2020-2021青岛备战中考数学二次函数的综合热点考点难点

2020-2021青岛备战中考数学二次函数的综合热点考点难点
一、二次函数
1．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．
【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣1
2
，﹣
9
4
a）；（2）
27327
48
a
a
--；（3）
2≤t＜9
4
．
【解析】
【分析】
（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），
∴a+a+b=0，即b=-2a，
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+1
2
）2-
9
4
a
，
∴抛物线顶点D 的坐标为（-1
2，-94a ）； （2）∵直线y=2x+m 经过点M （1，0）， ∴0=2×1+m ，解得m=-2，
∴y=2x-2， 则2222y x y ax ax a -⎧⎨+-⎩
＝＝， 得ax 2+（a-2）x-2a+2=0，
∴（x-1）（ax+2a-2）=0，
解得x=1或x=2a
-2， ∴N 点坐标为（
2a
-2，4a -6）， ∵a ＜b ，即a ＜-2a ，
∴a ＜0， 如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ，
∵抛物线对称轴为122a x a =-
=-， ∴E （-12
，-3）， ∵M （1，0），N （
2a
-2，4a -6）， 设△DMN 的面积为S ， ∴S=S △DEN +S △DEM =
12
|（ 2a -2）-1|•|-94a -（-3）|=274−3a −278a ， （3）当a=-1时， 抛物线的解析式为：y=-x 2-x+2=-（x+12
）2+94，
由
22
2
y x x
y x
⎧=--+
⎨
=-
⎩
，
-x2-x+2=-2x，
解得：x1=2，x2=-1，
∴G（-1，2），
∵点G、H关于原点对称，
∴H（1，-2），
设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，-x2-x+2=-2x+t，
x2-x-2+t=0，
△=1-4（t-2）=0，
t=9
4
，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），
把（1，0）代入y=-2x+t，
t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜9
4
．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
2．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.
(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?
(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?
【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．
【解析】
【分析】
（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．
（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．
【详解】
解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，
解得：x＝40，
60﹣40＝20元，
答：这一星期中每件童装降价20元；
（2）设利润为w，
根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．
（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；
（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标；
（Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；（2）Q553）M （1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．
【解析】
【分析】
(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；
(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；
(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.
【详解】
（Ⅰ）设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，
∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，
令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，
解得x=﹣1或5，
∴A（﹣1，0），B（5，0）．
（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．
把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，
得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，
∴m=5或5
（舍弃），
∴Q（5，45）．
（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．
①当MK=OA，NK=OC=5时，四边形ACNM是平行四边形．
∵此时点M的横坐标为1，
∴y=8，
∴M（1，8），N（2，13），
②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形，
此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.
4．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）
两点，且抛物线与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出C 、D 两点的坐标
（3）在第四象限抛物线上有一点P ，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标．
【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3;（2）C （0，﹣3）,D （0，﹣1）;（3）P （2，﹣2）.
【解析】
【分析】
（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得抛物线解析式． （2）当x ＝0时可求C 点坐标，求出直线AB 解析式，当x ＝0可求D 点坐标． （3）由题意可知P 点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P 点横坐标．
【详解】
解：（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入
y ＝ax 2
+bx ﹣3可得 304233a b a b --=⎧⎨+-=-⎩ 解得12a b =⎧⎨=-⎩
∴y ＝x 2﹣2x ﹣3
（2）把x ＝0代入y ＝x 2﹣2x ﹣3中可得y ＝﹣3∴C （0，﹣3）
设y ＝kx+b ，把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入
023k b k b -+=⎧⎨+=-⎩
解得11k b =-⎧⎨=-⎩
∴y ＝﹣x ﹣1
∴D （0，﹣1）
（3）由C （0，﹣3），D （0，﹣1）可知CD 的垂直平分线经过（0，﹣2）
∴P 点纵坐标为﹣2，
∴x 2﹣2x ﹣3＝﹣2
解得：x ＝2∵x ＞0∴x ＝2．
∴P （2，﹣2）
【点睛】
本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x ＝0代入二次函数解析式
和一次函数解析式可求图象与y 轴交点坐标，知道点P 纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线4
83y x =-
+与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，抛物线24y ax ax c =-+经过点A 和点B ，与x 轴的另一个交点为C ，动点D 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向O 点运动，同时动点E 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向A 点运动，设运动的时间为t 秒，0﹤t ﹤5.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t 为何值时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△AOB 相似；
（3）当△ADE 为等腰三角形时，求t 的值； （4）抛物线上是否存在一点F ，使得以A 、B 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F 点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）抛物线的解析式为228833y x x =-
++； （2）t 的值为
3011或5013； （3）t 的值为103或6017或258
； （4）符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(227F +，-8）.
