高中数学必修一函数知识点和练习(K12教育文档)

高中数学必修一函数知识点和练习(word版可编辑修改)
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函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x），x∈A．其中，x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）｜ x∈A ｝叫做函数的值域．
2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
（1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
（3）对数式的真数必须大于零；
(4）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合。

(5）指数、对数式的底必须大于零且不等于1。

（6）指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

3. 相同函数的判断方法：（满足以下两个条件)
①定义域一致 (化简前）
②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）;
4．值域： 先考虑其定义域
（1）图像观察法（掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、)0,(>+=b a x
b ax y 三角函数等的图像，利用函数单调性） （2）基本不等式
（3）换元法
（4)判别式法
5. 函数图象知识归纳
（1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x ） ， (x ∈A ）中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P （x ，y)的集合C ，叫做函数 y=f （x ）,(x ∈A ）的图象．C 上每一点的坐标(x ，y ）均满足函数关系y=f(x ），反过来,以满足y=f(x ）的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点（x ，y)均在C 上 .
（2) 画法
描点法
图象变换法:常用变换方法有三种:平移变换伸缩变换对称变换
6．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
（3）区间的数轴表示．
7．映射
一般地,设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f（对应关系):A（原象）→B（象）”对于映射f：A→B来说,则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象,并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
(3）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

8．分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数.
(2）各部分的自变量的取值情况．
(3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
9．复合函数
如果y=f（u）(u∈M),u=g(x）（x∈A)，则 y=f［g（x）］=F（x）(x∈A）称为f、g的复合函数。

函数的性质
1．函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2，当x1〈x2时，都有f（x1)〈f（x2)，那么就说f（x）在区间D上是增函数。

区间D称为y=f（x)的单调增区间.
（2）减函数
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f（x1)＞f(x2)，那么就说f(x）在这个区间上是减函数。

区间D称为y=f（x）的单调减区间。

注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（3）图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的。

（4）函数单调区间与单调性的判定方法
（A）定义法：
错误!任取x1，x2∈D,且x1<x2;
错误!作差f(x1)－f（x2)；
错误!变形(通常是因式分解和配方）；
错误!定号（即判断差f（x1）－f(x2）的正负）；
错误!下结论（指出函数f(x）在给定的区间D上的单调性）．
（B）图象法(从图象上看升降）
(C)导数法
（C)复合函数的单调性
复合函数f［g(x）]的单调性与构成它的函数u=g（x)，y=f（u)的单调性相关,规律:
“同增异减"
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间写成其并集。

2．函数的奇偶性(整体性质）
(1）偶函数
一般地，对于函数f(x）的定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f(x），那么f(x)就叫做偶函数。

（2）奇函数
一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x,都有f(-x）= —f（x)，那么f(x）叫做奇函数。

注：如果奇函数在x=0处有定义，则f（0）=0
（3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；
奇函数的图象关于原点对称．
（4）函数奇偶性判定方法：
（A）定义法
错误!首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
错误!求出f(-x)，与f(x)进行比较；
○，3作结论：若f （—x ） = f （x ），则f （x)是偶函数；若f （-x) = —f （x ），则f （x ）是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数。

若对称，再根据定义判定.
(B ）借助函数的图象判定 。

3、函数的解析表达式
(1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域。

(2）求函数的解析式的主要方法有：凑配法、待定系数法、换元法、构造法
4、函数最大（小）值
(1）一般的,设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足
（a)对于任意的,I x ∈都有M x f ≤)(；（b ）存在I x ∈0,使得M x f =)(0
那么称M 为)(x f y =的最大值。

