2015高考数学一轮课件：第 5篇 第4节 数列求和

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1．首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4为( )
A．－15
B．15
C．16
D．－16
解析：由等比数列的求和公式可得S4＝1×1－1－2 24＝15.
故选B. 答案：B
数第七学页，编人辑于教星期A五版：十·三文点 科三十四分。
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2．已知数列{an}的通项公式是an＝
数第二学十七页人，编教辑于A星版期五·：文十三科点 三十四分。
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错位相减法求和
[例 3] (2014 山东省师大附中检测)数列{an}的前 n 项的 和为 Sn，对于任意的自然数 an＞0,4Sn＝(an＋1)2.
(1)求证：数列{an}是等差数列，并求通项公式； (2)设 bn＝a3nn，求和 Tn＝b1＋b2＋…＋bn. [思维导引] (1)由4Sn＝(an＋1)2及an＋1＝Sn＋1－Sn可得an ＋1与an的关系，即可证明求解； (2)求出{bn}的通项公式后，利用错位相减法求和．
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数第十学一页，人编辑教于星A期版五：·十文三点科三十四分。
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4．设数列{an}的通项公式为an＝22n－1，令bn＝nan，则 数列{bn}的前n项和Sn为________．
解析：由bn＝nan＝n·22n－1知 Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，① 从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1，②
数第十学五页，人编辑教于星A期版五：·十文三点科三十四分。
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[解] (1)∵3(an＋2＋an)－10an＋1＝0， ∴3(anq2＋an)－10anq＝0， 即3q2－10q＋3＝0.
∵公比q＞1，∴q＝3.
又首项a1＝3， ∴数列{an}的通项公式为an＝3n.
数第十学六页，人编辑教于星A期版五：·十文三点科三十四分。
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考点突破
数第十学四页，人编辑教于星A期版五：·十文三点科三十四分。
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分组转化求和
[例1] (2014河南省洛阳市模拟)已知等比数列{an}中， 首项a1＝3，公比q＞1，且3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＋13an 是首项为1，公差为2的等差数列，求数 列{bn}的通项公式和前n项和Sn. [思维导引] (1)用an、q表示等式3(an＋2＋an)－10an＋1＝ 0，求出q，即可得出{an}的通项公式． (2)先求出{bn}的通项公式，再分组求和．
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(2)利用裂项相消法求和时要注意 正负相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，保留的 项有前后对称的特点，不可漏掉未消去的项，导致计算结果 错误．
数第二学十四页人，编教辑于A星版期五·：文十三科点 三十四分。
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即时突破2 (2014云南省玉溪一中高三月考)在等差数列 {an}中，a1＝3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为 正数，b1＝1，公比为q，且b2＋S2＝12，q＝Sb22.
(1)p，q的值； (2)数列{xn}前n项和Sn.
数第十学九页，人编辑教于星A期版五：·十文三点科三十四分。
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解：(1)由x1＝3，得2p＋q＝3， 又因为x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4， 即3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1. (2)由(1)，知xn＝2n＋n， 所以Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝2n＋1－2＋ nn＋1 2.
数第二学十页，人编辑教于星A期版五：·十文三点科三十四分。
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裂项相消法求和
[例 2] (2013 年高考江西卷)正项数列{an}满足 an2－(2n －1)an－2n＝0.
(1)求数列{an}的通项公式 an； (2)令 bn＝n＋11an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [思维导引] (1)由条件等式可直接求出an； (2)求出{bn}的通项公式，利用裂项相消法求解．
数第二学十八页人，编教辑于A星版期五·：文十三科点 三十四分。
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[解析] (1)证明：令n＝1,4S1＝4a1＝(a1＋1)2⇒a1＝1， 由4Sn＝(an＋1)2，得4Sn＋1＝(an＋1＋1)2， 两式相减得4an＋1＝(an＋1＋1)2－(an＋1)2， 整理得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0， ∵an＞0， ∴an＋1－an＝2，则数列{an}是首项为1，公差为2的等 差数列，
数第二学十二页人，编教辑于A星版期五·：文十三科点 三十四分。
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(1)裂项相消法的常用形式：
①nn1＋1＝1n－n＋1 1；
②2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1；
③
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
数第二学十三页人，编教辑于A星版期五·：文十三科点 三十四分。
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(1)求an与bn； (2)设数列{cn}满足cn＝S1n，求{cn}的前n项和Tn.
数第二学十五页人，编教辑于A星版期五·：文十三科点 三十四分。
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解：(1)设{an}的公差为d. b2＋S2＝12，
因为q＝Sb22， q＋6＋d＝12，
所以q＝6＋q d. 解得q＝3或q＝－4(舍去)，d＝3. 故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3n－1.
