计算机应用基础偏微分方程求解

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第6章_偏微分方程数值解法

2 2 2
u ( x, 0) = sin( x) ， u (0, t ) = 0, u (π , t ) = 0
利用线上法数值求解 u ( x, t ) 随时间的演化关系解：取 Δx = π /15 ，计算程序：demo_MOL.m，和结果见右图。
对于 a > 0 ，波从 k − 1 点过来， k − 1 点状态已变化， k + 1 点状态还未变化。差分只能 uk − uk −1 。同样意
n n
义可分析 a < 0 情况。见图 6.1.1。迎风格式的精度为 O(Δt , Δx) ，稳定性条件为 Δt < Δx / | a | 。
% Upwind_Method L = 15;dx = 0.1;dt = 0.05;a = -1.; x =[-L+dx:dx:0]';n=length(x); %Initial value u1=zeros(1,n-20);u2=ones(1,10);u3 = zeros(1,10); u = [u1 u2 u3]';r = a*dt/dx; u0 = u; plot(x,u','LineWidth',2);axis([-15 0 -1 2]);pause(1); for t=dt:dt:10. u(1:n-1) = (1+r)*u(1:n-1)-r*u(2:n); % u(2:n-1)=0.5*((1.-r)*u(3:n)… % +(1.+r)*u(1:n-2)); % Lax scheme hold off;plot(x,u,'LineWidth',2); axis([-15 0 -1 2]);pause(0.05) end hold on; plot(x,u0','r','LineWidth',2);axis([-15 0 -1 2]); xlabel('position');ylabel('u(x,t)'); legend('传播的波','初始方波'); title('Upwind')

应用数学中的偏微分方程及其求解方法

应用数学中的偏微分方程及其求解方法偏微分方程是数学的一个分支，它主要研究物理、工程、经济等领域中的现象和问题，这些问题都可以用一些数学模型来描述，这些数学模型就是偏微分方程。

偏微分方程在实际问题中的应用非常广泛，例如，流体力学、电磁学、声学等。

偏微分方程的求解是应用数学研究的一个重点，因为只有通过求解偏微分方程，才能获得事物的规律和掌握其本质。

偏微分方程的求解方法也很多，本文将介绍偏微分方程的求解方法以及其在应用数学中的实际应用。

一、偏微分方程的分类在讨论偏微分方程的求解方法之前，我们需要首先了解偏微分方程的分类。

偏微分方程一般可以分为以下几类：椭圆型、双曲型和抛物型方程。

其分类依据的是方程的二阶导数的符号和方程的解的性质。

1.椭圆型方程椭圆型方程的二阶导数在整个解域中均大于等于零，是一类具有平稳性的方程，它的解具有较好的可微性和连续性，例如，泊松方程、拉普拉斯方程等。

2.双曲型方程双曲型方程的二阶导数在解域中的某些部分正、负性相反，是一类具有波动性的方程，它的解具有较好的非光滑性和间断性，例如，波动方程、热传导方程等。

3.抛物型方程抛物型方程的二阶导数在整个解域中的某个方向上为正，而在其他方向上为负，和双曲型方程有些相似，它的解具有介于椭圆型和双曲型之间的特性，例如，扩散方程、亥姆霍兹方程等。

