2015随机信号分析3
随机信号分析(第3版)第五章习题及答案
5.1 求题图5.1中三个电路的传输函数（不考虑输出负载）。
RRC1C 2C 1C 2C 1R 2R题图5.1解根据电路分析、信号与系统的知识， 第一个图中系统的传输函数 1/1()1/1j C H j R j C j RCωωωω==++ 第二个图中系统地传输函数 ()21112211/1()/11/1/j C j RC H j R j C j R C C j C R j C ωωωωωωω+==++++ 第三个图中系统地传输函数()2222212111221212121122/1/()//1/1/R j C R j C R j R R C H j R j C R j C R R j R R C C R j C R j C ωωωωωωωωω++==++++++5.2若平稳随机信号)(t X 的自相关函数||2)(ττ-+=BeA R X ，其中，A 和B 都是正常数。
又若某系统冲击响应为()()wth t u t te -=。
当)(t X 输入时，求该系统输出的均值。
解： 因为[]()22X EX R A =∞=所以[]E X A A =±=±。
()()()()()20wt A E Y t E h X t d E X t h d A te dt wξξξξξ∞∞∞--∞-∞±⎡⎤=-==±=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 5.35.4 若输入信号00()cos()X t X t ω=++Φ作用于正文图5.2所示RC 电路，其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Φ为[0,2π]上均匀分布的随机变量，并且0X 与Φ彼此独立。
求输出信号Y(t)的功率谱与相关函数。
解：首先我们求系统的频率响应()H j ω。
根据电路分析、信号与系统的知识，/1/11()()()1/1t RCj C H j h t e u t R j C j RCRCωωωω-==↔=++ 然后，计算)(t X 的均值与自相关函数，[]()1/2X m E X t ==[]{}(){}{}0000(,)cos cos X R t t EXt X t τωωτ+=++Φ+++Φ=⎡⎤⎣⎦()01/31/2cos ωτ+可见)(t X 是广义平稳的。
随机信号分析基础第3版
信号恢复
在通信系统中，由于信道噪声和干扰的影响，接收端可能无法准确恢复原始信号。利用随 机信号分析技术，可以对接收到的信号进行去噪、滤波等处理，提高信号恢复的准确性。
随机信号在雷达系统中的应用
定义
概率分布是描述随机信号取值概率的数学工具，用于 描述随机信号的统计特性。
常见概率分布
常见的概率分布有正态分布、泊松分布、指数分布等 。
适用场景
不同的概率分布在不同的场景下有不同的应用，需要 根据实际情况选择合适的概率分布。
随机信号的均值和方差
定义
01
均值是随机信号取值的平均值，方差是随机信号取值偏离均值
通过傅里叶变换计算随机信号的 功率谱密度，可以了解信号的频 率特性和功率分布。
功率谱密度的应用
在信号处理、噪声分析、系统性 能评估等领域中，功率谱密度是 重要的性能指标。
随机信号的互相关函数
互相关函数
描述两个随机信号之间的相似性和相关性，是研 究随机信号之间关系的重要工具。
互相关函数的计算
通过计算两个随机信号的互相关函数，可以了解 它们之间的相似性和变化规律。
随机信号
在通信、雷达、声呐、地震、生物医学等领域中，常常会遇 到一类信号，它们的取值具有不确定性，即不是确定的数值 ，而是按照某种概率分布。这类信号被称为随机信号。
确定性信号
在某些情况下，信号的取值是确定的，即对于给定的时间点 ，信号的值是确定的数值。这类信号被称为确定性信号。
随机信号的分类
平稳随机信号
03
CATALOGUE
随机信号的时域分析
随机信号分析-3 随机信号通过线性系统
X(t ) X (t ) RX ( )
则输出 Y(t ) 的时间平均
1 Y(t ) lim T 2T 1 lim T 2T
T
T
T
Y (t )dt
0
[
T
h(u ) X (t u )du ]dt
1 T [ lim X(t u )dt ]h(u )du 0 T 2T T mX h(u )du mY
（1）线性性： L[ax1 (t ) bx2 (t )] aL[ x1 (t )] bL[ x2 (t )] L[] 称作算子 稳定系统：对于任意有界输入，响应也是有界的
4
连续时不变线性系统的分析方法 1. 时域分析
y(t ) x(t )h( )d x( )h(t )d x(t ) h(t )
RXY (t1 , t2 ) RX (t1, t2 )* h(t2 )
RYX (t1 , t2 ) RX (t1, t2 )* h(t1 )
9
时域分析法
证明：
RXY (t1 , t2 ) RX (t1, t2 )* h(t2 )
RYX (t1 , t2 ) RX (t1, t2 )* h(t1 )
