北师大新版八年级上册《2

北师大新版八年级上册《2.7 二次根式》2021年同步练习
卷（2）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 下列根式2√xy ，√8，√ab
2
，√
3xy 5
，√x +y ，√1
2
中，最简二次根式的个数是( )
A. 2个
B. 3个
C. 6个
D. 5个
2. 当√a−2有意义时，a 的取值范围是( )
A. a ≥2
B. a >2
C. a ≠2
D. a ≠−2
3. 把√1
27
化成最简二次根式为( )
A. 27√27
B. 1
27√27
C. 1
3√3
D. 1
9√3
4. 下列结论中，对于实数a 、b ，成立的个数有( )
①√ab =√a ⋅√b ；√b √a
=√b
a
；③√a 2=±a ；④√a 4=a 2．
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
5. 要使等式√x +2⋅√x −3=0成立的x 的值为( )
A. −2
B. 3
C. −2或3
D. 以上都不对
6. 计算2√12×√3
4
÷√3的结果是( )
A. √32
B. √34
C. √3
D. 2√3
7. 下列变形正确的是( )
A. √(−16)(−25)=√−16×√−25
B. √1614=√16×√14=4×1
2
=2 C. √(a +b)2=|a +b|
D. √252−242=25−24=1
8. 已知a =2，b =−1.则代数式√12a ÷√1−b 的值为( )
A. 2√6
B. 2√2
C. 2√3
D. 3√2
9. 把a√−1
a
根号外的因式移入根号内的结果是( )．
A. √−a
B. −√−a
C. √a
D. −√a
10. 已知√25−x 2−√15−x 2=2，则√25−x 2+√15−x 2的值为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 比较大小：√3−1
2
______1
2，3√2______2√3．
12. 计算：√18+√32=______．
13. 下列二次根式√5a ，√2a 3，√a 2+1，√8x ，√2
5中，最简二次根式有______个．
14. 计算：√2x 3y 5⋅√8
xy (x >0)= ______ ．
15. 若√x −√33+|y −√3|=0，那么(xy)2020的值为______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分） 16. 计算：
(1)√48−3√27+√13．
(2)(3√2−2√3)(−3√2−2√3).
四、解答题（本大题共2小题，共16.0分） 17. 化简：
(1)√54×√1
2+√12． (2)√27−2√3−√48．
(3)(3√18+1
5√50−4√1
2)÷√32． (4)√2×(√2√2)−
√18−√8
√2
．
18.观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：化简：
√2+1=√2−1
(√2+1)(√2−1)
=√2−1
(√2)2−1
=
√2−1 1=√2−1，则
√3+√2
=√3−√2，
√4+√3
=√4−√3，
√5+√4
=√5−√4….
(1)请直接写出下列式子的值：
√6+√5=______；
√100+√99
=______．
(2)请利用材料给出的结论，计算：
√2+1√3+√2√4+√3⋯+
√100+√99
的值；
(3)请利用材料提供的方法，计算
√3+1√5+√3√7+√5⋯+
√101+√99
的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：2√xy符合最简二次根式的条件；
√8=2√2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
√ab
2=√2ab
2
，被开方数含分母，不是最简二次根式；
√3xy
5=√15xy
5
，被开方数含分母；不是最简二次根式；
√x+y符合最简二次根式的条件；
√1 2=√2
2
，被开方数含分母；不是最简二次根式；
因此只有2√xy，√x+y两个符合条件．
故本题选择A．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】B
【解析】解：根据二次根式的意义，被开方数a−2≥0，解得a≥2；
根据分式有意义的条件，a−2≠0，解得a≠2．
∴a>2.故选B．
本题主要考查代数式中字母的取值范围，代数式中主要有二次根式和分式两部分．
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查最简二次根式的概念，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
根据最简二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】
解：原式=√3
9
，
故选：D．
4.【答案】C
【解析】解：①当a、b均为负时，√a、√b无意义，
∴①不成立；
②∵在√b
√a
中，a>0，b≥0，
∴b
a
≥0，
∴√b
√a =√b
a
，②成立；
③∵√a2=|a|，
∴③不成立；
④∵√a4=|a2|=a2，
∴④成立．
综上可知：成立的结论有②④．
故选：C．
根据二次根式有意义的条件结合二次根式的乘除法及二次根式的性质逐一分析四条结论的正误，由此即可得出结论．
本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的乘除法以及二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的乘除法及二次根式的性质是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：要使等式√x+2⋅√x−3=0成立，
则x+2=0或x−3=0，
解得x=−2或x=3．
x=−2不合题意舍弃，
所以x=3
故选：B．
根据两个数的积为0，这两个数中至少一个为0求出x的值．
本题考查了二次根式为0的条件．若两个因数的积为0，则这两个因数中至少有一个为0．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除法法则．
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】
解：原式=1
2√36×
√3
，
=
√3
，
=√3，
故选C．
7.【答案】C
【解析】解：A、√(−16)×(−25)=√16×25=√16×√25=4×5=20，√(−16)×(−25)≠√−16×√−25，故本选项不符合题意；
B、√161
