第5节 宇宙航行

(5)同步卫星高度固定不变。 所有同步卫星的周期 T、轨道半径 r、 环绕速度 v、角速度 ω 及向心加速度 a 的大小均相同。 3 GMT2 Mm 2π 2 由 G 2 ＝mr· ( T ) 知 r＝ ，由于 T 一定，故 r 不 r 4π2 3 GMT2 变。 设 h 为卫星离地面的高度， 由 r＝R＋h 得 h＝ －R。 4π2 又因为 GM＝gR2，代入数据 T＝24 h＝86400 s，g＝9.8 m/s2，R ＝6400 km，得 h≈3.6×104km。 也就是说，同步卫星必须定位于赤道的正上方，离地面的高 度约为 3.6×104km。
＝4.02×107 m/s。
[答案] (1)1.41×1011 kg/m3 (2)4.02×107 m/s 返回
[借题发挥] 第一宇宙速度 v＝ GM R ＝ gR，也可应用于其他星体，
只不过公式中的 M、R、g 应为相应天体的质量、半径和表 面重力加速度。
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1．宇航员在某星球表面以初速度v0竖直向上抛出一个物体，
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对应的速度大小即是第一宇宙速度。 又在星球表面附近重力提供做圆周运动的向心力，即 mg＝F 向， 则 4π2 mg＝m 2 R， T 2π 2Rh 所以运动周期 T＝ 。 v0
v0 2 答案：(1) 2h (2)v0 R 2π 2Rh 2h v0
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[例2]
已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，
发射速度或最大环绕速度。 3．第二宇宙速度为11.2 km/s，其意义表示物体脱离地球的 束缚所需要的最小发射速度。 4．第三宇宙速度为16.7 km/s，其意义为物体脱离太阳引力
的束缚所需的最小发射速度。
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[自学教材] 1．人造地球卫星 (1)概念：如图6－5－1所示，当物体 的 初速度 足够大时，它将会围绕 地球 旋转
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1．关于第一宇宙速度，下列说法正确的是 A．它是人造地球卫星绕地球运行的最小速度
(
)
B．它是人造地球卫星在近地圆轨道上的绕行速度
C．它是能使卫星进入近地圆轨道的最小发射速度 D．它是卫星在椭圆轨道上运行时近地点的速度
解析：第一宇宙速度是卫星的最小发射速度，也是卫星环
绕地球做圆周运动的最大绕行速度，A错误；B、C正确； 卫星沿椭圆轨道运行时，在近地点做离心运动，说明近地
点的速度大于第一宇宙速度，D错误。
答案：BC 返回
1.人造卫星的轨道
卫星绕地球做匀速圆周运动时 由地球对它的万有引力充当向心力。 因此卫星绕地球做匀速圆周运动的 圆心必与地心重合，而这样的轨道
图6－5－2
有多种，其中比较特殊的有与赤道共面的赤道轨道和通过
两极点上空的极地轨道。当然也应存在着与赤道平面成某 一角度的圆轨道。如图6－5－2所示。 返回
而不再落回地面，成为一颗绕地球转动
的人造卫星。
(2)运动规律：一般情况下可认为人 造卫星绕地球做 匀速圆周 运动。 图6－5－1
(3)向心力来源：人造地球卫星的向心力由 地球对它 的万有引力 提供。 返回
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2003年10月15日，我国航天员 杨利伟 踏入太空。
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[重点诠释] 对宇宙速度的理解
宇宙速度是满足地球上不同要求的卫星的发射速度，不 能理解成卫星的运行速度。 (1)第一宇宙速度：指人造卫星在地面附近绕地球做匀 速圆周运动所具有的速度，是人造地球卫星的最小发射速度， v＝7.9 km/s。 设地球质量为M，卫星质量为m，卫星到地心的距离为r， 卫星做匀速圆周运动的线速度为v ，根据万有引力定律和牛 顿第二定律得：
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(6)同步卫星的环绕速度大小一定。设其运行速度为 v。 v2 Mm 由于 G ， 2＝m R＋h R＋ h v＝ ＝ GM ＝ R＋ h gR2 R＋ h
9.8×6.4×1062 3 m /s≈3.1×10 m/s。 6 7 6.4×10 ＋3.6×10
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[特别提醒]
(1)所有同步卫星的周期T、轨道半径r、环绕速度v、
物体上升的最大高度为h。已知该星球的半径为R，且物
体只受该星球引力的作用。 (1)求该星球表面的重力加速度。 (2)如果要在这个星球上发射一颗贴近它表面运行的卫星， 求该卫星做匀速圆周运动的线速度和周期。
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解析：(1)根据运动学规律，物体上抛过程中有 v2 0＝2gh 所以星 v0 2 球表面的重力加速度 g＝ 。 2h (2)卫星贴近星球表面运转时其轨道半径近似等于星球的半径， 万有引力提供向心力。根据牛顿第二定律得 v2 Mm G 2 ＝mg＝m R ，v＝ gR＝v0 R R 。 2h
[解析]
(1)假设赤道上的物体刚好不被“甩”掉，则此时
白矮星对物体的万有引力恰好提供物体随白矮星转动的向 心力，设白矮星质量为 M，半径为 r，赤道上物体的质量为 Mm 4π2 4π2r3 m，则有 G 2 ＝m 2 r，白矮星的质量为 M＝ 。白矮星 r T GT2 4π2r3 3×3.14 M GT2 3π 3 的密度为 ρ＝ V ＝ ＝ 2＝ －11 2 kg/m ＝ 4 3 GT 6.67×10 ×1 πr 3 1.41× 1011 kg/m3。
