稳定极限分析复习1

A
MCE ↓↓↓↓↓↓
Mu
Mu
B
qu 0.829M u
1.803m
0

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注意:1、对于组合机构用静力法建立平衡条件往往不如机动 法方便。 2、如将分布荷载范围内的塑性铰取在中点也会得到令 人满意的结果。
0.8q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q D 0.8q C θ A 4m B A 2m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
单跨阶梯形变截面梁 :图 M M u1
当Mu1=2Mu在A、C 处形成塑性铰，
MC
4 (4 P 2M u ) M u Pu 1.4375 M u 15
当Mu1=1.5Mu在A、 M 7 (4 P 1.5M ) 1.5M P 1.1786 M B u u u u 15 B处形成塑性铰，

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试算法求刚架极限荷载
2P P
2P
D
P C θ
Mu=常数 A
侧移机构
2P
θ B Mu D
Mu l
l
l/2
l/2
P Mu C
X 0 P
2M u l

M
E
M u M u 2P l ME Mu 2 4
2M u P l

A
Mu l
B
既是可破坏荷载，又是可接受荷载， 所以是极限荷载。
4m
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2）选组合机构由静力法计算破坏荷载：
C
D
YB
整体 : M A 0.8q 4 4q 2 4YB M u M u 0 YB 2.8q 0.5M u 梁机构 Mu 利用: QE 0 由 : EDB Y YB qx 0 求得 A : x 2.8 B ① 2q q 2 4M u ② qx 0.8q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 2 由 : ED M D 2 D 2 由① ②得： 31.36q 2 27.2M u q M u 0 θ

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4）检验可破坏荷载是否为可接受荷载 作破坏机构相应的弯矩图
M CE q 1.8032 M u 2 0.347M u
q 0.829M u x 2.197
0.347Mu q 0.8q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ C E Mu
Mu
D
所得弯矩图满足内力局 限条件。所以q+既是可破坏 荷载是又是可接受荷载，根 据唯一性定理，它就是本例 M u 的极限荷载：
0.8q 4
C 4m
θ
Mu
E
1
D θ
A
4m
B
A
Mu 结合机构
4－ x
x
B
Mu
4 (4 x) (4 x) q 4M u 2M u 2 x 4 (4 x) (4 x) 0.8q 4 q 4M u 2M u 2 x
(4 x) 1 x
q1 0.829M u ( x 2.197) q 0.829M u q2 0.038M u
A
( x 10.36)舍去
结合机构 B
θ

0.8q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q D
0.8q C θ
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
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3）选组合机构或 由机动法计算 破坏荷载： 建立虚功方程：
Mu
Mu 可破坏荷载P 1.749 l 对应的弯矩图满足屈服 条

例：求图示刚架的极限荷载。 解：假设破坏机构为：
q=2.5P/l
↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓↓↓
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q=2.5P/l
↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓↓↓
Mu
C l
P
B
2M u
C
P
B
2M u
2.04M u
上、下限定理可用来求极限荷载的 M u 2l Mu 近似解，给出精确解的范围。
q=2.5P/l
↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓↓↓
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q=2.5P/l
↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓↓↓
Mu
C x
P
B
2M u
C
P
B
2M u
Mu
A 2l
M u 2l
D A
Mu
P
M B 2Pl 3M u
QC
件，因此，它又是可接 受 2 2 2 49P2l 88PlM 4 M 0 Mu 7 Pl M 7 Pl M 1 2 . 5 P u u 荷载，由惟一性定理， M max 3.5P u u M u 2M u M M l 5 P M 2 l 即极限荷载。 5P P 1 0 047 uu ,,M M 2 . 91 P .. 749 0 . 498 M B u B u ll
2）唯一性定理: Pu的值是唯一确定的。 3）上限定理(极小定理)：可破坏荷载是极限荷载的上限。 或者 说，极限荷载是可破坏荷载中的极小者。 4）下限定理(极大定理)：可接受荷载是极限荷载的下限。 或 者 说，极限荷载是可接受荷载中的极大者。
3

