2020年湖南省岳阳市铅锌矿一校高三数学文上学期期末试题含解析

2020年湖南省岳阳市铅锌矿一校高三数学文上学期期
末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 复数z满足（1+i）z=3+i，则复数z在复平面内所对应的点的坐标是( )
A．（1，﹣2）B．（﹣2，1）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）
参考答案：
D
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解答：解：由（1+i）z=3+i，得，
∴复数z在复平面内所对应的点的坐标是（2，﹣1）．
故选：D．
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2. 已知集合，则A∩B=（）
A. (2,3)
B. (0,3)
C. (1,2)
D. (0,1)
参考答案：
A
【分析】
先利用对数函数求出，再利用交集定义求出.
【详解】解：，，
=，
故选A.
【点睛】本题考察交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用.
3. 若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）A．B．C．
D．
参考答案：
D
略
4. 如图为一个几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）
A．4πB．12πC．12πD．24π
参考答案：
B
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】几何体为直三棱柱，作出直观图，根据三棱柱的结构特征找出外接球的球心外置，计算半径．
【解答】解：由三视图可知该几何体为直三棱柱ABC﹣A'B'C'，
作出直观图如图所示：则AB⊥BC，AB=BC=2，AA'=2．∴AC=2．
∴三棱柱的外接球球心为平面ACC'A'的中心O，
∴外接球半径r=OA=AC'==．
∴外接球的表面积S=4π×=12π．
故选B．
【点评】本题考查了棱柱与外接球的三视图和结构特征，属于中档题．
5. m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥β B．若m⊥α，α⊥β，则m∥β
C．若m?α，m⊥β，则α⊥βD．若m?α，α⊥β，则m⊥β
参考答案：
C
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
【分析】利用反例判断A的正误；反例判断B的正误；直线与平面垂直判断C的正误；反例判断D的正误；
【解答】解：对于A，m∥α，m∥β，则α∥β也可能推出α∩β=l，所以A不正确；
对于B，若m⊥α，α⊥β，则m∥β，有可能得到m?β，所以B不正确；
对于C，若m?α，m⊥β，则α⊥β，满足平面与平面垂直的判定定理，正确；
对于D，若m?α，α⊥β，则m⊥β，有可能m∥β，所以D不正确；
故选：C．
【点评】本题直线与平面的位置关系的判断，平面与平面的位置关系的判断，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．
6. 公元263年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值
的方法.如图是利用刘徽的割圆术”思想设汁的一个程序框图，若输出的值为24，则判断框中填入的条件可以为（）
(参考数据：)
A．B．C．D ．
参考答案：
C
7. 形如的函数因其函数图象类似于汉字中的囧字，故生动地称
为“囧函数”。

则当时的“囧函数”与函数的交点个数为__________.
A．2 B．3 C．4 D．5
参考答案：
C
略
8. 阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是
（）
A．S＜8, B．S＜9, C．S＜10, D．S＜11
参考答案：
B
9. 已知命题p：?x∈R，sinx≤1．则￢p是( )
A．?x∈R，sinx≥1B．?x∈R，sinx＞1 C．?x∈R，sinx≥1D．?x∈R，sinx＞1
参考答案：
B
考点：特称命题；命题的否定．
专题：计算题．
分析：根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为?x∈R，使得sinx＞1．
解答：解：根据全称命题的否定是特称命题可得，
命题p：?x∈R，sinx≤1的否定是?x∈R，使得sinx＞1
故选B．
点评：本题主要考查了全称命题与特称命题的之间的关系的应用，属于基础试题
10. 已知抛物线的焦点为F ,直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点，则的面积为( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
设直线，联立直线方程和抛物线方程可求得中垂线的方程，再利用的坐标求出，最后算出的长和到的距离后可得所求的面积.
【详解】设直线，，
则由可以得到，
所以的中点，线段的垂直平分线与轴交于点，故. 所以的中垂线的方程为：，
令可得，解方程得.
此时，
到的距离为，所以.
故选C.
【点睛】直线与圆锥曲线相交时的产生的对称问题，应利用两个几何性质来构造不同变量之间的关系，这个两个几何性质就是中点和垂直.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若幂函数f（x）过点（2,8），则满足不等式的实数a的取值范围是．
参考答案：
（-∞，3/2）
12. 已知幂函数___________
参考答案：
13. 过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线交抛物线C于A、B两点，若A到抛物线的准线的距离为4，则|AB|= .
参考答案：
14. 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），则p= ；M是抛物线上的动点，A（6，4），则|MA|+|MF|的最小值为．
参考答案：
2,7.
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】根据焦点坐标，求出p，求出准线方程，把|MA|+|MF|转化为|MA|+|PM|，利用当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值．
【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），
∴=1，∴p=2．
准线方程为 x=﹣1，
设点M到准线的距离为d=|PM|，
则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，
故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=6﹣（﹣1）=7，
故答案为2，7．
15. 一人在海面某处测得某山顶的仰角为，在海面上向山顶的方向行进
米后，测得山顶的仰角为，则该山的高度为米．（结果化简）参考答案：
16. 已知+1=2i（i是虚数单位），则实数a= ．
参考答案：
5
考点：复数相等的充要条件．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则即可得出．
解答：解：∵+1=2i，
∴ai+2﹣i=2i（2﹣i），
2+（a﹣1）i=4i+2，
∴a﹣1=4，
可得a=5．
故答案为：5．
点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
17. 已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B?A，则实数m= ．参考答案：
1
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】根据题意，若B?A，必有m2=2m﹣1，而m2=﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．
【解答】解：由B?A，m2≠﹣1，
∴m2=2m﹣1．解得m=1．
验证可得符合集合元素的互异性，
此时B={3，1}，A={﹣1，3，1}，B?A满足题意．
故答案为：1
【点评】本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某大学宣传部组织了这样一个游戏项目：甲箱子里面有3个红球，2个白球，乙箱子里面有1个红球，2个白球，这些球除了颜色以外，完全相同。

