贵州省六盘水市水城区2023-2024学年高二上学期12月月考试题 数学含解析

2023-2024学年第一学期高二质量监测
数学（答案在最后）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册至选择性必修第一册第三章3.1．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合{}{}
2,4,1,3,4A B =-=-，则A B ⋃=（
）
A.
{}
4 B.
{}
2,1-- C.
{}
2,1,3-- D.
{}
2,1,3,4--2.在空间直角坐标系中，点B 是点()2,1,5A -在坐标平面Oyz 内的射影，则B 的坐标为（）
A.
()
0,1,5- B.
()
2,0,5- C.
()
2,1,0 D.
()
2,1,5--
3.直线270y --=的倾斜角为（）
A.150
B.30
C.120
D.60
4.若()()2
75f x x a x =+--为偶函数，则=a （）A.0
B.5
C.7
D.9
5.已知椭圆22
:1131
x y M m +=-，则m 的取值范围为（
）
A.
()1,+∞ B.()()
1,1414∞⋃+ C.
()0,∞+ D.()()1,1313∞⋃+6.
已知直线0x y -=与圆22:(2)6M x y +-=交于,A B 两点，则AB =（
）A.1 B.2 C.4
D.
7.有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（
）
A.
310
B.
15
C.
25
D.
12
8.已知椭圆22
:153
x y M +=，过点()1,P m ，斜率为35的直线l 与M 交于,A B 两点，且P 为AB 的中点，
则m =（）
A.1
B.1
- C.
1
2
D.12
-
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.已知1F ，2F 分别是椭圆22
:186
y x M +=的上、下焦点，点P 在椭圆M 上，则（
）
A.M 的长轴长为
B.M 的短轴长为
C.
1F 的坐标为()
D.2PF 10.已知向量(),,2a m n =
，()2,2,1b =- ，则下列结论正确的是（
）
A .
若a b
，则4,4
m n ==- B.若a b
，则4,4
m n =-=C.若a b ⊥
，则10-+=m n D.若a b ⊥
，则10
n m -+=11.若函数()πsin 28f x x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
的图象向左平移π8个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（）
A.()g x 的最小正周期为π
B.()g x 是奇函数
C.()g x 的图象关于直线3π
16
x =
对称D.()g x 在π0,8
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增
12.在如图所示的直角坐标系中，五个大小相同的圆环排成两排从左到右环环相扣，若每个圆环的大圆半径为1.2，小圆半径为1，其中圆心135,,O O O 在x 轴上，且15O O 24O O ，133524 2.6O O O O O O ===，圆
2O 与圆4O 关于y 轴对称，直线1524,O O O O 之间的距离为1.1，则给出的结论中正确的是（
）
A.设,M N 是图中五个圆环组成的图形上任意的两点，则,M N 两点间的距离的最大值为7.6
B.小圆2O 的标准方程为22( 1.3)( 1.1)1x y +++=
C.图中五个圆环覆盖的区域的面积为2.2π
D.小圆1O 与小圆2O 的公共弦所在的直线方程为1301101930
x y -+=三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.()i 59i +的虚部为__________．
14.已知方程2222660x y x y m ++-++=表示一个圆，则m 的取值范围为__________，该圆的半径的最大值为__________．
15.已知正方体的外接球的体积为92π，则该正方体的棱长为__________．
16.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，其离心率12e =，P 和M 是椭圆C 上
的点，且1260F PF ∠=
，12F PF △的面积为3，O 是坐标原点，则1MF MO ⋅
的最小值为__________．
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．
17.已知直线l 经过点(2,4)A --．
（1）若l 经过点(1,1)B -，求l 的斜截式方程；（2）若l 在x 轴上的截距为4-，求l 在y 轴上的截距．18.已知圆M 的圆心的坐标为()
1,2-，且经过点()2,1．
（1）求圆M 的标准方程；
（2）若P 为圆M 上的一个动点，求点P 到直线3150x y +-=的距离的最小值．
19.已知,A B 分别是椭圆22
2:1(0)4y x
M m m
+=>的左顶点､上顶点，且5AB =
（1）求点,A B 的坐标；
（2）若直线l 与AB 平行，且l 与M 相切，求l 的一般式方程．
20.如图，在直三柱111A B C ABC -中，1,2,4,6AC AB AC AB AA ⊥===，,E F 分别为1CA ，AB 的中点．
（1）若11111EF xB B yB C zB A =++
，求,,x y z 的值；
（2）求1B C 与平面AEF 所成角的正弦值．
21.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且πsin cos cos 4A b A B ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
．（1）求B ；
（2）若b =，求ABC 面积的最大值．
22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，其离心率为3
3
，M 是E
上的一点．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆E 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2x =-于点Q ，求
PQ AB
的最小值．
2023-2024学年第一学期高二质量监测
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册至选择性必修第一册第三章3.1．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合{}{}
2,4,1,3,4A B =-=-，则A B ⋃=（
）
A.
