千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第29炼 图像变换在三角函数中的应用

第29炼 图像变换在三角函数中的应用在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如()sin y A x ωϕ=+的函数，通过横纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。

要求学生熟练掌握函数图像变换，尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。

一、基础知识：（一）图像变换规律：设函数为()y f x =（所涉及参数均为正数） 1、函数图像的平移变换：（1）()f x a +：()f x 的图像向左平移a 个单位 （2）()f x a -：()f x 的图像向右平移a 个单位 （3）()f x b +：()f x 的图像向上平移b 个单位 （4）()f x b -：()f x 的图像向下平移b 个单位 2、函数图像的放缩变换：（1）()f kx ：()f x 的图像横坐标变为原来的1k（图像表现为横向的伸缩） （2）()kf x ：()f x 的图像纵坐标变为原来的k 倍（图像表现为纵向的伸缩） 3、函数图象的翻折变换： （1）()fx ：()f x 在x 轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于y 轴对称的图像（2）()f x ：()f x 在x 轴上方的图像不变，x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折即可（与原x 轴下方图像关于x 轴对称） （二）图像变换中要注意的几点：1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换例如：()31y f x =+：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤()2y f x =-+：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现： （1）加“常数”⇔ 平移变换 （2）添“系数”⇔放缩变换 （3）加“绝对值”⇔翻折变换3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ② 横坐标的多次变换中，每次变换只有x 发生相应变化 例如：()()21y f x y f x =→=+可有两种方案方案一：先平移（向左平移1个单位），此时()()1f x f x →+。

再放缩（横坐标变为原来的12），此时系数2只是添给x ，即()()121f x f x +→+ 方案二：先放缩（横坐标变为原来的12），此时()()2f x f x →，再平移时，若平移a 个单位，则()()()()2222f x f x a f x a →+=+（只对x 加a ），可解得12a =，故向左平移12个单位③ 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行 例如：()()21y f x y f x =→=+有两种方案方案一：先放缩：()()2y f x y f x =→=，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即()()()221y f x y f x =→=+方案二：先平移：()()1y f x y f x =→=+，则再放缩时，若纵坐标变为原来的a 倍，那么()()()11y f x y a f x =+→=+，无论a 取何值，也无法达到()21y f x =+，所以需要对前一步进行调整：平移12个单位，再进行放缩即可（2a =） 二、典型例题：例1：要得到函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，只需要将函数sin 2y x =的图像（ ）A. 向左平移3π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向右平移6π个单位 D. 向左平移6π个单位思路：观察发现原始函数与变换后的函数仅仅多一个常数，说明只有平移变换，在变换的过程中要注意只有含x 的地方进行了变化，所以只有sin 2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以是向右平移6π个单位 答案：C小炼有话说：（1）图像变换要注意区分哪个是原始函数，哪个是变化后的函数。

（2）对于x 前面含有系数时，平移变换要注意系数产生的影响。

例2：把函数sin y x =的图像上所有的点横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图像向右平移34π个单位，这是对应于这个图像的解析式是（ ） A. cos 2y x = B. cos 2y x =- C. 13sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D. 13sin 28y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭思路：13243sin sin 2sin 24y x y x y x ππ⨯⎛⎫=−−−−→=−−−−→=-⎪⎝⎭横坐标向右平移，经过化简可得：33sin 2sin 2cos 242y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭答案：A例3：为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos 2y x =的图像（ ） A. 向左平移3π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向右平移6π个单位 D. 向左平移6π个单位思路：观察可发现两个函数的三角函数名不同，而图像变换是无法直接改变三角函数名的，只有一个可能，就是在变换后对解析式进行化简，从而使得三角函数名发生改变。

所以在考虑变换之前，首先要把两个函数的三角函数名统一，cos 2sin 22y x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭，第二步观察可得只是经过平移变换，但是受到x 系数影响。

所以考虑对两个函数进行变形以便于观察平移了多少，目标函数：sin 212y x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；原函数：sin 2sin 224y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 可得平移了3π个单位 答案：B小炼有话说：常见的图像变换是不能直接改变三角函数名，所以当原函数与目标函数三角函数名不同时，首先要先统一为正弦或者余弦 例4：要得到sin y x =的图像只需将sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ） A. 先向左平移23π个单位，再将图像上各点的横坐标缩短至原来的12 B. 先向右平移23π个单位，再将图像上各点的横坐标缩短至原来的12C. 先将图像上各点的横坐标缩短至原来的12，再将图像向左平移3π个单位D. 先将图像上各点的横坐标扩大为至原来的2倍，再将图像向右平移3π个单位 思路：本题中共用两个步骤：平移与放缩。

步骤顺序的不同将会导致平移的程度不同，所以可以考虑按照选项的提示进行变换，看结果是否与已知相同 A. 12122sin sin sin sin 23233233x y y x x y x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+→=++=+→=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ B. 121sin sin sin sin 232332x y y x x y x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+→=-+=→=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C. 2sin sin sin 2333x y y x y x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+→=+→=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 11sin sin sin sin 234343344x x y y y x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+→=+→=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案：B例5：为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位思路：先将两个函数化为相同的结构，再考虑图像变换，从x x y 3cos 3sin +=入手化为()sin y A x ωϕ=+的形式：34y x x x π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎭，从而得到需要x y 3sin 2=向左平移12π个单位。

答案：D例6：将函数()sin 2y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．4π-B ．0C ．4π D ．43π 思路：首先先求出平移后的解析式，()8sin 2sin 28y x y x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=+−−−−→=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦向左平移即sin 24y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，在由已知可得其中一条对称轴为0x =，所以()242k k Z ππϕπ+=+∈ ，解得：()24k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，4πϕ=答案：C小炼有话说：本题为图像变换与三角函数性质相结合的题目 例7：若将函数()sin y x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位可得到一个奇函数的图像，向左平移3π个单位可得到一个偶函数的图像，则,ωϕ可取的一组值是（ ） A. 2,3πωϕ== B. 2,6πωϕ==-C. 1,6πωϕ==D. 1,26πωϕ==思路：本题也可按照例6的处理方式，通过两次平移得出解析式然后列出,ωϕ的方程组求解，但从另一方面，由两次平移后得到的对称轴（对称中心）的位置可以推出平移之前的对称位置，从而确定出原函数的对称轴与对称中心：向右平移6π个单位后关于()0,0对称，则原函数关于,06π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称；向左平移3π个单位关于0x =轴对称，则原函数关于3x π=轴对称，从而确定周期4236T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，进而1ω=，而()sin y x ϕ=+向右平移6π个单位得到奇函数，可得6πϕ=答案：C例8：若把函数sin y x ω=图像向左平移3π个单位，则与函数cos y x ω=的图像重合，则ω的值可能是（ ） A.13 B. 12 C. 23 D. 32思路：首先将两个函数的三角函数名统一：cos sin 2y x x πωω⎛⎫==+⎪⎝⎭，将函数sin y x ω=向左平移3π得到的解析式为sin sin 33y x x πωπωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由于两个函数图像重合，可得sin sin 32x x ωππωω⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()232x x k k Z ωππωωπ+=++∈，解得：()362k k Z ω=+∈，故选择D 答案：D例9．将函数()()sin 222f x x ππθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()(),f x g x 的图象都经过点0,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则ϕ的值可以是（ ）A.53π B.56π C.2π D.6π思路：可以考虑先求出()f x 的解析式，从而减少()g x 中的变量个数。