小学奥数数论讲义 第十八讲 数论综合之余数相关问题竞赛篇
奥数讲义数论专题：余数及同余
华杯赛数论专题：余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a 与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。
（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。
小奥数论整除和余数知识点总结及经典例题
所以答案为 11．
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….20102011，则这个数除以 9 余数是 1. 无敌乱切，按 1/2/3/4 到 2011 的等差数列求和，看除以 9 的余数；
2.3.3 同余定理
2.3.2.1 同余定义和充要条件
定义: 用给定的正整数 m 分别除整数 a、b，如果所得的余数相等，则称 a、 b 关于模 m 同余或 a 同余于 b 模 m，记作 a≡b(mod m)，如 56≡0 （mod 8）， 式子称为同余式，m 称为该同余式的模。
的余数是多少？
奇数位数字和：（0+9+8+…+1）×2+0+9+7+5+3+1=115
偶数位数字和：3+2×10+1×10+8+6+4+2=53
115-53=62；62÷11，余 7；
【例】求
被 13 除余数是多少？
解：注意 13|111111，即每连续 6 个 1 是 13 的倍数，且 2012 除以 6 余 2，
2.2.4 三位一截判别法（用以判别能否被 7/11/13 整除）
2.2.4.1 基本用法 从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段， 看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被 7、11、13 整除； 如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为 372，求两者差 看能否被 7 整除，同样，不够减前面加 1 个或多个 7，直到够减，余数位的判断 法与整数位的判断法一致。 2.2.4.2 特殊用法 ① 一般求空格数 如果中间有空格，则利用加减性加或减除数 7 的倍数，分别从右边和左边抵 消缩减位数，到最后看 7 的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看 7 的哪个倍 数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即 为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减 7 后为 1 到 9 间的自然数，则加 或减 7 后的这个数也为正确答案。 395864□82365，答案为 5 463925□01234，答案为 1 和 8 ② 特殊求空格数 根据整除的因数性，如果 1 个数能被 1001 整除，则这个数能被 7、11、13、
小学奥数 余数问题 完整版教案带解析和答案
数论问题之余数问题教学目标余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
三大余数定理：1、余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2、余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
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第一专题：计算专题共34讲【强化篇17讲竞赛篇17讲】一、计算竞赛篇共17讲竞赛1-加减法巧算之凑整与组合思想之竞赛篇(第1讲)竞赛2-乘除法巧算之提取公因式与组合思想之竞赛篇(第2讲)竞赛3-四则混合巧算只综合技巧之竞赛篇(第3讲)竞赛4-定义新运算之速算与巧算之竞赛篇(第4讲)竞赛5-数列求和与公式技巧之竞赛篇(第5讲)竞赛6-多位计算与归纳思想之竞赛篇(第6讲)竞赛7-小数计算与换元思想之竞赛篇(第7讲)竞赛8-数表计算与代数公式应用之竞赛篇(第8讲)竞赛9-循环小数互化与错位相减技巧之竞赛篇(第9讲)竞赛10-分数(繁分数)计算综合与比例转化之竞赛篇(第10讲)竞赛11-比较与估算综合技巧之竞赛篇(第11讲)竞赛12-分数计算之拆分、裂项与通项归纳之竞赛篇(第12讲)竞赛13-分数计算之换元与缩放之竞赛篇(第13讲)竞赛14-定义新运算之复杂运算与抽象运算之竞赛篇(第14讲)竞赛15-四大杯赛中的计算综合思想之竞赛篇(第15讲)竞赛16-计算综合之复杂分数裂项计算综合之复杂整数裂项之竞赛篇(第16讲) 竞赛17-计算综合之复杂公式与复杂换元计算之竞赛篇(第17讲)二、计算强化篇共17讲第一讲加减法巧算之凑整与组合思想(第18讲)第二讲乘除法巧算之提取公因式与组合思想(第19讲)第三讲四则混合巧算只综合技巧(第20讲)第四讲定义新运算之速算与巧算(第21讲)第五讲数列求和与公式技巧(第22讲)第六讲多位计算与归纳思想(第23讲)第七讲小数计算与换元思想(第24讲)第八讲数表计算与代数公式应用(第25讲)第九讲循环小数互化与错位相减技巧(第26讲)第十讲分数(繁分数)计算综合与比例转化(第27讲)第十一讲比较与估算综合技巧(第28讲)第十二讲分数计算之拆分、裂项与通项归纳(第29讲)第十三讲分数计算之换元与缩放(第30讲)第十四讲定义新运算之复杂运算与抽象运算(第31讲)第十五讲四大杯赛中的计算综合思想(第32讲)第十六讲计算综合之复杂分数裂项与整数裂项(第33讲)第十七讲计算综合之复杂公式与复杂换元计算(第34讲)第二专题数论专题计算专题共38讲【强化篇19讲竞赛篇19讲】一、数论竞赛篇第一讲奇偶数的性质与应用之竞赛篇(第35讲)第二讲有趣余数之性质与周期之竞赛篇(第36讲)第三讲整数分拆之分类与计数之竞赛篇(第37讲)第四讲整数分拆之最值与应用之竞赛篇(第38讲)第五讲数的整除之性质与求法之竞赛篇(第39讲)第六讲数的整除之代数思想与运用之竞赛篇(第40讲)第七讲数的整除之四大判断法综合运用之竞赛篇(第41讲)第八讲质数、合数与两大约数定理之竞赛篇(第42讲)第九讲因数与倍数之最大公因数与最小公倍数之竞赛篇(第43讲)第十讲因数与倍数之综合应用之竞赛(第44讲)第十一讲完全平方数之竞赛篇(第45讲)第十二讲带余除法之竞赛篇(第46讲)第十三讲同余问题之竞赛篇(第47讲)第十四讲中国剩余定理之竞赛篇(第48讲)第十五讲进制与位值原理之竞赛篇(第49讲)第十六讲四大杯赛的数论综合思想之竞赛篇(第50讲)第十七讲数论综合之整除相关问题之竞赛篇(第51讲)第十八讲数论综合之余数相关问题之竞赛篇(第52讲)第十九讲数论在方程、计数、最值、行程等问题中的应用之竞赛篇(第53讲) 