{}
4 B.
{}
2,1-- C.
{}
2,1,3-- D.
{}
2,1,3,4--【答案】D 【解析】
【分析】由并集的定义求解.
【详解】集合{}{}2,4,1,3,4A B =-=-，则{}2,1,3,4A B ⋃=--．故选：D
2.在空间直角坐标系中，点B 是点()2,1,5A -在坐标平面Oyz 内的射影，则B 的坐标为（）
A.
()
0,1,5- B.
()
2,0,5- C.
()
2,1,0 D.
()
2,1,5--【答案】A 【解析】
【分析】根据已知条件可得出点B 的坐标.
【详解】在空间直角坐标系中，点B 是点()2,1,5A -在坐标平面Oyz 内的射影，则点B 的坐标为()0,1,5-.故选：A.
3.直线270y --=的倾斜角为（）
A.150
B.30
C.120
D.60
【答案】D 【解析】
【分析】设直线的倾斜角为α，根据题意，得到tan α=
，即可求解.
【详解】由题意，该直线270y --=的斜率为k =
设直线270y --=的倾斜角为α，可得tan α=，
因为0180α≤< ，所以所求的倾斜角为60α= ．故选：D.
4.若()()2
75f x x a x =+--为偶函数，则=a （
）A.0 B.5
C.7
D.9
【答案】C 【解析】
【分析】求出()f x -的表达式，根据偶函数定义即可求出a 的值.【详解】由题意，
()()275f x x a x =+--为偶函数，
∴()()()()2
27575f x x a x x a x -=-----=--，()()=f x f x -，
∴()77a a -=--，解得：7a =，故选：C.
5.已知椭圆22
:1131
x y M m +=-，则m 的取值范围为（
）
A
.
()1,+∞ B.()()
1,1414∞⋃+ C.
()0,∞+ D.()()
1,1313∞⋃+【答案】B 【解析】
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程，列出不等式代入计算，即可得到结果.【详解】由题意得10,
113,m m ->⎧⎨
-≠⎩
得1m >且14m ≠．
故选：B
6.已知直线0x y -=与圆22:(2)6M x y +-=交于,A B 两点，则AB =（）A.1 B.2
C.4
D.【答案】C 【解析】
【分析】根据题意圆心M 为(0,2)
，半径r =，圆心M (0,2)到直线0x y -=
，利用垂径
定理即可求得弦长.
【详解】圆心M (0,2)到直线0x y -=
=
又圆的半径r =
4AB ==．
故选：C
7.有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（）
A.
310
B.
15 C.
25
D.
12
【答案】A 【解析】
【分析】用列举法列举出样本空间，结合古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】记3克的砝码为1A ，2A ，1克的砝码为1C ，2C ，2克的砝码为B ，从中随机选取两个砝码，样本空间()()()()()()()()()(){}1
2
1
1
1
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A C A C A B A C A C B C B C C C Ω=
，
共有10个样本点，其中事件“这两个砝码的总重量超过4克”包含3个样本点，故所求的概率为310
．故选：A.
8.已知椭圆22
:153
x y M +=，过点()1,P m ，斜率为35的直线l 与M 交于,A B 两点，且P 为AB 的中点，
则m =（）
A.1
B.1
- C.
1
2
D.12
-
【答案】B 【解析】
【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，因为()1,P m 为,A B 的中点，可得12122,2x x y y m +=+=，代入椭圆的方程，两式相减，得出关于m 的方程，即可求解.
【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，因为()1,P m 为,A B 的中点，可得12122,2x x y y m
+=+=又由22
1122
221531
53x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()2222
121212121212
5353x x x x y y y y x x y y -+-+--+=+()()
12122205
3
x x m y y --=
+
=，
则()()1212113
053535
m y y m x x -+
=+⨯=-，得1m =-．故选：B.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.已知1F ，2F 分别是椭圆22
:186
y x M +=的上、下焦点，点P 在椭圆M 上，则（
）
A.M
的长轴长为 B.M
的短轴长为C.1F
的坐标为()
D.2PF
【答案】ABD 【解析】
【分析】根据题意，结合椭圆的几何性质，即可求解.
