精品解析：江苏省邗江中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

江苏省邗江中学2017—2018学年度第二学期
高二数学期中试卷（理科）
一、填空题（本题包括14小题，每小题5分，共70分.）
1.设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P∩(C U M)___．
【答案】{﹣2，﹣1，0}
【解析】
【详解】分析：根据交集的定义求解：
详解：P∩(C U M
点睛：
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
2.命题“∃x∈[0，1]，x2﹣1≥0”是____命题．（选填“真”或“假”）
【答案】真
【解析】
分析：判断存在性问题真假性，可以通过举例子肯定结论，如要否定，需证明所有都不满足.
详解：因为，所以命题“∃x∈[0，1]，x2﹣1≥0”是真命题.
点睛：判定全称命题“”是真命题，需要对集合中的每个元素，证明成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合中的一个特殊值，使不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个，使成立即可，否则就是假命题.
3.已知复数z=i（2+i），则|z|=___．
【答案】
【解析】
分析：先计算复数，再根据复数的模的定义求结果.
详解：
点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为
4.若=，则x的值为___．
【答案】1或3
【解析】
分析：根据组合数性质，列方程，解得x的值.
详解：或或
点睛：组合数有关性质
5.用数学归纳法证明等式时，第一步验证n=1时，左边应取的项是
【答案】1+2+3+4
【解析】
试题分析：本题考查的知识点是数学归纳法的步骤，由等式
，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，由此易得答案．
解：在等式中，
当n=1时，n+3=4，
而等式左边起始为1的连续的正整数的和，
故n=1时，等式左边的项为：1+2+3+4
故答案为：1+2+3+4
点评：在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析等式两边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．
6.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次
试验中发生的概率的取值范围是．
【答案】6
【解析】
由题意知.
7.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l与曲线C交于A，B两点，则线段AB的长为__．
【答案】8
【解析】
分析：先根据加减消元法得直线的普通方程，再根据将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组解得交点坐标，最后根据两点间距离公式求结果.
详解：
，
由得或，
因此
点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
8.已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3=___．
【答案】-5
【解析】
分析：先根据赋值法求a，再根据x3项系数求a3.
详解：令，得
因此
点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.
9.如果复数z的模不大于1，而z的虚部的绝对值不小于，则复平面内复数z的对应点组成图形的面积是___．
【答案】
【解析】
分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式，再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积.
详解：设，则，如图,
因此复平面内复数z的对应点组成图形为两个弓形，其面积为扇形面积减去三角形面积是
点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为
10.观察下列各等式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52018的末四位数字为__．
【答案】5625
【解析】
分析：先根据等式依次计算末四位数字，再根据规律确定周期，最后根据周期确定结果.
详解：55，56，57，58，59末四位数字为3125,5625,8125,0625,3125,从而周期为4，因此52018的末四位数字为56的末四位数字，即为5625.
点睛：找寻规律的方法有：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
11.根据浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试机会，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有___ 种不同的考试安排方法．
【答案】114
【解析】
分析：先确定分配方案为2211或2220，再确定排列数.
详解：分配方案为2211时，排列数为,
分配方案为2220时，排列数为,因此安排方法为
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”；（5）“在”与“不在”问题——“分类法”.
12.如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AA1=2，则二面角C1﹣AB﹣C的余弦值为___．
【答案】
【解析】
分析：过C作CM垂直AB 于M，则根据三垂线定理以及二面角定义可得∠C1MC为二面角C1﹣AB﹣C的平面角，再解三角形得结果.
详解：过C作CM垂直AB 于M，连C1M，则由三垂线定理得C1M垂直AB,因此∠C1MC为二面角C1﹣
AB﹣C的平面角，所以
点睛：二面角找垂面，即找棱垂直的平面，得到平面角之后再解三角形即可
13.化简：= （用m、n表示）．
【答案】.
【解析】
试题分析：设（1）
则函数中含项的系数为，
（2）
（1）-（2）得，
即，
化简得，
∴函数中含项的系数，即是等式右边含项的系数，
∵等式右边含项的系数为
即，
∴.
故答案为：.
考点：排列与组合；二项式定理与性质.
14.设A，B是集合{a1，a2，a3，a4，a5}的两个不同子集，若使得A不是B的子集，B也不是A的子集，则不同的有序集合对（A，B）的组数为____．
【答案】570
【解析】
分析：分类依次讨论有序集合对（A，B）的组数，根据子集元素个数分类讨论，最后根据加法原理求组数. 详解：不同的有序集合对（A，B）的组数为
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”；（5）“在”与“不在”问题——“分类法”.
二、解答题：(15、16题均为14分，17、18题均为15分，19、20题均为16分，请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程.)
