微积分下(A层)10-11期末考试试卷答案及评分标准

2010/2011(1)微积分(下)(A 层)期末考试试卷答案及评分标准一、填空题(每小题3分,共15分)1.2sin e 2x y --; 2.x 2±; 3.41; 4.]2,0[; 5.60,3)3()1(11<<--∑∞=+x x n n n n . 二、单项选择题(每小题3分,共12分)1. B ;2. B ;3. C ;4. D .三、计算题(每小题7分,共42分)1. 计算定积分⎰2d cos πx x x . 解 原式⎰⋅=π0d 2cos t t t t tx……………2分 =)d(sin 202⎰πt t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⎰ππ002d 2sin |sin 2t t t t t ……………4分 =⎰π0)d(cos 4t t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰ππ00d cos |cos 4t t t t ……………6分 =)|sin (40ππt --=π4-.……………7分2. 设2e ),,(yz z y x f z =,其中),(y x z z =是由方程0=+++xyz z y x 所确定的隐函数,求)1,1,0(-'y f . 解 yzzy z yz y z f z z zy ∂∂⋅++⋅∂∂='2e e e 22,(1) ………3分方程0=+++xyz z y x 两边对y 求偏导,得……7分01=∂∂⋅++∂∂+yz zy xz y z . (2) ………5分 将1,1,0-===z y x 代入(2),得1|)1,1,0(-=∂∂-yz; ………6分再将1,1,0-===z y x ,1|)1,1,0(-=∂∂-y z代入(1),得)1,1,0(-'y f =e2. …7分3. 设)sin ,2(x y y x f u -=,其中),(t s f 具有二阶连续偏导数,求yx u∂∂∂2.解 2121c o s 2c o s 2xf y f x y f f x u +=⋅+⋅=∂∂, ………4分yx u ∂∂∂2=[][]x f f x y xf x f f sin )1(cos cos sin )1(2222121211⋅+-⋅++⋅+-⋅ …6分=2221211cos sin cos )cos sin 2(2xf x y xf f x y x f ++-+-.…7分4. 计算⎰⎰+=Dy x xy x I d d )]sin([,其中区域|),{(22≤+=y x y x D 解 I =⎰⎰⎰⎰+DDy x xy y x x d d )sin(d d =0d d 21+⎰⎰D y x x…1分 =⎰⎰⋅42cos 1d cos d 2πθθθr r r…3分=⎰⋅402cos 13d |31cos 2πθθθr =⎰-402)d cos 1cos 22(32πθθθ =32|)tan sin 22(3240=-πθθ.…7分5.求级数∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-1)1(112)1(n n n n n 的和. 解 设∑∞=++-=11212)1()(n n n xn x S ,]1,1[-∈x ,则 …1分 )(x S =∑⎰∞=-102d )1(n xnnx x =⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∞=xn n n x x 012d )1(…3分=⎰---x x x x 022d )(1=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x 02d 111 =x x x 0|)arctan (--=x x arctan +-.…4分 所以,41)1(12)1(1π+-==+-∑∞=S n n n .…5分又1111lim 111lim )1(1lim )1(1111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+∞→=∞→=∞→∞=∑∑∑n k kk k n n n n k n n k n n . …6分因此,4141)1(112)1(1ππ=++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-∑∞=n n n n n . …7分6. 求微分方程x x x x y y y 3e cos e 34+=+'-''的通解.解 原方程对应的齐次微分方程的特征方程为0342=+-r r ,11=r ,32=r ,故齐次微分方程的通解为y =x x C C 321e e +.…2分将原方程分解为两个方程:x y y y x cos e 34=+'-'', (1) x x y y y 3e 34=+'-'',(2)设方程(1)的特解是)sin cos (e *1x B x A y x +=,代入方程(1)解得51-=A ,52-=B . 22=…4分设方程(2)的特解是x b ax x y 3*2e )(+=,代入方程(2)解得41=a ,41-=b .…6分所以,原方程的通解为x x x x x x x x C C y y y y 3321*2*1e )1(41)sin 2(cos e 51e e -++-+=++=. …7分 五、应用题(第1小题9分,第2小题12分,共21分)1. 设函数)(x y y =是微分方程0d )2(d =-+x y x y x 满足条件2)1(=y 的解,求曲线)(x y y =与x 轴所围图形的面积S .解 将微分方程0d )2(d =-+x y x y x 变形为12-=-'y xy ,所以 y =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⎰⎰⎰-C x x xx x d e )1(e d 2d 2=()C x x x +-⎰-d e eln 2ln 2 …3分 =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎰C x x x d 12=⎪⎭⎫ ⎝⎛+C x x 12=2Cx x +,由2)1(=y 得1=C ,所以x x y +=2.…5分如图所示,所求面积为612131d )(0123012=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=--⎰x x x x x S . …7分2. 求函数22222),(y x y x y x f -+=在区域}0,4|),{(22≥≤+=y y x y x D 上的最大值和最小值.解 (1)由⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=02402222y x y f xy x f yx 解得函数),(y x f 在D 内的驻点为)1,2(±,相应的函数值为2)1,2(=±f . …2分 (2)在边界1L :0=y (22≤≤-x )上,由2)0,(x x f =知函数),(y x f 在1L 上的最大值为4,最小值为0.…4分(3)在边界2L :422=+y x (0≥y )上,令)4(2),,(222222-++-+=y x y x y x y x F λλ,由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==+-==+-=04022402222222y x F y y x y F x xy x F y x λλλ解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=±=2325y x 和⎩⎨⎧==20y x .函数),(y x f 在相应点的值为4723,25=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±f 和8)2,0(=f . …6分 综上可知函数),(y x f 在D 上的最大值为8,最小值为0.…7分六、证明题(第1小题4分,第2小题6分,共10分)1. 设平面区域D 为222R y x ≤+,)(x ϕ为正值连续函数,试证:2)(2d d )()()()(R b a y x y x y b x a D+=++⎰⎰πϕϕϕϕ. 证 由于D 关于x y =对称,则⎰⎰++D y x y x y b x a d d )()()()(ϕϕϕϕ=⎰⎰++Dy x x y x b y a d d )()()()(ϕϕϕϕ…2分=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++⎰⎰⎰⎰D D y x x y x b y a y x y x y b x a d d )()()()(d d )()()()(21ϕϕϕϕϕϕϕϕ =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++D y x x y x b y a y x y b x a d d )()()()()()()()(21ϕϕϕϕϕϕϕϕ =⎰⎰+D y x b a d d )(21=2)(21R b a π+. …4分2. (1)设∑∞=1n n a 是收敛的正项级数,证明:当21>α时,级数∑∞=1n nn a α收敛;(2)证明级数∑∞=+-11n nn n发散.证明 (1)由于⎪⎭⎫⎝⎛+≤αα2121n a n a n n ,而级数∑∞=1n n a 和级数∑∞=121n n α(21>α)都收敛,从而级数∑∞=1n nn a α收敛.…3分(2)由于11lim lim 111==∞→-+-∞→nn nn n n n n ,而级数∑∞=11n n发散,故由比较审敛法知级数∑∞=+-11n nn n发散. …6分。