【初中教育】最新中考数学试题分项解析汇编第01期专题09三角形含解析

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三角形含解析
______年______月______日
____________________部门
一、选择题
1。

（20xx重庆A卷第8题）若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9
【答案】A．
【解析】
试题解析：∵△ABC～△DEF，相似比为3：2，
∴对应高的比为：3：2．
故选A．
考点：相似三角形的性质。

2。

（20xx重庆A卷第11题）如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0。

75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0。

64，cos40°≈0。

77，tan40°≈0。

84）．
A．5。

1米 B．6。

3米 C．7。

1米 D．9。

2米
【答案】A。

【解析】
试题解析：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，
∵CE∥AP，
∴DP⊥AP，
∴四边形CEPQ为矩形，
∴CE=PQ=2，CQ=PE ， ∵i=，
14
0.753
CQ BQ == ∴设CQ=4x 、BQ=3x ，
由BQ2+CQ2=BC2可得（4x ）2+（3x ）2=102， 解得：x=2或x=﹣2（舍）， 则CQ=PE=8，BQ=6， ∴DP=DE+PE=11，
在Rt△A DP 中，∵AP=≈13。

1，
11
tan tan 40DP
A
=
∠︒
∴AB=AP ﹣BQ ﹣PQ=13。

1﹣6﹣2=5。

1， 故选A ．
考点：解直角三角形的应用。

3。

（20xx 甘肃庆阳第6题）将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2为（ ）
A ．115°
B ．120°
C ．135°
D ．145° 【答案】C ． 【解析】 试题解析：如图，
由三角形的外角性质得，∠3=90°+∠1=90°+45°=135°， ∵直尺的两边互相平行， ∴∠2=∠3=135°． 故选C ．
考点：平行线的性质；余角和补角．
4。

（20xx 甘肃庆阳第8题） 已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为（ ） A ．2a+2b-2c B ．2a+2b C ．2c D ．0
【答案】D 【解析】
试题解析：∵a 、b 、c 为△ABC 的三条边长， ∴a+b-c ＞0，c-a-b ＜0， ∴原式=a+b-c+（c-a-b ） =0． 故选D ．
考点：三角形三边关系．
5。

（20xx 广西贵港第11题）如图，在中， ，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值是 （ ）
Rt ABC ∆90ACB ∠=ABC ∆C '',A B C M ∆BC P ''A B PM 230BC BAC =∠=，PM
A ．
B ．
C 。

D ． 4321 【答案】B 【解析】
试题解析：如图连接PC ．
在Rt△ABC 中，∵∠A=30°，BC=2， ∴AB=4，
根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4， ∴A ′P=PB ′，
∴PC=A ′B ′=2，12
∵CM=BM=1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM 的最大值为3（此时P 、C 、M 共线）． 故选B ．
考点：旋转的性质．
6。

（20xx 湖北武汉第10题）如图，在中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）Rt ABC ∆90C ∠=ABC ∆ABC ∆ A ．4 B ．5 C ． 6 D ．7 【答案】C 【解析】
试题解析：①以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，△BCD 就是等腰三角形；
②以A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点E ，△ACE 就是等腰三角形；
③以C 为圆心，BC 长为半径画弧，交AC 于点F ，△BCF 就是等腰三角形；
④作AC 的垂直平分线交AB 于点H ，△ACH 就是等腰三角形； ⑤作AB 的垂直平分线交AC 于G ，则△AGB 是等腰三角形； ⑥作BC 的垂直平分线交AB 于I ，则△BCI 是等腰三角形．
故选C。

考点：画等腰三角形。

7。

（20xx江苏无锡第10题）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）
A．2 B．C．D．5
45 3 7 5
【答案】D．
【解析】
试题解析：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，
∴BC==5，22
34
∵CD=DB，
∴AD=DC=DB=，5
2
∵•BC•AH=•AB•AC，1
21 2
∴AH=，12
5
∵AE=AB，DE=DB=DC，
∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，
∵•AD•BO=•BD•AH，1
21 2
∴OB=，12
5
∴BE=2OB=，
245
在Rt△BCE 中，EC= 。

