湘教版九年级上册数学期中考试试卷带答案详解

湘教版九年级上册数学期中考试试题
一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．下列函数关系式中属于反比例函数的是（）
A ．y=3x
B ．2
y -x
=C ．2y x 3
=+D ．x+y=52．关于x 的方程3x 2﹣5=2x 的二次项系数和一次项系数分别是（）A ．3，﹣2
B ．3，2
C ．3，5
D ．5，2
3．一元二次方程2230x x +-=的根的情况是()A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数
D ．无法确定4．下列四条线段中，不能成比例的是（）
A ．a=3，b=6，c=2，d=4
B ．a=1，
c=d=4C ．a=4，b=5，c=8，d=10
D ．a=2，b=3，c=4，d=5
5．某商品原价200元，连续两次降价a %后售价为108元，下列所列方程正确的是A ．200(1+a %)2＝108B ．200(1﹣a 2%)＝108C ．200(1﹣2a %)＝108
D ．200(1﹣a %)2＝108
6．用配方法解方程2240x x --=时，配方后所得的方程为()A ．2(1)5x -=B ．2(1)3
-=x C ．2(1)0
x +=D ．2(1)5
x +=7．若反比例函数y=k
x
的图象经过点(2，3)，则它的图象也一定经过的点是()
A ．()3,2--
B ．()2,3-
C ．()
3,2-D ．()
2,3-8．sin60°的值为（）
A B
C D ．1
29．在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=2
3
，则边AC 的长是（）A
B ．3
C ．
43
D 10．若△ABC ∽△DEF ，AB ：D
E ＝9：4，则△ABC 与△DE
F 的面积之比为（）
A ．3：2
B ．9：4
C ．4：9
D ．81：16
二、填空题
11．己知m 是关于x 的方程x 2﹣2x ﹣3=0的一个根，则2（m 2﹣2m ）=______．12．已知△ABC ∽△DEF ，且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为________．
13．若
23
a b =，那么a a b +的值是___________
14．若反比例函数2k
y x
-=的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是__.
15．
已知正比例函数y ＝2x 与反比例函数y ＝2
x
的图象相交于A ，B 两点，若点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标为_______．
16．已知线段c 是线段a 、b 的比例中项，且4a =，9b =，则线段c 的长度为______．
17．如图（图象在第二象限．．．．），若点A 在反比例函数(0)k y k x
=≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO 的面积为5，则k =__．
18．如图，要使△ABC 与△DBA 相似，则只需添加一个适当的条件是_____（填一个即可）
三、解答题19．解方程：（1）2410
x x -=+（2）()()
2
322x x x -=-20．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ．求证：△DEH ∽△BCA ．
21．如图，有一面积为150平方米的矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成．如果竹篱笆的长为35米，求矩形花圃的长和宽各是多少米？
22．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．
（1）求EC的值；
（2）求证：AD•AG=AF•AB．
23．如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)和反比例函数y2＝m
x
(m≠0)的图象交于点A(－1，6)，B(a，
－2)．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式;
（2）根据图象直接写出y1>y2时，x的取值范围．
24．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣1
2
）=0
(1)求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的
周长．
25．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．
（1）求证：△DFC∽△CBE；
（2）若AD＝4，CD＝6，DE＝3，求DF的长．
26．（阅读理解）对于任意正实数a、b，
∵)2≥0，
∴a﹣+b≥0，
∴(只有当a＝b时，a+b等于．
(1)（获得结论）在、b均为正实数)中，若ab为定值p，
则，只有当a＝b时，a+b有最小值
根据上述内容，回答下列问题：若m＞0，只有当m＝时，m+4
m有最小值．
(2)（探索应用）已知点Q(﹣3，﹣4)是双曲线y＝k
x上一点，过Q作QA⊥x轴于点A，作
QB⊥y轴于点B．点P为双曲线y＝k
x
(x＞0)上任意一点，连接PA，PB，求四边形AQBP
的面积的最小值．
参考答案
1．B 【分析】
根据反比例函数的定义进行判断．【详解】
A 、该函数是正比例函数，故本选项错误；