4=√65
4
=√65
2
，故本选项不符合题意；
C、√(a+b)2=|a+b|，故本选项符合题意；
D、√252−242=√(25+24)×(25−24)=√49=7，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的性质和二次根式的乘除法则求出每个式子的值，再判断即可．
本题考查了二次根式的性质和二次根式的乘除法则，能熟练地运用二次根式的乘除法则进行计算是解此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：把a=2，b=−1代入得：原式=√24÷√2=2√3，
故选：C．
把a与b的值代入计算即可求出值．
此题考查二次根式的计算，关键是根据二次根式的性质计算解答．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．需注意二次根式的双重非负性，a≥0，√a≥0．
本题需注意的是a的符号，根据被开方数不为负数可得出a<0，因此需先将a的负号提出，然后再将a移入根号内进行计算．
【解答】
解：∵a<0，
∴a√−1
a =−√a2×(−1
a
)=−√−a；
故选B．
10.【答案】C
【解析】解：∵√25−x2−√15−x2=2，
∴√25−x2=2+√15−x2，
两边平方得，25−x2=4+15−x2+4√15−x2，即4√15−x2=6，2√15−x2=3，
两边再平方得，4(15−x2)=9，
化简，得x2=123
4
，
把x2=123
4
代入√25−x2+√15−x2，
得√25−(1234)2+√15−(123
4)2，
=√121
4
+√21
4
，
=72+3
2， =5， 故选C ．
解法二：∵(√25−x 2−√15−x 2)⋅(√25−x 2+√15−x 2)=10，√25−x 2−√15−x 2=2，
∴√25−x 2+√15−x 2=5．
根据题意，√25−x 2−√15−x 2=2，变形为√25−x 2=2+√15−x 2，两边平方得x 2=123
4
，代入求值即可．
本题考查了分母有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．
11.【答案】< >
【解析】解：(1)∵√3−12
−1
2=
√32
−1<0，
∴√3−12
<1
2．
(2)(3√2)2=18，(2√3)2=12， ∵18>12， ∴3√2>2√3． 故答案为：<、>．
(1)比较出两个数的差的正负，即可判断出它们的大小关系．
(2)首先比较出两个数的平方的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出原来的两个数的大小关系即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个正实数，平方大的，这个数也大．
12.【答案】7√2
【解析】 【分析】
此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握法则是解本题的关键，属于基础题． 原式两项化为最简二次根式，合并即可得到结果． 【解答】
解：原式=3√2+4√2=7√2． 故答案为：7√2．
13.【答案】2
【解析】解：二次根式√5a ，√2a 3，√a 2+1，√8x ，
√2
5中，最简二次根式有：√5a ，√a 2+1，共2个． 故答案为：2．
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．
14.【答案】4xy 2
【解析】解：√2x 3y 5⋅√
8xy
(x >0)
=√
2x 3y 5×8
xy =√16x 2y 4
=4xy 2． 故答案为：4xy 2．
直接利用二次根式的性质，进而化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键．
15.【答案】1
【解析】解：∵√33
|y −√3|=0，
而√33
≥0，|y −√3|≥0，
∴x−√3
3
=0，y−√3=0，
∴x=√3
3
，y=√3，
∴(xy)2020=(√3
3
×√3)2020=12020=1．
故答案为：1．
直接利用非负数的性质得出x，y的值，再利用有理数的乘方运算法则进而得出答案．此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=4√3−3×3√3+√3
3
=4√3−9√3+√3
3
=−14√3
3
；
(2)原式=(−2√3)2−(3√2)2
=12−18
=−6．
【解析】(1)先化简二次根式，然后先算乘法，再合并同类二次根式；
(2)利用平方差公式进行计算．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质正确化简各数，掌握平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2的结构是解题关键．
17.【答案】解：(1)√54×√1
2
+√12
=√27+2√3
=3√3+2√3
=5√3；
(2)√27−2√3−√48
=3√3−2√3−4√3
=−3√3；
(3)(3√18+1
5√50−4√1
2
)÷√32
=(9√2+5√2
5
−2√2)÷4√2 =(9√2+√2−2√2)÷4√2
=8√2÷4√2
=2；
(4)√2×(√2+√2)√18−√8√2 =2+1−(√9−√4)
=2+1−3+2
=2．
【解析】(1)根据二次根式的乘法和加法可以解答本题；
(2)先化简，然后合并同类二次根式即可；
(3)先化简，然后根据二次根式的加减法和除法即可解答本题；
(4)根据二次根式乘除法和减法可以解答本题．
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算顺序和运算法则．
18.【答案】√6−√5 10−3√11
【解析】解：√6+√5=√6−√5，√100+√99=√100−√99=10−3√11， 故答案为：√6−√5，10−3√11；
√2+1√3+√2+√4+√3⋯√100+√99
=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√100−√99
=√100−1
=10−1
=9；
√3+1√5+√3+√7+√5⋯√101+√99 =12×(√3−1+√5−√3+√7−√5+⋯+√101−√99)
=1
2×(√101−1)
=√101−12． (1)根据题目中的式子，可以直接写出相应的结果；
(2)根据题目中的例子，对所求式子先分母有理化，然后再加减即可；
(3)仿照第(2)小题，对所求式子先分母有理化，然后再加减即可．
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算顺序和运算法则．。