15.已知集合A是函数y=lg（20﹣8x﹣x2）的定义域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集，p：x∈A，q：x∈B．
（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；
（2）若￢p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）a≥11（2）0＜a≤1
【解析】
试题分析：（1）分别求函数的定义域和不等式（）的解集化简集合A，
由得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到的取值范围；（2）求出对应的的取值范围，
由是的充分不必要条件得到对应集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解的范围.
试题解析：(1)由题意得，或，若，则必须满足，解得，∴的取值范围为.
(2)易得或.∵是的充分不必要条件，
∴或是或的真子集，则，其中两个等号不能同时成立，解得
，∴a的取值范围为.
16.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴
正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）写出圆C的极坐标方程及圆心C的极坐标；
（2）直线l的极坐标方程为与圆C交于M，N两点，求△CMN的面积．
【答案】（1），圆心C（2，）（2）
【解析】
分析：（1）先根据三角形同角关系消参数得圆C圆心直角坐标以及圆方程的直角坐标方程，再根据
将直角坐标化为极坐标，（2）将直线极坐标方程代入圆极坐标方程得交点极坐标，再根据三点极坐标关系求三角形面积.
详解：（1）极坐标（ρ，θ）与直角坐标（x，y）的对应关系为：，
所以，
根据sin2α+cos2α=1，消元得（）2﹣（ρsinθ﹣1）2=4，
化简得：．
因为圆心C直角坐标为（，1），∴极坐标为（2，）．
（2）联立，得交点极坐标M（0，0），N（2，），
所以|MN|=2，|MC|=2，
所以△CMN的面积．
点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
17.如图，在三棱锥中，已知都是边长为的等边三角形，为中点，且平面，
为线段上一动点，记．
（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）当与平面所成角的正弦值为时，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
分析：（1）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线线角与向量夹
角相等或互补得结果，（2）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求平面的一个法向量，再根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余列等量关系，解得结果，
详解：连接CE，以分别为轴，
建立如图空间直角坐标系，
则，
因为F为线段AB上一动点，且，
则，所以．
（1）当时，，，
所以．
（2），
设平面的一个法向量为=
由,得，化简得，取
设与平面所成角为，
则.
解得或（舍去），所以．
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
18.观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
照此规律下去
（1）写出第5个等式；
（2）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明你的猜想．
【答案】（1）5+6+7+…+13=81（2）见解析
【解析】
分析：（1）等式左边第一数为n，连续加2n-1个数，右边为平方数，为（2n﹣1）2，即得第5个等式；以及一般性的猜想，（2）数学归纳法证明时关键找出n=k+1时与n=k关系，再代入归纳假设，经过计算可得结论.
详解：（1）第5个等式 5+6+7+…+13=81
（2）猜测第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…（3n﹣2）=（2n﹣1）2
证明：（1）当n=1时显然成立；
（2）假设n=k（k≥1，k∈N+）时也成立，
即有k+（k+1）+（k+2）+…（3k﹣2）=（2k﹣1）2…（8分）
那么当n=k+1时左边=（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2）+（3k﹣1）+（3k）+（3k+1）
=k+（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2）+（2k﹣1）+3k+3k+1
=（2k﹣1）2+（2k﹣1）+（3k）+（3k+1）
=4k2﹣4k+1+8k=（2k+1）2=[2（k+1）﹣1]2
而右边=[2（k+1）﹣1]2
这就是说n=k+1时等式也成立．
根据（1）（2）知，等式对任何n∈N+都成立．
点睛：找寻规律的方法有：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
19.邗江中学高二年级某班某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．
（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件，求事件发生的概率；
（2）设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）由已知得，即可得到事件的概率.
（2）由题意得，得到随机变量的所有可能取值，求得随机变量取每个值的概率，即可得到随机变量的分布列，并计算其数学期望.
试题解析：
（1）由已知得.所以事件发生的概率为.
（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2
计算，
，
；
所以随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望为.
点睛：本题主要考查了概率的计算及随机变量的分布列、数学期望，此类问题的解答中主要认真审题，正确把握试验的条件，合理求解每个取值对应的概率是解答的关键，同时注意概率公式的应用和准确计算. 【此处有视频，请去附件查看】
20.已知…，．记．
（1）求的值；
（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．
【答案】(1)30；(2)证明见解析.
【解析】
试题分析：由二项式定理，得（i=0，1，2，…，2n+1），（1）根据，得
，即可得解；（2）先根据组合数的性质可得出，再将
化简得，即可证明.
试题解析：由二项式定理，得（i=0，1，2，…，2n+1）．
（1）；
（2）∵
∴
．
∴．
∵
∴能被整除．。