一类七次多项式系统高次奇点的极限环分支与拟等时中心

合集下载

一类拟齐次多项式中心的极限环分支

ＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＧｕａｎｇｄｏｎｇＰｒｏｖｉｎｃｅｆ２０１５ＡＯ３Ｏ３ｌ３６６９，２０１５Ａ０３０３１０４２４）通讯作者
２
数学物理学报
Ｖｏ１．３８பைடு நூலகம்
的孤立零点的个数 Ⅳ（ｍ，ｎ，Ｈ，Ｐ，Ｑ）是多少？
这个问题实际上起源于对哈密顿系统进行单参数扰动产生极限环的研究．事实上，考虑
Ｋｈｏｖａｎｓｋｙ和Ｖａｒｃｈｅｎｋｏ分别在文献［３】和［４］证明了每个 Ⅳ（ｍ，ｎ，日，Ｐ，Ｑ）都是有限的．２０１０年，Ｂｉｎｙａｍｉｎｉ等人给出了Ｎ（ｎ＋１，ｎ）的双指数上界【５］．此外，有很多文献针对固定的日或某些特殊形式的户和国，获得 Ⅳ（ｍ，ｎ，Ｈ，Ｐ，国）的表达式，具体可参看文献［６］的介绍．其中，文献［７］探讨了Ｈ为拟齐次多项式的情形．随后，一些学者开始探讨更一般的拟齐次系统（不一定是哈密顿系统）在多项式扰动下的极限环分支，并获得了很好的结果，见文献『６，８－１０］．为了阐述这些工作，下面首先介绍一些相关的基本概念．
基金项目：国家自然科学基金（１１４０１２５５，１１４０１１１１，１１５７１３７９，１１７７１１０１）和广东省自然科学基金（２０１５Ａ０３０—
３１３６６９，２０１５Ａ０３０３１０４２４）ＳｕｐｐｏｒｔｅｄｂｙｔｈｅＮＳＦＣ（１１４０１２５５，１１４０１１ｌ１，１１５７１３７９，１１７７１ｉ０１）ａｎｄｔｈｅＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ
倘若允许Ｈ取遍所有ｎ＋１次多项式，而Ｐ和Ｑ取遍所有次数不超过＇／Ｔｔ的多项式（但保持ｍ＆ｘ（ｄｅｇＰ，ｄｅｇＱ）＝ｍ），得到｛Ⅳ（ｍ，ｎ，，Ｐ，Ｑ））的上确界Ｎ（ｍ，ｎ）．则显然 Ⅳ（ｍ，ｎ）是Ｈｉｌｂｅｒｔ数Ｈ（ｍａｘ｛ｒｎ，礼｝）的一个下界．因此，通过探索弱化的十六问题可以在一定程度上解决Ｈｉｌｂｅｒｔ第十六问题．但是，诚如Ｙａｋｏｖｅｎｋｏ在文献『２１中所言，寻找 Ⅳ（ｍ，ｎ）或其上界的表达式依然是一个富有挑战的课题．

常微分方程定性与稳定性方法

谢谢观看
目录分析
第二部分是主体部分，详细介绍了常微分方程定性与稳定性的各种方法。其中包括了稳定性理论、线性化与中心流形方法、Lyapunov第二方法、PoincaréBendixson定理等。这些方法都是解决常微分方程定性稳定性问题的关键工具，通过学习这些方法，读者可以更好地理解和应用常微分方程。
目录分析
目录分析
目录分析
《常微分方程定性与稳定性方法》是一本关于常微分方程的学术著作，其目录作为书籍内容的指引，具有重要意义。通过对目录的深入分析，我们可以了解这本书的主要内容、结构以及编者的思路。
目录分析
从目录的结构来看，这本书大致可以分为三个部分。第一部分是引言，主要介绍了常微分方程的基本概念、研究背景以及本书的目的和内容概述。这一部分对于读者理解全书内容起到了很好的引导作用。
阅读感受
这本书从常微分方程的基本概念入手，逐步深入到其定性分析和稳定性方法。让我印象深刻的是，作者不仅仅是在讲解理论知识，更是将理论与实践紧密结合。例如，书中提到了极限环的概念，这是我之前未曾深入了解的领域。通过书中的解释，我了解到极限环在很多实际问题中都有着广泛的应用，如生态系统的种群动态、电路的振荡等。
内容摘要
还通过实例阐述了线性化方法在近似求解非线性问题中的应用。
Lyapunov第二方法涉及了中心流形定理和分岔理论。这一章通过深入浅出的方式，介绍了中心流形定理的基本概念和计算方法，以及分岔理论的分类和应用。还结合实例探讨了非线性系统在分岔点附近的动态行为。
本书的最后两章分别介绍了时滞微分方程的稳定性和混沌理论的相关内容。时滞微分方程在现代科技领域中有着广泛的应用，如生态学、电路系统和控制系统等。这一章重点讨论了时滞微分方程的稳定性条件和计算方法，以及与连续系统和离散系统的关系。也通过实例探讨了混沌理论在时滞微分方程中的应用和意义。