二、偏微分方程的求解方法在应用数学中，我们目的是求出偏微分方程的解，因此，需要采用一些方法对偏微分方程进行求解。

通常来说，偏微分方程的求解方法可以分为以下几类：分离变量法、变系数法、特征线法、有限差分法和有限元法等。

1.分离变量法分离变量法是一种比较简单的求解偏微分方程的方法，它适用于一定特定条件下，例如，线性的偏微分方程、边值问题和定解问题等。

分离变量法的核心思想是假设偏微分方程的解可以表示为一个或多个函数的乘积形式，并通过代入得到常微分方程或定积分，从而求解原方程的解，例如，波动方程、热传导方程等。

2.变系数法变系数法是一种较为常用的求解偏微分方程的方法，它的思想是利用变系数的技巧来求解复杂的偏微分方程。

偏微分方程的解法

偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一个重要分支，它描述了多变量函数的偏导数之间的关系。

这些方程在自然科学、工程应用和社会科学等领域都发挥着重要作用。

解决偏微分方程是一个复杂而有挑战性的过程，需要运用多种数学方法和工具来求解。

在本文中，我将为您介绍几种常见的偏微分方程的解法，并提供一些示例以帮助您更好地理解。

以下是本文的主要内容：1. 一阶线性偏微分方程的解法1.1 分离变量法1.2 特征线方法2. 二阶线性偏微分方程的解法2.1 分离变量法2.2 特征值法2.3 Green函数法3. 非线性偏微分方程的解法3.1 平移法3.2 线性叠加法3.3 变换法4. 数值方法解偏微分方程4.1 有限差分法4.2 有限元法4.3 谱方法5. 偏微分方程的应用领域5.1 热传导方程5.2 波动方程5.3 扩散方程在解一阶线性偏微分方程时，我们可以使用分离变量法或特征线方法。

分离变量法的基本思路是将方程中的变量分离，然后通过积分的方式求解每个分离后的常微分方程，最后再将结果合并。

特征线方法则是将方程中的变量替换为新的变量，使得方程中的导数项消失，从而简化求解过程。

对于二阶线性偏微分方程，分离变量法、特征值法和Green函数法是常用的解法。

分离变量法的核心思想与一阶线性偏微分方程相似，将方程中的变量分离并得到常微分方程，然后进行求解。

特征值法则利用特征值和特征函数的性质来求解方程，适用于带有齐次边界条件的问题。

Green函数法则通过引入Green函数来求解方程，其特点是适用于非齐次边界条件的情况。

非线性偏微分方程的解法则更加复杂，常用的方法有平移法、线性叠加法和变换法。

这些方法需要根据具体问题的特点选择合适的变换和求解技巧，具有一定的灵活性和创造性。

除了上述解析解法，数值方法也是解偏微分方程的重要手段。

常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。

偏微分方程解法

偏微分方程解法导言偏微分方程是数学中一个重要的研究领域，它涉及到物理、工程、经济等众多学科，对于解决现实世界中的问题起着至关重要的作用。

本文将深入探讨偏微分方程的解法，包括常见的求解方法和应用示例。

偏微分方程简介在分析偏微分方程之前，我们先了解一下什么是偏微分方程。

简单来说，偏微分方程是由未知函数及其偏导数构成的方程。

它包含多个自变量和多个偏导数，用于描述有多个变量的物理现象或者其他现象。

常见的偏微分方程求解方法分离变量法分离变量法是解偏微分方程的主要方法之一。

它的基本思想是将偏微分方程中的未知函数表示为多个单变量函数的乘积，然后进行求解。

具体步骤如下： 1. 分离变量：将未知函数表示为多个单变量函数的乘积。

2. 将方程化为两端只含单变量函数的方程。

3. 求解单变量函数的方程。

4. 将求解得到的单变量函数组合在一起，得到原方程的解。

特征线法特征线法是另一种常用的偏微分方程求解方法。

它的基本思想是通过引入曲线方程（特征线），将偏微分方程转化为常微分方程，然后再进行求解。

特征线法的步骤如下： 1. 引入曲线方程，将偏微分方程转化为常微分方程。

2. 求解常微分方程。

3. 将常微分方程的解代回原方程，得到原方程的解。

变换方法除了分离变量法和特征线法，还有一些其他的变换方法可以用来求解偏微分方程。

其中比较常用的有变换坐标法和变换函数法。

变换坐标法的基本思想是通过适当的坐标变换，将原方程转化为更简单的形式，然后再进行求解。

变换函数法的基本思想是通过引入新的未知函数，将原方程转化为只含有新未知函数的形式，然后再进行求解。

偏微分方程解法的应用示例偏微分方程解法广泛应用于各个领域，下面将简要介绍一些应用示例。

热传导方程热传导方程是物理学中的一个重要方程，它描述了热量在物体中的传导过程。

通过对热传导方程进行求解，可以得到物体温度分布随时间的变化规律，从而可以预测物体的热传导行为。

斯托克斯方程斯托克斯方程是流体力学中的一个基本方程，描述了流体在静止或者稳定的情况下的运动规律。

偏微分方程的数值求解方法

偏微分方程的数值求解方法偏微分方程是描述自然现象的重要工具，例如描述热传导、电磁波传播、流体运动等。

然而大多数情况下，这些方程很难通过解析方式求解，因此需要数值求解方法。

本文将介绍偏微分方程的数值求解方法及其应用。

一、有限差分法有限差分法是一种常见的偏微分方程数值求解方法。

它将原本连续的区域离散化，将偏微分方程转化为差分方程。

例如对于一维热传导方程：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$其中 $u(x, t)$ 是温度，$\alpha$ 是热扩散系数。

