《高考领航》2016届高三数学(文)(北师大版)一轮复习课时训练第5章-第5课时数列的综合应用Word版含答案

【A 级】 基础训练
1．(2015·孝感模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，过点P (n ，S n )和Q (n ＋1，S n ＋1)(n ∈N ＋)的直线的斜率为3n －2，则a 2＋a 4＋a 5＋a 9的值等于( )
A ．52
B ．40
C ．26
D ．20
解析：由题意，知S n ＋1－S n (n ＋1)－n
＝3n －2， ∴S n ＋1－S n ＝3n －2，即a n ＋1＝3n －2.∴a n ＝3n －5.
因此数列{a n }是等差数列，a 5＝10.
∴a 2＋a 4＋a 5＋a 9＝2(a 3＋a 7)＝4a 5＝40.
答案：B
2．(2015·重庆模拟)数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 2
，则a n ＝( ) A.13·2
n －1 B.12·3n －1 C.12n D.n 3n 解析：令n ＝1，得a 1＝12
，排除A 、D ； 再令n ＝2，得a 2＝16
，排除C ，故选B. 答案：B
3．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )
A ．①和⑳
B ．⑨和⑩
C ．⑨和⑪
D ．⑩和⑪ 解析：法一：设树苗放在第n 个坑，且不妨设相邻两坑相距1米，则前n 个坑到第n 个坑的距离分别为|n －1|，|n －2|，…，2,1,0.
其和为S 1＝|n －1|＋|n －2|＋…＋2＋1＋0
＝(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＋0＝(n －1)n 2
. 后面各坑到第n 个坑的距离分别为1,2，…，20－n ，
其和为S 2＝1＋2＋3＋…＋20－n
＝(1＋20－n )(20－n )2
， ∴各坑到第n 个坑的距离和为
S ＝S 1＋S 2＝12
(n 2－n ＋n 2－41n ＋420)＝n 2－21n ＋210. 当n ＝212
时，S 最小． 又∵n ∈N ＋，∴n ＝10或n ＝11时，S 最小．
法二：(估算法)分别计算树苗放在第1,9,10,11个坑时，各坑到其距离之和．
当树苗放在第一个坑时，各坑到其距离和为
S 1＝1＋2＋3＋…＋19＝190；
当树苗放在第九个坑时，各坑到其距离和为
S 2＝8＋7＋6＋…＋1＋0＋1＋2＋3＋…＋11＝36＋66＝102；
当树苗放在第十个坑时，各坑到其距离和为
S 3＝9＋8＋7＋…＋1＋0＋1＋2＋…＋10＝100.
易知树苗放在第十一个坑时，各坑到其距离和S 4＝S 3＝100.故D.
答案：D
4．已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n －1，a n )(n >1且n ∈N ＋)满足y ＝2x －1，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.
解析：a n ＝2a n －1－1⇒a n －1＝2(a n －1－1)，
∴{a n －1}是等比数列，则a n ＝2n －
1＋1. ∴a 1＋a 2＋...＋a 10＝10＋(20＋21＋22＋ (29)
＝10＋1－210
1－2
＝1 033. 答案：1 033
5．设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N ＋)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．
解析：由x 2－x <2nx (n ∈N ＋)，得0<x <2n ＋1，因此a n ＝2n ，所以数列{a n }是一个等差数列，
所以S 100＝100×(2＋200)2
＝10 100. 答案：10 100
6．(2015·南宁模拟)某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得余下的一半多一万元，以名次类推都得到余下的一半多一万元，到第十名恰好分完，则此单位共拿出________万元资金进行奖励．
解析：设第十名到第一名得到的资金分别是a 1，a 2，…，a 10，则a n ＝12
S n ＋1，
∴a 1＝2，又a n －1＝12
S n －1＋1(n ≥2)， 故a n －a n －1＝12
a n . ∴a n ＝2a n －1则每人所得资金数组成一个以2为首项，公比为2的等比数列，所以S 10＝2(1－210)1－2
＝2 046. 答案：2 046
7．(2015·温州市高三调研)已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，a 22＝a 4＋8.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
解：(1)设等差数列的公差为d ，d ＞0.由题意得，
(2＋d )2＝2＋3d ＋8，d 2＋d －6＝(d ＋3)(d －2)＝0，
得d ＝2.
故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)·2＝2n ，
得a n ＝2n .
(2)b n ＝a n ＋2a n ＝2n ＋22n .
S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n ＋22n )
＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋(22＋24＋…＋22n )
＝(2＋2n )·n 2＋4·(1－4n )1－4
＝n (n ＋1)＋4n ＋
1－43. 8．(2014·高考湖北卷)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．
解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，
化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4.
当d ＝0时，a n ＝2；
当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，
从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2.