二、数论强化篇第一讲奇偶数的性质与应用(第54讲)第二讲有趣余数之性质与周期(第55讲)第三讲整数分拆之分类与计数(第56讲)第四讲整数分拆之最值与应用(第57讲)第五讲数的整除之性质与求法(第58讲)第六讲数的整除之代数思想与运用(第59讲)第七讲数的整除之四大判断法综合运用(第60讲)第八讲质数、合数与两大约数定理(第61讲)第九讲因数与倍数之最大公因数与最小公倍数(第62讲)第十讲因数与倍数之综合应用(第63讲)第十一讲完全平方数(第64讲)第十二讲带余除法(第65讲)第十三讲同余问题(第66讲)第十四讲中国剩余定理(第67讲)第十五讲进制与位值原理(第68讲)第十六讲四大杯赛中的数论综合思想(第69讲)第十七讲数论综合之整除相关问题(第70讲)第十八讲数论综合之余数相关问题(第71讲)第十九讲数论在方程、计数、最值、行程等问题中的应用之竞赛篇(第72讲) 第三专题行程专题计算专题共30讲【强化篇15讲竞赛篇15讲】一、行程竞赛篇第一讲基础行程之竞赛篇(第73讲)第二讲简单相遇、追及之竞赛篇(第74讲)第三讲复杂相遇、追及之竞赛篇(第75讲)第四讲猎狗追兔之竞赛篇(第76讲)第五讲火车过桥之竞赛篇(第77讲)第六讲多次相遇之竞赛篇(第78讲)第七讲多人行程之竞赛篇(第79讲)第八讲流水行船之竞赛篇(第80讲)第九讲简单环形之竞赛篇(第81讲) 第十讲复杂环形之竞赛篇(第82讲) 第十一讲接送问题之竞赛篇(第83讲) 第十二讲间隔发车之竞赛篇(第84讲) 第十三讲电梯问题之竞赛篇(第85讲) 第十四讲变速变道之竞赛篇(第86讲) 第十五讲综合行程之竞赛篇(第87讲) 二、行程强化篇第一讲基础行程(第88讲)第二讲简单相遇、追及(第89讲)第三讲复杂相遇、追及(第90讲)第四讲猎狗追兔(第91讲)第五讲火车过桥(第92讲)第六讲多次相遇(第93讲)第七讲多次行程(第94讲)第八讲流水行船(第95讲)第九讲简单环形(第96讲)第十讲复杂环形(第97讲)第十一讲接送问题(第98讲)第十二讲间隔发车(第99讲)第十三讲电梯问题(第100讲)第十四讲变速变道(第101讲)第十五讲综合行程(第102讲)第四专题应用题专题共16讲一应用题1和差倍问题(第103讲)盈亏问题(第104讲)二应用题2还原问题(第105讲)鸡兔同笼(第106讲)三应用题3年龄问题(第107讲)周期问题(第108讲)四应用题4平均数问题(第109讲)统筹与规划问题(第110讲)五应用题5分数百分数问题(第111讲)牛吃草(第112讲)六应用题6比和比例(第113讲)工程问题(第114讲)七应用题7经济问题(第115讲)浓度问题(第116讲)八应用题8方程解复杂应用题(第117讲)应用题综合(第118讲)第五专题：几何专题计算专题共4讲【5级2讲6级2讲】一、几何专题能力进阶五级：五大模型及常用思维与方法第一讲五大模型(第119讲)第二讲常用思维与方法(第120讲)二、几何专题能力进阶六级：曲线型与立体几何第一讲曲线型(第121讲)第二讲立体几何(第122讲)。
小学五年级奥数—数论之同余问题
数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
六年级奥数讲义-数论综合(含答案)
学科培优数学“数论综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．【题目】己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。
请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？【题目】有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少?【题目】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．【题目】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个?【题目】从1,2,3,……n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为_______。
【题目】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。
已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7。
如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。
【题目】4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【题目】有一电话号码是 ABC-DEF-GHIJ ，其中每个字母代表一个不同的数字。
小升初数学-数论-奥数篇- 余数专题解析 必考知识点
a1. 2.例2. 20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数是多少？除以11的余数是多少？例2. 有一个整数，用它去除160 ，110 ，70 得到的三个余数之和是50，则这个整数是多少？1.用自然数n去除63 ，91 ，129，得到的三个余数之和是25，那么n 是多少？2.一个自然数用它分别去除63 ，90 ，130都有余数，三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是多少？3. 把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果，没有分出去，请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？二余数定理1. 余数加法定理a与b的和除以c的余数，等于①23和16除以5②23和19除以5例1. 两个数被13除分别余7和10，那么这两个数的和被13除余（）1. 4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别是101,126,173,193，规定每两人间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数。