我们可以选择将空间分成 $N$ 个网格，时间分成 $M$ 个步骤。

则有：$$u_i^{m+1} = u_i^m + \frac{\alpha\Delta t}{\Deltax^2}(u_{i+1}^m - 2u_i^m + u_{i-1}^m)$$其中 $u_i^m$ 表示在位置 $i\Delta x$，时间 $m\Delta t$ 时的温度值。

这是一个显式求解方程，可以直接按照时间步骤迭代计算。

不过由于它的误差可能会增长，因此需要小心选择时间步长和空间步长，以保证误差不会过大。

二、有限元法有限元法是一种更加通用的偏微分方程数值求解方法。

它将连续区域离散化成一些小段，称为单元。

然后针对每个单元，将其上的偏微分方程转化为局部插值函数的方程求解。

例如对于一维波动方程：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partialx^2}$$我们可以选择将空间分成 $N$ 个网格，用有限元方法将每个网格分成若干个单元。

则对于每个单元 $i$，我们可以得到一个局部插值函数 $u^i(x, t)$ 来近似解该单元上的偏微分方程。

这里不再赘述该函数的形式。

另外，我们还需要满足界面上的连续性和斜率匹配条件，以保证整体解是连续的。

算法大全第20章偏微分方程的数值解

算法大全第20章偏微分方程的数值解偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是描述自然界中各种物理现象的数学方程。

这些方程中的未知函数是多变量函数，而不是常微分方程中的单变量函数。

求解PDE是科学与工程中的重要问题，尤其在现代科学中，PDE的求解对于理解和预测自然现象具有重要的意义。

偏微分方程的数值解是指通过数值计算方法来求解PDE的近似解。

由于大多数情况下，PDE的解析解很难获得，因此数值解方法成为研究这些方程的重要工具之一、对于偏微分方程的数值解的研究主要集中在以下几个方面：1. 有限差分法（Finite Difference Method）：这是求解PDE最常用的方法之一、该方法通过将微分方程在空间和时间上进行离散化，转化为差分方程或代数方程组，然后通过求解这些方程组来得到数值解。

有限差分法的基本思想是将空间和时间进行网格划分，将未知函数的值在网格点上进行逼近，并用差分格式代替微分运算。

2. 有限元法（Finite Element Method）：该方法通过将求解域划分为若干个较小的单元，然后在每个单元中构建适当的数学模型，求解局部的代数问题，最终得到整个求解域的逼近解。

有限元法的优点是能够处理比较复杂的几何形状，适用于非结构网格，但需要更多的计算资源。

3. 边界元法（Boundary Element Method）：该方法主要用于求解边界值问题，将求解域划分为边界和内部两个部分。

边界元法通过在边界上离散化未知函数，并构建适当的积分方程来求解问题。

边界元法常用于求解椭圆型PDE，计算效率较高。

4. 特征线法（Characteristics Method）：该方法通过在方程中寻找适当的特征曲线，将PDE转化为一维常微分方程，然后求解这个常微分方程。

特征线法对于具有特殊类型边界条件的问题有很好的适用性，但在处理高维问题时存在困难。

以上只是偏微分方程数值解研究的一些常见方法，根据具体问题的特点和要求，还可以选择其他数值方法。

偏微分方程求解算法研究及应用

偏微分方程求解算法研究及应用偏微分方程是描述自然现象和工程问题的重要工具。

从最简单的热传导方程到流体力学中的Navier-Stokes方程，这些方程的求解能够获得很多实际问题的解答。

随着计算机技术的飞速发展，可解决的偏微分方程问题的范围和复杂性也得到了提高。

在本文中，我们将讨论偏微分方程的一些求解算法及其应用，以及这些算法如何在实践中发挥作用。

第一部分：解析方法解析方程的基本思想是寻找满足特定条件的解析表达式。

在偏微分方程的求解中，常见的解析方法包括分离变量法、变量参数法和特征线方法等。

1.1 分离变量法分离变量法是解决大多数运筹学、物理学和工程学问题的重要方法。

它的基本思想是，假设找到一种函数形式，使得偏微分方程中的某些变量可以单独表示，这样就可以得到关于单个变量的一组普通微分方程。

通过求解这些方程，就可以获得原始问题的解。

例如，考虑一个双曲型偏微分方程：$$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=0 $$我们可以假设$u(x,t)$的解有如下形式：$$ u(x,t)=X(x)T(t) $$将它代入原方程得到：$$ \frac{X''}{X}=\frac{T''}{T}=-\lambda $$其中$\lambda$是分离常数。