数第五学页，编人辑于教星期A五版：十·三文点 科三十四分。
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6．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数 列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用此法 来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
数第六学页，编人辑于教星期A五版：十·三文点 科三十四分。
an＝1＋2(n－1)＝期五·：文十三科点 三十四分。
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(2)解：由(1)得bn＝2n3－n 1，
Tn＝311＋332＋353＋…＋2n3－n 1，
①
13Tn＝312＋333＋354＋…＋23nn－＋11，
②
数第三学十页，人编辑教于星A期版五：·十文三点科三十四分。
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数第二学十六页人，编教辑于A星版期五·：文十三科点 三十四分。
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(2)由(1)可知，Sn＝n3＋2 3n， 所以cn＝S1n＝n3＋2 3n＝231n－n＋1 1. Tn＝231－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1 ＝231－n＋1 1＝3n2＋n 1.
(2)等比数列{an}的前n项和公式
__n_a_1 q＝1 Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq
q≠1
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数第三学页，编人辑于教星期A五版：十·三文点 科三十四分。
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2．倒序相加法 如果一个数列{an}满足与首末两项等“距离”的两项的 和相等(或等于同一常数)，那么求这个数列的前n项和，可 用倒序相加法． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项 可以相互抵消，从而求得其和．
D．10200
数第十学页，编人辑于教星期A五版：十·三文点 科三十四分。
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解析：因为f(n)＝n2cos(nπ)， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a100 ＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002 ＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(1002－992) ＝2＋1＋4＋3＋5＋6＋…＋100＋99 ＝1001＋ 2 100 ＝5050， 故选C. 答案：C
数第十学二页，人编辑教于星A期版五：·十文三点科三十四分。
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①－②得(1－22)·Sn ＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，
即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]． 答案：19[(3n－1)22n＋1＋2]
数第十学三页，人编辑教于星A期版五：·十文三点科三十四分。
数第四学页，编人辑于教星期A五版：十·三文点 科三十四分。
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4．分组求和法 一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的 数列的通项公式组成，求和时可用分组求和法，分别求和而 后相加． 5．并项求和法 一个数列的前n项和中，若项与项之间能两两结合求 解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用并 项法求解．
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①－②得 23Tn＝13＋2312＋313＋…＋31n－23nn－＋11 ＝13＋2×1911－－313n1－1－23nn－＋11 ＝23－23nn＋＋12， 所以Tn＝1－n＋3n 1.
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数第三学十一页人，编教辑于A星版期五·：文十三科点 三十四分。
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(2)∵bn＋13an是首项为1，公差为2的等差数列， ∴bn＋13an＝1＋2(n－1)． 即数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1－3n－1， 前n项和Sn＝－(1＋3＋32＋…＋3n－1)＋[1＋3＋…＋(2n －1)]＝－12(3n－1)＋n2.
数第十学七页，人编辑教于星A期版五：·十文三点科三十四分。
数第二学十一页人，编教辑于A星版期五·：文十三科点 三十四分。
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[解] (1)由a2n－(2n－1)an－2n＝0得(an－2n)(an＋1)＝0， 由于{an}是正项数列，则an＝2n. (2)由(1)知an＝2n， 故bn＝n＋11an＝n＋112n＝121n－n＋1 1， ∴Tn＝121－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1 ＝121－n＋1 1 ＝2nn＋2.
bn，n为奇数， cn，n为偶数
的数列，其中数列
{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求
和．
数第十学八页，人编辑教于星A期版五：·十文三点科三十四分。
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即时突破1 (2014包头模拟)已知数列{xn}的首项x1＝3， 通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差 数列．求：
1 n＋ n＋1
，若Sn
＝10，则n的值是( )
A．11
B．99
C．120
D．121
数第八学页，编人辑于教星期A五版：十·三文点 科三十四分。
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解析：∵an＝
1 n＋ n＋1
＝ n＋1－ n，
∴Sn＝( 2 －1)＋( 3 － 2 )＋( 4 － 3 )＋…＋( n － n－1)＋( n＋1－ n)＝ n＋1－1.
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分组转化法求和的解题策略：
(1)数列求和应从通项入手，通过对通项变形，转化为
等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．
(2)分组转化法求和的常见类型
①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可
采用分组求和法求{an}的前n项和．
②通项公式为an＝
令Sn＝10， 解得n＝120. 故选C.
答案：C
数第九学页，编人辑于教星期A五版：十·三文点 科三十四分。
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3．(2014山东省青岛市高三期中考试)已知函数f(n)＝
n2cos(nπ)，且an＝f(n)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于( )
A．0
B．100
C．5050
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第4节 数列求和
数第一学页，编人辑于教星期A五版：十·三文点 科三十四分。
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数第二学页，编人辑于教星期A五版：十·三文点 科三十四分。
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1．公式法
(1)等差数列{an}的前n项和公式 Sn＝na12＋an＝na1＋nn－2 1d
(1)在写出“Sn”与“qSn”的表达 式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出
“Sn－qSn”的表达式． (2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参
数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
数第三学十二页人，编教辑于A星版期五·：文十三科点 三十四分。