59.离散型随机变量的分布列(答案)

1．考查离散型随机变量及其分布列的概念理解； 2．两点分布和超几何分布的简单应用． 【复习指导】
复习时，要会求与现实生活有密切联系的离散型随机变量的分布列，掌握两点分布与超几何分布列，并会应用．
考点梳理
1．离散型随机变量的分布列 (1)随机变量 在某些试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量，随机变量常用大写字母X ，Y ，…表示．
(2)离散型随机变量
如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． (3)分布列
设离散型随机变量X 可能取得值为x 1，x 2，…，x i ，…x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率为P (X ＝x i )＝p i ，则称表
为随机变量X (4)分布列的两个性质
①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ；②p 1＋p 2＋…＋p n ＝_1_. 2．两点分布
如果随机变量X 的分布列为
其中0<p <1，q ＝1－p 的两点分布． 3．超几何分布列
在含有M 件次品数的N 件产品中，任取n 件，其中含有X 件次品数，则事件{X ＝k }发生的概率为：P (X
＝k )＝C k M C n －k N －M
C n
N (k ＝0,1,2，…，m )，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n 、M 、N ∈N *，则称分布列
为超几何分布列．
考点自测
1．抛掷均匀硬币一次，随机变量为( )．
A ．出现正面的次数
B ．出现正面或反面的次数
C ．掷硬币的次数
D ．出现正、反面次数之和
解析 抛掷均匀硬币一次出现正面的次数为0或1. 答案 A
2．如果X 是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是( )． A ．X 取每个可能值的概率是非负实数
班 级： 姓 名：
装
订
线
B ．X 取所有可能值的概率之和为1
C ．X 取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和
D ．X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 解析 由离散型随机变量的性质得p i ≥0，i ＝1,2，…，n ，且 i ＝1n
p i ＝1.
答案 D
3．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝1
2
k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于( )．
A.316
B.14
C.116
D.516
解析 P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝3
16
.
答案 A
4．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为( )．
A ．25
B ．10
C ．7
D ．6
解析 X 的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3，1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.
答案 C
5．设某运动员投篮投中的概率为P ＝0.3，则一次投篮时投中次数的分布列是________． 解析 此分布列为两点分布列． 答案
X 0
1 P
0.7
0.3
考向一 由统计数据求离散型随机变量的分布列
【例1】►(2011·北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数 甲组 乙组
9 9 1 1||01 9 8 9 0
分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学 (1)求这两名同学的植树总棵数y 的分布列；
(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．
[审题视点] 本题解题的关键是求出Y 的取值及取每一个值的概率，注意用分布列的性质进行检验．
解 (1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4×4＝16，这两名同学植树总棵数Y 的取值分别为
17,18,19,20,21，
P (Y ＝17)＝216＝1
8
P (Y ＝18)＝416＝1
4
P (Y ＝19)＝416＝1
4
P (Y ＝20)＝416＝1
4
P (Y ＝21)＝216＝1
8
则随机变量Y 的分布列是：
Y 17 18 19 20 21
P 18 14 14 14 18
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(2)由(1)知E (Y )＝178＋184＋194＋204＋21
8
＝19，
设这名同学获得钱数为X 元，则X ＝10Y ， 则E (X )＝10E (Y )＝190.
(1)可设出随机变量Y ，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事
件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．
【训练1】 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功 投资失败 192次 8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是________．
解析 设该公司一年后估计可获得的钱数为X 元，则随机变量X 的取值分别为50 000×12%＝6 000(元)，－50 000×50%＝－25 000(元)．由已知条件随机变量X 的概率分布列是
X 6 000 －25 000
P 2425 1
25
因此E (X )＝6 000×2425＋(－25 000)×1
25
＝4 760
答案 4 760
考向二 由古典概型求离散型随机变量的分布列
【例2】►袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为1
7
.现有甲、乙两人从袋中轮流摸
取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X 表示取球终止时所需要的取球次数．
(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X 的分布列；(3)求甲取到白球的概率．
[审题视点] 对变量的取值要做到不重不漏，计算概率要准确．
解 (1)设袋中白球共有x 个，根据已知条件C 2x
C 27＝17
，
即x 2－x －6＝0，
解得x ＝3，或x ＝－2(舍去)．
(2)X 表示取球终止时所需要的次数，则X 的取值分别为：1,2，3,4,5.
