2021春人教版九年级数学下册 第27章 27.2.3 用平行线判定三角形相似(02)

第二十七章相似
27.2相似三角形
第3课时用平行线判定
三角形相似
1 2
u平行线截三角形相似
u相似三角形性质的应用逐点
导讲练
课堂
小结
课后
作业
判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边分别相等外，还可以使用简便的判定方法（SSS，SAS，ASA，AAS).类似地，判定两个三
角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？
知1－讲1平行线截三角形相似
如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，
AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？ꢀ
知1－讲解析：直觉告诉我们，△ADE与△ABC相似，我们通过相似的定义证明它，即证明∠A=∠A, ∠ADE=∠B,
∠AED=∠C,由前面的结论可得，
而中的DE不在△ABC的边BC上，不能直接利用前面的结论.但从要证的可以看
出，除DE外，AE，AC，BC都在△ABC的边上，因
此只需将DE平移到BC边上去，使得BF=DE，再证明
就可以了(如图).只要过点E作EF//AB，交BC于点F，BF就是平移DE所得的线段.
知1－讲先证明两个三角形的角分别相等.
如图，在△ADE与△ABC中，∠A=∠A.
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
再证明两个三角形的边成比例.
过点E作EF//AB，交BC于点F.
∵DE//BC，EF//AB，
知1－讲∵四边形DBFE是平行四边形，
∴DE=BF.
这样，我们证明了△ADE和△ABC的角分别相等，
边成比例，所以△ADE∽△ABC.因此，我们有如下判定
三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成
的三角形与原三角形相似.
知1－讲例1如图所示，已知在▱ABCD中，E 为AB 延长线上的一点，AB=3BE，DE 与BC 相交于点F，请找出
图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.
知1－讲
知1－讲
总结
利用平行线寻找相似三角形的方法：
在线段较多的图形中寻找相似三角形，如果图中有线段平行的条件，则集中精力在图形中寻找符合“A”
型或“X”型的基本图形，这不但是解本题的首要之选，
也是今后解本类题目的首要之选．
（来自《点拨》）
知1－讲
用平行线判定三角形相似的定理：平行于三角形一
边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三
角形相似．
数学表达式：如图，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE.
知1－练
1如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD=3，DB=2.写出图中的相似三角形，并指出其相似比.
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴其相似比为
（来自教材）
知1－练2【中考·河南】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：①BC＝2DE；
.其中正确的有
②△ADE∽△ABC；③
(ꢀAꢀ)
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
知2－导2相似三角形性质的应用
如图所示，要测量一个池塘的长是多少，不能直
接测量距离，小明做了△ABC，取
池塘的两个点D，E，使DE∥BC，
测出BC，AD，AB的长就可以算出
DE的长，你知道为什么吗？
原来由DE∥BC可以得到△ABC∽△ADE，所以
AD∶AB=DE∶BC.
知2－导
归纳
通过建立相似三角形数学模型可以解决实际
问题.
知2－讲例2如图，在▱ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于________．
4
导引：有平行四边形，就提供了平行线，就有三角形相似，就有对应边的比相等，就能求出FC的长．
在▱ABCD中，∵AB∥CD，AB＝CD，
∴△AEF∽△CDF.
∵AE＝EB，∴AE＝AB＝CD.
∴CF＝2AF＝4.
知2－讲
总结
利用证三角形相似求线段的长的方法：当三角
形被平行线所截形成“A”型或“X”型的图形，并
且所求的线段或已知线段在平行的边上，通常考虑通
过证三角形相似，再利用相似三角形的对应边的比相
等构建包含已知与未知线段的比例式，即可求出线段
的长．
（来自《点拨》）
知2－练
1【中考·眉山】“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，
则井深为(ꢀBꢀ)
A．1.25尺C．6.25尺B．57.5尺D．56.5尺
知2－练
2【中考·哈尔滨】如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF
交DE于点G，则下列结论中一定正确的是(ꢀꢀ)C
A.
B.
C.
D.
知2－练
3【中考·恩施州】如图，在△ABC中，DE∥BC，
∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，
则DE的长为(ꢀCꢀ)
A．6
B．8
C．10
D．12
知2－练
4【中考·贵港】如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且
∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE.下列结论：
①∠ACD＝30°；②S▱ABCD＝AC·BC；③OE:AC＝
:6；④S＝2S，其中成立的有(ꢀꢀ)D
△OCF△OEF
A．1个B．2个
C．3个D．4个
1
确定相似三角形的对应边和对应角的方法：
(1)有公共角的，公共角一般是对应角；
(2)有对顶角的，对顶角一般是对应角；
(3)相似三角形对应角所对的边是对应边，两个对
应角所夹的边是对应边；
(4)相似三角形对应边所对的角是对应角，两条对
应边所夹的角是对应角．
2
如图所示，△AOB∽△COD，下列各式中正确的有(ꢀꢀ)A
A．1个B．2个C．3个D．4个
易错点：对相似三角形的对应关系理解模糊而出错.
请完成《点拨》对应习题！。