湖南省邵阳市邵东一中2018_2019学年高一数学下学期期中试题

湖南省邵东一中2019年上学期高一年级期中考试试题
数学
分值：120分 时量：120分钟
一．选择题（本大题包括12小题，每小题4分，共48分。

下列各题四个选项中只有一个．．．．是最符合题意的。

）
1．某校高三级部分为甲、乙两个级部，现用分层抽样的方法从高三级部中抽取30名老师去参加教研会，已知乙级部中每个老师被抽到的可能性都为1
3，则高三级部的全体老师的个数为
( )
A ．10
B ．30
C ．60
D ．90
D [因为乙级部中每个老师被抽到的可能性都为1
3，所以高三年级中每个老师被抽到的可
能性都为13，由30÷1
3
＝90(人)，可得全体老师人数．]
2．如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（ ）
【答案】C
3．若直线与直线互相垂直,则等于( ) A ．1 B ．-1 C ．±1 D．-2 【答案】C
解：①当时，利用直线的方程分别化为：，，此时两条直线相互垂直． ②如果，两条直线的方程分别为与，不垂直，故； ③，当时，此两条直线的斜率分别为，． 两条直线相互垂直， ，化为， 综上可知：． 故选：．
4．设，则的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】试题分析：由题意可知，所以
5．P为圆上任一点，则P与点的距离的最小值是（）
A．1 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】
因为在圆外，且圆心与的距离等于，又P为圆上任一点，所以P与点的距离的最小值等于圆心与的距离减去半径，因此最小值为.
故选B
6．函数的零点所在的大致区间是( )
A．（1,2） B．（e，3） C．（2，e） D．（e，+∞）
【答案】C
【解析】解：函数的定义域为：（0，+∞），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．
又∵f(2)="ln2-1" =ln2-1＜0，f(e)=lne-2e =1-2e ＞0，∴f（2）•f（e）＜0，
∴函数f（x）="Inx-2"x 的零点所在的大致区间是（2，e）．
故选C
7．已知直线平面，直线平面，给出下列命题：①；
②；③；④．
其中正确命题的序号是（）
A．①③B．②③④C．②④D．①②③
【答案】A
【详解】
①中，因为直线平面，，所以直线平面，又直线平面，所以；故①正确；②中，因为直线平面，，所以或，又直线平面，所以与可能平行、重合或异面，故②错；③因为直线平面，，所以平面，又直线平面，所以，故③正确；④中，因为直线平面，，所以或，又直线平面，所以与平行或相交，所以④错；
故选A
8．在两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率为( )
A.1
2 B.1
3 C.14
D.15
B [所求事件构成的区域长度为2 m ，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m ，故灯与两端距离都大于2 m 的概率为26＝1
3
.]
9．在一次千米的汽车拉力赛中，名参赛选手的成绩全部介于分钟到分钟之间，将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，…，第五组，其频率分布直方图如图所示，若成绩在之间的选手可获奖，则这名选手中获奖的人数为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】D
由频率分布直方图知，成绩在内的频率为： ， 所以，成绩在内的人数为： （人）， 所以该班成绩良好的人数为11人． 故选D.
10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D
先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，所以基本事件总数为；因为，就称甲乙“心有灵犀”，所以任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”包含的基本事件有：，共16个基本事件， 所以任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为.
11．若圆：上有四个不同的点到直线：的距离为，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】C
【解析】将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心与半径，作出圆与直线的图象，数形结合可得圆心到的距离小于1时符合题意，由点到直线的距离公式可得结果. 【详解】
将圆： 化为标准方程为，
,半径为，过作直线的垂线，垂足为交圆于， 当即为1时，圆上有三个点到直线的距离为2， 当即时，圆上有四个点到直线的距离为2， 圆心到的距离小于1， 即，解得，
即的取值范围是,故选C.
12．已知函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A
对任意的，存在，使得，
等价于时的最小值大于时的最小值， 设，在上递增， . 当时，，. 当时，，
，综上可得，，故选A.
二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表：
根据上表可得线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为7.据此模型预测广告费用为10万元时销售额为________万元.
73.5 [由题表知，x －＝4.5，y －＝35，代入回归方程得a ^＝3.5，所以回归方程为y ^
＝7x ＋3.5，故当x ＝10时，y ^
＝7×10＋3.5＝73.5(万元)．]
14．如图，该程序运行后输出的结果为___________．【答案】45
15．当前的计算机系统多数使用的是二进制系统，数据在计算机中主要以补码的形式存储，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用“开”来表示1，“关”来表示0．则将十进制下的数168转成二进制的数是___________．
答案为：10101000（2）．
16．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为_______.
【答案】
【解析】试题分析：根据题意作出图形：
设球心为，过ABC三点的小圆的圆心为，则平面ABC，
延长交球于点D，则平面ABC.
∵，∴，∴高，
∵是边长为1的正三角形，∴，∴.
三．解答题
17．(本小题满分8分)已知点，，动点P满足．
若点P为曲线C，求此曲线的方程；
已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且与中的曲线C只有一个公共点，求直线l的方程．【答案】（1）（2）或．
设，
点，，动点P满足．
，
整理得：，曲线C方程为．
设直线l的横截距为a，则直线l的纵截距也为a，
当时，直线l过，设直线方程为．
把代入曲线C的方程，得：
，，
直线l与曲线C有两个公共点，已知矛盾；
当时，直线方程为，
把代入曲线C的方程，得：
，
直线l与曲线C只有一个公共点，，
解得，
直线l的方程为或．
18．(本小题满分8分)如图，某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了一项测试．这25位学生的考分编成的茎叶图，其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了（这里暂用x来表示），但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同．
（Ⅰ）求这两个班学生成绩的中位数及x的值；
（Ⅱ）如果将这些成绩分为“优秀”（得分在175分以上，包括175分）和“过关”，若学校再从这两个班获得“优秀”成绩的考生中选出3名代表学校参加比赛，求这3人中甲班至多有一人入选的概率．
【答案】（1） x=7；（2）
试题解析：（Ⅰ）甲班学生成绩的中位数为．
乙班学生成绩的中位数正好是150+x=157，故x=7；
（Ⅱ）用A表示事件“甲班至多有1人入选”．
设甲班两位优生为A，B，乙班三位优生为1，2，3．
则从5人中选出3人的所有方法种数为：
（A，B，1），（A，B，2），（A，B，3），（A，1，2），（A，1，3），（A，2，3），（B，1，2），（B，1，3），（B，2，3），（1，2，3）共10种情况，．8分
其中至多1名甲班同学的情况共（A，1，2），（A，1，3），（A，2，3），（B，1，2），（B，1，3），（B，2，3），（1，2，3）7种．
由古典概型概率计算公式可得P（A）=．
19．(本小题满分8分)如图，在三棱锥中,是边长为4的正三角形,是中点，平面平面, ,分别是的中点.
(1) 求证:.
(2) 求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析；（2）.
(1) 因为, ,
所以且,
所以平面.
又平面,所以.
(2) 因为,平面平面,平面平面,平面,
所以平面.又,是的中点,
所以,到平面的距离为,
又.
所以.
20．(本小题满分10分)已知以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点，其中为坐标原点。