一类多项式系统无穷远点的中心-焦点判定

中图分类号：１５１ＯｆＣｅｔｒｏｕｓａｎｉｉｙｆｒｔｒｎｔｏｏｎｅ－ｆｃｔＩｆｎｔｏ
ａＣｌｓｆＰｏｙｏｉｌｙｔｍａｓｏｌｎｍａｓｅＳ
摘
要：研究了一类十一次多项式微分系统无穷远点的中心一焦点判定问题．首先通过同胚变
换和复变换将系统的无穷远点化为复域中的初等原点，然后在计算机上用Ｍａｈｍｔａ导出ｔｅａｉ推ｃ
了系统原点的前１个奇点量，而导出了无穷远点为中心和最高阶细焦点的条件．新５从关键词：无穷远点；奇点量；焦点量；中心一焦点判定；十一次系统
ＫｅｒｓＩｆｉ；ｓｎｌｒｏｎｕｎｉ；ｏａａｕ；ｃｎｅ－ｏｕｅｅｍｉａｉｎｅｅｅｅｅｙｔｍｙｗｏｄ：ｎｎｔｉｇａｉｔａｔｙｆｃｌｌｅｅｔｒｆｃｓｔｒｎｔ；ｌｖｎｄｇｅｓｓｅｉｙｕｐｑｔｖｄｏｒ
ＡｂｔａｔＩｉｐｐｒｄｔｒｎｔｎｏｅｔｒｆＣＳｔｎｎｔｒａｃａｓｏｅｅｅｒｅｐｌｎｍｉｌｉｅｅｔｌｓｒｃ：ｎｔｓａｅ，ｅｅｍｉａｉｆｎｅ－Ｕｆｉｆｌｓｆｌｖｎｄｇｅｏｙｏａｆｒｎａｈｏｃｏａｉｉｙｏｅｄｉ
ｓｓｅｉｖｓｉａｅ．ｉｔ，ｆｉａｓｏｍｅｔｎｅｅｎａｙｏｉｉｆｏｌｘｓｓｅｂｏｏｒｈｃｙｔｍｉｅｔｔｄＦｒｌｉｉｔｉｔｎｆｒｄｉｏｌｍｅｔｒｒｎｏａｍｐｅｔｍｙｈｍｅｍｏｐｉｓｎｇｓｙｎｎｙｓｒｎａｇｃｙａｒｎｆｒｔｏｌｘｔｎｆｍｔ．ｔｔｅｐｏｔｅｔ，ｒｔ１ｉｕａｏｎｕｎｉｓａｔａｓｏａｉｎａｄａｃｍｐｅａｓｒａｉｎＷｉｅｈｌｆＭａｈｍａｉａｔｅｆｓｓｇｌｒｐｉｔｑａｔｅｔｍｏｎｒｏｏｈｈｃｈｉ５ｎｉｆｈｔｅｏｉｉｆｅｔｎｆｒｅｙｔｍａｅｄｄｃｄＴｅｅｏｅｔｅｃｎｉｏｓｒｎｎｔｏｂｅｔｒｄｈｇｅｔｒｅｒｎｏｔｒｓｏｄｓｓｅｒｅｕｅ．ｈｒｆｒ，ｏｄｔｎｆｉｉｇｈａｍｈｉｏｆｉｙｔｅａｃｎｅａｎｉｈｓｏｄｒｉｆｃｓｅｏｔｉｅ．ｆｅｏｕｒｂａｎｄｎａ

一类多项式微分系统无穷远点的中心-焦点判定

系
（Ｂ一Ａ０＋２０Ａ０—２０３２ ∞ ３Ａ３３Ｂ３０—２０Ｂ３＋２３３）ｙＢＡ３０Ａ００ｘ＋Ａ０Ｂ３，Ｙ
统
（）３
＝
Ｙ（Ｙ＝Ｂ１＋（ａ３Ａ１ｐ３Ｙ，１，）０ｐ０＋０一Ｂ０）ｙ（Ｙ＝Ｂ∞ ＋Ｂｌｘ＋（１＋Ｂ∞）２，）１ｙＡｌＹ，Ａ０２ｙ（Ｙ＝ＢＹ３，） ∞ 。＋（２一Ａ３一＋一２０Ａ３一Ｂ０—２０Ｂ０—２０３ｘ＋３Ａ３３Ｂ３０ｙＡ）（Ａ０一Ｂ３Ａ３３２３０＋２０Ａ０—２０Ｂ０—２０Ｂ３Ａ０３）２Ｂ３３Ａ３０＋２３０ＸＹ＋Ｂ０，Ｂ３
收稿１：０６—０７— ８３期２０００
维普资讯
比
第１期
张
齐：一类多项式微分系统无穷远点的中心一焦点判定
一
９一９
为
Ｆ歹Ｕ
复ＡＸ（Ｙ＝Ａ０。＋（一Ａ＋３，）３一一Ａ３—２０＋２ ∞Ｂ０＋２Ａ０ＸＹ＋０３Ａ３ ∞ ３）２
（）ｃｓＹ（ｏ０ｓｎ）一ｓ０ｋｃｓ，ｉ０，＝１２３０＝ｏ０￣ｃｓ，ｉ０ｉＸ（ｏ０ｓ）ｋｎｎ，，．
对充分小的ｈ方程（），５满足初值条件，。９＝ｈ的解记为
筹糍
．
（）６
＝
Ｐ＝ｐ０＝∑ （，ｈ（，）
ｆ＝（Ｙ溉）＋２＋ｋ，，一＋（ｙ ∑ｓ（））

关于“一类多分子生化反应系统的极限环”一文的补充

“
一
时
３一
｝
Ⅱ
ＧＯ＝ＣＳｓ日ＣＳ＋ｓ日（）Ｏ日ｉＯ日ｉ）ｎｎ
可知在Ｇ有两个特征方向日和日＝＝０又因
＋
Ｈ（＝ｓ “ 日Ｏ日ｉ日ｅｉＣＳ＋ｓ））ｎｎ
一
Ｇ）＝一ｓ（ｃｓ＋ｓ０＋ｎＯ日ｉ一０ｂｏ０ｉ日＋ｉ＋０日ｉ）Ｓｓ（ｃｓ＋ｓ）ｎｂｏｎＣｎｎｃｓｓ “ （ｓ一ｂｉ日ｏ日ｉｅｏ日ｓ１ｎｃｎ
０时， Ⅳ 是稳定焦（或结），其外围不存在极限环，又用Ｈｏｆ支证明了存在这样的Ｐ．点ｐ分当０＜Ｐ＜Ｐ时外围至少存在一个（稳定）限环．又证明了当Ｐ＞０时Ｍ外围至多存在一极个极限环．也就是说只在０＜Ｐ＜Ｐ证明了极限环的存在唯一性．其实在文ｆ］１的基础上可以证明以下结论：定理１在。的条件下：＞当Ｐ０时，系统（）Ｇ内全局稳定于唯一正平衡点Ｍ（、１在ＡＢ）当Ｐ＞０时，系统（）Ｇ内正平衡点Ｍ（口）围存在唯一极限环，且在Ｇ内全局稳１在Ａ外
统壬一ｚ＝ｘ一．ｌｖ）＝：，ｙｙｕ（＋ｂ存在极限环的充要条件，从而与文【共同完整地解旋了Ｌ】
此统的定性分析．
关键词：无穷太外境界线；ＰｉｃｒｅｄｘｏｏｎａｅＢｎｉｓｎ环城定理；粗限环
，● ●● ，ｌ
对系统（计算５）ｄＡＡ１＋。ｎ）ｔ）ｌ一＋）（＋ＡＩ Ⅱ ＋ｎ

