6-5、6第五节 宇宙航行

第六章
万有引力与航天
一、人造地球卫星
1．概念
如图所示，当物体的 速度 足够大时，它将会围绕 地球旋 转而不再落回地面，成为一颗绕地球转动的 卫星 ．
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2．原理：人造卫星绕地球转动的向心力等于地球对它的 万有引力 ．
3．卫星的 v、ω、T 与运动半径 r 的关系
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(4)所有的同步卫星都在赤道的正上方，因为要与地球同
步，同步卫星的轨道平面必须与赤道平面重合．
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Mm 4π2 (5)同步卫星的高度固定不变，由 G 2＝m 2 (R＋wk.baidu.comT R＋h Mm h)，mg＝G 2 ，得离地高度 h＝3.6×104 km. R
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大环绕速度，因此所有人造地球卫星的速度都小于或等于第
一宇宙速度，所以选项B正确．
答案：B
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如图所示， a 、 b 、 c 是
大气层外圆形轨道上运行的三
颗人造地球卫星， a 、 b 质量相 同且小于c的质量，下面说法中 正确的是
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解析： 两颗卫星做圆周运动的向心力均由其所受火星的 万有引力来提供，所以有 v2 Mm 2π2 2 G 2 ＝m r ＝mω r＝m T r＝man r 可得 T＝
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km/s.
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3．第三宇宙速度(逃逸速度)：在地面上发射物体，使之 最后能脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所 必需的最小速度，其大小为v＝16.7 km/s.
【特别提醒】(1)第一宇宙速度是最大运行速度，也是最
小发射速度． (2)三个宇宙速度分别为在三种不同情况下在地面附近的 最小发射速度．
GM r 可知最终的运行速
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一、宇宙速度
宇宙速度是在地球上满足不同要求的发射速度，不能
理解成卫星的运行速度． 1 ． 第一宇宙速度 ( 环绕速度 ) ： 指人造卫星近地环绕速 度，它是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须
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具有的速度，是人造地球卫星的最小发射速度，v＝7.9 km/s.
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GM R ＝7.9 km/s.
第一宇宙速度的另一种推导： 在地面附近，万有引力近似等于重力，此力提供卫星做 匀速圆周运动的向心力． (地球半径 R、地面重力加速度 g 已知)
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v2 由 mg＝m R 得 v＝ gR＝ 9.8×6 400×103 m/s＝7.9 km/s. 2．第二宇宙速度(脱离速度)：在地面上发射物体，使之 能够脱离地球的引力作用， 成为绕太阳运动的人造行星或飞 到其他行星上去所必需的最小发射速度，其大小为 v＝11.2
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【针对训练】1. 理论上来说人造地球卫星绕地球做匀速 圆周运动，其速率( ) A．一定等于7.9 km/s
B．等于或小于7.9 km/s
C．一定大于7.9 km/s D．介于7.9 km/s和11.2 km/s之间 解析： 因为第一宇宙速度 7.9 km/s 是围绕地球运动的最
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v2 Mm (2)由 G 2 ＝m r 得 v＝ r
GM r ，则 r 越大，v 越小．
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对于近地卫星(r＝R 地)的线速度 v＝
GM ＝ R地
gR地＝
7.9 km/s，即第一宇宙速度，是卫星绕地球做圆周运动的最 大速度，也是发射卫星的最小速度． Mm (3)由 G 2 ＝mω2r 得 ω＝ r
2 GM v m r ⇒v＝ r GM 2 mω r⇒ω＝ 3 r Mm G 2 ＝ 2 3 r 2π 4π r m 2r ⇒T＝ GM T GM man⇒an＝ 2 r
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二、三个宇宙速度的比较
数值 意义
第一宇 宙速度
上的第一宇宙速度．
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解析：由匀变速运动的规律可得，该星球表面的重力加 2v 速度为 g＝ t 第一宇宙速度即为卫星在其表面附近绕它做匀速圆周 运动的线速度，该星球对卫星的万有引力提供向心力，而万
2 v1 有引力又可近似认为和物体重力相等，所以有 mg＝m R
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A．b、c的线速度大小相等且大于a的线速度 B．b、c的向心加速度相等且大于a的向心加速度 C．b、c的周期相等且大于a的周期
D．b、c的向心力相等且大于a的向心力
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解析：a、b、c 三颗人造地球卫星做圆周运动所需的向 心力都是由地球对它们的万有引力提供． 由牛顿第二定律得 v2 Mm 4π2 G 2 ＝m r ＝m 2 r＝ma.(M 为地球的质量，m 为卫星 r T 的质量)
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3．地球同步卫星 相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地 球同步卫星，其特点如下：
(1)同步卫星的运行方向和地球自转方向一致．
(2) 同步卫星的运转周期和地球自转周期相同，即 T＝ 24 h. (3)同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度．
广阔领域，包括天体力学的研究中，经受了实践的检验，取
得了巨大的成就． 2．经典力学的局限性 (1)牛顿力学即经典力学，它只适用于 宏观 、 低速运动 的
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物体，不适用于 微观 和 高速运动 的物体．
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(2) 狭义相对论阐述了物体以接近光速运动时遵从的规 律，得出了一些不同于经典力学的结论，如质量要随物体运 动速度的增大而 增大 ．
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所以 v＝
GM r ∝
1 r ，与卫星质量无关．
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由图知 rb＝rc＞ra，则 vb＝vc＜va，选项 A 错误． GM 1 a＝ 2 ∝ 2，与卫星质量无关． r r 由 rb＝rc＞ra 得 ab＝ac＜aa，选项 B 错误． T＝ 4π2r3 3 ∝ r ，与卫星质量无关． GM