然后，我们可以解出关于$X$和$T$的两个普通微分方程：$$ X''+\lambda X=0, T''+\lambda T=0 $$这两个方程都是熟悉的谐振动方程，其解可以表示为正弦波和余弦波的线性组合。

因此，原方程的通解可以写成：$$ u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}(A_n\cos(\sqrt{\lambda_n}x)+B_n\sin(\sqrt{\lambda_n}x))(C_n\cos(\sqrt{\lambda_n}t)+D_n\sin(\sqrt{\lambda_n}t)) $$其中，$A_n,B_n,C_n$和$D_n$是一些常数，根据边界条件和初始条件来确定。

偏微分方程解法

偏微分方程解法一、概述偏微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

解决偏微分方程的方法有很多种，其中最常用的方法是数值解法和解析解法。

本文将重点介绍偏微分方程的解析解法。

二、基本概念1. 偏微分方程：含有多个自变量和它们的偏导数的方程。

2. 解析解：能够用一定的代数式或函数表示出来的解。

3. 常微分方程：只含一个自变量和它的导数的方程。

4. 偏微分方程分类：（1）线性偏微分方程：各项次数之和为1或2。

（2）非线性偏微分方程：各项次数之和大于2。

5. 解析解法分类：（1）可分离变量法（2）相似变量法（3）积分因子法（4）特征线法（5）变换法三、可分离变量法可分离变量法是求解一类特殊形式线性偏微分方程最常用的方法，其基本思想是将未知函数表示成各自变量之积，然后将其带入原偏微分方程中得到一组常微分方程，再求解这些常微分方程，最后将得到的解代回原方程中即可。

以一阶线性偏微分方程为例：$$\frac{\partial u}{\partial t}+a(t)u=b(t)$$其中$a(t)$和$b(t)$为已知函数，$u=u(x,t)$为未知函数。

将未知函数表示成各自变量之积：$$u=X(x)T(t)$$将其带入原方程中得到：$$XT'+aXT=bXt$$将$X$和$T$分离变量并整理得到：$$\frac{1}{X}\frac{dX}{dx}=\frac{1}{at+b}-\frac{c}{X}$$其中$c$为常数。

对上式两边同时积分得到：$$ln|X|=ln|at+b|-ct+D_1,D_1为常数。

$$即可得到$X(x)$的解析解。

同理，对于$T(t)$也可以通过可分离变量法求出其解析解。

最后将$X(x)$和$T(t)$的解代入原方程中即可得到未知函数$u=u(x,t)$的解析解。

四、相似变量法相似变量法是一种适用于非线性偏微分方程的方法，其基本思想是通过引入新的自变量和因变量，将原偏微分方程转化成一个形式相似但更简单的方程，从而求出原方程的解析解。

偏微分方程数值解法(1)

第十章偏微分方程数值解法一、典型的偏微分方程介绍 1．椭圆型方程科学技术中经常遇到一些重要的、典型的偏微分方程。

在研究有热源稳定状态下的热传导，有固定外力作用下薄膜的平衡问题时，都会遇到Poisson 方程D y x y x f yux u ∈=∂∂+∂∂),(),(2222（10.1）其中D 表示平面区域。

特别在没有热源或没有外力时，就得到Laplace 方程02222=∂∂+∂∂y ux u （10.2）此外，当研究不可压缩理想流体无旋流动的速度势以及静电场的电位等，也会遇到（10.1）或（10.2）类型的方程。