【解析】
（1）由B 、C 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用△ADE ∽△AOB 和△AED ∽△AOB 即可求出t 的值；（3）过E 作EH ⊥x 轴于点H ，过D 作DM ⊥AB 于点M 即可求出t 的值；（4）分当AD 为边时，当AD 为对角线时符合条件的点F 的坐标.
解：(1)A （6,0），B （0,8），依题意知36240{8a a c c -+==，解得2{38
a c =-=， ∴228833
y x x =-++. (2)∵ A （6,0），B （0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t ，AE=10-2t ，
①当△ADE ∽△AOB 时，
AD AE AO AB =，∴102610t t -=，∴3011t =； ②当△AED ∽△AOB 时，
AE AD AO AB =，∴102610t t -=，∴5013t =； 综上所述，t 的值为3011或5013
. (3) ①当AD=AE 时，t=10-2t ，∴103
t =； ②当AE=DE 时，过E 作EH ⊥x 轴于点H ，则AD=2AH ，由△AEH ∽△ABO 得，AH=()
31025t -，∴()
61025t t -=，∴6017t =
； ③当AD=DE 时，过D 作DM ⊥AB 于点M ，则AE=2AM ，由△AMD ∽△AOB 得，AM=35t ，∴61025t t -=，∴258
t =； 综上所述，t 的值为103或6017或258
. (4) ①当AD 为边时，则BF ∥x 轴，∴8F B y y ==，求得x=4，∴F （4，8）；
②当AD 为对角线时，则8F B y y =-=-，∴2288833x x -
++=-，解得2x =±
∵x ﹥0，∴
2x =+∴()
28+-.
综上所述，符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(2F +，-8）.
“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．
6．如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于A (1,0)-，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点22
1(6)()82x x -+=，点P 是抛物线上一动点． （1）求抛物线解析式及点D 的坐标；
（2）点E 在x 轴上，若以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标； （3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将CPQ V
沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）213222y x x =-++；点D 坐标为(32)，； （2）P 1(0,2)； P 2(412,-2)；P 3(3412
-,-2) ; （3）满足条件的点P 13 132），（13-132
）． 【解析】
【分析】
1)用待定系数法可得出抛物线的解析式,令y=2可得出点D 的坐标
(2)分两种情况进行讨论,①当AE 为一边时,AE ∥PD,②当AE 为对角线时,根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,求解点P 坐标
(3)结合图形可判断出点P 在直线CD 下方,设点P 的坐标为(a ，213222
a a -++),分情况讨论,①当P 点在y 轴右侧时,②当P 点在y 轴左侧时,运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可
【详解】
解：（1）∵抛物线22y ax bx =++经过A (1
0)-，，B (40)，两点， ∴2016420
a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：12a =-，32b =， ∴抛物线解析式为：213222
y x x =-++； 当2y =时，2132222
x x -++=，解得：13x =，20x =（舍），即：点D 坐标为(32)，．
（2）∵A ，E 两点都在x 轴上，∴AE 有两种可能：
①当AE 为一边时，AE ∥PD ，此时点P 与点C 重合（如图1），∴1(0,2)P ， ②当AE 为对角线时，P 点、D 点到直线AE （即x 轴）的距离相等，
∴P 点的纵坐标为2-（如图2），
把2y =-代入抛物线的解析式，得：2132222x x -++=-， 解得：1341x +=，23412x -=， ∴P 点的坐标为3+41(
2)2-，，341(2)--，， 综上所述：1(0,2)P ； 2P 3+41(
2)2-，；3P 341(2)--， ． （3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方，设直线PQ 交x 轴于F ， 点P 的坐标为（a ，213222
a a -
++）， ①当P 点在y 轴右侧时（如图3），
p CQ x a ==，
2132(2)22
c p PQ y y a a =-=--++=21322a a -， 又∵CQ O FQ P ''∠+∠=18018090CQ P PQC '︒-∠=︒-∠=︒， 90CQ O OCQ ''∠+∠=︒∴FQ P OCQ ''∠=∠,
又90COQ Q FP ''∠=∠=︒，∴COQ Q FP ''V :V ， ∴'''Q C Q P CO Q F =，
∵Q C CQ a '==，2CO =，Q P PQ '==213
22
a a -，
∴213222'a a a Q F
-=，∴'3Q F a =-，
∴(3)OQ OF Q F a a ''=-=--3=，CQ ＝CQ '＝2222'2313CO OQ +=+=，
即13a =，∴点p 的坐标为（13，913
-+）， ②当p 点在y 轴左侧时（如图4），
此时0a <，213
2022
a a -
++<，CQ ＝P x ＝a -， PQ ＝2－（213
222
a a -++）＝21322a a -，
又∵90CQ O FQ P CQ P PQC '''∠+∠=∠=∠=︒，90CQ O OCQ ''∠+∠=︒，
∴FQ P OCQ ''∠=∠，又90COQ Q FP ''∠=∠=︒ ∴COQ Q FP ''V :V ，∴
'''Q C Q P
CO Q F
=， ∵Q C CQ a '==-，2CO =，Q P PQ '==
213
22
a a -， ∴213
222'a a
a Q F
--=，∴'3Q F a =-， ∴3()3OQ Q F OF a a ''=-=---=，
CQ ＝CQ '2222'2313CO OQ +=+=
此时13a =-，点P 的坐标为（13-，
913
--）． 综上所述，满足条件的点P 有两个，其坐标分别为：（13，
913
-+），（13-，913
--）． 【点睛】
此题考查二次函数综合题，解题关键在于运用待定系数法的出解析式，难度较大
7．如图甲，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ． （1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图乙、丙供画图探
究）．
【答案】（1）y=x 2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣
2
）；（3）E 点坐标为（
，
）时，△CBE 的面积最大．
【解析】