4
三、分析方法
极限平衡法：不考虑弹塑性变形发展过程，直接按 最后的破坏机构由平衡条件求极限荷载。它包括： ⑴比较法（穷举法、机构法） ： ①给出各种可能的破坏机构； ③求解相应的破坏荷载，其中最小者为极限荷载。 ⑵试算法： ①选取一破坏机构，建立平衡方程或虚功方程，求出对应的可 破坏荷载； ②验算在该荷载下的弯矩分布是否满足屈服条件，若满足,则该 荷载同时也是可接受荷载。由单值定理，此即极限荷载。 求可破坏荷载的方法 ⑴静力法：利用塑性铰截面的弯矩=极限弯矩，写出联系荷 载与极限弯矩的平衡条件求得可破坏荷载。 ⑵机动法：利用塑性铰处截面弯矩=极限弯矩。令机构发生 刚体虚位移，建立虚功方程，计算相应的可破坏荷载。
2 Pl 3M u 2M M 1 2.5P 将弯矩图折减 倍，则内力图满足屈服 2l 22/2.04 u u 8 l 2 条件，相应的荷载变成为了可接受荷载，
Mu l
Mu l D
Mu
一、稳定问题的分类、特征 分类 起因 特征
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分支点失稳
完善体系 (无初曲率无初偏心)
极值点失稳
A 2l D A
Mu
P
M B 2Pl 3M u

1.556 MM Mu 8M u Mu 2 u u Q ql 5 . 223 P 1.778 , M B 0.556 M Pu C P 1.718 2l l l 4.5l l 2.04 Mu M uP M dM M 1 2 u u 1 . 718 P 1 . 778 u 由上、下限定理知： u 5 . 223 2 . 5 x 0, x 1.175l x 5.223 x qx M u M l l dx l l l 2 Mu Mu 1.718 1.778 M 1 . 778 M 1 2 u u 1 . 748 ,M 0.496 M u 取平均值为近似解： u 2.5 B M 1.175l P 1 . 175 l M 2 . 04 M max 5.223 u u 2 2l l l 2 l
2
多跨连续梁如在各跨内为等截面，且荷载指向相同，只在各跨 独立形成破坏机构。 刚架各种可 能破坏机构 基本机构：梁机构、 侧移机构、 结点机构 组合机构： 将两种或两种以上的基本机构组合。 超静定次数 梁机构
可能出现的塑性铰总数
•刚架的基本机构数 m =h－ n •在不同基本机构中，如某塑性铰转 向相反， 组合后该塑性铰闭合。 •如能完备的列出来可能的破坏机构， 并求出各机构相应的可破坏荷载

例：图示连续梁各跨 横截面的极限弯矩均 为Mu 求qu。
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 4m 2m
4q
q
q
7
1m 4q
1m 1m q
1m
解:先计算各跨单独破 坏时的破坏荷载.
第一跨破坏时的q1+
ql 2 2q 2 M u 8 q1 M u
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
各跨单独破坏时的破坏机构.
确定变截面梁的极限荷载及相应的破坏机构。 （a）Mu1=2Mu,（b）Mu1=1.5Mu
解：负塑性铰出现在A点
7.5 4 P 3.5M u1 3 (4 P M u1 ) 7 .5 15 7.5 2 4M B MCC ( 4 P M u1 ) M 3 .5 15 M MBB
侧移机构
min{P P , ,P P ,, ,,P P } Pu
这种求Pu方法称为比较法 （穷举法、机构法）。 结点机构
11
22
nn
二、基本理论
极限状态应满足的条件： 1）单向机构条件：（当某些截面弯矩达极限弯矩时，能 够沿荷载方向作运动，成为单向机构。） 2）屈服条件：（任意截面弯矩不超过极限弯矩。） 3）平衡条件：（结构和任意局部能维持平衡。） 确定极限荷载的定理： 1）基本定理： 可破坏荷载 P+≥P－ 可接受荷载
q
另解：将塑性铰E 取在跨中选组合 机构如图 建立虚功方程：
C 4m
θ
Mu
E

D
θ
B
Mu
Mu 结合机构
2m
4 2 0.8q 4 q 6M u 2 7.2q 6M u q 0.833M u
所得结果是精确解的上限。误差为：0.1%
例：求图示刚架的极限荷载。 解：假设破坏机构为：
Mu q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 2q Mu
Mu
4q Mu 8q/3
Mu
q q
q Mu
第二跨破坏时的q2+
3M u 4qab 8q 2M u q 2 l 3 4