锡山区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

锡山区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．复数i﹣1（i是虚数单位）的虚部是（）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
2．三个数a=0.52，b=log20.5，c=20.5之间的大小关系是（）
A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a
3．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）
A．（0，+∞）B．（0，2） C．（1，+∞）D．（0，1）
4．设a，b，c，∈R+，则“abc=1”是“”的（）
A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要的条件
5f x[14]f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．
）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为（）A．1372 B．2024 C．3136 D．4495
7．数列中，若，，则这个数列的第10项（）
A．19B．21C．D．
8．如图是七位评委为甲，乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图（其中m，n为数字0～9中的一个），则甲歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为a和b，则一定有（）
A．a＞b B．a＜b
C．a=b D．a，b的大小与m，n的值有关
9．下列判断正确的是（）
A．①不是棱柱B．②是圆台C．③是棱锥D．④是棱台
10．若实数x，y满足，则（x﹣3）2+y2的最小值是（）
A．B．8 C．20 D．2
11．已知f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，），
且a2＜，则f（x）g（x）＞0的解集为（）
A．（﹣，﹣a2）∪（a2，）B．（﹣，a2）∪（﹣a2，）
C．（﹣，﹣a2）∪（a2，b）D．（﹣b，﹣a2）∪（a2，）
则几何体的体积为（）
4
意在考查学生空间想象能力和计算能
二、填空题
13．已知△ABC 的面积为S ，三内角A ，B ，C 的对边分别为，，．若2
2
2
4S a b c +=+， 则sin cos()4
C B π
-+
取最大值时C = ．
14．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合B={2，3}，则（∁U A ）∪B= ． 15．设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），则数列
{
}的前10项的和为 ．
16．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）＝lnx －m
x
（m ∈R ）在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________．
17．命题“若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0”的逆否命题是 （填“真命题”或“假命题”．）
18．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AB=AD=4cm ，AA 1=2cm ，则点A 1到平面AB 1D 1的距离等于 cm ．
三、解答题
19．本小题满分12分 已知数列{}n a 中，123,5a a ==，其前n 项和n S 满足)3(22112≥+=+---n S S S n n n n . Ⅰ求数列{}n a 的通项公式n a ; Ⅱ 若22256
log ()1
n n b a =-N *n ∈，设数列{}n b 的前n 的和为n S ，当n 为何值时，n S 有最大值，并求最大值.
20．甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6
场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7
场获胜的概率为．
（Ⅰ）求甲队分别以4：2，4：3获胜的概率；
（Ⅱ）设X 表示决出冠军时比赛的场数，求X 的分布列及数学期望．
21．已知数列{}n a 的前项和公式为2230n S n n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求n S 的最小值及对应的值.
22．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 2sin a b A =． （1）求角B 的大小；
（2）若a =5c =，求．
23．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC 内种植花卉.已知AB 长为1千米，设角,C θ=AC 边长为BC 边长的()1a a >倍，三角形ABC 的面积为S （千米2）. 试用θ和a 表示S ；
（2）若恰好当60θ=时，S 取得最大值，求a 的值.
24．（本小题满分12分）求下列函数的定义域：
（1）()
f x=；
（2）()
f x=.