请问：他们各比赛了多少盘？2. 余数乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于①23和16除以5②23和19除以5例1. 418×814×1616除以13所得的余数是多少？1. 15×38×412×541除以13所得的余数是多少？2. 31453×68765×987657的积，除以4的余数是多少？例2.某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件，月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个，请问：最后一包有多少个零件？1. 一年有365天，轮船制造厂每天可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个。
问？最后一包有多少个零件？3.同余定理若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同则a，b的差例1. 100和84除以同一个数，得到的余数相同，但是余数不为0，这个除数可能是多少？例1.用一个大于0的自然数，分别去除35 ，59和123，所得的余数相同，则这个数是多少？1.三个数23 ，51 ，72分别除以同一个大于1的数，得到同一个余数，这个余数是多少？2.一个大于1的自然数去除300 ，243 ，205 时，得到相同的余数，则这个自然数是（）3.有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数。
小学奥数余数问题完整版教案带解析和答案
⼩学奥数余数问题完整版教案带解析和答案数论问题之余数问题教学⽬标余数问题是数论知识板块中另⼀个内容丰富，题⽬难度较⼤的知识体系，也是各⼤杯赛⼩升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学⽣来说⾮常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三⼤余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应⽤。
三⼤余数定理：1、余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和⽐除数⼤时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2、余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和⽐除数⼤时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被⾃然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，⽤式⼦表⽰为：a ≡b ( mod m )，左边的式⼦叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到⼀个⾮常重要的推论：若两个数a，b除以同⼀个数m得到的余数相同，则a，b的差⼀定能被m整除⽤式⼦表⽰为：如果有a≡b ( mod m )，那么⼀定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理⽽我们在求⼀个⾃然数除以9所得的余数时，常常不⽤去列除法竖式进⾏计算，只要计算这个⾃然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是⼀个9⼀个9的找并且划去，所以这种⽅法被称作“弃九法”。
小学奥数数论问题之余数问题练习题【三篇】
【导语】芬芳袭⼈花枝俏，喜⽓盈门捷报到。
⼼花怒放看通知，梦想实现今⽇事，喜笑颜开忆往昔，勤学苦读最美丽。
在学习中学会复习，在运⽤中培养能⼒，在总结中不断提⾼。
以下是⽆忧考为⼤家整理的《⼩学奥数数论问题之余数问题练习题【三篇】》供您查阅。
【第⼀篇】1.已知三个数127,99和⼀个⼩于30的两位数a除以⼀个⼀位数b的余数都是3,求a和b的值. 分析:127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.⽽(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27. 2.除以99的余数是______. 分析:所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,因此所求余数是19.【第⼆篇】19941994…1994(1994个1994)除以15的余数是______. 分析:法1:从简单情况⼊⼿找规律,发现1994÷15余14,19941994÷15余4,199419941994÷15余9, 1994199419941994÷15余14,......,发现余数3个⼀循环,1994÷3=664...2,19941994…1994(1994个1994)除以15的余数是4;法2:我们利⽤最后⼀个例题的结论可以发现199419941994能被3整除,那么19941994199400…0能被15整除,1994÷3=664...2,19941994…1994(1994个1994)除以15的余数是4.【第三篇】求下列各式的余数: (1)2461×135×6047÷11 (2)19992000÷7 分析:(1)5; (2)1999÷7的余数是4,19992000 与42000除以7 的余数相同.然后再找规律,发现4 的各次⽅除以7的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么3个⼀循环,所以由2000÷3 余2 可以得到42000除以7 的余数是2,故19992000÷7的余数是2 .。
小学奥数—数论之同余问题
数论---同余问题余数问题是我们数论知识非常重要的一大板块，许多名校小升初考试中，各大杯赛中经常会考到，所以序号本讲内容堆学生来讲是非常重要的。