（2）求函数最值的方法
错误! 利用二次函数的性质(配方法）
错误! 利用图象求函数的最大（小）值
○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小)值：
如果函数y=f （x)在区间［a,b ］上单调递增，在区间［b ，c]上单调递减则函数y=f(x ）在x=b 处有最大值f （b ）；
如果函数y=f （x ）在区间［a ，b ］上单调递减，在区间［b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b ）;
函数的概念
一、选择题
1．集合A ＝{x ｜0≤x ≤4｝，B ＝｛y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( ）
A ．x y x f 21:=→
B ．x y x f 31:=→
C ．x y x f 3
2:=→ D ．x y x f =→: 2．某物体一天中的温度是时间t 的函数：603)(3+-=t t t T ，时间单位是小时，温度单位为℃，0=t 表示12：00，其后t 的取值为正，则上午8时的温度为（ )
A ．8℃
B ．112℃
C ．58℃
D ．18℃ 3．函数y ＝x ＋1＋x -1的定义域是
A ．（—1，1）
B ．［0，1］
C ．[—1，1］
D ．（-∞,-1） （1,+∞） 4．函数)(x f y =的图象与直线a x =的交点个数有（ ）
A ．必有一个
B ．一个或两个
C ．至多一个
D ．可能两个以上
5．函数3
41)(2++=ax ax x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( ） A ． R B ． ]43,0[ C ．),4
3[+∞ D ．)43,0[ 二、填空题
6．某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y （元)表示为茶杯个数x (个）的函数，则y ＝________,其定义域为________．
7．函数y ＝错误!＋错误!的定义域是（用区间表示）________．
三、解答题
8.求函数y ＝x ＋错误!的定义域．
9。

已知函数)(x f 的定义域为[0，1]，求函数)()(a x f a x f -++的定义域(其中2
10<
<a )。

10.已知函数1)(2-+=x x x f （1）求)2(f (2)求)11(+x f （3)若5)(=x f ,求x 的值.
函数相等、函数的值域
1.下列各题中两个函数是否表示同一函数？
(1)1)(=x f ,0
)(x x g = （ ）
（2）2
4
)(2--=x x x f ,2)(+=x x g （ ）
（3）x x x f 2)(2
-=,t t t g 2)(2
-= （ )
（4)|1|)(-=x x f ，⎩⎨⎧<-≥-=)
1(1)
1(1)(x x x x x g （ ）
2.下列函数中值域是(0，+∞）的是
A ．)0(12>+=x x y
B ．2x y =
C ．112
-=
x y D ．)0(2
>x x
3.设函数13)(2
+-=x x x f ,则=--)()(a f a f
A ．0
B ．a 6-
C ．222+a
D ．2622+-a a
4.已知)(x f 满足23)()(2+=-+x x f x f ,且3
16
)2(-
=-f ,则=)2(f 5.已知函数2
2
1)(x
x x f += (1)计算)2(f 与)21(f （2）计算)3(f 与)3
1
(f
（3)计算)2011
1
(
...)41()31()21()2011(...)3()2()1(f f f f f f f f +++++++++
6.求下列函数的值域:
(1)3
4
2+-=
x x y （2）)5,1[,642∈+-=x x x y （3)}2,1,0,1,2{,12--∈-=x x y
7.求函数x x x f 41332)(---=的定义域和值域.(提示：设x t 413-=)
函数的表示法
1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间,则下图四个图形中较符合该学生走法的是（ ）
2.已知x x f 2)2(=,则=)(x f
A ．x 2
B ．x
C ．2
x
D ．x 4
3.已知函数f （x ）＝x 2
＋px ＋q 满足f （1）＝f (0)＝0，则f (4)的值是（ ） A ．5
B ．－5
C ．12
D ．20
4.已知)(x f 是一次函数，若5)1(3)2(2=-f f ,1)1()0(2=--f f ，则)(x f 的解析式为
A ．23)(+=x x f
B ．23)(-=x x f
C ．32)(+=x x f
D ．32)(-=x x f 5．定义域为R 的函数f （x ）满足12)(2)(+=-+x x f x f ，则)(x f ＝（ ） A ．－2x ＋1 B ．2x －错误! C ．2x －1
D ．－2x ＋错误!
6。

若x x g 21)(-=，221))((x x x g f -=，则)2
1
(f 的值是
A ．1
B ．15
C ．4
D ．30
7。

函数)(x f 的图象经过点(1，1),则函数)4(-x f 的图象过点 8.已知)(x f 是二次函数,1)()1(,0)0(++=+=x x f x f f ，求)(x f .
9。