一类三次系统的奇点分析及极限环的存在性

一类三次系统的奇点分析及极限环的存在性一类三次系统是一种常见的非线性系统，具有广泛的应用领域，如控制系统、生物学、经济学等。

对于这类系统的稳定性分析和极限环的存在性是一个重要的研究课题。

本文将对一类三次系统的奇点分析和极限环的存在性进行探讨。

首先，我们考虑一般形式的三次系统：$$\dot{x} = f(x)$$其中，$x \in \mathbb{R}^3$为系统状态变量，$f(x)$表示系统的动力学方程。

为了简化问题，我们假设$f(x)$为一个三次多项式：$$f(x)=Ax+Bx^2+Cx^3$$其中，$A,B,C$为系统参数矩阵。

这类系统的平衡点通常可以通过求解方程$f(x)=0$来获得，即解析求解系统的平衡点。

通过线性化分析，我们可以求得平衡点的稳定性。

若系统的所有平衡点都是非超流形的，且非孤立的，则系统中存在奇点。

奇点是系统中的一种特殊状态，通常对应于系统动力学发生突变的情形。

接下来，我们考虑极限环的存在性问题。

极限环是一种周期解，它在非线性系统中起到重要作用。

我们希望能够证明对于一类三次系统，当系统参数满足一些条件时，系统一定存在极限环。

极限环的存在性分析通常可以通过利用折叠法、分支方程等方法来进行推导。

通过对系统进行适当的变量变换和参数选择，我们可以将系统方程转化为较为简单的形式。

然后，利用动力学系统理论、中心流形理论等数学工具，我们可以进行系统的分析和证明。

通过合理地选择参数和假设条件，我们可以证明在一定的条件下，系统中存在极限环。

在实际应用中，极限环的存在性对于系统的稳定性和控制性能具有重要的影响。

通过研究系统的极限环，我们可以设计出更加有效的控制策略，提高系统的性能和鲁棒性。

总之，一类三次系统的奇点分析和极限环的存在性是一个复杂而重要的研究方向。

通过对系统动力学方程的分析和数学推导，我们可以揭示系统的稳定性特性和周期解的存在性。

这对于系统控制、优化和应用具有深远的意义，有助于推动相关领域的发展和进步。

一类平面七次多项式系统赤道环的稳定性与极限环分支

从而系统（）１的赤道环的稳定性与极限环分支阔题转化为系统（）点的稳定性与极限环分支２原
问题．意到实平面二次系统注
Ｉ一＋＋＋＋。，警一如ＡＡｘＡｌｚｙ－
（）３
ｆ：＋ＢＢｘ＋Ｑｚ＋。ｔＢｄｙ。ｔ２＋ｙ
ｆ＝２＋ｎａ（ｉ一＇Ｚａ一＋ｏ１，ｄ￣２ｚ０ｚ＋一
ｌ一６ｂ６一１ｔ一２ｌ。（）。ｌ２＋，一眦一
其中
】２一 “ ０
＋堑
＋
＋Ａ２＋Ａ．．如一ｏ２
口。
＿一， “
：
一
ｉ一乩．一号＋．・， ± 二生旦± 二 “号＋．卫手＝一岛 …
而系统（）赤道环的稳定性与极限环分支问题转化为系统（）１的８原点的稳定性与极限环分支问题．系统（）８在极坐标 “一ｒｏＯ一ｒｉＯ满足初始条件ｒｃｓ，ｓｎ下０＝ｒ『一ｈ的解记为ｒ—
由［］的方法得ห้องสมุดไป่ตู้ ５中
卅ｆ＋
矿：，… 一Ｐ矿＋一．ｉＱ１６。
。ｂ，ｂｎ，，ｏ… 如ｂ
引理１系统（）恰有下列ｌ个基本Ｌｅ７。３ｉ不变量：一
ｎｏ０，ｌ１ｏ，２ｉｏ，ｎ２鹾ｂ２６口ｌｏ，２ｉ０，｝。；２ｎｏ１２ｎ。１２ｎｂ口６ｎｌ。，。０，ｌ】２ｂ口ｌ２ｎｌ２ｎｂｏ６ｂ．如果共轭条件（）６成立，系统（）则７可经变换ｆ “ ｖ一 “ ｖＴ— ｉ化为一类实平一＋ｉ，一ｉ，ｔ，面四次微分自治系统

一类五次多项式系统高次奇点的中心与极限环

ｔｌ，Ｃｅｔｒｃｎｉｏｎｉｒａｉｎｆｌｉｃｃｅｔｔｅｄｇｎｒｔｒｔａｏｎｏｌｓｓｒｃ：ｎｔｉｒｉｅｃｎｅｏｄｔｎａｄｂｆｃｔｓｏｍｔｙｌｓａｈｅｅｅａｅｃｉｉｌｉｔｆｒａｃａｓｉｕｏｉｃｐ
到了该系统在高次奇点分支出７极限环的实例。个关键词：次奇点；点量；点量；限环分支高焦奇极中图分类号：７．２０１５１文献标识码：Ａ文章编号：１７—０Ｘ（０７０ —５１０６３８８２０）６００ —４
１五次多项式
多项式微分系统焦点量计算及中心焦点判断是
微分方程定性理论的经典而且仍然活跃的领域，对于
ｆ（ — ）。ｙ＋警一３（＋Ｚｘｚ）
ｌ｝Ａ０ｚ＋Ｙ一６。。＋４ｘＹ）（４４ｚＹ— ｘ。＋Ａ０＋ＡｌＹ＋Ｂ０。（ｙ）５ｚ４ｚ
初等奇点的情形已有大量的结果，可参见文献［— ］１２。
ＸＩＡＯａ — ｉｇ，ＬＩＺｈｎｂｎＡＮＧ — ｕ，ＤｅｈｉＵａ－ａＨｉｔｏ
（ｃｏｌｆａｈｍａｉｓａｄＣｍｐｔｇＳｉｎｅＳｈｏｔｅｔｎｏｕｉｃｅｃ，ＧｕｌｉｅｓｙｏｅｔｏｉＴｅｈｏｏｙｏＭｃｎｉｎＵｎｖｒｉｆｃｒｎｃｃｎｌｇ，Ｇｕｌ４０４，ｉａｉｔＥｌｉｎ５１０Ｃｈｎ）ｉ