22222475()55
BC BE -=-= 故选D ．
考点：1。

翻折变换（折叠问题）；2。

直角三角形斜边上的中线；3。

勾股定理．
8。

（20xx 甘肃兰州第3题）如图，一个斜坡长130m ，坡顶离水平地面的距离为50m ，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( ) A 。

B 。

C 。

D 。

513121351213
12
【答案】C ． 【解析】
试题解析：如图，在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=130m ，BC=50m ， ∴AC==120m ，222213050AB BC -=- ∴tan ∠BAC=。

505
12012
BC AC ==
故选C ．
考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
9。

（20xx 甘肃兰州第13题）如图，小明为了测量一凉亭的高度(顶端到水平地面的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶(米，三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明身高米，则凉亭的高度约为( )AB
A BD BC DE 0.5DE BC ==,,A
B C
G 15CG =CG E A 3CG = 1.6EF =AB
A 。

米
B 。

米
C 。

米
D 。

10米8.599.5
【答案】A 。

【解析】
试题解析：由题意∠AGC=∠FGE ，∵∠ACG=∠FEG=90°， ∴△ACG ∽△FEG ， ∴
AC CG
EF GD =
∴
15
1.5
3
AC
= ∴AC=8，
∴AB=AC+BC=8+0。

5=8。

5米． 故选A ．
点：相似三角形的应用．
10。

（20xx 贵州黔东南州第2题）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A 的度数是（ ） A ．120° B ．90° C ．100° D ．30°
【答案】C ． 【解析】
试题解析：∠A=∠ACD ﹣∠B =120°﹣20° =100°， 故选：C ．
考点：三角形的外角性质．
11。

（20xx 山东烟台第12题）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平底面处安置侧倾器得楼房顶部点的仰角为，向前走20米到达处，测得点的仰角为。

已知侧倾器的高度为1。

6米，则楼房的高度约为（ ）CD A CD D 045'A D 05.67AB CD （结果精确到0。

1米，）414.12≈
A ．米
B ．米
C 。

米
D ．米14.341.347.3574.35 【答案】C ． 【解析】
试题解析：过B 作BF ⊥CD 于F ， ∴AB=A ′B ′=CF=1。

6米， 在Rt△DFB′中，B′F=，tan 67.5DF
︒
在Rt△DFB 中，BF=DF ， ∵BB ′=AA ′=20， ∴BF ﹣B ′F=DF ﹣=20，tan 67.5DF
︒
∴DF ≈34。

1米， ∴CD=DF+CF=35。

7米，
答：楼房CD 的高度约为35。

7米， 故选C ．
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
12。

（20xx 四川泸州第10题）已知三角形的三边长分别为a 、b 、c ，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron ，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261）曾提出利用三角形的三边
求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）()()()
p p a p b p c ---2
a b c
++222222
1()22
a b c a b +-- A 。

B 。

C 。

D 。

31583154315
215
2
【答案】B 。

考点：二次根式的应用。

13。

（20xx 浙江嘉兴第2题）长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（ ）27x x A ． B ． C ． D ． 4569
【答案】C 。

【解析】
试题解析：由三角形三边关系定理得7-2＜x ＜7+2，即5＜x ＜9． 因此，本题的第三边应满足5＜x ＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．
4，5，9都不符合不等式5＜x ＜9，只有6符合不等式， 故选C ．
考点：三角形的三边关系。

二、填空题
1。

（20xx浙江宁波第16题）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的
斜坡，从滑行至，已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了
米．(参考数据：，，)34°A B500
AB=sin340.56
°≈cos340.83
°≈tan340.67
°≈
【答案】280。