每次游戏需要从这两个箱子里面各随机摸出两个球.
（1）设在一次游戏中，摸出红球的个数为X，求X分布列.
（2）若在一次游戏中，摸出的红球不少于2个，则获奖.
①求一次游戏中，获奖的概率；
②若每次游戏结束后，将球放回原来的箱子，设4次游戏中获奖次数为Y，求Y的数学期
望.
参考答案：
(1)见解析；(2) ①②.
【分析】
（1）由题得可以为0，1，2，3，再求出对应的概率，写出分布列；（2）①由题得（一次游戏获奖，计算即得解；②因为，所以利用
二项分布的期望公式求的数学期望.
【详解】（1）可以为0，1，2，3，
，
，
，
，
（一次游戏获奖），
②∵，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查分布列的求法，考查概率和二项分布的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19. （12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项，
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足b n=n+a n（n∈N*）求数列{b n}的前n项和S n．
参考答案：
（Ⅰ），是和的等差中项，得2=+=；
又为等比数列，，； ---------------------3分
所
以；
-----------------------6分
（Ⅱ）由
所以
=；
---------------------12分
20. （本小题满分13分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，判断方程在区间上有无实根.
（Ⅲ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
【解】：（1）时，，，切点坐标为，切线方程为…………………… 3分
（2）时，令，
，在上为增函数…………………… 5分
又，所以在内无实数根……………………7分
（3）恒成立，即恒成立，
又，则当时，恒成立，……………………9分
令，只需小于的最小值，
，…………………… 11分
，，当时，
在上单调递减，在的最小值为，
则的取值范围是……………………13分
略
21. 已知函数f（x）=cosx?sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别a，b，c，若f（A）=，a=，求△ABC
面积的最大值．
参考答案：
【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理．
【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得f（x）的单调递增区间．
（2）由题意可解得：sin（2A﹣）=，结合范围0，解得A的值．由余弦定理可得：3≥bc，利用三角形面积公式即可得解．
【解答】解：（1）∵f（x）=cosx?sin（x+）﹣cos2x+
=cosx（sinx+cosx）﹣cos2x+
=sinxcosx+cos2x﹣cos2x+
=sin2x﹣×+
=sin（2x﹣），
由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（2）∵f（A）=sin（2A﹣）=，解得：sin（2A﹣）=，
∵0，﹣＜2A﹣＜，
∴解得：2A﹣=，即A=．
∴由余弦定理可得：3=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，
∴S△ABC=bcsinA=bc≤=．
22. 已知曲线和定点，是此曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求直线的极坐标方程；
经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于两点，求的值. 参考答案：
（1）曲线可化为其轨迹为椭圆，焦点为和，经过和的直线方程为
所以极坐标方程为
（2）由（1）知直线的斜率为，因为，所以的斜率为，倾斜角为，所以的参数方程为代入椭圆的方程中，得
因为点在两侧，所以。