陕西省黄陵中学高三数学下学期第三次质量检测试题(重点班)文(2021年整理)

陕西省黄陵中学2018届高三数学下学期第三次质量检测试题（重点班）文编辑整理：
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陕西省黄陵中学2018届高三数学下学期第三次质量检测试题(重点班）文
第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（60分) 1、设集合{3},{1,2},{2,1,2}U x x x Z A B =<<∈==---3，，则集合()R A C B =（ ）
(A) {1} (B ） {12}， (C) {012}，， (D) {1012}-，，， 2.命题:",sin 1"p x R x ∀∈≤则（ ）
(A ） :,sin 1p x R x ⌝∀∈≥ (B)
:,sin 1p x R x ⌝∀∈>
(C ）
00:,sin 1
p x R x ⌝∃∈≥ (D)
00:,sin 1p x R x ⌝∃∈>
3。

不等式组0
2030x x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪-+≥⎩
，，所表示平面区域的面积为
( )
（A) 12 （B) 3
2
（C) 1 （D ） 3
4。

执行如图所示的程序框图,则输出S 的值为( ） (A) 3 （B) 10 （C ） 6- （D) 15-
5、双曲线方程为1222
=-y a
x ，其中0>a ，双曲线的渐近线与圆1)2(22=+-y x 相切
则双曲线的离心率为( ） A 、
332 B 、3 C 、 2 D 、2
3
6、函数2
1
)43(cos )(2--=x x f π在下列区间单调递增的为( )
A 、 )4,0(π
B 、)2,0(π
C 、 )3,6(ππ
D 、 )2
,4(π
π
7、已知正实数c b a ,,满足0422=-+-c b ab a ，当
ab
c
取最小值时，c b a -+的最大值为 A 、 2 B 、 43 C 、 83 D 、41
A 、 2
B 、 43
C 、 83
D 、4
1
8、已知函数)(x f 满足)
1(1
1)(+=
+x f x f ，当[]1,0∈x 时，x x f =)(,若在区间
(]1,1-上方程0)(=--m mx x f 有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是（ ）
A 、⎪⎭⎫
⎢⎣⎡21,0 B 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21
C 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡31,0
D 、 ⎥⎦
⎤
⎝⎛21,0
9.已知等比数列}{n a 的各项均为正数，若7344a a a =，则75a a +的最小值为
A. 4 B 。

2 C 。

1 D.
2
1
10。

直线l 经过抛物线x y 42=的焦点F ，交抛物线于B A ,两点，过A ,B 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为M ，N ，若直线MF 的斜率是3，则直线NF 的斜率为
A.3
1
- B.3- C. 33- D 。

3-
11.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2,E 是棱AB 的中点，F 是侧面D D AA 11内一点，若//EF 平面D D BB 11，则EF 长度的范围为
A 。

]3,2[ B. ]5,2[
C. ]6,2[
D. ]7,2[
12。

已知函数12
122cos )(-+--+
=a
ax x x x x f π有2个零点21,x x ，则
A 。

a x x =+21
B 。

121=+x x
C 。

021=+x x
D 。

121=x x
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13）~(21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22）~（23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．设变量
x ，y 满足约束条件00 34x y x y x y +⎧≥-≥+≤⎪
⎨⎪⎩
，则32x y +的最大值为__________．
14．若函数()f x 是偶函数0x ≥时，()()lg 1f x x =+，则满足()211f x +<的实数x 取值范围是________．
15．在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2C B =，则c b
的取值范围是________．
16．数列{}n a 的前n 项和()2
12n n n S +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，数列{}n b 满足2
n n a b n =，则对于任意的正整数n ，下
列结论正确的是__________． ①1
12231n n n n
b b b b b b b b ++++⋅⋅⋅+=; ②
12
112n b b b n
++⋅⋅⋅+<; ③12222
5
124
n b b b n ++⋅⋅⋅+<；
④
12
1
11112n n n b b b b b +++⋅⋅⋅+=． 三、解答题(共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本大题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和是n S ,且()21n n S a n =-∈*N . (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ)令2log n n b a =,求数列(){
}
21n
n b -前2n 项的和T .
18。

(本大题满分12分)
2018年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨，黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查,随机抽取80名群众进行调查，将他们的年龄分成6段：[)20,30，[)30,40,[)40,50,[)50,60，[)60,70，[]70,80，得到如图所示的频率分布直方图.问：
（Ⅰ）求这80名群众年龄的中位数；
（Ⅱ）若用分层抽样的方法从年龄在[)2040，中的群众随机抽取6名，并从这6名群众中选派3人外出宣传黔东南，求选派的3名群众年龄在[)3040，的概率。

