七年级数学上册 全册单元测试卷检测题(Word版 含答案)

七年级数学上册全册单元测试卷检测题（Word版含答案）
一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）
1．已知 (本题中的角均大于且小于 )
（1）如图1，在内部作，若，求的度数；
（2）如图2，在内部作，在内，在内，且，，，求的度数；
（3）射线从的位置出发绕点顺时针以每秒的速度旋转，时间为秒( 且 ).射线平分，射线平分，射线平分 .若，则 ________秒.
【答案】（1）解：∵∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOD+∠COD=∠AOB+∠COD
又∵∠AOD+∠BOC=160°且∠AOB=120°
∴
（2）解：，
设，则，
则，
（3） s或15s或30s或45s
【解析】【解答】(2）解：当OI在直线OA的上方时，
有∠MON=∠MOI+∠NOI= （∠AOI+∠BOI））= ∠AOB= ×120°=60°，
∠PON= ×60°=30°，
∵∠MOI=3∠POI，
∴3t=3（30-3t）或3t=3（3t-30），
解得t= 或15；
当OI在直线AO的下方时，
∠MON═（360°-∠AOB）═ ×240°=120°，
∵∠MOI=3∠POI，
∴180°-3t=3（60°- ）或180°-3t=3（ -60°），
解得t=30或45，
综上所述，满足条件的t的值为 s或15s或30s或45s
【分析】（1）利用角的和差进行计算便可；（2）设，则，，通过角的和差列出方程解答便可；（3）分情况讨论，确定∠MON在不同情况下的定值，再根据角的和差确定t的不同方程进行解答便可.
2．已知线段AB=6．
（1）取线段AB的三等分点，这些点连同线段AB的两个端点可以组成多少条线段？求这些线段长度的和；
（2）再在线段AB上取两种点：第一种是线段AB的四等分点；第二种是线段AB的六等分点，这些点连同（1）中的三等分点和线段AB的两个端点可以组成多少条线段？求这些线段长度的和。

【答案】（1）解：如图：点C、D为线段AB的三等分点，
可以组成的线段为：3+2+1=6（条），
∵AB=6，点C、D为线段AB的三等分点，
∴AC=CD=DB=2，AD=BC=4，
∴这些线段长度的和为：2+2+2+4+4+6=20.
（2）解：再在线段AB上取两种点：第一种是线段AB的四等分点D1、D2、D3；第二种是线段AB的六等分点E1、E2，
∴这些点连同（1）中的三等分点和线段AB的两个端点可以组成多少条线段共有1+2+3+…+8=36（条）；
根据题意以A为原点，AB为正方向，建立数轴，则各点对应的数为：
A：0；B：6；C：2；D：4；D1：1.5；D2：3；D3：4.5；E1：1；E2：5；
∴①以A、B为端点的线段有7+7+1=15（条），长度和为：6×8=48；
②不以A、B为端点，以E1、E2为端点的线段有5+5+1=11（条），长度和为：4×6=24；
③不以A、B、E1、E2为端点，以D1、D3为端点的线段有3+3+1=7（条），长度和为：3×4=12；
④不以A、B、E1、E2、D1、D3为端点，以C、D为端点的线段有1+1+1=3（条），长度和为：2×2=4；
∴这些线段长度的和为：48+24+12+4=88.
【解析】【分析】（1）如图，根据线段的三等分点可分别求得每条线段的长度，再由线段的概念先找出所有线段，从而求得它们的和.
（2）再在线段AB上取两种点：第一种是线段AB的四等分点D1、D2、D3；第二种是线段AB的六等分点E1、E2；根据线段定义和数线段的规律求得线段条数；根据题意以A为原点，AB为正方向，建立数轴，则各点对应的数为：A：0；B：6；C：2；D：4；D1：1.5；D2：3；D3：4.5；E1：1；E2：5；再分情况讨论，从而求得所有线段条数和这些线段的长度.
3．探究题：如图①，已知线段AB=14cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC 和BC的中点．
（1）若点C恰好是AB中点，则DE=________cm；
（2）若AC=4cm，求DE的长；
（3）试利用“字母代替数”的方法，设AC=a cm请说明不论a取何值（a不超过14cm），DE的长不变；
（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB=120°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE 分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=60°与射线OC的位置无关．
【答案】（1）7
（2）解：∵AC=4cm ∴BC=AB－AC=10cm 又∵D为AC中点，E为BC中点∴CD=2cm,CE=5cm ∴DE=CD+CE=7cm.
（3）解：∵AC=acm ∴BC=AB－AC=(14－a)cm 又∵D为AC中点，E为BC中点∴CD=
cm,CE= cm ∴DE=CD+CE= ＋∴无论a取何值（不超过14）DE的长不变。