2．抛物型方程在研究热传导过程、气体扩散现象、电磁场的传播等问题中以及在统计物理、概率论和重子力学中，经常遇到抛物型方程。

这类方程中最简单、最典型的是热传导方程。

L x t xu a t u <<>=∂∂-∂∂0,0,022（10.3）其中a 是常数。

它表示长度为L 的细杆内，物体温度分布的规律。

3．双曲型方程在研究波的传播、物体的振动时，常遇到双曲型方程。

这类方程中最简单、最典型的是波动方程L x t xu a t u <<>=∂∂-∂∂0,0,022222（10.4）它表示长度为L 的弦振动的规律。

二、定解问题偏微分方程（10.1）~（10.4）是描述物理过程的普遍规律的。

要使它们刻划某一特定的物理过程，必须给出附加条件。

把决定方程唯一解所必须给定的初始条件和边界条件叫做定解条件。

定解条件由实际问题提出。

对方程（10.3）来说，初始条件的提法应为)()0,(x f x u =，其中f (x )为已知函数，它表示物体在初始状态下温度分布是已知的。

边界条件的提法应为物体在端点的温度分布为已知，即⎩⎨⎧≥==0)(),()(),0(t t t L u t t u ψϕ （10.5）其中ϕ（t ）和ψ（t ）为已知函数。

对（10.4）来说，边界条件的提法和（10.5）形式一样，它表示弦在两端振动规律为已知。

偏微分方程数值求解方法

偏微分方程数值求解方法偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是数学中的一个重要研究领域，也是应用领域中关键的数学工具之一。

在科学与工程领域中，偏微分方程广泛地应用于描述许多自然现象和物理过程，例如流体力学、电磁学、量子力学等。

在实际问题中，往往很难找到偏微分方程的解析解，这时就需要使用数值求解方法来近似求解。

数值求解方法可以分为两大类：直接法和间接法。

直接法基于有限差分（Finite Difference）思想，将偏微分方程中的导数转化为差商，通过离散化空间和时间的方法，将连续的问题转化为离散的问题。

常见的有限差分方法有：显式格式、隐式格式和Crank-Nicolson格式。

显式格式是最直观的方法，通过将一阶导数展开到下一个时间点的差商来逼近导数，但它的稳定性条件限制了时间步长的选取，以保证数值解的稳定性。

隐式格式则是通过将未知数展开到下一个时间点的差商来逼近导数，从而避免了时步限制，但会导致一个隐式的线性系统，需要通过迭代方法求解。

Crank-Nicolson格式则是将显式格式和隐式格式的结果进行加权平均，可以通过选择合适的权重来平衡时间精度和稳定性。

间接法则是基于变分原理，将偏微分方程转化为变分问题，通过寻找变分问题的极值得到偏微分方程的近似解。

常见的间接法有有限元方法（Finite Element Method, FEM）和边界元方法（BoundaryElement Method, BEM）。

有限元方法将求解区域分割为许多小的单元，通过构建基函数展开的近似解，并将原方程带入到变分问题中，得到一个离散的代数方程组。

边界元方法则是将求解区域的边界分割为许多小的面元，通过将边界上的值表示为边界上的基函数的线性组合，从而将偏微分方程转化为一个边界积分方程。

无论是有限元方法还是边界元方法，都可以通过求解离散的方程组得到原偏微分方程的数值解。

需要注意的是，数值求解方法的选取应该根据具体问题的性质和要求来进行选择。

偏微分方程式之求解

第六章偏微分方程式之求解在化工的领域中，有不少程序之动态是由以偏微分方程式(Partial differential equation ；PDE)所描述的，例如热与质量在空间中的传递等。

这些用以描述实际问题的PDE ，除非具有某些特定的方程式型态及条件，否则甚难以手算的方式找出解析解。

而在数值求解方面，最常被采用的方法为有限差分法(finitedifference)何有限元素法(finite element)。

然对于某些不熟悉数值分析及程序编写的化工人而言，欲充分了解以偏微分方程式所描述之系统动态是相当不容易的，更遑论进一步的设计与分析了。

值得庆幸的是，MATLAB 的环境中提供了一个求解PDE 问题的工具箱，让使用者得以利用简单的指令或图形接口工具输入欲解的PDE ，并求解。

使得PDE 之数值解在弹指之间完成，使用者不在为数值法所苦恼，轻松掌握偏微分方程式系统的动态，并可进一步进行后续之设计工作。

本章将以循渐进的方式，介绍PDE 工具箱及其用法，并以数个典型的化工范例进行示范，期能使初学者很快熟悉PDE 工具箱，并使用它来设计与分析以偏微方方程式所描述的程序系统。

