也来说一说极坐标系与参数方程的题型与解题策略
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中孝生枣理化
障碍分析 2020年1月
也来说一说极坐标系与参数方程的题型与解题策略
■李刚
坐标系与参数方程是数学选修4-4的内 容，是不分文理的选考内容，与不等式内容相 比，选做坐标系与参数方程的考生历年来都 偏多。高三复习备考应强化互化（消参），突 出应用，突破用“极”“直”还是“参”，以及何时 用效果更好。下面就对极坐标与参数方程的 题型和解题策略进行介绍，希望对同学们的 学习能有所帮助。
tz o设P （鼻，
x y ) » 贝U y
y
20 4sin a
cos a ,
20 4sin a
•
sin a
5cos a sin a 即
9=5,
点P的轨迹方程为y = 5。 作者单位：安徽省合肥市第六中学
20
数，又| OP | = 4cos 0 ,所以设 P （工，y ）,则
jc = 4cos Ocos 0,
y = 4cos Osin 0。
所以 qcos 0 = 4cos 6cos 0 或 psin 0 =
4cos 8sin&,即 q = 4cos0,OW
二、实战训练 在平面直角坐标系My中，以坐标原点 为极点，工轴正半轴为极轴建立极坐标系。
奇时,po = 4sin奇=2由已知得I OP | =
| OA | cos y = 2o 设 Q(q,0)为 2 上除 P 外 的任意一点，在 RtAOPQ 中，QCOs（°-^） = \OP\= 2,经检验，点 P（2,守）在曲线 pcos（0-晋）上。所以I的极坐标方程为
（2）设
在 RtAOAP 中，|OP| =
I OA | cos 0 = 4cos 0,即 p = 4cos&c 因为点 P
在线段OM上，且AP丄OM,故0的取值范
围是［于’今］。所以，点P轨迹的极坐标方
程为 q = 4cos 8 ,e w ［于倚］。
方法二：使用参数方程处理。
解：⑴略。
(x = icos 0,
(2)设OM的方程为
t为参
= /sin 0 ,
曲线 G 的极坐标方程为p = 4sin&, M 为曲 线G 上异于极点的动点，点P在射线OM
上，且|OP |、2岳、|OM|成等比数列。求点 P的轨迹C2的直角坐标方程。
解：因为|OP|、2挿、|OM|成等比数 列，所以 \OP | • |OM| =20。
方法一：由普通方程消参方法解决。 设 P （x, y ~） , M （xo, >o）,由题意得
一、典型例题分析 （2019全国U卷理22题）在极坐标系 中，O为极点，点 MS。，。。），"〉。在曲线C： p = 4sin &上，直线I过点A （4,0）且与OM 垂 直，垂足为点Po
⑴当00
时，求®及2的极坐标方程；
（2）当 M 在C上运动且P 在线段OM 上时，求点P轨迹的极坐标方程。
方法一：使用极坐标方法。 解：（1）因为点M（Qo，%）在C上，当弘=
df
J P
y_ = y± 、工 JD0
的轨迹方程为y = 5。 方法二：应用直线参数方程的几何意义
解答。
= Xcos a ,
设直线的参数方程为
"为
\y = Zsin a
参数〉，代入圆的方程得I OM | =“ =4sina,
所以|OP |
20 _ 20 | OM | 4sin a
障碍分析 2020年1月
也来说一说极坐标系与参数方程的题型与解题策略
■李刚
坐标系与参数方程是数学选修4-4的内 容，是不分文理的选考内容，与不等式内容相 比，选做坐标系与参数方程的考生历年来都 偏多。高三复习备考应强化互化（消参），突 出应用，突破用“极”“直”还是“参”，以及何时 用效果更好。下面就对极坐标与参数方程的 题型和解题策略进行介绍，希望对同学们的 学习能有所帮助。
tz o设P （鼻，
x y ) » 贝U y
y
20 4sin a
cos a ,
20 4sin a
•
sin a
5cos a sin a 即
9=5,
点P的轨迹方程为y = 5。 作者单位：安徽省合肥市第六中学
20
数，又| OP | = 4cos 0 ,所以设 P （工，y ）,则
jc = 4cos Ocos 0,
y = 4cos Osin 0。
所以 qcos 0 = 4cos 6cos 0 或 psin 0 =
4cos 8sin&,即 q = 4cos0,OW
二、实战训练 在平面直角坐标系My中，以坐标原点 为极点，工轴正半轴为极轴建立极坐标系。
奇时,po = 4sin奇=2由已知得I OP | =
| OA | cos y = 2o 设 Q(q,0)为 2 上除 P 外 的任意一点，在 RtAOPQ 中，QCOs（°-^） = \OP\= 2,经检验，点 P（2,守）在曲线 pcos（0-晋）上。所以I的极坐标方程为
（2）设
在 RtAOAP 中，|OP| =
I OA | cos 0 = 4cos 0,即 p = 4cos&c 因为点 P
在线段OM上，且AP丄OM,故0的取值范
围是［于’今］。所以，点P轨迹的极坐标方
程为 q = 4cos 8 ,e w ［于倚］。
方法二：使用参数方程处理。
解：⑴略。
(x = icos 0,
(2)设OM的方程为
t为参
= /sin 0 ,
曲线 G 的极坐标方程为p = 4sin&, M 为曲 线G 上异于极点的动点，点P在射线OM
上，且|OP |、2岳、|OM|成等比数列。求点 P的轨迹C2的直角坐标方程。
解：因为|OP|、2挿、|OM|成等比数 列，所以 \OP | • |OM| =20。
方法一：由普通方程消参方法解决。 设 P （x, y ~） , M （xo, >o）,由题意得
一、典型例题分析 （2019全国U卷理22题）在极坐标系 中，O为极点，点 MS。，。。），"〉。在曲线C： p = 4sin &上，直线I过点A （4,0）且与OM 垂 直，垂足为点Po
⑴当00
时，求®及2的极坐标方程；
（2）当 M 在C上运动且P 在线段OM 上时，求点P轨迹的极坐标方程。
方法一：使用极坐标方法。 解：（1）因为点M（Qo，%）在C上，当弘=
df
J P
y_ = y± 、工 JD0
的轨迹方程为y = 5。 方法二：应用直线参数方程的几何意义
解答。
= Xcos a ,
设直线的参数方程为
"为
\y = Zsin a
参数〉，代入圆的方程得I OM | =“ =4sina,
所以|OP |
20 _ 20 | OM | 4sin a