若2627)))(((+=x x f f f ，求一次函数)(x f 的解析式.
分段函数与映射
1．已知f (x )＝错误!则f (f （f （－4）））＝( ) A ．－4
B ．4
C ．3
D ．－3
2已知函数⎩
⎨⎧≥-<+-=)1(2)1(12)(2x x x x x x f ，
（1）试比较))3((-f f 与))3((f f 的大小. (2）若3)(=a f ,求a 的值.
3.画出下列函数的图象，并写出值域。

(1)||)(x x f = （2)|2|)(2
x x x f += (3）|3||5|)(++-=x x x f
函数的单调性
1。

在区间（0，+∞)上不是增函数的是 （ ）
A 。

y=2x-1 B.y=3x 2—1 C 。

y=x
2 D.y=2x 2
+x+1
2。

设函数b x a x f +-=)12()(是（-∞,+∞）上的减函数，若a ∈R ， 则 ( ） A 。

21≥
a B.21≤a C 。

2
1
->a D 。

21<a 3。

函数y=4x 2
-mx+5在区间[)∞+，
2上是增函数，在区间(]2，∞-上是减函数,则m=________;
4.根据图象写出函数y=f(x ）的单调区间：增区间 ；减区间:
—3 0 -1 3 x
5.函数f(x ）=ax 2
-（5a-2)x —4在[)+∞,2上是增函数， 则a 的取值范围是______________.
6。

判断函数x
x y 4
+
=在在[)∞+，
2上的单调性,并用定义证明.
7。

已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数，且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围.
函数的最大（小）值与值域
1.当]5,0[∈x 时，函数143)(2
+-=x x x f 的值域为
A 。

)]5(),0([f f
B 。

)]32(),0([f f
C 。

)]5(),3
2
([f f D.)]5(),0((f f
2.函数1
1
)(-=
x x f 在区间]6,2[上的最大值和最小值分别是
A.1,51
B.5
1
,1 C 。

1,71 D.71,1
3。

函数x x x f +-=12)(的值域是
A.),21[+∞ B 。

]21
,(-∞ C.),0(+∞ D.),1[+∞
4.⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<≤≤=2,321,210,2)(x x x x x f 的值域是
A 。

R B.]3,0[ C 。

),0[+∞ D 。

}3{]2,0[
5.若4
1
0≤
<t ,则代数式t t -1的最小值是
A 。

2- B.
4
15
C 。

2
D 。

0 6.函数)(x f y =的定义域为]6,4[-，且在区间]2,4[--上递减,在区间]6,2(-上递增，且
)6()4(f f <-，则函数)(x f y =的最小值是 ，最大值是
7.函数*,122
N x x y ∈+=的最小值为
8.已知函数322+-=x x y 在区间],0[m 上有最大值3,最小值2，求m 的取值范围。

函数的奇偶性
1．下面说法正确的选项 （ ) A ．函数的单调区间可以是函数的定义域
B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间
C ．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称
D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2．函数x x x f +=2)(是
A ．偶函数
B ．奇函数
C ．既奇且偶函数
D ．非奇非偶函数 3．函数px x x y +=||，R x ∈是
（ )
A ．偶函数
B ．奇函数
C ．非奇非偶函数
D ．与p 有关 4．如果偶函数在],[b a 具有最大值，那么该函数在],[a b --有
( )
A ．最大值
B ．最小值
C ．没有最大值
D ． 没有最小值
5．如果函数R x x f ∈),(是奇函数,且)2()1(f f <，则必有
A ．)2()1(-<-f f
B ．)2()1(->-f f
C ．)1()1(f f =-
D ． )2()1(-=-f f
6．函数)(x f 在R 上为奇函数,且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ,=)(x f .
7．(12分)判断下列函数的奇偶性 ①x
x x f 1
)(3+
=； ②x x x f 2112)(-+-=；
③x x x f +=4)(; ④2|2|1)(2
-+-=
x x x f 。