14
时域分析法
结论1：若输入是
X(t )宽平稳的，则系统输出Y(t )也是宽平
稳的，且输入与输出联合宽平稳。
证明：若输入 X(t )为宽平稳随机过程，则有：
mX (t ) mX 常数
RX (t1 , t2 ) RX ( )
＝t 2 t1
RX (0) E[ X 2 (t )]
h( ) E[X(t )]d
随机信号分析1-3部分答案
1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。
求随机变量的数学期望和方差。
解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。
解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由 1)(=⎰∞∞-dx x f得2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A 21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。
（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F （3）0)]()([)(>--=a a x u x u a xx F （4）0)()()(>---=a a x u axa x u a x x F解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x 当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 1)(0≤≤x F 成立；)()(x F x F =+也成立。
第三章 随机信号分析
7
如果F 如果 1(x1, t1)对x1的偏导数存在 对
∂F1 ( x1 , t1 ) = f1 ( x1 , t1 ) ∂x1
则称f X(t)的一维概率密度函数。显然， 则称f1(x1, t1)为X(t)的一维概率密度函数。显然，随机过 程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在 各个孤立时刻的统计特性， 各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取 值之间的内在联系。 值之间的内在联系。 任给两个时刻t ∈T，则随机变量X(t 任给两个时刻t1, t2∈T，则随机变量X(t1)和X(t2)构成一 个二元随机变量{X(t )}， 个二元随机变量{X(t1), X(t2)}，称 F2(x1,x2,t1,t2)=P ｛ X(t1)≤x1,X(t2)≤x2 ｝ 为随机过程X(t) 二维分布函数。 X(t)的 为随机过程X(t)的二维分布函数。
10
2、随机过程的数字特征 、
分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机 过程的统计特性, 但在实际工作中， 过程的统计特性 但在实际工作中，有时不易或不需 求出分布函数和概率密度函数， 求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字 特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。 特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。
RXY ( t1 ,t 2 ) = E X ( t1 ) Y ( t 2 ) =
互协方差函数： 互协方差函数：C XY ( t1 ,t 2 ) = E X ( t1 ) − m X ( t1 ) Y ( ， − mY ( t 2 ) 正态随机过程， 正态随机过程 t 2 )
8
∂ 2 F2 ( x1 , x2 ,t ,t 2 ) = f ( x1 ,,x2 ,t1 ,t 2 ) 如果存在: 2 ∂x1∂x2
第三章 随机信号分析
[
]
S X (ω ) = ∫ RX (τ )e jωτ dτ ∞ R(τ ) Pξ (ω ) 1 ∞ jωτ RX (τ ) = ∫∞ S X (ω )e dω 2π
当τ =0时,有 均功率
1 R X (0) = 2π
∞
∫
∞
∞
S X (ω,它表示随机过程的平 )dω
4 高斯(正态)随机过程
– 数字信号:参量的取值有限
2 随机过程的数学描述
随机变量的含义 – 在某个时刻,信号的取值是随机的. 随机过程的定义 – 定义一:随机过程是随机样本函数的集合,表示为
X (t ) = {xi (t )}, i = 1,2, ,其中样本函数 xi (t )称为随机 过程的一次实现. – 定义二:随机过程是随机变量在时间轴上的扩展, X 表示为( x, t ) ,或常用 ) .由此可见,随机过程可以看 X (t 作是不同时刻的多维随机变量
2
2 2 E [ X (t ) ] = σ X (t ) + m X ( t ) 2