【解析】
试题分析：在RtΔABC中，sin34°=AC
AB
∴AC=AB×sin34°=500×0。

56=280米。

考点：解直角三角形的应用。

2。

（20xx甘肃庆阳第16题）如图，一张三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．现将纸片折叠：使点A与点B重合，那么折痕长等于 cm．
【答案】cm．15
4
【解析】
试题解析：如图，折痕为GH，
由勾股定理得：AB==10cm，22
6+8
由折叠得：AG=BG=AB=×10=5cm，GH⊥AB，1
21 2
∴∠AGH=90°，
∵∠A=∠A，∠AGH=∠C=90°，∴△ACB∽△AGH，
∴，AC BC
AG GH
∴，
86
5GH
=
∴GH=cm ．
15
4
考点：翻折变换
3。

（20xx 广西贵港第16题）如图，点 在等边的内部，且，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则的值为 ．P ABC
∆6,8,10PC PA PB ===PC C 60'P C 'AP sin 'PAP ∠
【答案】35
【解析】
试题解析：连接PP ′，如图，
∵线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P'C ， ∴CP=CP ′=6，∠PCP ′=60°， ∴△CPP ′为等边三角形， ∴PP ′=PC=6，
∵△ABC 为等边三角形， ∴CB=CA ，∠ACB=60°， ∴∠PCB=∠P ′CA ， 在△PCB 和△P′CA 中 ∴△PCB ≌△P ′CA ， ∴PB=P ′A=10， ∵62+82=102， ∴PP ′2+AP2=P ′A2，
∴△APP ′为直角三角形，∠APP ′=90°，
∴sin ∠PAP ′=．
63
105
PP P A '==' 考点：旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形．
4。

（20xx 贵州安顺第13题）三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于 ． 【答案】2。

5 【解析】
试题解析：∵32+42=25=52， ∴该三角形是直角三角形， ∴×5=2。

5．12
考点：勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线．
5。

（20xx 湖北武汉第15题）如图△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，∠DAE=60°，BD=5，CE=8，则DE 的长为 ． 【答案】7。

【解析】
试题解析：∵AB=AC ，
∴可把△AEC 绕点A 顺时针旋转120°得到△AE ′B ，如图，
∴BE′=EC=8，AE′=AE，∠E′AB=∠EAC， ∵∠BAC=120°，∠DAE=60°， ∴∠BAD+∠EAC=60°，
∴∠E′AD=∠E′AB+∠BAD=60°， 在△E′AD 和△EAD 中
AE ＝AE E AD ＝EAD AD ＝AD ⎧'∠'∠⎪
⎨⎪⎩
∴△E′AD≌△EAD（SAS ）， ∴E′D=ED，
过E′作EF⊥BD 于点F ， ∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠ABC=∠C=∠E′BA=30°， ∴∠E′BF=60°， ∴∠BE′F=30°， ∴BF=BE′=4，E′F=4， ∵BD=5， ∴FD=BD -BF=1，
在Rt△E′FD 中，由勾股定理可得E′D=， ∴DE=7．
1
2
3
2
2（43）+1=7
考点：1。

含30度角的直角三角形；2。

等腰三角形的性质．
6。

（20xx 湖南怀化第15题）如图，，，请你添加一个适当的条件：
，使得。

AC DC
=BC EC =ABC DEC △≌△
【答案】CE=BC ．本题答案不唯一． 【解析】
试题解析：添加条件是：CE=BC ，
在△ABC 与△DEC 中，，AC DC BC EC CE BC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩
∴△ABC ≌△DEC ．
故答案为：CE=BC ．本题答案不唯一． 点：全等三角形的判定．
7。

（20xx 江苏无锡第18题）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则tan ∠BOD 的值等于 ． 【答案】3。

【解析】
试题解析：平移CD 到C′D′交AB 于O′，如图所示， 则∠BO′D′=∠BOD， ∴tan ∠BOD=tan ∠BO ′D ′， 设每个小正方形的边长为a ，
则O′B=，O′D′=，BD′=3a，22(2)5a a a +=22（2a)(2)22a a +=
作BE⊥O′D′于点E ， 则BE=，
3a 232222BD O F a a
O D a
''==
'' ∴O ′E=，2222
322(5)(
)2
2
a a O B BE a '-=-= ∴tanBO ′E=，32a 2322
BE
O E a
==' ∴tan ∠BOD=3。