B 、该函数符合反比例函数的定义，故本选项正确；
C 、该函数是二次函数，故本选项错误；
D 、该函数是一次函数，故本选项错误；故选B ．【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是y ＝k
x
（k≠0）．2．A 【详解】
解：化为一般式，得3x 2﹣2x ﹣5=0．二次项系数和一次项系数分别是3，﹣2，故选：A ．【点睛】
本题考查一元二次方程的一般形式．3．C 【分析】
分别写出一元二次方程的二次项系数a 、一次项系数b 、常数项c ，并算出根的判别式
2=b 4ac -△的大小，即可判断根的情况．
【详解】
解：一元二次方程为：22x +x-3=0，其中二次项系数a=2，一次项系数b=1，常数项c=-3，根的判别式22=b 4ac=142(3)=250--⨯⨯->△，∴有两个不等的实数根，故选：C ．【点睛】
本题考察了一元二次函数根的判别式，解题的关键在于求出方程的 ，若 ＞0，则有两个不等的实数根，若 =0，则有两个相等的实数根，若 ＜0，则没有实数根．4．D 【详解】
解：A 、2×6=3×4，能成比例；B 、
，能成比例；C 、4×10=5×8，能成比例；D 、2×5≠3×4，不能成比例．故选：D ．5．D 【分析】
根据题意可得，原价×（1﹣a %）2＝售价，据此列出方程即可．【详解】
解：由题意可得：200（1﹣a %）2＝108．故选：D ．【点睛】
本题主要考查列一元二次方程，读懂题意是解题的关键．6．A 【分析】
移项后把左边配成完全平方式，右边化为常数．【详解】解：2x 2x 4=0
--2x 2x+114=0
---2(x 1)=5-，
故选：A ．【点睛】
本题考查了解一元二次方程—配方法：将一元二次方程配成2(x m)=n +的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．7．A
【详解】
解：根据题意得k=2×3=6，
所以反比例函数解析式为y=6 x，
∵﹣3×（﹣2）=6，2×（﹣3）=﹣6，3×（﹣2）=﹣6，﹣2×3=﹣6，
∴点（﹣3，﹣2）在反比例函数y=6
x的图象上．
故选A．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．
8．B
【分析】
根据特殊角的三角函数值进行回答即可．
【详解】
解：
故选：B．
【点睛】
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．9．A
【分析】
分析：根据∠A的正弦值，以及BC的长可求出斜边AB的长，然后根据勾股定理求AC．【详解】
解答：在Rt△ABC中，
∵sinA=
22
3 BC
AB AB
==，
∴AB=3，
∴根据勾股定理，得
故选A．
点评：本题考查了利用勾股定理和锐角三角函数的概念解直角三角形．10．D
【分析】
根据相似三角形的性质计算即可；【详解】
∵△ABC ∽△DEF ，且相似比为9：4，∴其面积之比为81：16．故选：D ．【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质，准确计算是解题的关键．11．6【分析】
根据方程的根的定义，将m 代入方程得2m 2m 3=0--，即2m 2m=3-，要求的代数式即为22(m 2m)-，代入即可解答．
【详解】
解：∵m 是2x 2x 3=0--的一个根，∴2m 2m 3=0--，即2m 2m=3-，∴22(m 2m)=23=6-⨯，故答案为：6．【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义和代数求值，运用整体代入的数学思想可以方便解答．12．2：3【详解】
因为S △ABC ：S △DEF =4：9=2
23⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
所以△ABC 与△DEF 的相似比为2：3，故答案为：2：3．13．
25
【分析】根据
23
a b =，得出b=32a ，再代入a a b +进行计算即可．
【详解】
解：∵
2
3 a
b=
∴b=3 2 a,
∴
a
a b+
=3a
2
a
a+=
2
5
,
故答案为：2 5．
【点睛】
本题考查了比例的基本性质，熟练掌握代入化简是解题的关键．
14．k>2
【分析】
根据图象在第二、四象限，利用反比例函数的性质可以确定2-k的符号，即可解答．【详解】
∵反比例函数y＝2k
x
-
的图象在第二、四象限，
∴2-k＜0，
∴k＞2．
故答案为k＞2．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的性质，熟练记忆当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键．
15．(-1,-2)
【分析】
联立反比例函数与一次函数的方程，得到2=2x
x，解得：1
x=1，
2
x=-1，故B点横坐标为-1，
即可求得B点坐标．【详解】
解：联立方程组得：
2
y=
x
y=2x ⎧
⎪
⎨
⎪⎩
，
即2=2x
x，2
2x=2，解得：1x=1，2x=-1，
又∵A点坐标为(1,2)，∴B点横坐标为-1，
∴B点坐标为(-1,-2)，
故答案为：(-1,-2)．
【点睛】
本题主要考察一次函数与反比例函数的综合，解题的关键在于联立反比例函数与一次函数的方程．
16．6
【详解】
根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积.所以c2=4×9,解得c=±6(线段是正数,负值舍去)，
故答案为6.