一类七次系统三次幂零奇点的焦点判定与极限环分支

如下：
÷ ６２１
Ａ２一了２（２ —２ａ０２ｂ睨）
，
Ａ，一一啬８＋１ｌｂ￣２），
Ａ一
Ａｓ— 。
（２２４０ｏｎ０２ ‰ ６ ∞＋４，
．
（４２００００００ｂｍ２ —３４８８００００ａｏ３ —１２６０４４１９ｂ），
在此条件的基础上对系统作微小扰动，进而得出在原点充分小的邻域内恰有１０个包围原点的极限环的结论。关键词：幂零奇点；七次系统；细焦点；拟Ｌｙａｐｕｎｏｖ常数；极限环分支
中图分类号：Ｏ１７５文献标识码：Ａ文章编号：１６７２ — ２８６８（２０１４）０３ — ００１６ — ０５
、
Ａ
９一一４７９７８９６４０４５１４７３４２３４４４１７２８００００００００００００ａ￣ｚＯ位
１
３
（９６７５９９３５５９６８００２２７５１０５２８０００００００００００００
＂
１－９０８０２０３３６７１７６７６３４９０６２１３７０８８００００００３９９７８７２２８３２８８６１５４６７９６６９９２Ｏ１２３８４００

73相平面法2

I区：此时系统的微分方程式为 Te e Ke 0 e < a
按前面确定奇点的方法，可知系统在该区有一个奇点（0，0），奇点的类型为稳定焦点（欠阻尼情况下）。相轨迹是一簇趋向于原点的螺旋线。
e
a
a
e
18
II区：系统的微分方程式为
Te e KM 0
de e
e
KM Te
等倾线方程为: e KM
e 0 b e
b 1/ T
e 0 b e
21
e
KM
a
a
e
22
e
KM
a
a
开关线
e
KM
23
[例7-9] 图为具有理想继电器特性的非线性系统，试用相平面法分析
(1) 无局部负反馈时系统的阶跃响应。 (2) 加入局部负反馈后系统的阶跃响应。
b
r
e
e1
x Kc 1 c
0
Ts
s
24
解：（1）无局部负反馈时线性部分的微分方程为
※7．3．4 奇点和奇线
引入相平面图的概念，不单是求取相轨迹，而是要通过对相平面的研究，确定系统所有可能的运动状态及性能。因此需要进一步研究相平面图的基本特征，从而找出相平面图与系统的运动状态和性能之间的关系。系统的相平面图有以下两个基本特征。
1
1．奇点
奇点是相平面图上的一类特殊点。所谓奇点，就是指相轨迹的斜率d x /dx = 0/0为不定值的点，因此可以有无穷多条相轨迹经过该点。
)
x2
0
Q( x1, x2 ) 0
2
奇点的分类：根据奇点附近相轨迹的特征。由于
此时是研究奇点附近系统的运动状态，因此可以用小偏差理论，在奇点（x10，x20）附近展开成泰勒级数

一类原点为幂零奇点的七次系统的中心判定

【关键词】七次系统；幂零奇点；Ｌａｕｏ常数；；拟ｙｐｎｖ中心原点
ＣｒｔｒｏｏｎｅｆｒａｉｎｆｒＡａｓｏｐｅｉｌＣｕｉｙｔｍｎＷｈｉｈＯｒｇｎｉｌｔｎｎｕａｉｔｉｅｉｎｆＣｅｔｒＢｉｕｃｔｏｏＣｌｓｆＳｃａｂｃＳｓｅｉｃｉｉｓＮｉｐｏｅｔＳｉｇｌｒＰｏｎ
一
（２１３９４２０１６３４４５９０２１４３８３３２％１１２６１５３７２２３７３０６４１７４９０８８１５４２３８７８１２７２３１５７５９１１７９０９３６ｏ）９１１６０９６９４３２７５５４７２６４１６８ｂ２１
科技信息
０高校讲坛０
ＳＩＮＥ＆ＴＣＯＯＧＦＲＴＯＣＥＣＥＨＮＬＹＩＯＭＡＩＮＮ
２１０２年
第３期
一
类原点为幂零奇点的七次系统的中心判定
赵倩倩【湖南科技学院数学与计算科学系湖南
永州
４５Ｏ）２１０
【摘要】研究一类原点为幂零奇点的七次系统的中心判定问题。在计算机上用Ｍｔｅａｃ推导出该七次系统原点的前９ａｍｔａｈｉ个拟Ｌａｕｏｙｐｎｖ常数．进而推导出原点成为中心的条件
誓＝２ｙ，誓＝一ｙ０＋＋６６ｌ：。
容易验证，系统（．）１１满足原点为中心或焦点的充要条件Ⅲ 。
（）１．１
—