考点：解直角三角形．
8。

（20xx 江苏盐城第12题）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= °． 【答案】120°。

【解析】
试题解析：由三角形的外角的性质可知，∠1=90°+30°=120°。

考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．
9。

（20xx 甘肃兰州第17题）如图，四边形与四边形相似，位似中心点是，，则 。

ABCD EFGH
【答案】 【解析】
试题解析：如图所示：
∵四边形ABCD 与四边形EFGH 位似， ∴△OEF ∽△OAB ，△OFG ∽△OBC ， ∴，
3
5
OE OF OA OB ==
∴．
3
5
FG OF BC OB == 考点：位似变换．
10。

（20xx 贵州黔东南州第12题）如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，已知FB=CE ，AC ∥DF ，请你添加一个适当的条件 使得△ABC ≌△DEF ．
【答案】∠A=∠D ． 【解析】
试题解析：添加∠A=∠D ．理由如下： ∵FB=CE ， ∴BC=EF ． 又∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE ． ∴在△ABC 与△DEF 中，
A D AC
B DFE B
C EF ⎧∠=∠⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△DEF （AAS ）． 考点：全等三角形的判定．
11。

（20xx 山东烟台第14题）在中，，，，则 ．ABC
Rt ∆090=∠C 2=AB 3=BC =2
sin
A 【答案】．12
【解析】
试题解析：∵sinA=，3
2
BC AB =
∴∠A=60°， ∴sin=sin30°=．
2A 1
2
考点：特殊角的三角函数值．
12。

（20xx 山东烟台第16题）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1。

与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点都在格点上，则点的坐标是 。

AOB ∆''OB A ∆O 2:3B A ,'B 【答案】（﹣2，）43
【解析】
试题解析：由题意得：△A ′OB ′与△AOB 的相似比为2：3， 又∵B（3，﹣2）
∴B ′的坐标是[3×，﹣2×]，即B ′的坐标是（﹣2，）2()3
-2()3-43
考点：位似变换；坐标与图形性质．
13。

（20xx 四川泸州第16题）在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是边AC 、AB 上的中线，且BD ⊥CE ，垂足为O ．若OD=2cm ，OE=4cm ，则线段AO 的长度为 cm ． 【答案】4。

5 【解析】
试题解析：连接AO 并延长，交BC 于H ， 由勾股定理得，DE=，22=25OE OD + ∵BD 和CE 分别是边AC 、AB 上的中线，
∴BC=2DE=4，O 是△ABC 的重心，5 ∴AH 是中线，又BD ⊥CE ， ∴OH=BC=2，
1
2
5 ∵O 是△ABC 的重心， ∴AO=2OH=4。

5
考点：1。

三角形的重心；2。

勾股定理．
14。

（20xx 四川自贡第14题）在△ABC 中，MN ∥BC 分别交AB ，AC 于点M ，N ；若AM=1，MB=2，BC=3，则MN 的长为 ． 【答案】1。

【解析】
试题解析：∵MN∥BC， ∴△AMN ∽△ABC ， ∴，即，
AM MN AB BC =1123
WN
=
+ ∴MN=1。

考点：相似三角形的判定与性质。

15。

（20xx 新疆建设兵团第15题）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列结论中： ①∠ABC=∠ADC ； ②AC 与BD 相互平分；
③AC ，BD 分别平分四边形ABCD 的两组对角； ④四边形ABCD 的面积S=AC •BD ．12
正确的是 （填写所有正确结论的序号）
【答案】①④
【解析】
试题解析：①在△ABC和△ADC中，
∵，
AB AD BC CD AC AC ⎧=
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ABC=∠ADC，
故①结论正确；
③由②可知：AC平分四边形ABCD的∠BAD、∠BCD，
而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；
故③结论不正确；
④∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=BD•AO+BD•CO=BD•（AO+CO）
=AC•BD．1
21
2
1 2
1
2
故④结论正确；
所以正确的有：①④
考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．16。