因此，P (X ＝1)＝A 13A 17＝37，P (X ＝2)＝A 14A 13A 27＝2
7，
P (X ＝3)＝A 24A 13A 37＝635，P (X ＝4)＝A 34A 13A 47＝3
35，
P (X ＝5)＝A 44A 1
3A 57＝1
35
.
则随机变量X 的分布列为：
X 1 2 3 4 5
P 37 27 635 335 1
35
(3)甲取到白球的概率为P ＝A 13A 17＋A 24A 13A 37＋A 44A 1
3A 57＝3
7＋635＋135＝2235
.
求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与
概率知识求出X 取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．
【训练2】 (2011·江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．
(1)求X 的分布列；
(2)求此员工月工资的期望．
解 (1)X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4，
P (X ＝i )＝C i 4C 4－i 4
C 48
(i ＝0,1,2,3,4)，
则
(2)令Y 表示此员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2 100，2 800,3 500，则P (Y ＝3 500)＝P (X ＝4)＝1
70
，
P (Y ＝2 800)＝P (X ＝3)＝8
35，
P (Y ＝2 100)＝P (X ≤2)＝53
70
，
E (Y )＝3 500×170＋2 800×1670＋2 100×53
70
＝2 280，
所以此员工月工资的期望为2 280元．
考向三 由独立事件同时发生的概率求离散型随
机变量的分布列 【例3】►(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业
生得到甲公司面试的概率为2
3
，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记
X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝1
12
，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.
[审题视点] 分别求出随机变量X 取每一个值的概率，然后求其期望．
解析 由已知条件P (X ＝0)＝1
12
即(1－P )2×13＝112，解得P ＝1
2，
随机变量X 的取值分别为0,1,2,3. P (X ＝0)＝1
12
，
P (X ＝1)＝23×⎝⎛⎭⎫1－122＋2×13×⎝⎛⎭⎫122＝13
， P (X ＝2)＝2×23×12×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫122＝512
， P (X ＝3)＝23×⎝⎛⎭⎫122＝1
6
.
因此随机变量X 的分布列为
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E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝5
3.
答案 53
本题考查了相互独立事件同时发生的概率求法以及分布列，期望的相关知识，公式应用，计算
准确是解题的关键．
【训练3】 某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了甲型H 1N 1流感，其中只有A 到过疫区．B 肯定是受A 感
染的．对于C ，因为难以断定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是1
2
.同样也假定
D 受A 、B 和C 感染的概率都是1
3
.在这种假定之下，B 、C 、D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量．写
出X 的分布列(不要求写出计算过程)，并求X 的均值(即数学期望)．
解 随机变量X 的分布列是
X 1 2 3
P 13 12 1
6
X 的均值E (X )＝1×13＋2×12＋3×16＝11
6
.
附：X 的分布列的一种求法
共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是1
6
：
在情形①和②之下，A 直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A 直接感染了两个人；在情形⑥之下，A 直接感染了三个人．
课堂练习
一、选择题
1．若随机变量X 的概率分布列为
X x 2 P
p 1
p 2
且p 1＝1
2p 2，则p 1等于( )． A.12 B.13 C.14 D.16
解析 由p 1＋p 2＝1且p 2＝2p 1可解得p 1＝1
3. 答案 B
2．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X ，那么X ＝4表示的随机试验结果是
( )．
A ．2颗都是4点
B ．1颗是1点，另1颗是3点
C ．2颗都是2点
D ．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点
解析 “X ＝4”表示抛掷2颗骰子其点数之和为4，即两颗骰子中“1颗1点，另1颗3点，或两颗都是2点．” 答案 D
3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i
2a (i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)等于( )． A.19 B.16 C.13 D.14
解析 ∵12a ＋22a ＋32a ＝1，∴a ＝3，P (X ＝2)＝22×3＝1
3.