物理含义为瞬时平均功率等于瞬时交流功率与直流功率和
2 随机过程的数学描述(续)
随机过程的二维统计特性(对应二维随机变量)
– 相关函数
RX (t1, t2 ) = E[X(t1)X (t2 )] = ∫
∞ ∞ ∞
∫
∞
第三章 随机信号分析
主要内容
1 随机信号的概念 2 随机过程的数学描述 3 平稳随机过程 4 高斯(正态)随机过程
1 随机信号的概念
周期与非周期信号 – 周期信号:满足条件 f (t ) = f (t ± nT ), n = 1,2,
– 非周期信号:有限持续时间的特定时间波形 确知和随机信号 – 确知信号:在任何时刻,取值是唯一确定的 – 随机信号:信号的某个或更多参量的取值是不确定, 不可预测的
随机信号分析第3版第二章 习题答案.pdf
k =0
k =0
如果将 4bit 串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：
串平均： Ε ⎡⎣{B (n) , B (n +1) , B (n + 2) , B (n + 3)}⎤⎦ = {0.8, 0.8, 0.8, 0.8}
串方差：
Var ⎡⎣{B (n), B (n +1), B (n + 2) , B (n + 3)}⎤⎦ = {0.16, 0.16, 0.16, 0.16}
3
∑ 串（4bit 数据）为： X (n) = 2k B(n + k) ，其矩特性为： k =0
因为随机变量 B(n) 的矩为：
均值： E[B(n)] = 0× 0.2 +1× 0.8 = 0.8
{ } 方差：
Var
[
B(n)
]
=
Ε
⎡ ⎣
B
(
n
)2
⎤ ⎦
−
Ε ⎡⎣B (n)⎤⎦
2 = 02 × 0.2 +12 × 0.8 − 0.82
= E{[ X (s + a) − X (s)][X (t + a) − X (t)]} = E[ X (s + a) X (t + a)] − E[ X (s + a) X (t)] − E[ X (s) X (t + a)] + E[ X (s) X (t)] = RX (s + a, t + a) − RX (s + a, t) − RX ( s, t + a) + RX ( s, t)
P ⎡⎣{1011}⎤⎦ = P ⎡⎣B (n) = 1⎤⎦ × P ⎡⎣B (n) = 0⎤⎦ × P ⎡⎣B (n) = 1⎤⎦ × P ⎡⎣B (n) = 1⎤⎦
电子科大随机信号分析2015随机期末试题答案A
电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布的随机变量。
（ 共10分）1．画出该过程两条样本函数。
(2分)2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的一维概率密度函数，并画出其图形。
(5分)3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平稳？(3分)解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图2.1(a)所示：t2.当02tπω=时，()02Xπω=，()012P Xπω⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，此时概率密度函数为：(;)()2Xf x xπδω=当34tπω=时，32()42X Vπω=-，随机过程的一维概率密度函数为：232,0(;)240,Xxf xothersπω⎧-<<⎪=⎨⎪⎩3. ()[]1cos cos2E X t E V t tωω==⎡⎤⎣⎦均值不平稳，所以()X t非广义平稳，非严格平稳。
二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均匀分布随机变量。
（ 共10分）1．求两个随机信号的互相关函数12(,)XY R n n 。
(2分)2．讨论两个随机信号的正交性、互不相关性与统计独立性。
(4分)3．两个随机信号联合平稳吗？(4分)解：1.两个随机信号的互相关函数()()()()()()()121212121212(,)sin 2cos 21sin 222sin 2221sin 2202XY R n n E X n Y n E n n E n n n n n n πφπφππφππππ=⎡⎤⎣⎦=++⎡⎤⎣⎦=+++-⎡⎤⎣⎦=-=其中()12sin 2220E n n ππφ++=⎡⎤⎣⎦2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =，故两个随机信号正交。
随机信号分析(第3版)第三章习题及答案
3.1 随机电压信号()U t 在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：（1）密度函数();f u t 、()1212,;,f u u t t 和()1212,,...,;,,...,k k f u u u t t t ，k 为任意整数；（2）()U t 的平稳性。