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二、人造地球卫星 1．人造地球卫星的轨道 卫星绕地球做匀速圆周运动时由
地球对它的万有引力充当向心力，地
球对卫星的万有引力指向地心．而做 匀速圆周运动的物体的向心力时刻指 向它做圆周运动的圆心．
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因此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合，
由 rb＝rc＞ra 得 Tb＝Tc＞Ta，选项 C 正确．
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Mm m F 向＝G 2 ∝ 2，与质量和半径 r 有关． r r
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m a mb 由 ma＝mb＜mc， rb＝rc＞ra 知， 2 ＞ 2 ， 即 F 向 a＞F 向 b， ra rb mb m c ma mc ＜ 2 ，即 F 向 b＜F 向 c，而 2 与 2 无法比较，选项 D 错误． r2 rc ra rc b
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2π Mm (4)由 G 2 ＝m T 2r 得 T＝ r
GM ，则 r 越大，ω 越小． r3 4π2r3 GM ，则 r 越大，T 越
大．
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近地卫星(r＝R 地)的周期 T＝
4π2R3 地 GM ＝ 2π
R地 g ＝5
063 s≈84 min，其他所有卫星的周期都大于这个数值，即该 值是地球卫星周期的最小值．
地面发射时的速度需满足什么要求？根据天体运动的规律，
在地面发射速度越大的卫星到达太空绕地球做圆周运动的速 度越大还是越小？
提示： 卫星在地面的发射速度须满足 7.9 km/s＜v＜11.2 km/s 才能最终绕地球运行，在地面发射速度越大的卫星能
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上升的高度也就越大，根据 v＝ 度就越小．
答案：C
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【针对训练】2. 火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫 二，它们的轨道近似为圆．已知火卫一的周期为 7 小时 39 分，火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比( )
A．火卫一距火星表面较近
B．火卫二的角速度较大 C．火卫一的线速度较大 D．火卫二的向心加速度较大
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设地球质量为 M，卫星质量为 m，卫星到地心的距离为 r，卫星做匀速圆周运动的线速度为 v， 根据万有引力定律和 v2 Mm 牛顿第二定律得：G 2 ＝m r ，v＝ r GM r .
应用近地条件 r≈R(R 为地球半径)，取 R＝6 400 km， M＝6×10 kg，则：v＝
【特别提醒】(1)所有同步卫星的周期 T、轨道半径r、环 绕速度v、角速度ω及向心加速度an的大小均相同．
(2)所有国家发射的同步卫星的轨道都与赤道为同心圆，
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它们都在同一轨道上运动且都相对静止．
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某人在一星球上以速率v竖直上抛一物体，经时
间t物体以速率v落回手中，已知该星球的半径为R，求这星球
(3)20 世 纪 20 年 代 ， 建 立 了 量 子 力 学 ， 它 正 确 描 述 了
微观 重要作用． (4)爱因斯坦的广义相对论说明在
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粒子的运动规律，并在现代科学技术中发挥了 强引力 的 作 用 下 ，
牛顿的引力理论将不再适用．
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要使发射出去的人造卫星能够绕地球做圆周运动，则在
而这样的轨道有多种，其中比较特殊的有与赤道共面的赤道
轨道和通过两极点上空的极地轨道．当然也应存在着与赤道 平面成某一角度的圆轨道，只要圆心在地心，就可能是卫星 绕地球运行的圆轨道．如图所示．
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2．人造地球卫星的向心加速度 an、线速度 v、角速度 ω、周期 T 跟轨道半径 r 的关系 人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动， 地球对卫星的万 有引力提供向心力(地球质量为 M，卫星质量为 m) Mm GM (1)由 G 2 ＝man 得 an＝ 2 ，则 r 越大，an 越小． r r
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第五节
第六节
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宇宙航行
经典力学的局限性
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1．了解人造卫星的相关知识．
2．知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度． 3．理解掌握人造卫星的线速度、角速度、周期与轨道半
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径的关系． 4．了解以牛顿运动定律为基础的经典力学的适用范围．
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【特别提醒】(1)发射人造卫星的速度不能小于第一宇宙 速度，要使卫星离地越高，则需要的发射速度就越大，但发 射速度不能大于第二宇宙速度，同时，发射速度越大，在越
高轨道上卫星的运行速度越小．
(2)人造卫星在圆轨道上运行时，由于万有引力提供向心 力，所以处于完全失重状态，凡是和重力有关的现象都会消 失．
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三、梦想成真 1957年10月 苏联 成功发射了第一颗人造卫星； 1969年7月美国“阿波罗11号”登上 月球 ；
2003年10月15日我国航天员
杨利伟
踏入太空．
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四、经典力学的成就和局限性 1．经典力学的成就 牛顿运动定律和万有引力定律在宏观、低速、弱引力的
第二宇 宙速度
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第三宇 宙速度
(1)卫星环绕地球表面运行的速度，也是 最大 速度 7.9km/s 绕地球做匀速圆周运动的 (2)使卫星绕地球做匀速圆周运动的 最小 地面发射速度 11.2 使卫星挣脱 地球 引力束缚的最小 地面 km/s 发射速度 16.7 使卫星挣脱 太阳 引力束缚的 最小 地面 km/s 发射速度
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第一宇宙速度 v1＝ gR＝
2vR t .
答案：
2vR t
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【题后总结】1. 处理行星、卫星绕中心天体做圆周运动 的问题中，万有引力充当向心力是解决问题的关键．
2．第一宇宙速度是绕地球表面运行的卫星的速度，是卫
星的最大绕行速度．
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