6.1 偏微分方程式之分类偏微分方程式可根据其阶数(order)，线性或非线性型态，以及边界条件进行分类。

6.1.1依阶数的分类偏微分方程式是以偏微分项中之最高次偏微分来定义其阶数，例如：一阶偏微分方程式： 0=∂∂+∂∂yu x u 二阶偏微分方程式：032222=∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂y ux u y u x u 三阶偏微分方程式：02233=∂∂+∂∂+∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y ux u y x u x u6.1.2 依非线性程度分类偏微分方程式亦可以其线性或非线性情况，区分为线性(linear)，似线性(quasilinear)，以及非线性三类。

例如，以下之二阶偏微分方程式(Constantinides and Mostoufi,1999)0)()()()(22222=⋅+∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅d x u c y x u b y u a可依系数)(⋅之情况，进行如下表之归类类别情况线性系数)(⋅为定值，或仅为(x,y)函数似线性系数)(⋅为依变数(dependent variable)u 或其比方程式中之偏微分低阶之偏微分项的函数，如),,,,()(y u x u u y x ∂∂∂=⋅非线性系数)(⋅中，具有与原方程式之偏微分同阶数之变数，如),,,,,()(22222y x u y u x u u y x ∂∂∂∂∂∂∂=⋅另外，对于线性二阶偏微分方程式，可进一步将其分类为椭圆型(elliptic)，拋物线型(parabolic)，以及双曲线型(hyperbolic)。

python解偏微分方程

python解偏微分方程Python是一种高级的编程语言，可以用于解决各种数学问题，包括偏微分方程。

在本文中，我们将讨论Python如何解决偏微分方程。

偏微分方程是一种数学方程，其中未知函数的一个或多个变量是另一个或多个变量的函数。

偏微分方程解决了很多实际问题，包括流体力学、热传导、电磁学和地质学等。

这些方程在数学中有很多解析解，但是通常比较困难。

所以，为了解决这些方程，数值方法被广泛地应用。

在Python中，我们可以使用很多库，如NumPy和SciPy，来解决偏微分方程。

NumPy可以完成任意维度的数组和矩阵操作，而SciPy则提供了很多方程求解器，包括包括ODE（常微分方程）和PDE（偏微分方程）求解器。

模拟扩散过程：在这里，我们将讨论一个简单的偏微分方程，即扩散方程：$ {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$其中 $u(x,t)$ 是分布在一维空间 $x$ 和时间 $t$ 的某个物理量，比如温度或浓度。

$D$ 是扩散系数，反映了物理量的扩散速度。

我们要通过数值方法来解决该方程。

首先，我们需要将方程离散化。

我们可以使用有限差分法将微分方程离散化为一个差分方程组。

对于我们的扩散方程，我们可以采用以下差分方程：$u_{i,j+1}=u_{i,j}+\frac{D\Delta t}{\Deltax^2}(u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j})$在这个方程中，$u_{i,j}$ 是物理量在位置 $i$ 和时间 $j$ 的值，$\Delta x$ 和 $\Delta t$ 是空间和时间上的网格，可将其设为常数。

接下来，我们将在Python中实现此方程的数值求解。

导入必要的库：我们需要使用numpy和matplotlib库来运行代码。

请确保您已经安装了这些库：import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt设置参数：现在，我们需要设置一些参数，如空间和时间的网格大小，扩散系数和时间步长。

偏微分方程的几种数值解法及其应用

1 常微分方程及其数值解法1.1 常微分方程概述在数学上，物质的运动和变化规律是通过函数关系来表示的，在一些复杂的现象中，我们要求的未知量就变成了满足特定条件的一个或一些未知函数。

有的时候，我们需要利用导数或者微分的关系，即这些未知函数的导数与自变量满足某种关系，这种方程我们称之为微分方程。

未知函数是一元函数的微分方程称之为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程我们称之为偏微分方程，我们这里只考虑常微分方程。

常微分方程的解，就是找出一个代入方程使之成为恒等式的函数。

若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解。

当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。

在实际问题中，这些函数往往还需要满足一些特定条件，这称之为定解条件。

但在实际问题中，很多常微分方程的解析表达式过于复杂，甚至得不到通解的解析表达式。

而且，常微分方程的特解是否存在，存在几个特解，这涉及到微分方程解的存在性和唯一性定理。

因此，在实际应用中，我们通常利用数值的方法来求得方程的数值解，在误差允许的范围内，我们用数值解来替代解析解。

所以，研究常微分的数值解法是很有必要的。

2.2 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法是有常微分方程的定解条件提出的，首先我们考虑如下一阶常微分方程的初值问题。