（4）解：设∠AOC=α,∠BOC=120-α ∵OD平分∠AOC,OE平分∠BOC ∴∠COD= ，
∠COE= ∴∠DOE=∠COD+∠COE= ＋ = =60°∴∠DOE=60°与OC位置无关.
【解析】【解答】解：（1）∵AB=12cm，点D、E分别是AC和BC的中点，C点为AB的中点，
∴AC=BC=7cm，
∴CD=CE=3.5cm，
∴DE=7cm，.
【分析】（1）根据中点的定义AC=BC=AB，DC=AC,CE=CB,然后根据DE=DC+CE即可算出答案；
（2）首先根据BC=AB－AC 算出BC，根据中点的定义DC=AC,CE=CB,然后根据DE=DC+CE 即可算出答案；
（3）首先根据BC=AB－AC 表示出BC，根据中点的定义DC=AC,CE=CB,然后根据DE=DC+CE=AC+CB=(AC+CB)=AB即可算出答案；
（4）根据角平分线的定义∠COD =∠AOC ，∠COE =∠BOC ，然后根据∠DOE=∠COD+∠COE =∠COD+∠COE=（∠COD+∠COE）=∠AOB即可得出答案。

4．将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起(其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B ＝45°，直角顶点C保持重合)．
（1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为________．
②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为________．
（2）由(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）将三角尺BCE绕着点C顺时针转动，当∠ACE<180°，且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值(并写明此时哪两条边平行，但不必说明理由)；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）135°；40°
（2）∠ACB＋∠DCE＝180°.理由如下：
∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋∠DCB，
∴∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠DCB＋∠DCE＝90°＋∠ECB＝90°＋90°＝180°.
（3）(3)存在．当∠ACE＝30°时，AD∥BC；当∠ACE＝45°时，AC∥BE；当∠ACE＝120°时，AD∥CE；当∠ACE＝135°时，CD∥BE；当∠ACE＝165°时，AD∥BE.
【解析】【解答】（1）①∵∠ECB＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠DCB＝90°－45°＝45°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋45°＝135°.
②∵∠ACB＝140°，∠ACD＝90°，
∴∠DCB＝140°－90°＝50°，
∴∠DCE＝90°－50°＝40°.
【分析】（1）①根据角的和差，由∠DCB＝∠BCE-∠DCE，即可算出∠DCB的度数，进而根据∠ACB＝∠ACD＋∠DCB即可算出答案；②根据角的和差，由∠DCB=∠ACB-∠ACD算出∠DCB的度数，再根据∠DCE＝∠ECB-∠DCB即可算出答案；
（2）∠ACB＋∠DCE＝180°.理由如下：根据角的和差得出∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋∠DCB ，故由∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠DCB＋∠DCE ＝90°＋∠ECB 即可算出答案；
（3）存在．当∠ACE＝30°时，根据内错角相等二直线平行得出AD∥BC；当∠ACE＝45°时，内错角相等二直线平行得出AC∥BE；当∠ACE＝120°时，根据同旁内角互补，二直线平行得出AD∥CE；当∠ACE＝135°时，根据内错角相等二直线平行得出CD∥BE；当∠ACE ＝165°时，根据同旁内角互补，二直线平行得出AD∥BE.
5．如图1，已知数轴上有三点A、B、C，它们对应的数分别为a、b、c，且c－b=b－a；点C对应的数是10．
（1）若BC=15，
求a、b的值；
（2）如图2，在（1）的条件下，O为原点，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P向左运动，运动速度为2个单位长度/秒，点Q向右运动，运动速度为1个单位长度/秒，N为OP的中点，M为BQ的中点．
①用含t代数式表示PQ、 MN；
②在P、Q的运动过程中，PQ与MN存在一个确定的等量关系，请指出他们之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）∵BC=15，点C对应的数是10，
∴c－b=15，
∴b=-5，
∵c－b=b－a=15，
∴a=-20;
（2）①∵OQ=10+t,OP=20+2t,
∴PQ=(10+t)+( 20+2t)=30+3t;
∵OB=5, OQ=10+t,
∴BQ=15+t,
∵M为BQ的中点,
∴BM=7.5+0.5t,
∴OM=7.5+0.5t-5=2.5+0.5t.
∵OP=20+2t, N为OP的中点，
∴ON=10+t,
∴MN=OM+ON=12.5+1.5t；
②PQ-2MN=5.
∵PQ=30+3t，MN= 12.5+1.5t，
∴PQ-2MN=（30+3t）-2（12.5+1.5t）=5.
【解析】【分析】（1）利用数轴上所表示的数，右边的总比左边的大及数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数的差的绝对值，由BC=15，点C对应的数是10，即可算出点B 所表示的数，即b的值，进而根据 c－b=b－a 即可算出点A所表示的数a的值；
（2）① 根据路程等于速度乘以时间，得出PA=2t，CQ=t，所以OQ=OC+CQ=10+t,OP==OA+PA=20+2t, 进而根据PQ=OQ+OP，根据整式加减法法则算出PQ的长；根据BQ=OB+OQ得出 BQ=15+t, genuine线段中点的定义得出 BM=7.5+0.5t, ON=10+t, 根据MN=OM+ON ，由整式加减法法则即可算出答案；②PQ-2MN=5，理由如下：由PQ=30+3t，MN= 12.5+1.5t，故利用整式家家爱你法法则即可算出PQ-2MN=5。