试题分析：（1）由直线解析式可求得B 、C 坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由抛物线解析式可求得P 点坐标及对称轴，可设出M 点坐标，表示出MC 、MP 和PC 的长，分MC=MP 、MC=PC 和MP=PC 三种情况，可分别得到关于M 点坐标的方程，可求得M 点的坐标；
（3）过E 作EF ⊥x 轴，交直线BC 于点F ，交x 轴于点D ，可设出E 点坐标，表示出F 点的坐标，表示出EF 的长，进一步可表示出△CBE 的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E 点的坐标．
试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ， ∴B （3，0），C （0，3）， 把B 、C 坐标代入抛物线解析式可得
，解得
，
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），
设M（2，t），且C（0，3），
∴MC=，MP=|t+1|，PC=，
∵△CPM为等腰三角形，
∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，
①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；
②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；
③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣
1+2）或（2，﹣1﹣2）；
综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；
（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，
设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），
∵0＜x＜3，
∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，
∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），
即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．
考点：二次函数综合题．
8．如果一条抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线系数”．(1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是(填“真”或“假”)命题；
(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；
(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b ，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；
(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A ，与x 轴交于O ，B 两点，在抛物线上是否存在一点P ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，使得△BPQ ∽△OAB ？如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）假；（2
）3）y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ；（4）P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3）或（－1，1）． 【解析】
分析：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，由此可得出结论；
（2）根据“抛物线三角形”定义得到2
2y x =-，由此可得出结论；
（3）根据“抛物线三角形”定义得到y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；
当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形， 由抛物线顶点为（b ，b 2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到
21
22
b b =
⨯，解方程即可得到结论； （4）分两种情况讨论：①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时，②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时． 详解：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；
（2）由题意得：2
2y x =-，令y =0，得：x
=，∴ S
=1
22
⨯=12x x ；
（3）依题意：y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）； 当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．
∵y ＝－x 2＋2bx =22()x b b --+，∴顶点为（b ，b 2），由直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半得到：2
1
22
b b =
⨯，∴2b b =，解得：b ＝0（舍去）或b ＝±1， ∴y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ．
（4）①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时．
∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，
∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2＋2a ），∴Q （（a ，0），
则｜－a 2＋2a ｜＝｜2－a ｜，即(2)2a a a -=-．
∵a －2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，1）或（－1， －3）． ②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时．
∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，
∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2－2a ），∴Q （（a ，0）， 则｜－a 2－2a ｜＝｜2+a ｜，即(2)2a a a +=+．
∵a +2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，－3，）或（－1，1）． 综上所述：P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3，）或（－1，1）．
点睛：本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．
9．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；
（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；
②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2
y x 2x 3=--+.