（20xx江苏徐州第13题）中，点分别是的中点，，则．ABC
∆,D E,
AB AC7
DE=BC=
【答案】14。

【解析】
试题解析：∵D，E分别是△ABC的边AC和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE=7， ∴BC=2DE=14．
考点：三角形中位线定理．
17。

（20xx 江苏徐州第18题）如图，已知，以为直角边作等腰直角三角形。

再以为直角边作等腰直角三角形，如此下去，则线段的长度为 ．1OB OB 1A BO 1OA 21A AO n OA 【答案】．2n 【解析】
试题解析：∵△OBA1为等腰直角三角形，OB=1， ∴AA1=OA=1，OA1=OB=；22 ∵△OA1A2为等腰直角三角形， ∴A1A2=OA1=，OA2=OA1=2；22 ∵△OA2A3为等腰直角三角形， ∴A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2；22 ∵△OA3A4为等腰直角三角形， ∴A3A4=OA3=2，OA4=OA3=4．22 ∵△OA4A5为等腰直角三角形， ∴A4A5=OA4=4，OA5=OA4=4，22 ∵△OA5A6为等腰直角三角形， ∴A5A6=OA5=4，OA6=OA5=8．22 ∴OAn 的长度为．2n 考点：等腰直角三角形．
18。

（20xx 浙江嘉兴第15题）如图，把个边长为1的正方形拼接成一排，求得，，，计算 ，……按此规律，写出 （用含的代数式表示）．n 1
tan 1BAC ∠=21
tan 3BA C ∠=31tan 7
BA C ∠=4tan BA C ∠=tan n BA C ∠=n
【答案】，。

1132
1
1
n n -+ 【解析】
试题解析：作CH ⊥BA4于H ，
由勾股定理得，BA4=，A4C=，22471=1+10 △BA4C 的面积=4-2-=，321
2
∴××CH=，121712
解得，CH=，
1717
则A4H==，223A C CH -1317
17
∴tan∠BA4C==，4CH A H 1
13
1=12-1+1， 3=22-2+1， 7=32-3+1， ∴tan∠BAnC=。

2
1
1
n n -+
考点：1。

解直角三角形；2。

勾股定理；3。

正方形的性质． 三、解答题
1。

（20xx浙江衢州第23题）问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形。

类比研究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）。

（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由；
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设，，，请探索，，满足的等量关系。

a
AB=a b c
AD=c
BD=b
【答案】（1）全等；证明见解析；（2）是，理由见解析；（3）c2=a2+ab+b2．
试题解析：（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，
∴∠ABD=∠BCE ， 在△ABD 和△BCE 中，
1=2AB BC
ABD BCE ⎧∠∠⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ABD ≌△BCE （ASA ）；
（2）△DEF 是正三角形；理由如下： ∵△ABD ≌△BCE ≌△CAF ， ∴∠ADB=∠BEC=∠CFA ， ∴∠FDE=∠DEF=∠EFD ， ∴△DEF 是正三角形；
（3）作AG⊥BD 于G ，如图所示： ∵△DEF 是正三角形， ∴∠ADG=60°，
在Rt△ADG 中，DG=b ，AG=b ，
123
2
在Rt△ABG 中，c2=（a+b ）2+（b ）2，123
2
∴c2=a2+ab+b2．
考点：1。

全等三角形的判定与性质；2。

勾股定理。

2。

（20xx 山东德州第21题）如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m 的A 处，测得一辆汽车从B 处行驶到C 处所用的时间为0。

9秒。

已知∠B=30°，∠C=45°
（1）求B ，C 之间的距离；（保留根号）
（2）如果此地限速为80km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由。

（参考数据：,）3=1.72=1.4
【答案】（1）(10+10)m；（2）超速。

3
【解析】
试题分析：（1）利用∠B=30°，∠C=45°，AD=10，求出BD=10,DC=10,从而得出BC=10+1033
(2)利用,，求出BC27,再求出v=108千米/小时>80千米/小时，故超速。