6．如图所示，O为一个模拟钟面圆心，M、O、N 在一条直线上，指针OA、OB 分别从OM、ON 出发绕点 O 转动，OA 运动速度为每秒 30 ，OB 运动速度为每秒10 ，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为 t 秒，试解决下列问题：
（1）如图①，若OA顺时针转动，OB逆时针转动， =________秒时，OA与OB第一次重合；
（2）如图②，若OA、OB同时顺时针转动，
①当 =3秒时，∠AOB=________ ；
②当为何值时，三条射线OA、OB、ON其中一条射线是另两条射线夹角的角平分线？________
【答案】（1）4.5
（2）；解：由题意知，
∴∠BON＝10t ，∠AON＝180－30t (0≤t≤6)，∠AON＝30t－180(6<t≤12).
当ON为∠AOB的角平分线时，有
180－30t ＝10t ，
解得：t ＝4.5；
当OA为∠BON的角平分线时，
10t ＝2(30t －180)，
解得：t ＝7.2；
当OB为∠AON的角平分线时，
30t －180＝2×10t ，
解得：t ＝18（舍去）；
∴经过4.5，7.2秒时，射线OA、OB、ON其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线
【解析】【解答】（1）解：若OA顺时针转动，OB逆时针转动，
∴∠AOM+∠BON=180 ,
∴，
解得：；
∴秒，OA与OB第一次重合；
故答案为：4.5
2）解：①若OA、OB同时顺时针转动，
∴，，
∴；
故答案为：120；
【分析】（1）设t秒后第一次重合．根据题意，列出方程，解方程即可；（2）①利用180 减去OA转动的角度，加上OB转动的角度，即可得到答案；
②先用t的代数式表示∠BON和∠AON，然后分为三种情况进行讨论：当ON、OA、OB为角平分线时，分别求出t的值，即可得到答案.
7．（探索新知）
如图1，点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC＝πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．
（1）若AC＝3，则AB＝________；
（2）若点D也是图1中线段AB的圆周率点（不同于C点），则AC________DB；
（3）（深入研究）如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．
若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段MN的长度．
（4）图2中，若点D在射线OC上，且线段CD与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数．
【答案】（1）3π+3
（2）=
（3）解：由题意可知，C点表示的数是π+1，
M、N均为线段OC的圆周率点，不妨设M点离O点近，且OM=x，
x+πx=π+1，解得x=1，
∴MN=π+1-1-1=π-1
（4）解：设点D表示的数为x，
如图3，若CD=πOD，则π+1-x=πx，解得x=1；
如图4，若OD=πCD，则x=π（π+1-x），解得x=π；
如图5，若OC=πCD，则π+1=π（x-π-1），解得x=π+ +2；
如图6，若CD=πOC，则x-（π+1）=π（π+1），解得x=π2+2π+1；
综上，D点所表示的数是1、π、π+ +2、π2+2π+1
【解析】【解答】（1）解：∵AC=3，BC=πAC，
∴BC=3π，
∴AB=AC+BC=3π+3
（ 2 ）解：∵点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合，
∴BC=πAC，AD=πBD，
∴设AC=x，BD=y，则BC=πx，AD=πy，
∵AB=AC+BC=AD+BD，
∴x+πx=y+πy，
∴x=y
∴AC=BD
【分析】（1）根据线段之间的关系代入解答即可；（2）根据线段的大小比较即可；（3）由题意可知，C点表示的数是π+1，设M点离O点近，且OM=x，根据长度的等量关系列出方程求得x，进一步得到线段MN的长度.
8．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC=2：1，将一直角的顶点放在点O处，∠MON=90°.
（1）如图1，当∠MON的一边OM与射线OB重合时，则∠NOC=________；
（2）将∠MON绕点O逆时针运动至图2时，若∠MOC=15°，则∠BOM=________；∠AON=________.
（3）在上述∠MON从图1运动到图3的位置过程中，当∠MON的边OM所在直线恰好平分∠AOC时，求此时∠NOC是多少度？
【答案】（1）150°
（2）45°；135°
（3）解：由（1）可知：∠AOC=120°，∠BOC=60°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠COM= ∠AOC=60°，
∵∠MON=90°，
∴∠NOC=∠MON-∠COM=90°-60°=30°.
【解析】【解答】（1）∵∠AOC：∠BOC=2：1，∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=180°× =120°，∠BOC=180°× =60°，
∵∠MON=90°，
∴∠NOC=∠BOC+∠MON=90°+60°=150°.
故答案为：150°
（ 2 ）由（1）可知：∠BOC=60°，
∵∠MOC=15°，
∴∠BOM=∠BOC-∠MOC=60°-15°=45°，
∵∠MON=90°，
∴∠BON=90°-∠BOM=45°，
∴∠AON=180°-∠AON=135°，
故答案为：45°，135°
【分析】（1）由∠AOC：∠BOC=2：1，根据平角的定义可求出∠AOC、∠BOC的度数，根据角的和差关系即可求出∠NOC的度数；（2）根据∠BOC和∠MOC的度数可求出∠BOM 的度数，根据角的和差关系即可求出∠BOM的度数，根据∠MON=90°可求出∠NOB的度数，根据平角的定义即可求出∠AON的度数；（3）利用角平分线的定义可求出∠MOC的度数，进而可求出∠NOC的度数.