锡山区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：由复数虚部的定义知，i﹣1的虚部是1，
故选A．
【点评】该题考查复数的基本概念，属基础题．
2．【答案】A
【解析】解：∵a=0.52=0.25，
b=log20.5＜log21=0，
c=20.5＞20=1，
∴b＜a＜c．
故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．
3．【答案】D
【解析】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆
∴故0＜k＜1
故选D．
【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．
4．【答案】A
【解析】解：因为abc=1，所以，则=
=≤a+b+c．
当a=3，b=2，c=1时，显然成立，但是abc=6≠1，
所以设a，b，c，∈R+，则“abc=1”是“”的充分条件但不是必要条件．
故选A．
5．【答案】C
【解析】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示：
因为f（0）=f（3）=2，1＜a＜2，
所以函数y=f（x）﹣a的零点的个数为4个．
故选：C．
【点评】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．
6．【答案】
C
【解析】
【专题】排列组合．
【分析】分两类，第一类，三点分别在三条边上，第二类，三角形的两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边，根据分类计数原理可得．
【解答】解：首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上．任选正方形的三边，使三个顶点分别在其上，有4种方法，
再在选出的三条边上各选一点，有73种方法．这类三角形共有4×73=1372个．
另外，若三角形有两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边上，则先取一边使其上有三角形的两个顶点，有4种方法，
再在这条边上任取两点有21种方法，然后在其余的21个分点中任取一点作为第三个顶点．这类三角形共有4×21×21=1764个．
综上可知，可得不同三角形的个数为1372+1764=3136．
故选：C．
【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，还要结合几何图形，属于中档题．
7．【答案】C
【解析】
因为，所以，所以数列构成以为首项，2为公差的等差数列，通项公式为，所以，所以，故选C
答案：C
8．【答案】C
【解析】解：根据茎叶图中的数据，得；
甲得分的众数为a=85，
乙得分的中位数是b=85；
所以a=b．
故选：C．
9．【答案】C
【解析】解：①是底面为梯形的棱柱；
②的两个底面不平行，不是圆台；
③是四棱锥；
④不是由棱锥截来的，
故选：C．
10．【答案】A
【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由图象得P（3，0）到平面区域的最短距离d min=，
∴（x﹣3）2+y2的最小值是：．
故选：A．
【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．
11．【答案】A
【解析】解：∵f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，
），且a2＜，
∴f（x）＜0的解集为（﹣b，﹣a2），g（x）＜0的解集为（﹣，﹣），
则不等式f（x）g（x）＞0等价为或，
即a2＜x＜或﹣＜x＜﹣a2，
故不等式的解集为（﹣，﹣a2）∪（a2，），
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的对称性的性质求出f（x）＜0和g（x）＜0的解集是解决本题的关键．
12．【答案】D
【解析】
二、填空题
13．【答案】
4
【解析】
考点：1、余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数.1
【方法点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现ab 及
2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为
正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列不同形式
111sin ,,(),2224abc ab C ah a b c r R
++. 14．【答案】 {2，3，4} ．
【解析】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}， ∴C U A={3，4}， 又B={2，3}，
∴（C U A ）∪B={2，3，4}， 故答案为：{2，3，4}
15．【答案】
．
【解析】解：∵数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *
），
∴当n ≥2时，a n =（a n ﹣a n ﹣1）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=n+…+2+1=．
当n=1时，上式也成立，
∴a n =．
∴=2
．
∴数列{}的前n 项的和S n =
=
=．
∴数列{
}的前10项的和为
．
故答案为：
．
16．【答案】－3e 【解析】f ′（x ）＝1x ＋2m x ＝2
x m x ，令f ′（x ）＝0，则x ＝－m ，且当x<－m 时，f ′（x ）<0，f （x ）单调递减，
当x>－m 时，f ′（x ）>0，f （x ）单调递增．若－m ≤1，即m ≥－1时，f （x ）min ＝f （1）＝－m ≤1，不可能等于4；
若1<－m ≤e ，即－e ≤m<－1时，f （x ）
min ＝f （－m ）＝ln （－m ）＋1，令ln （－m ）＋1＝4，得m ＝－e 3（－e ，－
1）；若－m>e ，即m<－e 时，f （x ）min ＝f （e ）＝1－m e ，令1－m
e
＝4，得m ＝－3e ，符合题意．综上所述，m
＝－3e.