一类退化奇点的极限环分支

中心条件．通过参数的微小扰动，出了一个在原点有７极限环的五次多项式系统的实例．给个
关键词：化奇点；五次多项式系统；同胚变换；中心条件；极限环分支退
中图分类号：Ｏ１５１７．２文献标识码：Ａ
点是系统（）的中心或焦点且是退化奇点，本文第３二部分介绍要涉及的预备知识，第三部分用一同胚变换将系统（）换成以原点为非退化奇点的另一３转系统，并计算出该系统原点的前３５个奇点量，同时得到系统（）原点的中心条件，第四部分研究系统３（）３原点的极限环分支，过参数的微小扰动，给通
出了一个在原点有７个极限环的五次多项式系统的
ｌ
ｆ／ｒ一ｒ＋∑ ｘ，ｄｄ一／Ｓ＋
（）４
ｌ／一导却＋∑ｙ，ｄｄ＋ｒｒ／
其中，，是，叩ｋ次齐次多项式，点是系的原统（）的中心或焦点．通过极坐标变换（／４，ｒ）一（ｃｃ，ｓｎ，统（）变成ｒｏＯｒｉ０）系４
＊Ｅｍａｌｑ９０ｍａｌＣＵｅｕｃ．－ｉ：ｚ８１＠ｉＳ．ｄ．ｎ．
维普资讯
１Ｏ６
华中师范大学学报（自然科学版）
第４２卷
对充分小的ｈ系统（）足初始条件ｒＩ。ｈ的，５满一
在平面多项式微分系统的定性理论中，于关退化奇点的研究结果很少．大多数工作（献文［ — ］集中在对系统１４）

一类四次多项式系统原点的中心条件与极限环分支

一类四次多项式系统原点的中心条件与极限环分支赵大虎;卢景苹【摘要】讨论一类四次多项式微分系统的中心条件与极限环分支问题.通过对该实系统所对应的伴随复系统奇点量的计算,得到系统的原点成为中心的必要条件,并对它的充分性进行严格的证明.从奇点量导出焦点量,得到了原点成为8阶细焦点的条件,最后证明该系统从在原点邻域有8个小振幅极限环.这是首次得到四次系统在细焦点可分支出8个极限环.%The bifurcation of limit cycles and conditions of origin to be a center for a biquadratic polynomial system is investigated. By the computation of the singular point values for the concomitant complex system of the real system , the necessary conditions of origin of system to be a center is obtained, and the sufficiency for the conditions is strictly proven. The focal values are derived from of the singular points, and the conditions that the origin to be an 8 order weak focal is obtained. Finally, it is proved that this system has small amplitude limit cycles in the neighborhood of the origin. This is the first time that an example of a biquadratic system with eight limit cycles bifurcated from a weak focal is given.【期刊名称】《黑龙江大学自然科学学报》【年(卷),期】2012(029)006【总页数】5页(P767-770,775)【关键词】四次系统;奇点量;焦点量;极限环【作者】赵大虎;卢景苹【作者单位】广西大学数学与信息科学学院,南宁530004;广西民族师范学院数学与计算机科学系,崇左532200【正文语种】中文【中图分类】O175.12它最多可以有多少个极限环?即极限环个数的一致上界H(n）(称为Hilbert数）为多少?这个问题吸引了众多数学工作者对其进行研究。