9．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE 分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．
【答案】（1）解：∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴，，
∴ °，
∴∠AEB=135°
（2）解：∠CED的大小不变．
如图2，延长AD、BC交于点F．
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴ °，
∴ °，
∴ °，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴，，
∴ °， °，∴ °，
∴ °，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴ °，
∴ °；
（3）解：∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴ , ，
∴，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴ °．
在△AEF中，
∵有一个角是另一个角的3倍，故有：
① ， °， °；
② ， °， °；
③ ， °， °；
④ ， °， °．
∴∠ABO为60°或45°．
【解析】【分析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、
BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线得出，，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出，故
，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知
，，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE 分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知，进而得出结论；
（3））由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知 , ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．
10．如图：AC为一条直线，O是AC上一点， OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC.
（1）如图：若∠AOB=120°，求∠EOF的大小;
（2）若∠AOB=60°，则∠EOF= ________°
（3）任意改变∠AOB的大小，∠EOF的大小会改变吗？
【答案】（1）解：∵∠AOB=120°，∴∠COB=180°-120°=60°
∵OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC
∴∠EOB= ∠AOB=60°，∠BOF= ∠BOC=30°
∴∠EOF=∠EOB+∠BOF=60°+30°=90°
（2）90°
（3）解：不变.
理由是：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，
∴∠BOE= ∠AOB，
∴∠BOF= ∠BOC，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF= ∠AOB+ ∠BOC= （∠AOB+∠BOC）= ×180°=90°
【解析】【解答】(2) ∵∠AOB=60°，∴∠COB=180°-60°=120°
∵OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC
∴∠EOB= ∠AOB=30°，∠BOF= ∠BOC=60°
∴∠EOF=∠EOB+∠BOF=30°+60°=90°
【分析】（1）先由∠AOB=120°，得∠COB=60°，再由OE，OF分别平分∠AOB，∠BOC，得∠EOB=60°，∠BOF=30°，从而可得∠EOF的大小；（2）由∠AOB=60°，得∠COB=120°，再由OE，OF分别平分∠AOB，∠BOC，得∠EOB=30°，∠BOF=60°，从而可得∠EOF的大小；（3）任意改变∠AOB的大小，先由点O是AC上一点，得出∠AOB+∠BOC=∠AOC=180°，
再由OE，OF分别平分∠AOB，∠BOC，根据角平分线定义得出∠BOE= ∠AOB，∠BOF= ∠BOC，那么∠EOF=∠BOE+∠BOF= ∠AOB+ ∠BOC= ∠AOC=90°.
11．已知BM、CN分别是△的两个外角的角平分线，、分别是和的角平分线，如图①；、分别是和的三等分线（即，），如图②；依此画图，、分别是和的n等分线（即，），，且为整数．
图①图②
（1）若，求的度数；
（2）设，请用和n的代数式表示的大小，并写出表示的过程；
（3）当时，请直接写出 + 与的数量关系．
【答案】（1）解：，
∵、分别是和的角平分线，
∴
∴
（2）解：在△中， + ，
，
（3）解：
【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，根据角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出即可；（2）先根据三角形内角和定理求出 + ，根据n等分线求出，再根据三角形内角和定理得出，代入求出即可.
（3）本题以三角形为载体，主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、角平分线的性质、三角形的内角和是的性质，熟记性质然灵活运用有关性质来分析、推理、解答是解题的关键.
12．探究题
学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题。

