一元线性回归分析
6.2 一元线性回归分析
6.2.2 一元线性回归分析的原理 2. 最小二乘点估计
根据样本数据 ( xi , yi )(i 1, 2, , n) 计算得到回归 系数的最小二乘点估计 b0 和 b1 之后，定义：
ˆi b0 b1 xi ，称为预测值； y
定义 ei yi y ˆi ，称为残差； 记 RSS= i 1 ei2 ，称为残差平方和；
n i 1 i
n i 1
y n ， ( x x ) n ， s ( x x )( y y ) n
n， y
n i 1 i
b0 y b1x
(6.2.4)
2
n
i
xy
i 1
i
i
6.2.2 一元线性回归分析的原理 2. 最小二乘点估计
可 以 证 明 (6.2.3) 式 和 (6.2.4) 式 与 1.7.2 小 节 的 (1.7.3)式
6.2.2
一元线性回归分析的原理
6. 一元线性回归模型显著性的F检验
回归模型 y 0 1 x 的显著性检验，就是由 样本数据 ( xi , yi )(i 1, 2, , n) 检验假设： 原假设 H 0 : 1 0 ；备择假设 H1 : 1 0 拒绝原假设 H 0 : 1 0 而采纳备择假设 H1 : 1 0 ，意 味着回归模型是显著的；采纳原假设 H 0 : 1 0 ，意 味着回归模型是不显著的. 在实际应用中，不显著的回归模型是不应该采用 的.
6.2.2 一元线性回归分析的原理 3. 决定系数
定义决定系数为 R2 FSS TSS . R 2 就是由于使 用一元线性回归模型而使误差平方和下降的降幅占 总平方和的比例. 由(6.2.6)式，有 R2 1 RSS TSS ， 0 R2 1 所以 R 2 越接近 1， 一元线性回归模型的拟合精确程度 就越高；特别的，当 R 2 1 时，回归直线 y b0 b1x 恰 好经过所有的数据点，残差 ei 都等于 0 (i 1, 2, , n) .
一元线性回归分析
C=α+βy + µ
其中， µ是随机误差项。 是随机误差项。 其中， 是随机误差项 根据该方程， 的值， 根据该方程，每给定一个收入 y 的值，消 并不是唯一确定的， 费C并不是唯一确定的，而是有许多值， 并不是唯一确定的 而是有许多值， 他们的概率分布与µ的概率分布相同 的概率分布相同。 他们的概率分布与 的概率分布相同。 线性回归模型的特征： 线性回归模型的特征： 有随机误差项！ 有随机误差项！
21
说
明
一、严格地说，只有通过了线性关系的检验，才 严格地说，只有通过了线性关系的检验， 能进行回归参数显著性的检验。 能进行回归参数显著性的检验。 有些教科书在介绍回归参数的检验时没有考虑线 性关系的检验，这是不正确的。 性关系的检验，这是不正确的。因为当变量之间 的关系没有通过线性检验时， 的关系没有通过线性检验时，进行回归参数显著 性的检验是没有意义的。 性的检验是没有意义的。 在一元线性回归分析中， 二、在一元线性回归分析中，即只有一个解释变 量时，这两种检验是统一的。 量时，这两种检验是统一的。但在多元回归分析 这两种检验的意义是不同的。 中，这两种检验的意义是不同的。 为了说明该问题， 为了说明该问题，我们在本章中依然把两种检验 分开论述。 分开论述。
13
为了达到上述目的， 为了达到上述目的，我们直观上会采 用以下准则： 用以下准则： 选择这样的SRF，使得： 选择这样的 ，使得：
残差和∑ ε i = ∑ ( yi − yi )尽可能小！ ˆ
但这个直观上的准则是否是一个很好 的准则呢？我们通过以下图示说明： 的准则呢？我们通过以下图示说明：
14
12
ˆx i + ε i yi = α + β ˆ ˆ 即：y i = y i + ε i ˆ ∴ ε i = yi − yi
一元回归分析
一元回归分析1. 简介回归分析是统计学中重要的分析方法之一，用于研究变量之间的关系。
在回归分析中，一元回归是指只涉及一个自变量和一个因变量的分析。
一元回归分析的目的是建立一个数学模型，描述自变量对因变量的影响关系，并通过拟合数据来确定模型的参数。