【详解】由椭圆22
:186
y x M +=
，可得a =
，b
，则c ==，
所以，椭圆M
的长轴长为M
的短轴长为1F
的坐标为(，根据椭圆的几何性质，得到2PF
的最小值为a c -=故选：ABD.
10.已知向量(),,2a m n =
，()2,2,1b =- ，则下列结论正确的是（
）
A.若a
b
，则4,4
m n ==- B.若a
b
，则4,4
m n =-=
C.若a b ⊥
，则10-+=m n D.若a b ⊥
，则10
n m -+=【答案】AC 【解析】
【分析】根据向量平行的坐标表示计算得出,m n 的值判断A ，B ；根据向量垂直的坐标表示计算得出,m n 的关系判断C ，D.
【详解】若a b
，则2221
m n =
=-，得4,4m n ==-，故A 正确，B 错误；若a b ⊥ ，则2220a b m n ⋅=-+= ，即10-+=m n ，故C 正确，D 错误；
故选：AC.
11.若函数()πsin 28f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
的图象向左平移π8个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（）
A.()g x 的最小正周期为π
B.()g x 是奇函数
C.()g x 的图象关于直线3π
16
x =
对称D.()g x 在π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增
【答案】ACD 【解析】
【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得()πsin 28g x x ⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，可得()πππsin 2sin 2888g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+
-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭
⎝⎭⎣⎦
，则()g x 的最小正周期为π，且()g x 不是奇函数，所以A 正确，B 不正确；
当3π
16
x =
时，可得()3πππsin(2sin 11682g x =⨯
+==，所以()g x 的图象关于直线3π
16
x =对称，所以C 正确；
由π0,8x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得ππ3π2,888x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，所以()g x 在π0,8⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以D 正确．故选：ACD.
12.在如图所示的直角坐标系中，五个大小相同的圆环排成两排从左到右环环相扣，若每个圆环的大圆半径为1.2，小圆半径为1，其中圆心135,,O O O 在x 轴上，且15O O 24O O ，133524 2.6O O O O O O ===，圆
2O 与圆4O 关于y 轴对称，直线1524,O O O O 之间的距离为1.1，则给出的结论中正确的是（
）
A.设,M N 是图中五个圆环组成的图形上任意的两点，则,M N 两点间的距离的最大值为7.6
B.小圆2O 的标准方程为22( 1.3)( 1.1)1x y +++=
C.图中五个圆环覆盖的区域的面积为2.2π
D.小圆1O 与小圆2O 的公共弦所在的直线方程为1301101930x y -+=【答案】ABD 【解析】
【分析】根据五圆的位置，求,M N 两点间的距离的最大值判断选项A ；由圆心坐标和半径求小圆2O 的标准方程判断选项B ；求每个圆环的面积判断选项C ；作差法求两圆公共弦所在的直线方程判断选项D.【详解】设每个大圆的半径为R ，每个小圆的半径为r ．因为152 2.6 5.2O O =⨯=，所以M ，N 两点间距离的最大值应为2.622 5.22 1.27.6R ⨯+=+⨯=，A 选项正确．
依题意可得小圆2O 的圆心为()1.3, 1.1--，半径1r =，所以小圆2O 的标准方程为22( 1.3)( 1.1)x y +++=1，B 选项正确．
因为每个圆环的面积为(
)22
π0.44πR r
-=，即0.44π5 2.2π⨯=，而五个圆环有重合的部分，
所以图中五个圆环覆盖的区域的面积小于2.2π，C 选项错误．
又小圆1O 的方程为22( 2.6)1x y ++=，所以小圆1O 和小圆2O 两圆方程相减，
可得公共弦所在直线方程2.6 2.2 3.860x y -+=，化简得1301101930x y -+=，D 选项正确．故选：ABD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.()i 59i +的虚部为__________．【答案】5【解析】
【分析】由复数的乘法和复数虚部的定义求解.
【详解】由题意得()i 59i 95i +=-+，所以()i 59i +的虚部为5．故答案为：5
14.已知方程2222660x y x y m ++-++=表示一个圆，则m 的取值范围为__________，该圆的半径的最大值为__________．【答案】①.