17．-10
【分析】
根据反比例函数
k
y=
x（k≠0）的比例系数k的几何意义得到：
k=OM AM=10
⋅，然后根据反
比例函数在第二象限，得到满足条件的k的值．【详解】
解：∵AMO 1
S=AM=5
2⋅
△
，
∴k=OM AM=10
⋅，
且反比例函数在第二象限，k＜0，∴k=-10，
故答案为：-10．
【点睛】
本题考查了反比例函数
k
y=
x（k≠0）的比例系数k的几何意义：从反比例函数
k
y=
x（k≠0）
图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为k，且函数在第一、三象限，k＞0，函数在第二、四象限，k＜0．
18．∠C=∠BAD（答案不唯一）
【详解】
试题分析：∵∠B=∠B（公共角），
∴可添加：∠C=∠BAD．
此时可利用两角法证明△ABC 与△DBA 相似．
故答案可为：∠C=∠BAD ．
考点：相似三角形的判定．
19．（1）1x 2=-2x 2=-（2）12x 2,x 3==．
【分析】
（1）将式子配凑成完全平方式，即可求解；
（2）移项后提取公因式(x-2)后，即可求解．
【详解】
解：（1）2x 4x 1=0
+-2x 4x+441=0
+--2(x+2)5=
x 2=，
即1x 2=-2x 2=-（2）23(x-2)=x (x-2)
⋅(3x-6-x)(x-2)=0
(2x-6)(x-2)=0
解得：12x =，2x 3=．
【点睛】
本题主要考察了解一元二次方程，一元二次方程求解的方法主要有直接开平方法、配方法、因式分解和公式法，应根据题目选择合适的方法．
20．详见解析．
【分析】
△DEH 与△ABC 均为直角三角形，可利用等角的余角相等再求出一组锐角对应相等即可．
【详解】
证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，
∴∠D +∠DHE ＝∠B +∠BHF ＝90°
而∠BHF ＝∠DHE ，
∴∠D ＝∠B ，
又∵∠DEH ＝∠C ＝90°，
∴△DEH ∽△BCA ．
【点睛】
此题考查的是相似三角形的判定和互余的性质，掌握有两组对应角相等的两个三角形相似和等角的余角相等是解决此题的关键．
21．矩形花圃的长为15米，宽为10米．
【分析】
先分靠墙的一边为矩形花圃的长、靠墙的一边为矩形花圃的宽两种情况，再分别根据“墙长18米”、“宽小于长”求出x 的取值范围，然后根据面积建立方程，求解即可得．
【详解】
由题意，分以下两种情况：
（1）靠墙的一边为矩形花圃的长
设矩形花圃的长为x 米，则宽为
352
-x 米 墙长18米，且宽小于长18352
x x x ≤⎧⎪∴⎨-<⎪⎩解得35183
x <≤由矩形的面积公式得：351502x x -⋅
=解得15x =或20x =（不符题设，舍去）此时3535151022
x --==则矩形花圃的长为15米，宽为10米
（2）靠墙的一边为矩形花圃的宽
设矩形花圃的长为x 米，则宽为(352)x -米
墙长18米，且宽小于长
035218352x x x
<-≤⎧∴⎨-<⎩解得353532
x <<由矩形的面积公式得：(352)150
x x -=
解得10x =（不符题设，舍去）或152
x =（不符题设，舍去）综上，矩形花圃的长为15米，宽为10米．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用、一元一次不等式组的应用，依据题意，分两种情况讨论，并正确建立不等式组和方程是解题关键．
22．
（1）6；（2）证明见解析．【解析】
试题分析：（1）由平行可得
AD AE AB AC =，可求得AC ，且EC=AC-AE ，可求得EC ；（2）由平行可知AD AE AF AB AC AG
==，可得出结论．试题解析：（1）∵DE ∥BC ，∴
AD AE AB AC =，又
13AD AB =，AE=3，∴313
AC =，解得AC=9，
∴EC=AC-AE=9-3=6；
（2）∵DE ∥BC ，EF ∥CG ，∴AD AE AF AB AC AG
==，∴AD•AG=AF•AB ．
考点：平行线分线段成比例．
23．（1）y 1＝－2x ＋4，y 2＝－
6x
；（2）x <－1或0<x <3．【分析】
（1）把点A 坐标代入反比例函数求出k 的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点B 的坐标代入反比例函数解析式求出a 的值，得到点B 的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）找出直线在一次函数图形的上方的自变量x 的取值即可．