8．（12分）已知8)(32005--
+=x
b
ax x x f ，10)2(=-f ，求)2(f .
单元测试
1． 设集合P={}04x x ≤≤,Q={}02y y ≤≤，由以下列对应f 中不能．．
构成A 到B 的映射的是 （ ) A ．12
y x =
B ． 13
y x =
C ． 23
y x =
D ． 18
x y =
2．下列四个函数: (1）y=x+1; （2）y=x+1； （3）y=x 2
—1； （4）y=1
x
,其中定义域与
值域相同的是（ )
A ．（1）（2）
B ．（1)(2）（3）
C ．2)(3)
D ．(2)（3)(4)
3．已知函数
7
()2c f x ax bx x
=++
-，若(2006)10f =,则(2006)f -的值为（ ）
A ．10
B ． -10
C ．—14
D ．无法确定
4．设函数
1(0)
()1(0)
x f x x ->=<⎧⎨⎩，则()()()()2a b a b f a b a b ++-⋅-≠的值为( ）
A ．a
B ．b
C ．a 、b 中较小的数
D ．a 、b 中较大的数 5．已知函数y=x 2
-2x+3在[0，a ］(a>0)上最大值是3,最小值是2，则实数a 的取值范围是( ) A ．0〈a<1 B ．0<a ≤2 C ．≤a ≤2 D ． 0≤a ≤2
6．函数()y f x =是R 上的偶函数，且在（—∞,0]上是减函数，若()(2)f a f ≥，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≤2
B ．a ≤-2或a ≥2
C ．a ≥—2
D ．—2≤a ≤2 7．奇函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞，且对任意正实数1
2
12,()x x
x x ≠，恒有1212
()()0f x f x x x ->-，则
A ．(3)(5)f f >-
B ．(3)(5)f f -<-
C ．(5)(3)f f ->
D ．(3)(5)f f ->-
8．已知函数y=f （x)在R 上为奇函数，且当x ≥0时，f （x)=x 2
-2x ，则f(x)在0x ≤时的解析式是（ )
A ． f(x)=x 2—2x
B ． f(x ）=x 2+2x
C ． f （x)= -x 2+2x
D ． f （x)= —x 2
-2x 9．已知二次函数y=f(x ）的图象对称轴是0
x x =,它在［a,b ］上的值域是 ［f （b),f （a)］，则
（ ）
A ． 0
x
b ≥ B ．0x a ≤ C ．0[,]x a b ∈ D ．0[,]x a b ∉
10．如果奇函数y=f(x)在区间［3，7]上是增函数，且最小值为5，则在区间[-7，-3］上（ ） A ．增函数且有最小值—5 B ． 增函数且有最大值-5 C ．减函数且有最小值—5 D ．减函数且有最大值—5
13．已知函数
22
()1x
f x x
=
+，则11
(1)(2)(3)()()2
3
f f f f f ++++= ．
14． 设f （x ）=2x+3，g （x+2）=f(x-1），则g （x)= ． 15．定义域为2
[32,4]a a --上的函数f （x)是奇函数，则a= ．
16．设
3
2
()3,()2f x x x g x x =-=-，则(())g f x =
．
17．作出函数223y x x =-++的图象,并利用图象回答下列问题：
（1)函数在R 上的单调区间; （2)函数在[0，4]上的值域．
18．定义在R 上的函数f (x )满足：如果对任意x 1，x 2∈R ，都有f (
12
2
x x +)≤1
2
［f (x 1)+f （x 2）］，
则称函数f (x ）是R 上的凹函数.已知函数f （x )＝ax 2
+x (a ∈R 且a ≠0），求证：当a ＞0时，函数f （x )是凹函数；
19．定义在(－1，1)上的函数f （x ）满足：对任意x 、y ∈(－1，1）都有f （x )+f (y ）=f （1x y
xy ++）．
(1）求证： f (x )是奇函数；(2)当x ∈（－1,0）时，有f (x )＞0,求证:f (x )在(－1，1)上是单调递减函数;
20．函数f （x ）定义域D ,若存在x 0∈D ，使f （x 0)=x 0成立，则称 (x 0，y 0）是函数f （x ）的图象上的“稳定点”．
（1)若函数f （x )=
31x x a -+的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求实数a 的取值范围；
（2)已知定义在实数集R上的奇函数f(x)存在有限个“稳定点”，求证:f（x)必有奇数个“稳定点”．。