(2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n <60n ＋800，
此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．
当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2
＝2n 2. 令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，
解得n >40或n <－10(舍去)，
此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41.
综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；
当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.
【B 级】 能力提升
1．(2015·淮安模拟)已知a n ＝sin n π6＋162＋sin n π6
(n ∈N ＋)，则数列{a n }的最小值为( ) A ．6 B ．7
C ．8
D.193 解析：令t ＝2＋sin n π6(1≤t ≤3)，则a n ＝f (t )＝t ＋16t －2，f ′(t )＝1－16t 2<0，∴f (t )在其定义域上单调递减，∴当t ＝3，即sin
n π6＝1时，a n 取得最小值193，故选D. 答案：D
2．(2015·赣州模拟)已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧
n 2 当n 为奇数时－n 2 当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )
A ．0
B ．100
C ．－100
D ．10 200
解析：∵a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，
∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝[f (1)＋f (2)]＋[f (2)＋f (3)]＋[f (3)＋f (4)]＋…＋[f (100)＋f (101)] ＝[(32－22)＋(52－42)＋(72－62)＋…＋(1012－1002)]＋[(12－22)＋(32－42)＋(52－62)＋…＋(992－1002)]
＝(5＋9＋13＋…＋201)－(3＋7＋11＋…＋199)＝100.
答案：B
3．据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间为( )
A ．10秒钟
B ．13秒钟
C ．15秒钟
D ．20秒钟 解析：设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d
＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n (n －1)d 2
＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15. 答案：C
4．(2013·高考湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数
1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12
n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：
三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12
n ， 正方形数 N (n,4)＝n 2，
五边形数 N (n,5)＝32n 2－12
n ， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，
……
可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.
解析：由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝⎝⎛⎭⎫k 2－1n
2－⎝⎛⎭⎫k 2－2n ，于是N (n ，24)＝11n 2－10n ，故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.
答案：1 000
5．(2015·泉州模拟)设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2n a n ＋1
，n ∈N ＋.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________.
解析：根据等比数列的前n 项和公式S n ＝a 1(1－q n )1－q
， 则T n ＝17×a 1(1－q n )1－q －a 1(1－q 2n )1－q a 1q n ＝q 2n －17q n ＋16(1－q )q n ＝11－q ⎝
⎛⎭⎫q n ＋16q n －17，令q n ＝(2)n ＝t ，则函数g (t )＝t ＋16t ，当t ＝4时函数g (t )取得最小值，此时n ＝4，而11－q ＝11－2
<0，故此时T n 最大，所以n 0＝4.
答案：4
6．(2015·黄冈模拟)某企业2014年初贷款a 万元，年利率为r ，按复利计算，从2014年末开始，每年偿还一定金额，计划第5年还清，则每年应偿还的金额为________万元． 解析：假设每年还x 万元，则有x (1＋r )4＋x (1＋r )3＋x (1＋r )2＋x (1＋r )＋x ＝a (1＋r )5， ∴x [(1＋r )5－1]r
＝a (1＋r )5， 即x [(1＋r )5－1]＝ar (1＋r )5
，∴x ＝ar (1＋r )5
(1＋r )5－1.
答案：ar (1＋r )5
(1＋r )5－1
7．某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n 天的
利润a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1， 1≤n ≤25125n ， 26≤n ≤60(单位：万元，n ∈N ＋)，记第n 天的利润率b n ＝
第n 天的利润前n 天投入的资金总和，例如b 3＝a 338＋a 1＋a 2
. (1)求b 1，b 2的值；
(2)求第n 天的利润率b n ；
(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．
解：(1)当n ＝1时，b 1＝138；当n ＝2时，b 2＝139
. (2)当1≤n ≤25时，a 1＝a 2＝…＝a n －1＝a n ＝1.
∴b n ＝a n 38＋a 1＋a 2＋…＋a n －1＝138＋n －1＝137＋n
. 当26≤n ≤60时，
b n ＝a n 38＋a 1＋…＋a 25＋a 26＋…＋a n －1
＝n 2563＋(n －26)(n ＋25)50
＝2n n 2－n ＋2 500， ∴第n 天的利润率b n
＝⎩⎨⎧
137＋n ， 1≤n ≤252n n 2－n ＋2 500， 26≤n ≤60(n ∈N ＋)．
(3)当1≤n ≤25时，
b n ＝137＋n
是递减数列，此时b n 的最大值为b 1＝138； 当26≤n ≤60时，
b n ＝2n n 2－n ＋2 500＝2n ＋2 500n
－1≤22 2 500－1＝299 ⎝⎛⎭
⎫当且仅当n ＝2 500n ，即n ＝50时，“＝”成立. 又∵138>299
，
∴n＝1时，(b n)max＝1 38.
∴该商店经销此纪念品期间，第1天的利润率最大，且该天的利润率为1
38.。