（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1、l2内部，探究∠A，∠APB，∠B 的关系．小明过点P作l1的平行线，可证∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB=________．
（2）如图2，若AC∥BD，点P在AB、CD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请你补全下面的证明过程.
过点P作PE∥AC.
∴∠A=________
∵AC∥BD
∴________∥________
∴∠B=________
∵∠BPA=∠BPE-∠EPA
∴________．
（3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途.试构造平行线解决以下问题：
已知：如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.
【答案】（1）∠APB=∠A+∠B
（2）∠1；PE；BD；∠EPB；∠APB=∠B -∠1
（3）证明：过点A作MN∥BC
∴∠B= ∠1
∠C= ∠2
∵∠BAC+∠1+∠2=180°
∴∠BAC+∠B+∠C=180°
【解析】【解答】解：(1)如图：
由平行线的性质可得：∠1=∠A, ∠2=∠B,
∴∠1+∠2=∠A+∠B
即APB=∠A+∠B
⑵解：过点P作PE∥AC.
∴∠A=∠1
∵AC∥BD
∴ PE ∥ BD
∴∠B=∠EPB
∵∠APB=∠BPE-∠EPA
∴∠APB=∠B -∠1
【分析】根据图形做出平行辅助线，探究角度关系。

此类做辅助线的方法变式多，是考试热点问题。

13．如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，∁…．
例如：当α=30°时，OA1， OA2， OA3， OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON 上，∠A3OA4=120°；
当α=20°时，OA1， OA2， OA3， OA4， OA3的位置如图3所示，
其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4=80°，而OA3恰好与OA2重合．
解决如下问题：
（1）若α=35°，在图4中借助量角器画出OA2，OA3，其中∠A3OA2的度数是________；
（2）若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出OA1，OA2，OA3， OA4并求出α的值；
（3）若α＜36°，且∠A2OA4=20°，则对应的α值是________
（4）（选做题）当OA i所在的射线是∠A i OA k（i，j，k是正整数，且OA j与OA k不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角α（α的度数为正整数，且α=180°），旋转是否可以停止？写出你的探究思路．
【答案】（1）45°
（2）解：如图所示．
∵α＜30°，
∴∠A0OA3＜180°，4α＜180°．
∵OA4平分∠A2OA3，
∴2（180°﹣6α）+ =4α，解得：
（3），，
（4）解：对于角α=120°不能停止．理由如下：
无论a为多少度，旋转过若干次后，一定会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线，所以旋转会停止．
但特殊的，当a为120°时，第一次旋转120°，∠MOA1=120°，第二次旋转240°时，与OM 重合，第三次旋转360°，又与OM重合，第四次旋转480°时，又与OA1重合，…依此类推，旋转的终边只会出现“与OM重合”或“与OA1重合”两种情况，不会出第三条射线，所以不会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线这种情况，旋转不会停止
【解析】【解答】解：（1）解：如图所示．aφ=45°，