（1）求证：的面积为定值；
（2）设直线与圆交于点，若，求圆的方程。

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）
【解析】（1），．
设圆的方程是
令，得；令，得]
，即：的面积为定值．
（2）垂直平分线段．
，直线的方程是
，解得：
当时，圆心的坐标为，，
此时到直线的距离，
圆与直线相交于两点．
当时，圆心的坐标为，，
此时到直线的距离
圆与直线不相交，
不符合题意舍去．
圆的方程为
21．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，已知AB ＝3，AD ＝2，
PA ＝2，PD ＝22，∠PAB ＝60°.
(1)求证：AD ⊥平面PAB ； (2)求二面角P －BD －A 的正切值．
[解析] (1)证明：在△PAD 中，∵PA ＝2，AD ＝2，PD ＝22， ∴PA 2
＋AD 2
＝PD 2
，∴AD ⊥PA ． 在矩形ABCD 中，AD ⊥AB ． ∵PA ∩AB ＝A ，∴AD ⊥平面PAB ．
(2)过点P 作PH ⊥AB 于点H ，过点H 作HE ⊥BD 于点E ，连结PE . ∵AD ⊥平面PAB ，PH ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥PH . 又∵AD ∩AB ＝A ，∴PH ⊥平面ABCD ． 又∵PH ⊂平面PHE ，∴平面PHE ⊥平面ABCD ． 又∵平面PHE ∩平面ABCD ＝HE ，BD ⊥HE ， ∴BD ⊥平面PHE .
而PE ⊂平面PHE ，∴BD ⊥PE ，
故∠PEH 是二面角P －BD －A 的平面角． 由题设可得，PH ＝PA ·sin60°＝3，
AH ＝PA ·cos60°＝1，BH ＝AB －AH ＝2， BD ＝AB 2＋AD 2＝13，HE ＝AD BD ·BH ＝4
13
.
∴在Rt △PHE 中，tan ∠PEH ＝PH HE ＝394
. ∴二面角P －BD －A 的正切值为394
. 22.(本小题满分12分)已知函数. (1)当时，求满足的的值；
(2)若函数是定义在R 上的奇函数，函数满足，若对任意且≠0,不等式恒成立，求实数m 的最大值。

解答：(1)当时，.
即，解得：或=−1(舍去)，
∴=2；
(2)若函数是定义在R上的奇函数，
则，即，
即，解得：，或
经检验满足函数的定义域为R，∴.
当≠0时,函数满足，
∴,(≠0)，则，
不等式恒成立，
即恒成立，
即恒成立，设，则，
即，恒成立，
由对勾函数的图象和性质可得：当时,取最小值。

故，即实数m的最大值为.。