答案 C
4．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)的值为( )． A ．1 B.12 C.13 D.1
5 解析 设X 的分布列为：
即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”p ，成功的概率为2p .由p ＋2p ＝1，则p ＝1
3，因此选C. 答案 C
5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球
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出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于
( )．
A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭
⎪⎫582
B ．
C 912
⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫58238 C ．C 911
⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭
⎪⎫382
D ．C 911⎝
⎛
⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭
⎪⎫582
解析 “X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此 P (X ＝12)＝38C 911
⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582
＝C 911⎝
⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭
⎪⎫582
. 答案 D
6．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )． A.15 B.25 C.35 D.45
解析 P (ξ≤1)＝1－P (ξ＝2)＝1－C 14C 2
2C 36
＝4
5.
答案 D
7．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为
( )．
A.1220
B.2755
C.27220
D.2155
解析 用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量．当X ＝4时，说明取出的3个球
有2个旧球，1个新球，∴P (X ＝4)＝C 19C 23
C 312
＝27220，故选C.
答案 C 二、填空题
8．随机变量X 的分布列P (X ＝k )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫
23k ，k ＝1,2,3，…，则a 的值为________．
解析 由∑k ＝1
∞
P (X ＝k )＝1，即a ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
23＋⎝
⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＝1. ∴a
2
3
1－23
＝1，解得a ＝1
2.
答案 12
9．连续向一目标射击，直至击中为止，已知一次射击命中目标的概率为3
4，则射击次数为3的概率为________．
解析 “X ＝3”表示“前两次未击中，且第三次击中”这一事件，则P (X ＝3)＝14×14×34＝3
64. 答案 3
64
10．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i 10，(i ＝1,2,3,4)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2＜X ＜72＝________.
解析 P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2＜X ＜72＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝35.
答案 3
5 三、解答题
11．一个袋中有一个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回去，直到取得白球为止，求取球次数的分布列．
解 设取球次数为X ，则X 的可能取值为1,2,3,4,5， P (X ＝1)＝1A 15＝15，P (X ＝2)＝A 14A 25＝15，P (X ＝3)＝A 24
A 35＝
15，P (X ＝4)＝A 34A 45＝15，P (X ＝5)＝A 44A 55＝1
5， ∴随机变量X 的分布列为：
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12.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个．从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求： (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的分布列；
(3)计分介于20分到40分之间的概率．
解 (1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12
C 310
＝23.
(2)由题意知，X 有可能的取值为2,3,4,5，取相应值的概率分别为．
P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22
C 3
10＝130； P (X ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22
C 3
10＝215； P (X ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22
C 3
10＝310； P (X ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22
C 3
10＝815.
所以随机变量X 的分布列为：
X 2 3 4 5 P
1
30
215
310
815
(3)“一次取球所得计分介于20P (C )＝P (X ＝3或X ＝4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝215＋310＝13
30.
13．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X 元的概率分布列．
解 (1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率
P ＝C 14C 16＋C 2
4C 210
＝3045＝23.
⎝ ⎛
⎭⎪⎫或用间接法，即P ＝1－C 26C 210
＝1－1545＝23. (2)依题意可知，X 的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且
P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 1
6C 210＝2
5，
P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16
C 210＝215，
P (X ＝60)＝C 11C 13C 210
＝1
15.
所以X 的分布列为：
【点评】 概率、随机变量及其分布列与实际问题的结合题型在新课标高考中经常出现，其解题的一般步骤为：,第一步：理解以实际问题为背景的概率问题的题意，确定离散型随机变量的所有可能值；,第二步：利用排列、组合知识或互斥事件，独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；,第三步：画出随机变量的分布列；,第四步：明确规范表述结论；
14.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X 的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率． 解 X 的取值分别为1,2,3,4.
X ＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了， 故P (X ＝1)＝0.6.
X ＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了， 故P (X ＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X ＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了， 故P (X ＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096. X ＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过， 故P (X ＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024. ∴李明实际参加考试次数X 的分布列为
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敦品励行勤学致知X 123 4 P 0.60.280.0960.024
1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6.
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