定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
如：35除以5,7余0，除以3余2；63除以3,7余0，除以5余3；30除以3,5余0，除以7余2。
则35+63+30除以3余2，除以5余3，除以7余2。
定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。
一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
2018年小学生奥数数论专项余数问题例题及解析-范文word版 (1页)
2018年小学生奥数数论专项余数问题例题及解析-范文word版
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小学生奥数数论专项余数问题例题及解析
奥数数论专项余数问题解析：如下
被除数,除数,商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数.
分析:方法1:通过对题意的理解我们可以得到:被除数=除数×商+余数=除数×33+52;
又有被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数;
所以除数×33+52=2058-除数;
则除数=(2058-52)÷34=59,被除数=2058-59=1999.
方法2:此题也可以按这个思路来解:从被除数中减掉余数52后,被除数就是除数的33倍了,所以可以得到:2143-33-52-52=(33+1)×除数,求得除数=59,被除数=33×59+52=1999.。
(word版)四年级奥数专题之整除与余数
四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。
一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商余数。
这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。
下面来总结一下整除和有余数除法的特征：1、整除：〔1〕能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。
〔2〕能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。
〔3〕能被4〔或25〕整除的特征：如果一个数的末两位数能被4〔或25〕整除，那么这个数能被4〔或25〕整除。
〔4〕能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。
〔5〕能被8〔或125〕整除的特征：如果一个数的末三位数能被8〔或125〕整除，那么这个数能被8〔或125〕整除。
〔6〕能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。
7〕能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
2、有余数的除法：第1页共 7页1〕一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
2〕一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
3〕一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
4〕一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。
〔如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求〕。
【经典例题1】一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。
【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。
当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。
小学奥数中的数论问题
小学奥数中的数论问题在奥数竞赛中有一类题目叫做数论题,这一部分的题目具有抽象,思维难度大,综合运用知识点多的特点,基本上出现数论题目的时候大部分同学做得都不好;一、小学数论究包括的主要内容我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类：整除问题：1整除的性质；2数的整除特征小升初常考内容余数问题：1带余除式的运用被除数=除数×商+余数.余数总比除数小2同余的性质和运用奇偶问题：1奇偶与加减运算；2奇偶与乘除运算质数合数：重点是质因数的分解也称唯一分解定理约数倍数：1最大公约最小公倍数两大定理一、两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质;二、两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积;2约数个数决定法则小升初常考内容整数及分数的分解与分拆：这一部分在难度较高竞赛中常出现,属于较难的题型;二、数论部分在考试题型中的地位在整个数学领域,数论被当之无愧的誉为“数学皇后”;翻开任何一本数学辅导书,数论的题型都占据了显着的位置;在小学各类数学竞赛和小升初考试中,系统研究发现,直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右,而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中,这一分值比例还将更高;出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据,这一部分学习的好坏将直接决定你是否可以在选拔考试中拿到满意的分数;三、孩子在学习数论部分常常会遇到的问题数学课本上的数论简单,竞赛和小升初考试的数论不简单;有些孩子错误地认为数论的题目很简单,因为他们习惯了数学课本上的简单数论题,比如：例1：求36有多少个约数这道题就经常在孩子们平时的作业里和单元测试里出现;可是小升初考题里则是：例2：求3600有多少个约