()
2,2-②.2
【解析】
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得到240m -+>，求出m 的取值范围，并根据244m -+≤求出半径的最大值.
【详解】该方程可化为圆的标准方程222(1)(3)4x y m ++-=-+．由240m -+>，得22m -<<．因为244m -+≤，
2=．故答案为：()2,2-，2
15.
已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的棱长为__________．
【答案】【解析】
【分析】设该正方体的棱长为a ，由正方体的性质得得到对角线，也就是外接球的直径，进而得到半径，然后利用球的体积公式得到关于a 的方程，求解即得.
【详解】设该正方体的棱长为a
，则该正方体的外接球的半径为
22
=
.
由4π
33
2⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
，得a =
.
16.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，其离心率12e =，P 和M 是椭圆C 上
的点，且1260F PF ∠=
，12F PF △的面积为，O 是坐标原点，则1MF MO ⋅
的最小值为__________．
【答案】8【解析】
【分析】设12,PF m PF n ==，由12F PF △的面积，解出mn ，在12F PF △中利用余弦定理，结合离心率
12
e =，求出,a c ，得椭圆方程，设()00,M x y ，表示出1MF MO ⋅ ，利用二次函数的性质求最小值.
【详解】由1
2e =，得2a c =．设12,PF m PF n ==，则2m n a +=，
121
sin602
F PF S mn == ，解得16mn =．
在12F PF △中，()2
2
222(2)
2cos60343c m n mn m n mn a mn =+-=+-=- ，
解得2
2
2
12a c b -==，从而4,2a c ==，椭圆方程为2211612
x y
+=，()12,0F -，
设()()-≤≤000,44M x y x ，则()222
1000012484
MF MO x x y x ⋅=++=++ ，
当04x =-时，1MF MO ⋅
的最小值是8．
故答案为：8
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．
17.已知直线l 经过点(2,4)A --．
（1）若l 经过点(1,1)B -，求l 的斜截式方程；（2）若l 在x 轴上的截距为4-，求l 在y 轴上的截距．【答案】（1）2y x =-（2）8-【解析】
【分析】（1）根据斜率公式求解斜率，即可由点斜式求解；（2）根据截距式代入即可求解.【小问1详解】
由题意得41
121
AB k -+=
=--，则l 的方程为11y x +=-，其斜截式方程为2y x =-．【小问2详解】设l 的截距式方程为
1x y
a b
+=，由题意得24
1,4,
a b
a --⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩得8b =-，所以l 在y 轴上的截距为8-．
18.已知圆M 的圆心的坐标为()
1,2-，且经过点()2,1．
（1）求圆M 的标准方程；
（2）若P 为圆M 上的一个动点，求点P 到直线3150x y +-=的距离的最小值．【答案】（1）22(1)(2)10x y -++=（2
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得圆M
的半径为r =，结合圆的标准方程，即可求解；（2）根据题意，求得圆心M
到直线距离为，进而求得点P 到直线的距离的最小值．【小问1详解】
解：因为圆M 的圆心的坐标为()
1,2-，且经过点()2,1，
可得圆M
的半径为r ==，
所以圆M 的标准方程为22(1)(2)10x y -++=．【小问2详解】
解：由题意，圆心M 到直线3150x y +-=
的距离为d =
=，
所以点P 到直线3150x y +-=
的距离的最小值为=．
19.已知,A B 分别是椭圆22
2:1(0)4y x
M m m
+=>的左顶点､
上顶点，且AB =
（1）求点,A B 的坐标；
（2）若直线l 与AB 平行，且l 与M 相切，求l 的一般式方程．【答案】（1）()()1,0,0,2A B -（2
）20x y -+=
或20x y --=【解析】
【分析】（1）根据椭圆的顶点可得22||54AB m ==+，求得m 即可得解；
（2）根据直线得平行设:2l y x t =+，联立2
21,
42,y x y x t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得228440x tx t ++-=，再利用Δ0=即可得解.