【详解】
解：（1）把点A （﹣1，6）代入反比例函数2m y x
=
（m≠0）得：m=﹣1×6=﹣6，∴26y x =-．将B （a ，﹣2）代入26y x
=-得：62a -=-，a=3，∴B （3，﹣2），将A （﹣1，6），B （3，﹣2）代入一次函数y 1=kx+b 得：632
k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，∴24k b =-⎧⎨=⎩
，∴124y x =-+；
（2）由函数图象可得：x ＜﹣1或0＜x ＜3．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解题是本题的关键．
24．
（1）证明见解析；（2）10.【详解】
试题分析：（1）先把方程化为一般式：x 2﹣（2k+1）x+4k ﹣2=0，要证明无论k 取任何实数，方程总有两实数根，即要证明△≥0；
（2）先利用因式分解法求出两根：x 1=2，x 2=2k ﹣1．先分类讨论：若a=4为底边；若a=4为腰，分别确定b ，c 的值，求出三角形的周长．
试题解析：（1）证明：方程化为一般形式为：x 2﹣（2k+1）x+4k ﹣2=0，
∵△=（2k+1）2﹣4（4k ﹣2）=（2k ﹣3）2，
而（2k ﹣3）2≥0，
∴△≥0，
所以无论k 取任何实数，方程总有两个实数根；
（2）解：x 2﹣（2k+1）x+4k ﹣2=0，
整理得（x ﹣2）[x ﹣（2k ﹣1）]=0，
∴x 1=2，x 2=2k ﹣1，
当a=4为等腰△ABC 的底边，则有b=c ，
因为b 、c 恰是这个方程的两根，则2=2k ﹣1，
解得k=32
，则三角形的三边长分别为：2，2，4，
∵2+2=4，这不满足三角形三边的关系，舍去；
当a=4为等腰△ABC的腰，
因为b、c恰是这个方程的两根，所以只能2k﹣1=4，
则三角形三边长分别为：2，4，4，
此时三角形的周长为2+4+4=10．
所以△ABC的周长为10．
25．（1）证明见解析；（2）DF=．
【分析】
（1）根据平行四边形对边平行的性质，得到∠DCE＝∠BEC，结合题目已知∠DFE＝∠A，及等角的补角相等，可得∠DFC＝∠B，进而证明△DFC∽△CBE；
（2）根据平行四边形的性质，及平行线定理，解得∠EDC＝90°，由勾股定理计算CE的长，最后根据相似三角形对应边成比例的性质解题即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，CD//AB，
∴∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，
∵∠DFE＝∠A，
∴∠DFE+∠B＝180°，
而∠DFE+∠DFC＝180°，
∴∠DFC＝∠B，而∠DCF＝∠CEB，
∴△DFC∽△CBE；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD//AB，BC＝AD＝4，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥DC，
∴∠EDC＝90°，
在Rt△DEC中，CE===
∵△DFC∽△CBE，
∴DF：BC＝DC：CE，即DF：4＝6：
∴DF
5
．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
26．(1)2，4；(2)24.
【分析】
（1）根据阅材料可得，当m＝4
m时，m+
4
m取得最大值，据此即可求解；
（2）连接PQ，设P（x，12
x），根据根据四边形AQBP的面积＝△AQP的面积+△QBP的
面积，从而利用x表示出四边形的面积，利用阅读材料中介绍的不等式的性质即可求解．【详解】
(1)根据题意得当m＝4
m时，m＝2，此时m+4
m＝4．
故答案是：2，4；
(2)连接PQ，设P(x，12
x )，
∴S
四边形AQBP ＝1
2
×4(x+3)+1
2
×3(
12
x
+4)
＝2x+18
x
+12≥12+12＝24．
∴最小值为24．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质以及不等式的性质，正确读懂已知中的不等式的性质，表示出四边形AQBP的面积是关键．。