一类具退化奇点的五次系统中心条件及极限环分支

一类具退化奇点的五次系统中心条件及极限环分支李锋;金银来;何西兵【摘要】本文研究了一类原点为幂零奇点的五次微分系统,通过计算系统的前7个Lyapunov常数,得到了系统的原点为中心的充要条件,并证明了系统在原点至多能够分支出5个极限环.同时研究了系统其余四个奇点(±1,0),(0,±1)的中心焦点问题,分别得到了系统存在5个中心、3个中心的条件.%In this paper, a class of quinic polynomial differential system with nilpotent critical point are investigated. The first 7 quasi Lyapunov constants are deduced with the help of computer algebra system mathematica. As a result, the sufficient and necessary conditions of the center in the system are derived. There exist 5 small amplitude limit cycles created from the three order nilpotent critical point is also proved. Others critical points (±1,0), (0, ±1) are researched at the same condition, the sufficient and necessary conditions of existing five or three centers in the system are obtained respectively.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2012(029)002【总页数】5页(P262-266)【关键词】幂零奇点;中心;焦点;极限环分支【作者】李锋;金银来;何西兵【作者单位】临沂大学理学院,临沂276005;临沂大学理学院,临沂276005;西安交通大学数学与统计学院,西安710049【正文语种】中文【中图分类】O175.121 引言在平面多项式微分系统定性理论与分支理论中，中心焦点问题一直吸引着众多数学工作者，并且已经得到了许多重要结果．特别是实平面奇数次多项式微分自治系统的赤道环的稳定性与分支问题，近年来引起不少数学家的兴趣，这方面的工作见文献[1–3]，专著[4]中对此作了专题介绍．但是对于具有退化奇点的多项式系统，这方面的研究结果还十分罕见．研究退化奇点的中心焦点判定与极限环分支问题对解决希尔伯特第十六问题具有重要的意义，研究退化奇点的方法主要有后继函数法，形式级数法以及规范型方法[5-7]，但都涉及到很大的运算量．最近，刘一戎和李继彬研究了一类具有幂零奇点的三次系统[8]，得到了从幂零奇点分支出八个极限环的结论．本文利用刘一戎和李继彬提出的计算幂零奇点的焦点量的方法，研究一类原点为幂零奇点的实平面五次系统2 原点的中心条件及极限环分支由于系统(1)的线性化系统在原点有两个零特征根，且原点为系统(1)的幂零奇点，运用刘一戎和李继彬提出的计算公式，借助于数学软件Mathematic 7.0，通过计算可以得到定理1．定理1 系统(1)的原点的前7个拟Lyapunov常数为下面分两种情况讨论：1) 若a11=0时，2) 若a11 ̸=0时，由定理1容易得到命题1．定理2 系统原点为中心的充要条件是原点的前7个积分因子常数全部为零，即命题1中三个条件之一成立．证明当条件(2)成立时，系统关于x轴对称．当条件(3)成立时，系统关于y轴对称．当条件(4)成立时，系统是Hamilton系统，其Hamilton函数为命题1 系统原点的前7个积分因子常数全为零，当且仅当下列三个条件之一成立下面我们考虑系统(1)在原点处的极限环分支问题．由定理1我们容易得到定理3．定理3 系统原点为7阶细焦点的充要条件是下列两个条件之一成立考虑系统的扰动系统，当条件(5)成立时，有当条件(6)成立时，有由文献[8]中的定理4.7可得定理4．定理4 如果系统则当0<δ≪1，且对系统的系数作适当的微小扰动，系统在原点充分小的邻域内恰有4个包围初等结点O(0,0)的极限环．如果则当0<δ≪1，且对系统的系数作适当的微小扰动，系统在原点充分小的邻域内恰有5个包围初等结点O(0,0)的极限环．3 奇点(±1,0),(0,±1)分析下面我们研究系统在定理2与定理3条件下其他奇点的性态．对于奇点(1,0)，作变换¯x=2(x−1),¯y=y,T=2t，变换后的系统仍用x,y表示，系统(1)化为系统(1)的(1,0)点转化为了系统(7)的原点，运用文献[9]中的方法计算并证明可得定理5．定理5 当a21=a11=b12=0时，(1,0)是系统(1)的中心．当a21=−b12,a11=b11=0,b21=4,a12= −2时，(1,0)是系统(1)的中心．当a21=b11=b12=0时，若b21=3,a11̸=0，则(1,0)为2阶细焦点；若a11=0，则(1,0)为系统(1)的中心．当时，(1,0)是系统(1)的1阶细焦点．当时，(1,0)是系统(1)的1阶细焦点．证明当a21=a11=b12=0或a21=−b12,a11=b11=0,b21=4,a12=−2时，系统(7)关于x轴对称，所以(0,0)为系统(7)的中心，即(1,0)是(1)的中心．当a21=b11=b12=0时，系统(7)在原点处的前两个积分因子常数为因此，若b21=3,a11̸=0，则(1,0)为2阶细焦点；若a11=0，则(1,0)为(1)的中心．当时，系统(7)在原点处的第一个积分因子常数为因此，(1,0)是(1)的1阶细焦点．当时，系统(7)在原点处第一个积分因子常数为，因此，(1,0)是(1)的1阶细焦点．同理，对于(−1,0)，有如下定理6．定理6 当a21=a11=b12=0时，(−1,0)是系统(1)的中心．当a21=−b12,a11=b11=0,b21=4,a12= −2时，(−1,0)是系统(1)的中心．当a21=b11=b12=0时，若b21=3,a11̸=0，则(1,0)为2阶细焦点；若a11=0，则(−1,0)为(1)的中心．当时，(−1,0)是(1)的1阶细焦点．当时，(−1,0)是(1)的1阶细焦点．对于奇点(0,1)，有如下定理7．定理7 当a21=b11=b12=0时，(0,1)是系统(1)的中心．当a21=−b12,a11=b11=0,b21=4,a12= −2时，(0,1)是系统(1)的中心．当a21=a11=b12=0时，若a12=−1,b11̸=0，则(0,1)为2阶细焦点；若b11=0，则(0,1)为系统(1)的中心．当时，(0,1)是系统(1)的2阶细焦点．当时，因此，(0,1)是系统(1)的1阶细焦点．对于奇点(0,−1)，有如下定理8．定理8 当a21=b11=b12=0时，(0,−1)是系统(1)的中心．当a21=−b12,a11=b11=0,b21=4,a12= −2时，(0,−1)是系统(1)的中心．当a21=a11=b12=0时，若a12=−1,b11̸=0，则(0,−1)为2阶细焦点；若b11=0，则(0,−1)为系统(1)的中心．当时，(0,−1)是系统(1)的2阶细焦点，但是(0,±1)不可能同时为2阶细焦点．当时，(0,−1)是系统(1)的1阶细焦点．综上，对于系统(1)，我们有如下定理9．定理9 当a21=b11=b12=0时，系统(1)有三个中心(0,0),(0,±1)，且(±1,0)为2阶细焦点．当a21=a11=b12=0时，系统(1)有三个中心(0,0),(±1,0)，此时(0,±1)为2阶细焦点．当a21=a11=b11=b12=0或a21=−b12,a11=b11=0,b21=4,a12=−2时，系统(1)有五个中心(0,0),(±1,0),(0,±1)．当或时，系统(1)至多可分支出9个极限环．参考文献：[1]杜超雄，刘一戎，米黑龙.一类三次Kolmogorov系统的极限环分支[J].工程数学学报，2007,24(4):746-752 Du C X,Liu Y R,Mi H L.The bifurcation of limit cycles for a class of cubic Kolmogorov system[J].Chinese Jounrnal of Engineering Mathematics,2007,24(4):746-752[2]张齐，刘一戎.一类三次系统无穷远点的中心条件与赤道极限环分支[J].工程数学学报，2006,23(6):984-988 Zhang Q,Liu Y R.Center conditions and bifurcation of limit cycles from the equator for a class of cubic polynomial di ff erential system[J].Chinese Jounrnal of Engineering Mathematics,2006,23(6):984-988[3]Blows T,Roussean C.Bifurcation at in fi nity in polynomial vector fi elds[J].Journal of Di ff erential Equation,1993,2:215-242[4]Liu Y,Li J.Singular Point Values,Center Problem and Bifurcations of Limit Cycles of Two Dimensional Di ff erential AutonomousSystem[M].Beijing:Science Press,2008[5]Amelikin B B,Lukashivich H A,Sadovski A P.Nonlinear Oscillations in Second Order Systems[M].Minsk:BGY Lenin.B.I.Press,1982[6]Alvarez M J,Gasull A.Monodromy and stability for nilpotent critical points[J].IJBC,2005,15(4):1253-1265[7]Alvarez M J,Gasull A.Generating limits cycles from a nilpotent critical point via normal forms[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2006,318:271-287[8]Liu Y,Li J.New study on the center problem and bifurcations of limit cycles for the planar dynamical system with double zeroeigenvalues(I)[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,to appear [9]刘一戎.一类高次奇点与无穷远点的中心焦点理论[J].中国科学，2001,31(1):37-47 Liu Y R.The theory of center-focus for a class of higher-degree critical point and in fi nite points[J].Science in China,2001,31(1):37-47。