3.1解：(1)2(;)}4x f u t =-22121,2121,12,21(;,)()()exp{}44u u f u u t t f u t f u t π+==-211,212,1(,,;,,)()}4kiki k k i i i uf u u u t t t f u t ====-∑∏(2)由于任意k 阶概率密度函数与t 无关，因此它是严平稳的。
3.23.33.4 已知随机信号()X t 和()Y t 相互独立且各自平稳，证明新的随机信号()()()Z t X t Y t =也是平稳的。
3.4解：()X t 与()Y t 各自平稳，设X m =[()]E X t ，Y m =[()]E Y t ，()[X()X()]X R E t t ττ=+，()[Y()Y()]Y R E t t ττ=+Z ()[Z()][()Y()][()][()]X Y m t E t E X t t E X t E Y t m m ===⨯=，为常数(,)[Z()Z()][()Y()()Y()][X()()][Y()()]()()()Z X Y Z R t t E t t E X t t X t t E t X t E t Y t R R R τττττττττ+=+=++=+⨯+=⨯=∴()Z R τ仅与τ有关，故Z()t =()Y()X t t 也是平稳过程。
3.5 随机信号()()010sin X t t ω=+Θ，0ω为确定常数，Θ在[],ππ-上均匀分布的随机变量。
若()X t 通过平方律器件，得到2()()Y t X t =，试求：（1）()Y t 的均值； （2）()Y t 的相关函数；（3）()Y t 的广义平稳性。
第三章 随机信号通过线性系统分析讲解
第三章 随机信号通过线性系统的分析本章主要内容：● 线性系统的基本理论● 随机信号通过连续时间系统的分析 ● 随机信号通过离散时间系统的分析 ● 色噪声的产生与白化滤波器 ● 等效噪声带宽 ● 解析过程● 窄带随机过程基本概念● 窄带高斯过程包络与相位的概率密度 ● 窄带高斯过程包络平方的概率密度3.1随机信号通过连续时间系统的分析在给定系统的条件下，输出信号的某个统计特性只取决于输入信号的相应的统计特性。
分析方法：卷积积分法；频域法。
3.1.1、时域分析法1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 输入为随机信号)(t X 某个实验结果ζ的一个样本函数),(ζt x ，则输出),(ζt y 为：对于所有的ζ，输出为一族样本函数构成随机过程Y(t)：2. 输出的均值：)(*)()(t h t m t m X Y =证明：3．系统输入与输出之间的互相关函数)(*),(),(22121t h t t R t t R X XY = )(*),(),(12121t h t t R t t R X YX =证明：4、系统输出的自相关函数已知输入随机信号的自相关函数，求系统输出端的自相关函数。
显然，有：5、系统输出的高阶距输出n阶矩的一般表达式为注意：上面的分析方法是零状态响应的一般分析方法。
它既适用于输入是平稳随机信号的情况，也适用于输入是非平稳的情况。
3.1.2、系统输出的平稳性及其统计特性的计算1、双侧随机信号在这种情况下，系统输出响应在t＝0时已处于稳态。
（1）若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。
那么由于假定连续系统是稳定的，所以由于输出的均值是常数，而输出的相关函数只是 的函数，且输出均方值有界。
所以，输出随机过程为宽平稳的。
可总结如下：输出均值：输入与输出间的互相关函数为输出的自相关函数为输出的均方值即输出总平均功率为若用卷积的形式，则可分别写为（2）若输入X(t)是严平稳的，则输出Y(t)也是严平稳的。
随机信号分析基础(第3版)
随机信号的频域描述
01
02
03
频域描述
通过傅里叶变换将时间域 的随机信号转换为频域表 示，揭示信号的频率成分 和频率特性。
频域特性
描述随机信号在不同频率 下的振幅和相位变化，以 及信号的频率范围和带宽 。
频域分析的应用
用于信号的调制、滤波、 频谱分析和信号处理等领 域。
随机信号的功率谱密度
功率谱密度定义
性。
学习目标
掌握随机信号的基本概念 、统计特性和分析方法。
学习信号处理的基本原理 和技术，包括滤波、谱分 析和调制解调等。
理解随机过程的基本理论 和应用。
熟悉随机信号分析在通信 、雷达、声呐等领域的应 用。
02
CATALOGUE
随机信号的基本概念
随机信号的定义
01
随机信号是一种随时间变化的信 号，其取值在每个时间点上是随 机的，即无法提前预测。
随机信号的时域表示
随机信号在时间轴上的变化规律可以 用实数序列表示，通常采用离散时间 序列或连续时间信号。
随机信号的特性
包括均值、方差、偏度和峰度等统计 特性，以及信号的波形、幅度和频率 等时域特征。