19。

如图,三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥侧面11ABB A
,1AC AA ==，1160AAC ∠=︒，1AB AA ⊥，H 为棱1CC 的中点，D 为1BB 的中点.
（1） 求证:1A D ⊥平面1AB H ；
（2)
若AB =,求三棱柱111ABC A B C -的体积.
20。

椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C ，B A ，是椭圆与x 轴的两个交点,M 为椭圆C 的上顶点,设直
线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，3
2
21-=k k ．
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）设直线l 与轴交于点)0,3(-D ,交椭圆于P 、Q 两点，且满足QD DP 3=，当OPQ ∆的面积
最大时，求椭圆C 的方程． 21.已知函数()e ln x
a f x x x x
=+-. (1)当1
a e
=时，讨论函数()f x 的单调性；
(2）求函数()f x 的极值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系,已知直
A
B C
A 1
B 1
C 1
D
H
图4
线l
的参数方程为,2x y ⎧=
⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ= . (1)求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； （2）若直线l 与曲线C 的交点分别为,M N ,求MN . 23.选修4—5：不等式选讲 已知函数()|5||3|f x x x =--+. （1）解关于x 的不等式()1f x x ≥+ ;
（2）记函数()f x 的最大值为m ，若440,0,a b ab m a b e e e ->>=，求ab 的最小值。

13。

5
14。

()54-，
15。

16。

①③④．
17．解：(Ⅰ）由1121
21
n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩得()12,1n n a a n n -=∈≥*N ,
于是{}n a 是等比数列.
令1n =得11a =，所以12n n a -=. （Ⅱ）122log log 21n n n b a n -===-，
于是数列{}n b 是首项为0,公差为1的等差数列.
2222
22
1234212n n T b b b b b b -=-+-+-
-+123212n n b b b b b -=+++
++，
所以()
()221212
n n T n n -=
=-。

18. 解（Ⅰ)设80名群众年龄的中位数为x ，则
()0.005100.010100.020100.030500.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得55x =， 即80名群众年龄的中位数55．
（Ⅱ）由已知得，年龄在[20,30）中的群众有0.0051080=4⨯⨯人，
年龄在[30,40）的群众有0.011080=8⨯⨯人, 按分层抽样的方法随机抽取年龄在[20,30）的群众 46248⨯
=+人，记为1,2；随机抽取年龄在[30,40）的群众8
6=448
⨯+人， 记为,,,a b c d 。

则基本事件有:()()()()(),,,,,,,,1,,,2,,,,a b c a b d a b a b a c d
()()()(),,1,,,2,,,1,,,2a c a c a d a d ，()()()()(),,,,,1,,,2,,,1,,,2,b c d b c b c b d b d
G
M H
D
C 1
B 1
A 1C
B
A
()(),,1,,,2,c d c d ()()()(),1,2,,1,2,,1,2,,1,2a b c d 共20个，参加座谈的导游中有3名群众年龄
都在[30,40）的基本事件有：()()(),,,,,,,,,a b c a b d a c d (),,,b c d 共4个,设事件A 为“从这6
名群众中选派3人外出宣传黔东南,选派的3名群众年龄都在[30,40）”,则41()205
p A ==
19解:（1)连结1AC ，因为1ACC ∆为正三角形，H 为棱1CC 的中点， 所以1AH CC ⊥，从而1AH AA ⊥，又面11AAC C ⊥面11ABB A , 面11AAC C
面11ABB A 1AA =，AH ⊂面11AAC C ，
所以AH ⊥面11ABB A ,又1A D ⊂面11ABB A ，所以AH ⊥1A D …①，……2分
设AB =,
由1AC AA ==，所以12AC AA a ==,1DB a =，
111111
DB A B B A AA ==,又111190DB A B A A ∠=∠=︒,所以11
11A DB AB A ∆∆,
所以1111B AA B A D ∠=∠，又11190B A D AA D ∠+∠=︒, 所以11190B AA AA D ∠+∠=︒，
设11AB A D O =,则11A D AB ⊥…②，
由①②及1
AB AH A =,可得1A D ⊥平面1AB H 。

（2)方法一:取1AA 中点M ，连结1C M ，则1//C M AH ,所以1C M ⊥面11ABB A 。

所以1
11
11
11133C AB A AB A V S C M -∆=⋅==
所以三棱柱111ABC A B C -
的体积为1113C AB A V -=。