一类高次多项式系统的极限环

一类高次多项式系统的极限环随着时代的发展，数学技术的进步也越来越快，以前不可想象的技术在每一日都可以付诸实践。

为新技术的应用打开了大门的最前沿的研究之一，就是关于一类高次多项式系统的极限环。

一类高次多项式系统是指一组多项式，它们有一定的关系，可以形成一个高次多项式系统。

而极限环则是一类高次多项式系统中各多项式关系之间的解。

这是一种高级的数学技术，能够分析复杂系统，并可能解决复杂问题，因此受到许多学者关注。

当学者们想要研究一类高次多项式系统的极限环时，他们就需要使用数学证明的方法。

以具体概念的角度来看，一个极限环不仅包括了满足一定条件的多项式之间的关系，还包括它们之间的交叉关系。

在此基础上，学者们可以根据一定已知条件，求出满足具体条件的极限环。

此外，按照数学原理，一类多项式系统的极限环也可以利用变量分离法进行求解。

这类积分方法的基本思想是，将求解范围划分为多个部分，根据每个部分的不同特点进行划分，并按照特定的数学模型求解极限环。

同样的，学者也可以应用几何的方法来求解极限环，即利用几何图形、几何曲线以及几何性质等，分析多项式系统，以找到满足条件的极限环。

在现实应用中，一类高次多项式系统的极限环可以为解决复杂问题提供一种新的思路。

例如，学者们可以利用一类高次多项式系统的极限环，研究各种社会、经济和政治问题。

举个例子，学者可以利用极限环技术，来研究城市迁移及其影响，从而推导出有效的、可行的遏制迁移的政策方案，以促进社会发展。

总之，一类高次多项式系统的极限环是一种新兴的、十分有趣的数学技术。

它不仅可以研究复杂的数学问题，而且还能有效的应用到实际的问题上，从而推动社会发展。

几类拟解析系统的等时中心与极限环分支的开题报告

几类拟解析系统的等时中心与极限环分支的开题报告
一、拟解析系统简介
拟解析系统（quasianalytic system）是实分析中的一类系统。

它是由约翰·维尔斯特拉斯于1962年提出的，是一种广义上的解析函数，比实解析函数的类更广泛。

二、等时中心与极限环分支的概念
等时中心指的是一个拟解析函数的级数收敛半径为零时，与其关联的一个点在内部的最大集合。

极限环分支则是这一集合的边界，通常也被称作极限环。

三、几类拟解析系统的等时中心与极限环分支
1. 幂级数系统
幂级数系统是最常见的拟解析系统。

其等时中心通常为一个点，极限环为半径为收敛半径的圆周。

2. 拟整函数系统
拟整函数系统是一类不具有孤立奇点的拟解析函数，其等时中心为整平面，极限环为整平面边界上的直线。

3. 拟多项式函数系统
拟多项式函数系统同样不具有孤立奇点，其等时中心为整平面，极限环为以坐标轴为边的无穷远矩形。

4. 拟二元函数系统
拟二元函数系统是拟解析二元函数的系统，其等时中心为整个平面，极限环为坐标轴。

四、结论
不同的拟解析系统在等时中心与极限环分支上具有不同的特点。

了解这些特点有助于研究拟解析系统的性质，为实际问题的求解提供指导。

一类四次多项式系统高次奇点的奇点量与可积性

一类四次多项式系统高次奇点的奇点量与可积性李慧丽;黄婷;李海珍【摘要】通过把高次奇点转化为初等奇点的方法,对一类四次系统高次奇点的奇点量与可积性进行了研究.通过计算该系统奇点量的代数递推公式,得到该系统在原点的前30个奇点量,推导出系统在原点邻域可积的必要条件,并证明了其充分性.%Generalized singular point quantity and integrability of the degenerate resonant singular point for a quartic polynomial system were studied. Firstly, algebraic recursive formulas for computing singular point quantities of the origin are derived. The first 30th singular point values are given by using compute algebra mathematics. Then the necessary conditions for the integrability were worked out. At last, the sufficiencies of these conditions were proved.【期刊名称】《桂林电子科技大学学报》【年(卷),期】2011(031)004【总页数】3页(P326-328)【关键词】四次多项式;高次奇点;初等奇点;奇点量;可积性【作者】李慧丽;黄婷;李海珍【作者单位】桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林541004;桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林541004;桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林541004【正文语种】中文【中图分类】O175.121 高次奇点奇点量的计算以及微分系统可积性的判定，特别是具高次奇点的微分系统的可积性的判定是微分方程定性理论研究的热点问题。

一类七次系统幂零奇点的中心判定

一类七次系统幂零奇点的中心判定卜珏萍;陶有田【期刊名称】《巢湖学院学报》【年(卷),期】2015(17)6【摘要】The criterion of the center for three-order nilpotent singular points in a class of seven-order system is studied in this paper. The software, Mathematica, is used to calculate and simplify to derive the first nine quasi-Lyapunov constants of the ori-gin of this differential system. Based on this, we have further discussion and analysis to obtain the necessary and sufficient conditions which make the origin center.%研究了一类七次系统三次幂零奇点的中心判定问题. 利用Mathematica软件进行计算并化简,推导出该七次微分系统原点的前9个拟Lyapunov常数,并在此基础上进一步分析讨论,从而得出原点成为中心的充要条件.【总页数】3页(P7-9)【作者】卜珏萍;陶有田【作者单位】巢湖学院应用数学学院,安徽巢湖 238000;巢湖学院应用数学学院,安徽巢湖 238000【正文语种】中文【中图分类】O175【相关文献】1.一类原点为幂零奇点的七次系统的中心判定 [J], 赵倩倩2.一类七次系统三次幂零奇点的焦点判定与极限环分支 [J], 卜珏萍3.一类七次系统三次幂零奇点的中心判定 [J], 卜珏萍4.一类原点为幂零奇点的三次系统的中心焦点判定与极限环分支 [J], 赵倩倩;卜珏萍;毕先兵5.一类三次幂零奇点的中心焦点判定与极限环分支 [J], 卜珏萍;赵倩倩;毕先兵因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