()()00(,)dx t f x t dtx t x⎧=⎪⎨⎪=⎩（2.1） 2.2.1 欧拉法欧拉法（又称差分法）是常微分方程初值问题数值解法中最简单最古老的方法，它的基本思路是将（2.1）式中导数项用差分来逼近，从而将一个微分方程转化为一个代数方程，以便迭代求解。

根据用于逼近的差分方式来分，可以分为向前差分、向后差分、中心差分。

()()()()()()()()()111112l l l l l l l l l dx t x t x t dt tdx t x t x t dt tdx t x t x t dt t++++--=∆-=∆-=∆ （2.2）上式中，分别为向前差分法、向后差分法、中心差分法。

偏微分方程求解

在x 0处： x0＝0 R 在x d处： xd ＝( C1d 1 C2 d 2 ) 10 R
在x 0处：）x 0＝0 （ 10 在x d处：）x d ＝（

3. 加权余量法－－例1
3. 加权余数表达式：
j 1时,得到一个代数方程：

F j ( R ) j R d j R d，j 1,2

F1( R ) 1 R d 1 R d x( 2C2 )d
0 d
| x 0 | x d
x( ( C1 x1 C2 x 2 ) x( ( C1 x1 C2 x 2 )
3.
假设一个近似解，该解为一组（形式上）简单函数 ψ i 的线性组合来表示，线性组合的系数就是一组待定系数 Ci 然后建立一种考虑了微分方程和边界条件的关于真解和近似解间误差的目标函数 F 用适当的算法使得该目标函数最小化――最小化的过程就确定了待定系数，从而也就得到了问题的近似解。

i 1 i 1
2.结合问题，写出余数表达式：
2 2 2 ( Ci x i ) 2 (C1 x1 ) 2 (C2 x 2 ) i 1 0 2C2 2 0
: R 2 2
2C2

3. 加权余量法－－例1
i 1 * j i 1
n
n
由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形：
{[ w j ( i )d]C i } {[ w * ( i )d]C i } w j q d w * s d j j
i 1 i 1
n

偏微分方程解的几道算例(差分、有限元)-含matlab程序(

《偏微分方程数值解》上机报告实验内容 1:分别用向前差分格式、向后差分格式及六点对称格式, 求解下列问题:222, 01, 0, (0, (1, 0, 1, (, 0 sin( (1.u u x t t x u t u t t u x x x x π⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎨==>⎪⎪=+−⎩x 方向 0.1h =, t 方向0.01τ=.在 0.25t =时观察数值解与精确解 2sin( (1 u e x x x ππ−=+−的误差. (一算法描述:(二实验结果:1.误差的数值解结果数值对比(A“向前差分格式”程序:>>forward(0.1,0.01, 0.25Current plot heldans =0.00000.00270.00510.00700.00820.00870.00820.00700.00510.00270.0000(B“向后差分格式”程序:>>back(0.1,0.01, 0.25Current plot heldans =0.0000-0.0037-0.0071-0.0097-0.0114-0.0120-0.0114-0.0097-0.0071 -0.00370.0000(C“六点差分格式”程序:>>six(0.1,0.01, 0.25Current plot heldans =0.0000-0.0005-0.0009-0.0013-0.0015-0.0016-0.0015-0.0013-0.0009-0.00050.0000注:这里的"误差"=精确解-数值解.2.精确解与数值解结果图像对比“向前差分格式”:注:曲线表示精确解,"o"表示数值解(t=0.25时. “向后差分格式”:注:曲线表示精确解,"o"表示数值解(t=0.25时. “六点差分格式” :注:曲线表示精确解,"O"表示数值解(t=0.25时.(三结果分析通过(一 , (二 ,我们检验了三种方法都能很好的求解此一维热传导方程,其中明显能发现“六点对称格式”的误差更小。