17．【答案】 真命题
【解析】解：若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0成立，即原命题为真命题，
则命题的逆否命题也为真命题，
故答案为：真命题．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据逆否命题的真假性相同是解决本题的关键．
18．【答案】
【解析】解：由题意可得三棱锥B 1﹣AA 1D 1的体积是=
，
三角形AB
1D 1的面积为4，设点A 1到平面AB 1D 1的距离等于h ，则
，
则h=
故点A 1到平面AB 1D 1的距离为．
故答案为：．
三、解答题
19．【答案】
【解析】Ⅰ由题意知()321211≥+-=-----n S S S S n n n n n , 即()3211≥+=--n a a n n n
22311)(......)()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--
()3122122...2252...22221221≥+=++++++=++++=----n n n n n n
检验知n =1, 2时，结论也成立，故a n =2n +1．
Ⅱ 由8
82222222562log ()log log 28212
n n n n b n a -====-- N *n ∈
法一: 当13n ≤≤时，820n b n =->；当4n =时，820n b n =-=；
当5n ≥时，820n b n =-< 故43==n n 或时，n S 达最大值，1243==S S .
法二：可利用等差数列的求和公式求解
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设甲队以4：2，4：3获胜的事件分别为A ，B ， ∵甲队第5，6
场获胜的概率均为，第7
场获胜的概率为，
∴
，
，
∴甲队以4：2，4：3
获胜的概率分别为
和
．
（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为5，6，7，
∴
，P （X=6）
=
，P （X=7）
=
，
∴随机变量X 的分布列为
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，独立重复试验概率的乘法公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．
21．【答案】（1）432n a n =-；（2）当7n =或时，n S 最小，且最小值为78112S S =-. 【解析】
试题分析：（1）根据数列的项n a 和数列的和n S 之间的关系，即可求解数列{}n a 的通项公式n a ；（2）由（1）中的通项公式，可得1270a a a <<
<<，80a =，当9n ≥时，0n a >，即可得出结论．1
试题解析：（1）∵2230n S n n =-，
∴当1n =时，1128a S ==-.
当2n ≥时，221(230)[2(1)30(1)]432n n n a S S n n n n n -=-=-----=-. ∴432n a n =-，n N +∈. （2）∵432n a n =-， ∴1270a a a <<
<，80a =，
当9n ≥时，0n a >.
∴当7n =或8时，n S 最小，且最小值为78112S S =-. 考点：等差数列的通项公式及其应用． 22．【答案】（1）6
B π
=；（2）7b =．
【解析】1111]
（2）根据余弦定理，得
2222cos 2725457b a c ac B =+-=+-=，
所以7b =
考点：正弦定理与余弦定理． 23．【答案】（1）2
1sin 212cos a S a a θθ
=
⋅+- （2）23a =【解析】试题
解析：
（1）设边BC x =，则AC ax =， 在三角形ABC 中，由余弦定理得：
22212cos x ax ax θ=+-，
所以2
2
112cos x a a θ=+-， 所以211sin 2212cos a S ax x sin a a θ
θθ
=⋅⋅=⋅+-，
（2）因为()
()
2
2
2cos 12cos 2sin sin 1212cos a a a a a S a a θθθθ
θ
+--⋅=+-'⋅， ()
()
22
2
2cos 121212cos a a a
a a θθ+-=⋅
+-， 令0S '=，得02
2cos ,1a
a θ=
+ 且当0θθ<时，02
2cos 1a
a θ>+，0S '>， 当0θθ>时，02
2cos 1a
a
θ<+，0S '<， 所以当0θθ=时，面积S 最大，此时0060θ=，所以2
21
12
a a =+，
解得2a = 因为1a >
，则2a =点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。

24．【答案】（1）()[),11,-∞-+∞；（2）[)(]1,23,4-．
【解析】
考
点：函数的定义域. 1
【方法点晴】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中涉及到分式不等式的求解、一元二次不等式的求解、集合的交集运算等综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确把握函数的定义域，列出相应的不等式或不等式组是解答的关键，同时理解函数的定义域的概念，也是解答的一个重要一环.。