数很多孩子就懵了,因为“平时考试里没有出过这么大的数”孩子语于是乎也硬着头皮用课堂上求约数的方法去求,白白浪费了大把的时间,即使最后求出结果也并不划算;这道题其实用约数个数决定法则非常好求,而且省时省力可是我们的出题老师却振振有词道：“这道题不超纲,也符合教委的精神,因为你就是用普通数学的方法也能做出来,无非多花一些时间而已”殊不知考试的时间何其宝贵,这道题的解法其实已经将孩子的数学水平分出了高下数论的定理背起来简单,但真正理解和掌握却很难;数论的定理在很多好的奥数辅导书中都有概括,于是有些孩子拿起来蒙头就开始背,终于花了不少时间硬啃下来,却不食其中“滋味”,遇上数论的题目只能一条一条定理的硬套,结果很多题目还是不会做;这里的原因在于缺乏老师正确的引导,很多定理细心领会比死记更重要孩子自身的领悟能力有限,站在老师的肩膀上才能看得更远单个数论的知识点掌握起来较简单,但综合运用却很难;数论的题有的时候会和其它知识点综合起来考察,比如和分数,和计数综合等等;这样的题学生往往感觉无从下手,也有一定难度,因此得分率很低;比如,例3：一个学校参加某项兴趣活动的学生不到100人,其中男同学人数超过总数的4/7,女同学的人数超过总数的2/5;问男女生各多少人某中学入学测试压轴题这道题兼顾分数主要从数论中的整除特性考查学生;例4：有一个四位数分别除以它的各位数字得到四个整数商,这四个商的和还是这个四位数,求满足要求的四位数共有多少个这道题同样从数论入手考察学生多个知识点的综合运用,题目较难;四、该如何学习数论知识数论的知识点较多,在考试中占的比重较大,学生在学习的过程中,熟记定理是必要的,除了熟记以外,更应该知其然,知其所以然;如果时间允许,可以动手将所有定理和公式一一推导一遍;比如：为什么能被4或25整除的数只需要看末尾两位是否能被4或25整除原来一个数可以分成两部分的和,最后2位和前面若干位的100倍,前一部分能被100整除当然也肯定能被4或25整除,所以只需看后两位即可;理解了这个也就不难理解：为什么能被8或125整除的数只需要看末三位是否能被其整除即可想一想这样做的益处是一方面让孩子更深刻的理解了定理和公式来源,举一反三,而不是死记硬背；另一方面当作习题来熟练解题套路,实践证明对于孩子的思维发散是很有帮助的;要想深刻掌握数论题的解题要领,还需要多做些数论的综合题;有些解题的常用套路是可以归纳总结的,比如整数表示法,枚举法,反证法,构造法等等在这里不一一叙述,需要由老师帮助引领完成;五、哪些参考书数论部分编写的较好对于数论常用知识点不了解的学生可参看：华校课本五年级上册1～5讲,下册第4讲；华校课本六年级上册第8讲,下册第7讲;讲解知识点较为详细六、小学奥数的几大重点包括：行程问题,数论问题和几何问题;几道小学数学数论题1．在43的右边补上三个数字,组成一个五位数,使它能被3,4,5整除,求这样的最小五位数.2．两个整数A,B的最大公约数是C,最小公倍数是D.已知C 不等于1,也不等于A或B,并且C＋D＝187.求A＋B是多少3．某个自然数是3和4的倍数,包括1和它本身在内共有10个约数,那么这个自然数是几11与0的特性：1是任何整数的约数,即对于任何整数a,总有1|a. 0是任何非零整数的倍数,a≠0,a为整数,则a|0.2若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除;3若一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除;4 若一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除;5若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除;6若一个整数能被2和3整除,则这个数能被6整除;7若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除;如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止;例如,判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 , 59－5×2＝49,所以6139是7的倍数,余类推;8若一个整数的未尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除;9若一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除;10若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除;11若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除;11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理过程唯一不同的是：倍数不是2而是112若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除;13若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除;如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止; 14若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除;如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止; 15若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果差是19的倍数,则原数能被19整除;如果差太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止; 16若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除;17若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除;18若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23或29整除,则这个数能被23整除。