【分析】（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可；（2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可；（3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出α的度数即可；（4）无论a为多少度，旋转很多次，总会出一次OA i是∠A i OA K是的角平分线，但当a=120度时，只有两条射线，不会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线，所以旋转会中止．
14．如图①，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P.
（1）如果∠A=80∘，求∠BPC=.
（2）如图②,过点P作直线MN∥BC,分别交AB和AC于点M和N,试求∠MPB+∠NPC的度数(用含∠A的代数式表示).
（3）将直线MN绕点P旋转。

(i)当直线MN与AB，AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由。

(ii)当直线MN与AB的交点仍在线段AB上,而与AC的交点在AC的延长线上时,如图④,试问(i)中∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系是否仍然成立?若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由。

【答案】（1）
故答案为：
（2）由 = 得∠MPB+∠NPC= −∠BPC= 1−( + ∠A)= − ∠A；故答案为：∠MPB+∠NPC= − ∠A.
（3）(i)∠MPB+∠NPC= − ∠A.
理由如下：
∵∠BPC= +12∠ A，
∴∠MPB+∠NPC= −∠BPC=180∘−( + ∠A)= −12 ∠A.
(ii)不成立,有∠MPB−∠NPC= − ∠A.
理由如下：由题图④可知∠MPB+∠BPC−∠NPC= ，
由(1)知：∠BPC= + ∠A，∴∠MPB−∠NPC= −∠BPC= −( + ∠A)= − ∠A.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB,根据三角形的内角和定理及等量代换得出
，从而得出答案；
（2）由（1）知 = ，然后根据平角的定义，由∠MPB+∠NPC=
−∠BPC 即可算出答案；
（3） (i)∠MPB+∠NPC= − ∠A ，理由如下：由（1）知∠BPC= +∠A，然后根据平角的定义由∠MPB+∠NPC= −∠BPC 即可算出答案； (ii)不成立,有∠MPB−∠NPC=
− ∠A，根据平角的定义及角的和差得出∠MPB+∠BPC−∠NPC= ，由(1)知：
∠BPC= + ∠A ，从而即可由∠MPB−∠NPC= −∠BPC 得出结论。

15．如图，直线CB和射线OA，CB//OA，点B在点C的右侧.且满足∠OCB＝∠OAB＝100°，连接线段OB，点E、F在直线CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF.
（1）求∠BOE
（2）当点E、F在线段CB上时（如图1），∠OEC与∠OBA的和是否是定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由。

（3）如果平行移动AB，点E、F在直线CB上的位置也随之发生变化.当点E、F在点C左侧时，∠OEC和∠OBA之间的数量关系是否发生变化？若不变，说明理由；若变化，求出他们之间的关系式.
【答案】（1）解：，
，
平分，
，
，
；
（2）解：，，
，
又，
，
由（1）可知；
∴
（3）变化，，
证明：当点E、F在点C左侧时，如图，
，
，
平分，
，
，
；
∴，
，，
，
又，
∴，
∴，
∴ .
即：
【解析】【分析】（1）根据两直线平行,同旁内角互补求出,然后根据已知可得，由此计算即可得解；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 ,从而可得
，由此即可解题；
（3）同理（1）可得,根据三角形的内角和定理可知∠OEC=180°-
(∠OBE+∠BOE），从而得到，由此计算即可得解.。