随机信号的均值和方差
均值
随机信号的均值是信号所有可能取值的平均值，反映了信号 的“中心”位置。
方差
傅里叶变换的性质
线性性、时移性、频移性、共轭性、对称性等，这些性质在信号处 理中具有重要应用。
傅里叶变换的应用
在通信、雷达、声学等领域中，通过傅里叶变换分析信号的频率成 分，实现信号的滤波、调制和解调等操作。
随机信号的拉普拉斯变换和Z变换
拉普拉斯变换
将时域的随机信号转换为复平面 上的函数，用于分析信号的稳定 性及系统函数的极点和零点等。
随机信号分析常建平李海林版课后习题答案
由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。
给大家造成的不便，敬请谅解随机信号分析 第三章习题答案、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2?）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。
求（1）证明X(t)是平稳过程。
（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。
（3）画出该随机过程的一个样本函数。
（1）（2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？ 解()()()21521()lim2T TT E X t X t X t X t dt A T -→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。
证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为 令新的随机过程①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω？ ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω？ ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ？ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R eE Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。
随机信号分析基础第三章课后答案
第三章，平稳随机过程的n 维概率密度不随时间平移而变化的特性，反映在统计特征上就是其均值不随时间的变化而变化，mx 不是t 的函数。
同样均方值也应是常数。
（2）二维概率密度只与t1,t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。
因此平稳过程的自相关函数仅是单变量tao 的函数。
则称他们是联合宽平稳的。
第三章Chapter 3 ==========================================3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。
解：由题意可得:()[]()()002121020222220002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()120212021202021202022212020220210120220222020100222222002010212121221122102122121212212122222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。
随机信号分析第3讲
X(t1) X(t2) Pζi ζ1 ζ2 ζ3 t ζ4 1 2 6 3 5 4 2 1 1/4 1/4 1/4 1/4
一次结果中，决不会发生t1时刻的状态在ζ3上取值，而到t2时 刻的状态在ζ4上取值。k1,k2不在一条样本上，此情况发生的概率为 0。即P{X(t1)=k1,X(t2)=k2} =0。 由于一次试验结果只有一个样本出现，若此次样本ζ3出现，则t1 时刻的状态必在ζ3上取值，且t2时刻的状态必还在ζ3上取值。 k1,k2 必在一条样本上，此情况发生的概率为1/4。 P{X(t1)=k1,X(t2)=k2} = 1/4。 ← 样本ζi发生的概率。
ϕY (t ) = E[Y (t )] = ∑ yi pi (t )
2 2 i =1 m
m
σ X (t ) = D[Y (t )] = ∑ [ yi − mY (t )] pi (t )
2 2 i =1
例1、设随机过程X(t)=U·t，U在(0,1)上均 匀分布，求E[X(t)]，D[X(t)]，Rx(t1,t2)， Cx (t1,t2)。
解：
⎧1， Q fU (u) = ⎨ ⎩0， 0 ≤ u ≤1 其它
∞ 1