【小问1详解】
由题意得22||54AB m ==+，得21m =，又0m >，所以1m =，所以()()1,0,0,2A B -．【小问2详解】由题意得20
201
AB k -=
=+．因为l 与AB 平行，所以l 的斜率为2．设:2l y x t =+，联立2
21,
42,y x y x t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得228440x tx t ++-=．
因为l 与M 相切，所以(
)
2
2
Δ164840t t =-⨯-=，
得t =±故l
的一般式方程为20x y -+=
或20x y --=．
20.如图，在直三柱111A B C ABC -中，1,2,4,6AC AB AC AB AA ⊥===，,E F 分别为1CA ，AB 的中点．
（1）若11111EF xB B yB C zB A =++
，求,,x y z 的值；
（2）求1B C 与平面AEF 所成角的正弦值．【答案】（1）11
,,022
x y z =
=-=（2）
335
35
【解析】
【分析】（1）根据向量的运算法则，化简得到1111122
EF B B BC =- ，结合11111EF xB B yB C zB A =++
，即
可求解；
（2）以1A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得()12,4,6B C =- 和平面AEF 的法向量为()3,0,1n =
，
结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】
解：由向量的线性运算法则，可得
()11122EF AF AE AB AA AC =-=-+ ()
111111112222
AA AB AC B B B C =-+-=- ，
又由11111EF xB B yB C zB A =++ ，所以11
,,022
x y z ==-=．
【小问2详解】
解：以1A 为坐标原点，11111,,AC A B A A 所在直线分别为
,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()()10,0,6,2,0,6,0,4,0,1,0,3,0,2,6A C B E F ，
所以()()()12,4,6,1,0,3,0,2,0B C AE AF =-=-=
．
设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =r ，则30
20
n AE x z n AE y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩
，取3x =，可得0,1y z ==，所以()3,0,1n =
，
设1B C与平面AEF所成的角为θ
，可得1
1
sin
35
||
B C n
B C n
θ
⋅
==
．
21.已知ABC
的内角,,
A B C的对边分别为,,
a b c
，且
π
sin cos cos
4
A b A B
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
．
（1）求B；
（2
）若b=，求ABC
面积的最大值．
【答案】（1）
π
3
B=
（2
）
【解析】
【分析】（1
）由
π
sin cos cos
4
A b A B
⎛⎫
+=+
⎪
⎝⎭
，利用两角和的正弦公式得到sin cos
b A B
=，再利用正弦定理求解；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式得到8
ac≤，然后利用三角形面积公式求解.
【小问1详解】
π
sin cos cos
4
A b A B
⎛⎫
+=+
⎪
⎝⎭
，
所以sin cos cos cos
b A b A b A B
+=，
即sin cos
b A B
=．
由正弦定理得sin sin cos
B A A B
=．
由()
0,π
A∈，得sin0
A≠
，则
sin
tan
cos
B
B
B
==，
由()
0,π
B∈，得
π
3
B=．
【小问2详解】
由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，则228a c ac =+-．
由2282a c ac ac ac =+-≥-，得8ac ≤
，当且仅当a c ==时，等号成立．
故13sin 24
ABC S ac B ac =
=≤ ABC
面积的最大值为22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，
其离心率为3
，M 是E
上的一点．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆E 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2x =-于点Q ，求
PQ AB
的最小值．
【答案】（1）22
1
32
x y +=（2）
153
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到1c =
且
3
c a =
，求得,a b 的值，即可求得椭圆的标准方程；（2）设方程为1x my =+，联立方程组，得到1212
2244
,2323
m y y y y m m --+=
=++
，利用弦长公式，求得)22123
m AB m +=
+
和2249
23m PQ m +=
+，
得到212PQ AB =结合换元法和基本不等式，即可求解.【小问1详解】
解：由椭圆E 的左､右焦点分别为()()121,0,1,0F F -
，其离心率为
3
，可得1c =
且
3
c a =
，解得2222a b a c ==-=，故椭圆E 的方程为22
132
x y +=．
【小问2详解】
解：由题意知直线l 的斜率不为0，设其方程为1x my =+，
设点()()1122,,,A x y B x y ，联立方程22
132
1x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，可得()
22
23440m y my ++-=，所以1212
2244
,2323
m y y y y m m --+=
=++，可得
)
22123
m AB m +=+．
又因为122223
,122323
P P P
y y m y x my m m +-=
==+=++
，
所以22
49
223P m PQ x m +=--=+，
可得212PQ AB =
令1t t =≥
，上式2
45541212123
PQ
t t AB t t +⎛⎫=⨯=+≥⨯= ⎪
⎝⎭，当且仅当54t t =，即12m =±时，PQ AB
取得最小值15
3
．
【点睛】方法策略：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围；
3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.。