3=1.72=1.4≈
试题解析：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，则AD=10m
∵在RtΔACD中，∠C=45°
∴RtΔACD是等腰直角三角形
∴CD=AD=10m
在RtΔABD中，tanB=AD
BD
∵∠B=30°
∴310
=
3BD
∴BD=10m3
∴BC=BD+DC=(10+10)m 3
(2)这辆汽车超速。

理由如下。

由（1）知BC=（10+10）m，又33 1.7
≈
∴BC=27m
∴汽车速度v==30（m/s）27
0.9
又30 m/s=108km/h，此地限速为80 km/h
∵108>80
∴这辆汽车超速。

考点：三角函数的应用
3。

（20xx 重庆A 卷24题）在△ABC 中，∠ABM=45°，AM ⊥BM ，垂足为M ，点C 是BM 延长线上一点，连接AC ． （1）如图1，若AB=3，BC=5，求AC 的长；2
（2）如图2，点D 是线段AM 上一点，MD=MC ，点E 是△ABC 外一点，EC=AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：∠BDF=∠CEF．
【答案】(1)；（2）证明见解析。

13 【解析】
试题分析：（1）先由AM=BM=ABcos45°=3可得CM ＝２，再由勾股定理可求出AC 的长；
（２）延长EF 到点G ，使得FG=EF ，证ΔBMD ≌ΔANC 得AC=BD ，再证ΔBFG ≌ΔCFE 得BG=CE ，∠G=∠E,从而得BD=BG=CE ，即可得∠BDG=∠G=∠E 。

试题解析：（1）∵∠ABM=45°，AM ⊥BM ， ∴AM=BM=ABcos45°=3×=3，222
则CM=BC ﹣BM=5﹣2=2，
∴AC=；22222313AM CM +=+=
（2）延长EF 到点G ，使得FG=EF ，连接BG ． 由DM=MC ，∠BMD=∠AMC，BM=AM ， ∴△BMD ≌△AMC （SAS ），
∴AC=BD，
又CE=AC，
因此BD=CE，
由BF=FC，∠BFG=∠EFC，FG=FE，
∴△BFG≌△CFE，
故BG=CE，∠G=∠E，
所以BD=BG=CE，
因此∠BDG=∠G=∠E．
考点:1。

全等三角形的判定与性质；2。

勾股定理。

4。

（20xx甘肃庆阳第21题）如图，已知△ABC，请用圆规和直尺作出△ABC的一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】作图见解析
【解析】
试题分析：作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．
试题解析：如图，△ABC的一条中位线EF如图所示，
方法：作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．
考点：作图—复杂作图；三角形中位线定理．
5。

（20xx甘肃庆阳第22题）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，
求观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0。

91，cos65°≈0。

42，tan65°≈2。

14） 【答案】观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为248米． 【解析】
试题分析：过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，设BE=x ，根据AE=DE ，列出方程即可解决问题．
试题解析：过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，设BE=x ， 在Rt△DEB 中，tan∠DBE=，DE BE
∵∠DBC=65°，
∴DE=xtan65°． 又∵∠DAC=45°， ∴AE=DE ．
∴132+x=xtan65°， ∴解得x ≈115。

8，
∴DE ≈248（米）．
∴观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为248米． 考点：解直角三角形的应用
6。

（20xx 湖北武汉第18题）如图，点在一条直线上，，．写出与之间的关系，并证明你的结论．,,,C F E B CFD BEA ∠=∠,CE BF DF AE ==CD
AB
【答案】证明见解析： 【解析】
试题分析：通过证明ΔCDF ≌ΔABE ，即可得出结论
试题解析：CD与AB之间的关系是：CD=AB，且CD∥AB 证明：∵CE=BF，∴CF=BE
在ΔCDF和ΔBAE中
∴ΔCDF≌ΔBAE。