（2）3210. （3）①2S m 4m 3=---.
②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）. 【解析】 【分析】
（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.
（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.
（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可. 【详解】
解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0）， ∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.
又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-. ∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+.
（2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值. ∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小. ∵点A 、点B 关于对称轴I 对称， ∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.
∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.
∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴AC=32，BC=10. ∴△PBC 的周长最小是：3210+.
（3）①∵抛物线2
y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），
∴直线AD 的解析式为y=2x+6
∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+） ∴()2
2
EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---.
∴
()
22DEF AEF 1111
S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 3
2222
∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.
∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---. ②()2
2S m 4m 3m 21=---=-++，
∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx ﹣3（a≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，
另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ：S △PBQ =5：2，求K 点坐标．
【答案】（1）y=3
8x 2﹣34
x ﹣3
（2）运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是9
10
（3）K 1（1，﹣278
），K 2（3，﹣158）
【解析】 【详解】
试题分析：（1）把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣9
10
（t ﹣1）2+
9
10
．利用二次函数的图象性质进行解答； （3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=3
4
x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征
可设点K 的坐标为（m ，3
8m 2﹣34
m ﹣3）．
如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =
9
4．则根据图形得到：S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12
•EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣
34m 2+3m=9
4．易求得K 1（1，﹣278
），K 2（3，﹣158）．
解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得
4230
16430a b a b --=⎧⎨
+-=⎩
， 解得3834a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
所以该抛物线的解析式为：y=3
8x 2﹣34
x ﹣3；
（2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ． ∴PB=6﹣3t ．
由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）．
在Rt △BOC 中，
BC=2234+=5． 如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．
∴QH ∥CO ， ∴△BHQ ∽△BOC ， ∴
HB OC BG
BC
=，即
Hb 35
t
=，
∴HQ=
35
t ． ∴S △PBQ =12PB•HQ=12（6﹣3t ）•35t=﹣910t 2+9
5t=﹣910（t ﹣1）2+910
．
当△PBQ 存在时，0＜t ＜2 ∴当t=1时，
S △PBQ 最大=
910
． 答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910
； （3）设直线BC 的解析式为y=kx+c （k≠0）． 把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得
40
3k c c +=⎧⎨
=-⎩
， 解得3k 4c 3
⎧=⎪⎨⎪=-⎩，
∴直线BC 的解析式为y=3
4
x ﹣3． ∵点K 在抛物线上．
∴设点K 的坐标为（m ，3
8
m 2﹣
3
4
m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，
3
4
m ﹣3）．
∴EK=3
4
m﹣3﹣（
3
8
m2﹣
3
4
m﹣3）=﹣
3
8
m2+
3
2
m．
当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=
9 10
．
∴S△CBK=9
4
．
S△CBK=S△CEK+S△BEK=1
2
EK•m+
1
2
•EK•（4﹣m）
=1
2
×4•EK
=2（﹣3
8
m2+
3
2
m）
=﹣3
4
m2+3m．
即：﹣3
4
m2+3m=
9
4
．
解得 m1=1，m2=3．
∴K1（1，﹣27
8
），K2（3，﹣
15
8
）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．
11．如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，
∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N, FN⊥BC．
（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？
（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.