t ∴ E[ X (t )] = E[U ⋅ t ] = t ⋅ E[U ] = t ⋅ ∫ ufU (u)du = t ⋅ ∫ udu = 0 －∞ 2 RX (t1 , t2 ) = E[ X (t1 ) X (t2 )] = E[U ⋅ t1 ⋅U ⋅ t2 ] = t1 ⋅ t2 ⋅ E[U 2 ] t1 ⋅ t2 = t1 ⋅ t2 ⋅ ∫ u ⋅ fU (u)du = t1 ⋅ t2 ⋅ ∫ u du = −∞ 0 3 t1 ⋅ t2 t1 t2 t1 ⋅ t2 CX (t1 , t2 ) = RX (t1 , t2 ) − m(t1 ) ⋅ m(t2 ) = − ⋅ = 3 2 2 12 t2 D[ X (t )] = CX (t , t ) = 12
随机信号分析课件3、4(常建平)
则其时间平均 P E[ X 2 (t )] R(0) R(0) 所以平稳过程的平均功率： 3、各态历经过程的平均功率 由于各态历经过程X(t)的每个样本函数的时间平均都以概率1 相 同，与 无关，则可推出：
P R(0)
1 P lim T 2T
1 －T X (t, )dt Tlim 2T
1 P lim T 2T 1 T E[ X (t )]dt E[ X (t )] E[ X (t )] 2
T 2 2 2
kT
( )
2
随机过程的平均功率也可以由过程的均方值求时间平均：
GX ( )d
2、平稳过程的平均功率 若X(t)为平稳过程，其均方值 E[ X (t )] R(0)与“t”无关，
二、实随机信号的平均功率 随机过程的任意一个样本函数，都不满足傅立叶变换的绝对 可积条件，直接对随机过程进行傅立叶变换不可能。但是对其样 本函数作某些限制后，其傅立叶变换存在。
最简单的是应用截尾函数。如右图所示：
在
xk (t ) 中任意截取长为2T的一段
xk (t ) T 0
xkT (t )
T t
k 不同由于样本函数 xk (t )不同， Pk 也不同。
相对所有试验结果 来讲，所有样本的平均功率 P k 的总体
P 就是一个随机变量。
1 P lim T 2T 1 －T X (t )dt Tlim 4 T
T 2
X T ( ) d
2
其中X(t)是随机过程，XT ( ) XT (, )是随机过程的截取函数的频谱 若对 P 取统计平均，得确定值：
xiT (t ) 为 t 的实函数时，其频谱满足
随机信号分析第三章
E{ X (t + Δt )} → E{ X (t )}
或
m X (t + Δt ) → m X (t )
(3.2.10)
由此可以得出结论: 如果 X (t ) 均方连续，则其均值函数亦连续。(3.2.10)式也可以表示为
Δt →0
lim E{ X (t + Δt )} = E{ X (t )} = E{l ⋅ i ⋅ m X (t + Δt )}
(3.1.11)
假定系统是线性时不变的，由线性时不变的基本特性和两个基本定理可以看出，如果 X (t ) 是 严平稳的，则 Y (t ) 也是严平稳的。如果 X (t ) 是广义平稳的，则 Y (t ) 也是广义平稳的。
108
3.2 随机过程的导数与积分
与确定性过程一样，导数和积分是随机过程的两种重要的运算，而导数和积分又是以极限为基 础的。因此，本节首先介绍随机变量极限的概念，进而引入导数和积分的概念。随机变量的极限有 几种，我们只讨论其中最常用的一种，即均方极限，因此，我们讨论的导数和积分都是均方意义下 的导数和积分。
3.2.3 随机过程的导数
有了随机过程极限与连续性的定义后，我们就可以引入导数的概念。 1 导数的定义 定义：设随机过程 X (t ) ，如果下列极限存在，
l ⋅i ⋅m
Δt →∞
X (t + Δt ) − X (t ) Δt dX (t ) , 即 dt
(3.2.12)
则称此极限为随机过程 X (t ) 的导数，记为 X ′(t ) 或
以上两个定理是线性变换的两个基本定理，它给出了随机过程经过线性变换后，输出的均值和 相关函数的计算方法。 从两个定理可知，对于线性变换，输出的均值和相关函数可以分别由输入的均值和相关函数确 定。推广而言，对于线性变换，输出的 k 阶矩可以由输入的相应阶矩来确定。如
随机信号分析第三章new
因而，我们根据定义式，求得过程X (t) 的均值，自相关函数和均 方值分别为
mX (t ) E[ X (t )] E[ cos(0t )]
2 0
1 cos(0t ) d 0 2
过程X( t )的均值为“0”（常数），
R X (t1 , t 2 ) R X (t , t ) E[ X (t ) X (t )] E[ cos( 0 t ) cos( 0 (t ) )]
1 x(t ) x(t ) Rx ( ) lim T 2T
T
T
x(t ) x(t ) dt f ( )
其结果 f ( ) 是个确定的时间函数。
若对随机过程 X ( , t ) 求时间自相关，则
X (t ) X (t ) X (t ) X (t ) RX ( ) 1 T 1 lim T X (t ) X (t )dt Tlim 2T T 2T f ( , )
例3.1 设随机过程 X (t ) cos(0t )