2．人造卫星的运行规律 Mm mv (1)人造卫星的运行速率：由 G 2 ＝ r 得 v＝ r
2
GM r ，即
为人造卫星绕地球做匀速圆周运动时的线速度。说明轨道半径 越大，卫星做圆周运动的线速度就越小；当 r＝R 时，卫星绕地 面运行，v＝ GM R ＝7.9 km/s，这是第一宇宙速度，也是卫星
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(2)白矮星的第一宇宙速度，就是物体在万有引力作用下沿 v2 Mm 白矮星表面绕它做匀速圆周运动时的速度，即 G 2 ＝m R 。白 R 矮星的第一宇宙速度为 GM R ＝ 4 3 Gρ·πR 3 R ＝ 4 πGρR2 3
v＝ ＝
4 － ×3.14×6.67×10 11×1.41×1011×6.4×1062 m/s 3
约自转一周(引力常量G＝6.67×10－11 N· m2/kg2，地球半径R
约为6.4×103 km)。
(1)为使其表面上的物体能够被吸引住而不致于由于快速 转动而被“甩”掉，它的密度至少为多少？
(2)假设某白矮星的密度约为此值，且其半径等于地球半
径，则它的第一宇宙速度约为多少？ [思路点拨] 只要保证赤道上的物体不被“甩”掉，其他 地方的物体就不会被“甩”掉。 返回
TA∶TB＝1∶8，则A、B两卫星的轨道半径之比和运动
速率之比分别为 A．rA∶rB＝4∶1，vA∶vB＝1∶2 B．rA∶rB＝4∶1，vA∶vB＝2∶1 C．rA∶rB＝1∶4，vA∶vB＝1∶2 ( )
D．rA∶rB＝1∶4，vA∶vB＝2∶1
知识点一
第 六 章 万 有 引 力 与 航 天
理解教材新知 第 5 节 宇 宙 航 行
知识点二
知识点三
考向一 把握热点考向
考向二 考向三 随堂基础巩固 课时跟踪训练
应用创新演练
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1.人造卫星环绕地球做匀速圆周运动， 所需向心力由地球对卫星的万有引力提供。
2．第一宇宙速度为7.9 km/s，其意义为最小
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(2)第二宇宙速度：在地面上发射物体，使之能够脱造卫星所必需的最小发射速度，其大小为v＝ 11.2 km/s。 (3)第三宇宙速度：在地面上发射物体，使之最后能脱 离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的
最小发射速度，其大小为v ＝16.7 km/s。
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v2 Mm GM G 2 ＝m r ， v ＝ r 。 r 应用近地条件 r≈R(R 为地球半径)，取 R＝6 400 km，M ＝6×1024 kg，则： GM v＝ R ＝7.9 km/s。 第一宇宙速度的另一种推导：在地面附近，万有引力近 似等于重力，此力提供卫星做匀速圆周运动的向心力。 (地球 半径 R、地面重力加速度 g 已知) v2 由 mg＝m R 得 v＝ gR＝ 9.8×6 400×103 m/s＝7.9 km/s。
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2．宇宙速度
(1)第一宇宙速度：v1＝ 7.9 km/s ，又称环绕速度。
(2)第二宇宙速度：v2＝ 11.2 km/s ，又称脱离速度。 (3)第三宇宙速度：v3＝ 16.7 km/s ，也叫逃逸速度。 3．梦想成真 1957年10月， 前苏联 成功发射了第一颗人造卫星；
1969年7月，美国“阿波罗11号”登上 月球 ；
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[借题发挥]
(1)在处理卫星的v、ω、T与半径r的关系问题时，常用 公式“gR2＝GM”来替换出地球的质量M，会使问题解决起来 更方便。 (2)由于卫星在轨道上运动时，它受到的万有引力全部提 供了向心力，产生了向心加速度，因此卫星及卫星上任何物 体都处于完全失重状态。
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2．A、B为两颗地球卫星，已知它们的运动周期之比为
角速度ω及向心加速度a的大小均相同。
(2)所有国家发射的同步卫星的轨道都与赤道为同心圆，
它们都在同一轨道上运动且都相对静止。
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3．同步卫星离地心的距离为 r，运行速度为 v1，加速度为 a1， 地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为 a2，第一宇 宙速度为 v2，地球的半径为 R，则 a1 r A. ＝R a2 v1 C. ＝ v2 R r a1 R B. ＝ r a2 v 1 R2 D. ＝ 2 v2 r ( )
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相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球 同步卫星，又叫通讯卫星。同步卫星有以下几个特点：
(1)同步卫星的运行方向与地球自转方向一致。
(2)同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，即T＝24 h。 (3)同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度。 (4)要与地球同步，卫星的轨道平面必须与赤道平面平行， 又由于向心力是万有引力提供的，万有引力必须在轨道平面上， 所以同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的同步卫星 都在赤道的正上方，不可能定点在我国某地上空。 返回