【答案】（1）AE=EF ；（2）①y=
-12
x 2
+2x （0＜x ＜4)，②当x=2,y 最大值=2. 【解析】 【分析】
（1）在AB 上取一点G ，使AG=EC ，连接GE ，利用ASA ，易证得：△AGE ≌△ECF ，则可证得：AE=EF ；
（2）同（1）可证明AE=EF ，利用AAS 证明△ABE ≌△ENF ，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE ，再表示出EC ，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF 的面积为y ，然后整理再根据二次函数求解最值问题． 【详解】
（1）如图，在AB 上取AG=EC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=BC ，
有∵AG=EC ，∴BG=BE ， 又∵∠B=90°， ∴∠AGE=135°，
又∵∠BCD=90°，CP 平分∠DCN ， ∴∠ECF=135°，
∵∠BAE ＋∠AEB=90°，∠AEB ＋∠FEC=90°， ∴∠BAE=∠FEC ， 在△AGE 和△ECF 中，
AGE ECF AG EC
GAE CEF ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
, ∴△AGE ≌△ECF ， ∴AE=EF ；
(2)①∵由（1）证明可知当E 不是中点时同理可证AE=EF ， ∵∠BAE=∠NEF ，∠B=∠ENF=90°， ∴△ABE ≌△ENF ， ∴FN=BE=x ， ∴S △ECF =1
2
(BC-BE)·FN ， 即y=
1
2
x(4-x ）， ∴y=-
12
x 2
+2x （0＜x ＜4)， ②()
()2
22111y x 2x x 4x x 22222
=-
+=--=--+， 当x=2，y 最大值=2. 【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、
()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有
P 点的坐标，若不存在请说明理由.
【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当2
3
x =-时，ADE ∆的面积取得最大值50
3
；（3）P 点的坐标为()1,1-，(
1,11-，(1,219--. 【解析】
分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；
（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可．
详解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴
1640 420
6
a b c
a b c
c
-+=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪=
⎩
，
解得：
3 4 3 2 6
a
b
c
⎧
=-
⎪
⎪
⎪
=-
⎨
⎪
=
⎪
⎪⎩
，
所以二次函数的解析式为：y=2
33
6
42
x x
--+；
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=
1
2
2
x
--，
过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，设D（m，2
33
6
42
m m
--+），则点F（m，
1
2
2
m
--），
∴DF=2
33
6
42
m m
--+﹣（
1
2
2
m
--）=2
3
8
4
m m
--+，
∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=1
2
×DF×AG+
1
2
DF×EH
=
1
2
×DF×AG+
1
2
×DF×EH
=
1
2
×4×DF
=2×（2
384m m -
-+） =2
325023
3
m -++（）， ∴当m =23-
时，△ADE 的面积取得最大值为503
． （3）y =233
642
x x -
-+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求PA =29n +，PE =212n ++（），AE =16425+=，分三种情况讨论： 当PA =PE 时，29n +=212n ++（）
，解得：n =1，此时P （﹣1，1）； 当PA =AE 时，29n +=16425+=，解得：n =11±，此时点P 坐标为（﹣1，
11±）；
当PE =AE 时，212n ++（）
=16425+=，解得：n =﹣219±，此时点P 坐标为：（﹣1，﹣219±）．
综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，11±），（﹣1，﹣219±）． 点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．
13．如图①，抛物线2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，已知ABC ∆的面积为6. (1)求a 的值；
(2)求ABC ∆外接圆圆心的坐标；
(3)如图②，P 是抛物线上一点，点Q 为射线CA 上一点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，QPB ∆的面积为2d ，且PAQ AQB ∠=∠，求点Q 的坐标.