式中， , 0 皆为常数， 是在 (0,2 )上均匀分布的随机变量。
试问： X( t )是否是平稳随机过程？为什么？ 解：由题意可知，随机变量 的概率密度为
1 / 2 , f ( ) 0,
0 2 其他
1
说明
要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳? 是很困难的 一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在 时间进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。 另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它 在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段 上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为 是平稳过程。 一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的 平稳问题。即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题
2015随机信号分析15
第15讲
叶方
哈尔滨工程大学信息与通信工程学院
本章学习内容
3.1 随机过程的谱分析
一、预备知识：确定信号的谱分析
包含： 振幅谱 相位谱
3.1 随机过程的谱分析
一、预备知识：确定信号的谱分析
（1）
（2）
能量谱
能量型信号：能量有限的信号 功率型信号：平均功率有限、能量无限的信号
3.1 随机过程的谱分析
T
T
3.1 随机过程的谱分析
二、随机过程的功率谱密度函数
1 T 2 1 1 2 E[ lim xT (t )dt ] lim X X (T , ) d T 2T T T 2T2 1 1 2 时间平 E[ lim X X (T , ) d ] 均功率 2 T 2T
3.2 平稳随机过程功率谱密度的性质
一、功率谱密度的性质
2 E X X (T , ) S X ( ) lim T 2T
1、功率谱密度为非负的，即 S X ( ) 0 2、功率谱密度是ω 的实函数 3、实随机过程的功率谱密度是ω 的偶函数 S X ()＝S X (－) 4、功率谱密度可积
S X ( )d
3.2 平稳随机过程功率谱密度的性质
二、谱分解定理
S 0 ( 2 M c2 M 2 2 M 2 c2 2 c0 ) S X ( ) 2 N d 2 N 2 2 N 2 d 2 2 d 0
M N
1 E[lim T 2T
T 2
功率谱密度： 信号平均功率按 频率分布的情况
1 1 2 X X (T , ) d ] T X (t )dt ] 2 E[lim T 2T SX ( ) 1 1 2 E[lim X X (T , ) ]d 随机过程的平均功率 P T 2 2T
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第3讲
叶方
哈尔滨工程大学信息与通信工程学院
1.5 随机变量函数的分布
1.4节讨论
本节讨论的问题
1.5 随机变量函数的分布
一、一维随机变量函数的分布
1、单调函数的情况
y
y = g ( x)
y
x
0
单调函数示意图
dx fY ( y ) = f X ( x ) dy
概率密度非负性
1.5 随机变量函数的分布
连续随机变量
条件：积分绝对可积
1.6 随机变量的数字特征
一、数学期望 （又称统计平均、集合平均、均值）
2、性质
（ 1） （ 2） （ 3）
无条件成立
（ 4）
有条件成立
1.6 随机变量的数字特征
二、随机变量函数的数学期望
1、单个随机变量
1.6 随机变量的数字特征
二、随机变量函数的数学期望
2、两个或多个随机变量
二、二维随机变量函数的分布
（ 1） （ 2） （ 3）
（ 4）
1.5 随机变量函数的分布
三、多维随机变量函数的分布
仅讨论单值变化的情况
1.6 随机变量的数字特征
一、数学期望 （又称统计平均、集合平均、均值）
1、定义
离散随机变量
条件：级数绝对收敛
随机变量全部可能取值的加权和， 权重就是各可能取值出现的概率。
J k = dxk / dy 雅可比(Jacobi)
1.5 随机变量函数的分布
二、二维随机变量函数的分布
仅讨论单值变化的情况
1.5 随机变量函数的分布
二、二维随机变量函数的分布
仅讨论单值变化的情况
1.5 随机变量函数的分布
二、二维随机变量函数的分布
仅讨论单值变化的情况
1.5 随机变量函数的分布
一、一维随机变量函数的分布
2、非单调函数的情况
（1）一对二值
1.5 随机变量函数的分布
一、一维随机变量函数的分布
2、非单调函数的情况
= fY ( y ) f X ( x1 ) J1 + + f X ( xn ) J n
其中
（2）一对多值
x1 = h1 ( y ) … x n = hn ( y )