础题． 15．已知复数z ＝(m ＋1)＋(m ﹣2)i 是纯虚数（i 为虚数单位），则实数m 的值为_______． 【答案】-1. 【解析】
分析：由复数的实部等于0且虚部不等于0列式求解m 的值. 详解：由复数()()12z m m i =++-是纯虚数，
得
1010
m m +=-≠，解得1m =-.
故答案为-1.
点睛：本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件.
16
．若曲线0)y a =>与直线x a =，0y =所围成的封闭图形的面积为6，则a =____．
【答案】3 . 【解析】 【分析】
利用定积分表示图形的面积，从而可建立方程，由此可求a 的值． 【详解】
曲线0)y a =
>与直线x a =，0y =所围成的封闭图形的面积为6
则()322
603a ax a
== 解得a=3 【点晴】
注意用积分求面积的区别，图形在x 轴下方时，所求积分为负值，图形在x 轴上方时所求积分为正值 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．已知：在ABC V 中，a ，b ，c 分别提角A ，B ，C 所对的边长，
()0cos cos a b
A C A
+=+.
()1判断ABC V 的形状； ()2若6
C π
=
，c =
，求ABC V 的面积.
【答案】()1等腰三角形或直角三角形；()21. 【解析】 【分析】
()1利用正弦定理化边为角，可得sin 2sin 2A B =，得到A B =，或2
A B π
+=,由此可得出结论；
()2当6
C π
=时，可知ABC V 为等腰三角形，则a b =，利用余弦定理求出24a =，再由三角形面积公
式求解即可得出结果.
【详解】 解：()
1()0cos cos a b
A C A +=+，则0cos cos a b
B A
+=-，即cos cos a A b B =，
∴sin 2sin 2A B =.
Q A ，B 是ABC V 的内角，∴A B =，或2
A B π
+=
,
∴ABC V 为等腰三角形或直角三角形.
()2由()1及6
C π
=知，ABC V 为等腰三角形，a b =.
根据余弦定理2222cos a b ab C c +-=，得()
2
23843a -=-， 解得24a =，∴2a =，
∴ABC V 的面积111sin 221222
S ab C =
=⨯⨯⨯=. 【点睛】
本题考查三角形的性质判断，考查余弦定理的应用，属于中档题. 18．（选修4-5.不等式选讲）
已知函数()12f x x x =++-的最小值为a . (1)求实数a 的值； (2)若,,x y z R +∈,且
11135a x y z
++=,求证:353x y z ++≥. 【答案】（1）3（2）见解析 【解析】
试题分析：(1)利用绝对值的三角不等式，即可求解函数的最小值，从而得到实数a 的值； (2)由(1)知
111
335x y z
++=,且,,x y z R +∈,利用柯西不等式作出证明即可. 试题解析：
(1)因为()()12123x x x x ++-≥+--=,当且仅当()()120x x +-≤, 即12x -≤≤时取等号,所以()f x 的最小值为3,于是3a =
(2)由(1)知
111335x y z ++=,且,,x y z R +∈,由柯西不等式得 35x y z ++=
()1
353x y z ++ 11135x y z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
11(?3x x ≥+ 1
3?
3y y
+ 2
15?
)35z z
=. 19．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos(θ-)=2.
(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 【答案】 (1) x 2+y 2-2x-2y-2=0 (2) ρsin(θ+)= 【解析】
(1)∵ρ=2,∴ρ2=4,即x 2+y 2=4. ∵ρ2-2ρcos(θ-)=2,
∴ρ2-2
ρ (cosθcos +sinθsin )=2.
∴x 2+y 2-2x-2y-2=0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,即ρsin(θ+)=.
20．在以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，已知点2,2A π⎫⎪⎭到直线
():sin 04l m m πρθ⎛
⎫-=> ⎪⎝
⎭的距离为3.
（1）求实数m 的值；
（2）设P 是直线l 上的动点，点Q 在线段OP 上，且满足1OP OQ ⋅=，求点Q 轨迹的极坐标方程. 【答案】（1）4m =;（2）1sin()44
π
ρθ=-.
【解析】 【分析】
（1）分别求出A 的直角坐标与直线l 的直角坐标方程，再由点到直线的距离公式列式求得m 值； （2）设(,)Q ρθ，1(,)ρθP ，则11
ρρ
=，结合P 在直线l 上即可求得点Q 轨迹的极坐标方程．
【详解】
解：（1）由点(2,)2A π，得A 的直角坐标为2)，由直线:sin()(0)4l m m π
ρθ-=>，
22
sin cos m θθ=，即20x y m -=|22|32
m -=，解得4(0)m m =>； （2）直线:sin()44l πρθ-=．设(,)Q ρθ，1(,)ρθP ，则11ρρ=，1sin()44
π
ρθ-=Q ，
sin()44πθρ∴-=，即点Q 轨迹的极坐标方程为1sin()44
π
ρθ=-．
【点睛】
本题考查轨迹方程，考查极坐标方程，考查学生分析解决问题的能力. 21．已知 函数()()32
032
a b F x x x x a =++>，()()f x F x ='，若()10f -=且对任意实数x 均有()0f x ≥成立．
（1）求()f x 表达式；
（2）当[]2,2x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）()2
21f x x x =++；（2）(][),26,-∞-⋃+∞
【解析】
试题分析：（1）根据(1)0f -=可以得到a 与b 的关系，将()f x 中b 代换成a 表示，再根据对任意实数x 均。