【答案】(1)-3；(2)坐标(-1，1)；(3)Q ()4,1-. 【解析】 【分析】
（1）利用抛物线解析式得到A 、B 、C 三点坐标，然后利用三角形面积公式列出方程解出
a ；（2）利用第一问得到A 、B 、C 三点坐标，求出AC 解析式，找到AC 垂直平分线的解析式，与AB 垂直平分线解析式联立，解出x 、y 即为圆心坐标；（3）过点P 做PD ⊥x 轴，PD =d ，发现△ABP 与△QBP 的面积相等，得到A 、D 两点到PB 得距离相等，可得AQ PB ∥，求出PB 解析式，与二次函数解析式联立得到P 点坐标，又易证
ABQ QPA ∆∆≌，得到BQ =AP =26，设出Q 点坐标，点与点的距离列出方程，解出Q 点坐
标即可 【详解】
(1)解：由题意得()()1y x x a =--- 由图知：0a ＜
所以A (,0a )，()10
B ,,()0,
C a - ()()1
12
ABC S a a ∆=
-⋅-=6 34()a a =-=或舍
∴
3a =-
(2)由(1)得A (-3,0)，()10
B ,,()0,3
C ∴直线AC 得解析式为：3y x =+
AC 中点坐标为33,22⎛⎫-
⎪⎝
⎭ ∴AC 的垂直平分线为：y x =-
又∵AB 的垂直平分线为：1x =- ∴1y x x =-⎧⎨
=-⎩ 得1
1x y =-⎧⎨=⎩
ABC ∆外接圆圆心的坐标(-1，1). (3)解：过点P 做PD ⊥x 轴 由题意得：PD =d ，
∴1
2
ABP S PD AB ∆=⋅
=2d
∵QPB ∆的面积为2d
∴ABP BPQ S S ∆∆=，即A 、D 两点到PB 得距离相等 ∴AQ PB ∥
设PB 直线解析式为;y x b =+过点(1,0)B ∴1y x =- ∴2
123y x y x x =-⎧⎨
=--+⎩易得45x y =-⎧⎨=⎩ 1
()0
x y =⎧⎨=⎩舍 所以P (-4,-5),
由题意及PAQ AQB ∠=∠ 易得：ABQ QPA ∆∆≌ ∴BQ =AP =26 设Q (m ，-1)(0m ＜) ∴()2
21126m -+=
4m =-
∴Q ()4,1-. 【点睛】
本题考查二次函数综合性问题，涉及到一次函数、三角形外接圆圆心、全等三角形等知识点，第一问关键在于用a 表示出A 、B 、C 三点坐标；第二问关键在于找到AC 垂直平分线的解析式，与AB 垂直平分线解析式；第三问关键在于能够求出PB 的解析式
14．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线（
）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：
与
y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD=4AC ．
（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k ，b 用含a 的式子表示）； （2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为，求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．
【解析】
试题分析：（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令
，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标
为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），
EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，所以
，解得；
（3）令，即，解得，，得到D （4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．
试题解析：（1）∵=，令y=0，得到，，∴A（－1，0），B（3，0），∵直线l经过点A，∴，，∴，令
，即，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴，∴，∴直线l的函数表达式为；
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），
EF＝=，
S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝
＝＝，
∴△ACE的面积的最大值为，∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得
；
（3）令，即，解得，，∴D（4，5a），∵，∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），
①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴，