偏微分方程解存在性的计算机辅助证明

偏微分方程解存在性的计算机辅助证明蔡姝婷【摘要】针对具有初值的非线性的偏微分方程，首先，采用牛顿法求出方程的近似解。

接着，利用计算机软件Matlab的帮助，证明在这个近似解的附近存在精确解。

主要的方法是将偏微分方程的解转化为一个紧算子的不动点，然后在计算机中构造一个候补的集合，验证该算子在这个集合中存在一个不动点。

这个过程是通过将不动点定理转化为可以计算的条件，然后在计算机软件中进行验算。

最后，将理论应用在两类偏微分方程上，得出相应方程的近似解，以及相应的数值验算结果。

%For nonlinear partial differential equations with initial value, firstly, we use Newton ’ s method to obtain an approximate solution. Then, by Matlab, we prove that there exists an exact solution near the approximate solution. This can be achieved by letting the solution of the equation be a fixed-point of a compact operator, and then constructing a candidate set so that we prove there exists a solution in the set. We create some computable criteria so that the proof can be applicable in a computer. Lastly we apply our theory to the Emden equation and get some numerical verification results.【期刊名称】《龙岩学院学报》【年(卷),期】2016(034)002【总页数】5页(P34-38)【关键词】非线性;偏微分方程解的存在性;计算机辅助证明;不动点定理【作者】蔡姝婷【作者单位】福建江夏学院福建福州 350108【正文语种】中文【中图分类】O242偏微分方程在生物、化学领域都有所应用［1－2］。

偏微分方程的解法

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只表示P(x)一个确定的函数.
3、一阶线性非齐次微分方程的解法——常数变易法
由方程特点，设一阶线性非齐次微分方程的通解为
y C ( x )e
P ( x ) dx
(5)
对（5）式求导得 P ( x ) dx P ( x ) dx dy C ( x )e P ( x )C ( x )e . (6) dx 将(5)和(6)代入方程(3)并整理得
化简，得
10x 10 y C
(其中C C1 ln10)
把初始条件 y x1 0 代入上式，得 C 11．
于是所求微分方程的特解为
10x 10 y 11．
5
二、齐次型微分方程
1. 定义形如
dy y f( ) dx x ( 2)
的微分方程，称为齐次型微分方程．
x
用常数变易法，设非齐次方程的通解为
1 y C ( x) 2 x
则 1 2 y C ( x ) 2 3 C ( x ) x x
把 y 和 y 代入原方程并化简，得 C ( x) x 1.
1 2 C( x) x x C 两边积分，得 2 1 1 C 因此，非齐次方程的通解为 y 2 2 x x 1 将初始条件y x 1 0 代入上式，得C . 故所求微分方程的特解为 2
2
3．步骤
(1)分离变量，得 dy f ( x )dx g( y ) (2) 两边积分，得
( g ( y ) 0)

(3) 求得积分，得
dy f ( x )dx g( y )
G( y ) F ( x ) C
1 其中G( y ), F ( x )分别是 , f ( x )的原函数． g( y )

几种常见的偏微分方程数值求解问题

一．椭圆型问题1.1单位圆盘的泊松方程泊松方程是最简单的椭圆型PDE问题。

该问题的公式为，边界上U=0。

该问题的精确解为1使用命令行函数首先必须创建MATLAB函数，使二维几何模型参数化。

M文件circle.m返回单位圆边界点的坐标。

该文件内容为：nbs=4;if nargin==0,x=nbs; %边界线段个数returnendd=[00 0 01 1 1 11 1 1 100 0 0];bs1=bs(:)’;if find(bs1<1 | bs1>nbs),error(‘Non existent boundary sement number’)endx=zeros(size(s));y=zeros(size(s));[m,n]=size(bs);if m==1 & n==1,bs=bs*ones(size(s)); %扩展bselseif m~=size(s,1) | n~=size(s,1),error(‘bs must be scalar or of same size as s’);endif ~isempty(s),%边界线段1ii=find(bs==1);x(ii)=1*cos((pi/2)*s(ii)-pi);y(ii)=1*sin((pi/2)*s(ii)-pi);%边界线段2ii=find(bs==2);x(ii)=1*cos((pi/2)*s(ii)-(pi/2));y(ii)=1*sin((pi/2)*s(ii)- (pi/2));%边界线段3ii=find(bs==3);x(ii)=1*cos((pi/2)*s(ii));y(ii)=1*sin((pi/2)*s(ii));%边界线段4ii=find(bs==4);x(ii)=1*cos((pi/2)*s(ii)-(3*pi/2);y(ii)=1*sin((pi/2)*s(ii)- (3*pi/2);end然后用另一函数circleb1.m描述边界条件。