方法二：取11A C 中点G ，连结AG ,因为11AAC ∆为正三角形,所以11AG AC ⊥, 因为面11AAC C ⊥面11ABB A ，面11AAC
C
面11ABB A 1AA =，11A B ⊂面11ABB A ,
111A B AA ⊥,所以11A B ⊥面11AAC C ,又AG ⊂面11AAC C ,所以11A B AG ⊥,
又11111AC A B A =,所以AG ⊥平面111A B C ,所以AG 为三棱柱111ABC A B C -的高,
经计算AG =
111
111111
222
A B C S A B A C ∆=
⋅==, 所以三棱柱111ABC A B C -
的体积111A B C V S AG ∆=⋅==
20。

解：（1）(0,)M b ,(,0)A a -,(,0)B a ，1b k a =
，2b
k a
=-
212223b b b k k a a a =-⋅=-=-, 3
3
=
=a c e ． （2）由(1）知3
3
=
=
a c e ，得22222,3c
b
c a ==， 可设椭圆C 的方程为：222632c y x =+
设直线l 的方程为:3-=my x ，直线l 与椭圆交于,P Q 两点
222
236x y c
x my ⎧+=⎪⎨
=⎪⎩得06634)32(222=-+-+c my y m 因为直线l 与椭圆C 相交，所以0)66)(32(448222>-+-=∆c m m ， 由韦达定理：3
234221+=+m m y y ，32662221+-=m c y y ．
又3DP QD =,所以213y y -=，代入上述两式有：3
2366622
2
+-=-m m c ,
所以|3
238|2321221+=-=∆m m y y OD S OPQ
2
112
12
3
23
2m m m m
==≤++
，
当且仅当232
=
m 时，等号成立， 此时2
52
=c ， 代入∆，有0>∆成立,所以所求椭圆C 的方程为：22
21155
x y +=．
21.
【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，其导数为()()()()
2
2
111x
x x ae x
e x x
f x a
x x x
----='-=.
当
讨论：
①当0a ≤时, 0x
x
a e -
<,此时： 因为()0,1x ∈时, ()()0,f x f x '>递增； ()1,x ∞∈+时， ()()0,f x f x '<递减； 所以()()1f x f ae ==极大值，无极小值;
②当1a e ≥时， 0x x
a e
-≥,此时：
因为()0,1x ∈时， ()()0,f x f x '<递减； ()1,x ∞∈+时， ()()0,f x f x '>递增; 所以()()1f x f ae ==极小值,无极大值；
③当10a e <<时， ()()01
,1a a a u a a u a e e e
===
又()u x 在(),1a 递增，所以()f x 在(),1a 上有唯一零点1x ,且1
1
x x a e
=， 易证： x e >时, 2ln x x <，所以11
2ln
a a
<, 所以()2221
2ln 2111
ln
ln 2ln 11,111a
a a a u ln a a u a a e e
a a
⎛⎫==== ⎪⎝⎭ 又()u x 在()1,∞+递减，所以()f x 在211,ln a ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭上有唯一零点2x ，且1
2x x a e =，故：
当()10,x x ∈时， ()()0,f x f x '<递减；当()11x x ∈，
, ()()0,f x f x '>递增; 当()20,x x ∈时， ()()0,f x f x '<递减；当()1x x ∞∈+，
, ()()0,f x f x '>递增； 所以， ()()1f x f ae ==极大值， ()1
1111
()ln 1ln x ae f x f x x x a x ==+-=+极小值，
()2
2222
()ln 1ln x ae f x f x x x a x ==+-=+极小值
. （12分)
22.解：（1）因为2cos 8sin ρθθ=,所以22cos 8sin ρθρθ=， 即28x y =，
所以曲线C 表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线.
(2）直线l 过抛物线的焦点()0,2,
且参数方程为525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
(t 为参数)， 代入曲线C 的直角坐标方程,
得2200t --=，
所以121220t t t t +==-。

所以
12||10MN t t =-=
=。

23.解:（1）当3x ≤-时，由531x x x -++≥+,得7x ≤, 所以3x ≤-；
当35x -<<时,由531x x x ---≥+ ,得1
3
x ≤,
所以1
33
x -<≤;
当5x ≥时，由531x x x ---≥+ ，得9x ≤-，无解。

综上可知，13x ≤,即不等式()1f x x ≥+的解集为1,3⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦。

(2)因为|5||3||53|8x x x x --+≤---=, 所以函数()f x 的最大值8m =.
因为448a b ab e e e -=，所以448a b ab +=-。

又0,0a b >>，
所以4a b +≥=
所以480ab --≥,即20ab -≥.
所以有
)
1
20≥。

0>,2,4ab ≥≥，即ab 的最小值为4.。