现，只需以系统右端系数作为符号进行有限次加、减、乘、除的四则运算和符号推导，避免了
复杂的非线性积分运算和求解多元方程组．
收稿日期：０９０ — ４作者简介：吴玉森（９２７２０ —３０．１８年月生），男，博士，讲师．究方向：常微分方程定性理论与研

地（＝ ∑ ＣｊＹＹｘ） ∑ Ｄｊ，），ｋ，ｓ，＝ｘ（ｋｘ
ｋ＝５＋ｊｋ＝５＋ｊ
Ｃ５＝一Ｂ２ｏ３一Ｂ３２一
１一Ｂ５，ｏ
６４１＝Ａ２３一Ａ３２— ３１— ５ｏＡ４Ａ５．
２－（３３一１Ｂｏ，Ｃ２＝２Ｂ２＋Ｂ２ —５５）３＝２Ａ３３一Ａ１Ａｏ．（２一Ａ２４＋５５）
和周期常数的方法都具有计算复杂、不便应用的缺点．刘一戎、李继彬［】出了一套统一计１给０算焦点量和鞍点量为奇点量来解决复中心问题的新方法．在此基础上，刘一戎、黄文韬【】１又１给出了一种在复域中计算复系统中心周期常数的新算法，即解决了寻找复等时中心必要条件的问题．上述计算奇点量和周期常数的新方法容易通过计算机代数软件ＭａｈｍａｉａＭａｌ实ｔｅｔ或ｃｐｅ
一
类七次多项式系统高次奇点的极限环分支与拟等时中心术
吴玉森，李培峦
（河南科技大学数学与统计学院，洛阳４１０）７０３
摘
要：文研究了一类七次多项式系统高次奇点的中心、拟等时中心条件与极限环分支问题．首先通本过同胚变换和复变换将系统的高次奇点化为复域中的初等原点，然后求出了新系统在原点的前４奇点量，从而导出了高次奇点为中心和最高阶细焦点的条件．在此基础上给出了七次系５个统在高次奇点分支出８极限环的实例．最后通过一种新的算法求出高次奇点为中心时的周期常个数，得到了高次奇点为拟等时中心的必要条件，并 … 证明了这些条件的充分性．
计算机符号计算．
基金项目：国家自然科学基金（０７１６．１７１９）
工
程
数
学
学
报
第２卷８
ｄｘ＝（一妇
ｄ
２＋托（）＋一
２。＋，（）１
ｖ：（）＋）（，＋（２），＋（＋）＋。出
Ｄ１４＝Ａ２３＋Ａ３２— ３１＋５ｏＡ４Ａ５．
Ｄｏ５＝Ｂ２３一２＋Ｂ４１一Ｂｓ．ｏ
系统（）１的原点为高次奇点，且它的Ｐｉｃｒｏｎａ￣闭球面的赤道ｒ。ｏ为系统的轨线，其上没有实奇点．本文通过同胚变换和复变换把系统（）１的高次奇点化为初等奇点在复域中来研究，得到了系统的中心条件和最高阶细焦点（细奇点）条件，构造出了一个在高次奇点分支出８个极限环的七次多项式系统实例．然后，在中心条件的基础上计算了系统的周期常数，得到了此系统高次奇点为拟等时中心的必要条件，最后通过多种有效途径证明了这些条件的充分性．这实际上解决了这类七次系统的伴随系统高次奇点的拟等时中心问题与其自身为实系统时鞍点的可线性化
关键词：高次奇点；极限环分支；拟等时中心；七次系统
分类号：ＡＭＳ２０１４０（０３Ｃ５０
中图分类号：１５１Ｏ７．２
文献标识码：Ａ
１引言
在平面多项式微分系统定性理论中，中心与等时中心这两个经典问题一直吸引着众多数学工作者的兴趣．关于初等奇点的中心与等时中心问题已有大量的研究结果【５，但关于多项式１】－系统高次奇点这方面的研究结果还很少见，目前仅有一些关于高次奇点稳定性、极限环分支的
第２卷第１８期
２１年０月０１２
工
程
数
学
学
报
Ｖ１２ｏ１０８．．Ｎ
Ｆｂ０１ｅ．２１
ＣＨＩＮＥＳＪＥＯＵＲＮＡＬＯＦＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧＡＴＨＥＭＡＴＩＭＣＳ
文章编￣：０ —０５２１）１０８－９１５３８（０１０ —０７００
结果［１６．
研究系统原点中心条件的一种方法是先求出原点的前面若干个焦点量，然后置这些焦点量
为零，从而获得原点为中心的必要条件，最后通过各种方法来证明这些条件的充分性．如果一
个平面多项式系统的中心的充分小临域内闭轨族的周期为相同的常数，则称之为等时中心．类似地，当原点为中心时，研究系统等时中心的一种方法是先求出原点的前面若干个周期常数，然后置这些周期常数为零，从而获得原点为等时中心的必要条件．最后通过多种途径证明条件的充分性．计算焦点量的经典方法有Ｐｉｃｒ后继函数法和Ｌａｕｏ形式级数法【，而计算ｏｎａ６ｙｐｎｖ】周期常数的方法有等时常数法［，，周期常数法【，复系统的周期常数法【０８，】９］５．以上计算焦点量５．
１＝一Ｂ２４３一Ｂ３２＋３１— ５５，Ｂ４Ｂｏ
５
２ — ３３２＋４１一Ａ５，ｏ
ｆ１３
Ｄｓｏ＝Ａ２３＋Ａ３２＋Ａ４１＋Ａｓ，ｏＤ４１：Ｂ２３一Ｂ３２— ３１— ５０Ｂ４Ｂ５，
Ｄ３＝２Ａ２＋Ａ２一Ａ１Ａｏ．Ｄ２２（３３４ —５５）３＝２Ｂ３３一Ｂ１Ｂｏ．（２一Ｂ２４＋５５）