∴，即，∵，
∴，∴P1（1，）；
②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，），m ＝，则P（1，8a），∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，
∴，∴，即，∵，∴，∴P2（1，－4）．
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．
考点：二次函数综合题．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=1
2
x2+
3
2
x﹣2与x轴交于A，B两点（点A
在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC．
（1）求直线l的解析式；
（2）若直线x=m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接
OD ．当OD ⊥AC 时，求线段DE 的长；
（3）取点G （0，﹣1），连接AG ，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P ，使∠BAP=∠BCO ﹣∠BAG ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=122x -
-；（2）DE=3225
；（3）存在点P （139，98
81），使∠BAP=∠BCO ﹣∠BAG ，理由见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据题目中的函数解析式可以求得点A 和点C 的坐标，从而可以求得直线l 的函数解析式；
（2）根据题意作出合适的辅助线，利用三角形相似和勾股定理可以解答本题；
（3）根据题意画出相应的图形，然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC=∠OCB ，然后根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题． 【详解】 （1）∵抛物线y=
12x 2+3
2
x-2， ∴当y=0时，得x 1=1，x 2=-4，当x=0时，y=-2，
∵抛物线y=
12x 2+3
2
x-2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ， ∴点A 的坐标为（-4，0），点B （1，0），点C （0，-2）， ∵直线l 经过A ，C 两点，设直线l 的函数解析式为y=kx+b ，
402k b b -+⎧⎨
-⎩＝＝，得122
k b ⎧
-
⎪⎨⎪-⎩＝＝， 即直线l 的函数解析式为y=−
1
2
x−2； （2）直线ED 与x 轴交于点F ，如图1所示，
由（1）可得，
AO=4，OC=2，∠AOC=90°， ∴5 ∴45
525
=， ∵OD ⊥AC ，OA ⊥OC ，∠OAD=∠CAO ， ∴△AOD ∽△ACO ， ∴AD AO
AO AC
＝， 即
425AD ＝，得85， ∵EF ⊥x 轴，∠ADC=90°， ∴EF ∥OC ， ∴△ADF ∽△ACO ， ∴
AF DF AD AO OC AC
＝＝， 解得，AF=16
5，DF=85
， ∴OF=4-165=45
， ∴m=-45
， 当m=-45时，y=12×（−45）2+32×（-45）-2=-7225
，
∴EF=
7225
， ∴DE=EF-FD=
7225−85＝3225
； （3）存在点P ，使∠BAP=∠BCO-∠BAG ，
理由：作GM ⊥AC 于点M ，作PN ⊥x 轴于点N ，如图2所示，
∵点A （-4，0），点B （1，0），点C （0，-2），
∴OA=4，OB=1，OC=2，
∴tan ∠OAC=
2142OC OA ＝＝，tan ∠OCB=12
OB OC ＝，5， ∴∠OAC=∠OCB ，
∵∠BAP=∠BCO-∠BAG ，∠GAM=∠OAC-∠BAG ，
∴∠BAP=∠GAM ， ∵点G （0，-1），5OA=4，
∴OG=1，GC=1，
∴17，
••22AC GM CG OA ＝25?142GM ⨯， 解得，25， ∴22AG GM -222595(17)()55
-=， ∴tan ∠GAM=25
259
95GM AM =， ∴tan ∠PAN=29
， 设点P 的坐标为（n ，
12n 2+32n-2）， ∴AN=4+n ，PN=12n 2+32
n-2， ∴2132222 49
n n n +-+＝， 解得，n 1=139
，n 2=-4（舍去），
当n=13
9
时，
1
2
n2+
3
2
n-2=
98
81
，
∴点P的坐标为（13
9，
98
81
），
即存在点P（13
9
，
98
81
），使∠BAP=∠BCO-∠BAG．
【点睛】
本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似、锐角三角函数和二次函数的性质解答．。