通过一元回归分析，我们可以研究自变量和因变量之间的线性关系，预测因变量的值，并进行因变量的控制。
2. 原理2.1 线性回归模型一元线性回归模型假设自变量和因变量之间存在线性关系，可以用以下方程来表示：Y = β0 + β1 * X + ε其中，Y 表示因变量，X 表示自变量，β0 和β1 分别表示模型的截距和斜率，ε 表示误差项。
2.2 最小二乘法拟合回归模型的常用方法是最小二乘法。
最小二乘法的目标是通过最小化残差平方和来确定模型的参数。
残差是指观测值与模型预测值之间的差异。
最小二乘法通过计算观测值与回归线之间的垂直距离来确定参数值，使得这些距离的平方和最小化。
3. 回归分析步骤一元回归分析通常包括以下步骤：3.1 数据收集收集与研究问题相关的数据。
数据包括自变量和因变量的观测值。
3.2 模型设定根据问题和数据，选择适当的回归模型。
对于一元回归分析，选择一元线性回归模型。
3.3 模型估计利用最小二乘法估计模型的参数值。
最小二乘法将通过最小化残差平方和来确定参数值。
3.4 模型诊断对拟合的模型进行诊断，检查模型是否满足回归假设。
常见的诊断方法包括检查残差的正态分布性、检查残差与自变量的关系等。
3.5 结果解释解释模型的结果，包括参数估计值、模型拟合程度、因变量的预测等。
3.6 模型应用利用拟合的模型进行预测、推断或决策。
4. 注意事项在进行一元回归分析时，需要注意以下几点：•数据的收集应当尽可能准确和全面，以确保分析的可靠性；•模型的设定应当符合问题的实际情况，并选择合适的函数形式；•模型诊断是确定模型是否可靠的重要步骤，需要进行多种检验；•需要注意回归分析的局限性，不能因为有了一元回归模型就能解释所有的问题。
第9章 一元线性回归分析
9.1.2相关关系的类型
从涉及的变量数量看
简单相关 多重相关（复相关）
从变量相关关系的表现形式看
线性相关——散点图接近一条直线(左图) 非线性相关——散点图接近一条曲线(右图)
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
11.2
11
10.8 10.6 10.4 10.2 10
若在定距变量分布不满足正态性的条件，可将定距变 量降级为定序变量
如要研究考试中学生交卷的名次是否与成绩有关，
交卷名次与考试名次之间的关系
交卷名 次
1 2 3 4
5
6
7
8
9
10
11
12
考试成 绩
94 74 74 60 68 86 92 60 78 74
78
64
参阅《统计学在经济和管理中的应用》
2 i i 2 i i
__
^
__
^
2
总离差平方和
回归平方和
残差平方和
判定系数定义：
r
2
(Y Y ) (Y Y )
i i
^
2 2
判定系数的特点
判定系数是非负的统计量； 判定系数取值范围： 0 r 2 在一元线性回归中，判定系数在数值上是
独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的ε与其他 x 值所对应的ε不相关 对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关
回归方程
描述因变量y的期望值如何依赖于自变量x的方程称为回归方程。
E( y) b0 b1 x
估计的回归方程
(estimated regression equation)
第15讲 一元线性回归分析
n
i 1
2
2 2 ˆ ˆ 2b yi y xi x b xi x i 1 i 1
i 1
n
i 1
n
ˆS /S ˆ b ˆ2 S S bS ˆ . b S yy 2bS xy xx xy xx yy xy
例2 求例1中误差方差的无偏估计。
采用最小二乘法估计参数a和b，并不需要事先知道Y与x之间 一定具有相关关系，即使是平面图上一堆完全杂乱无章的散 点，也可以用公式求出回归方程。因此μ(x)是否为x的线性函 数，一要根据专业知识和实践来判断，二要根据实际观察得 到的数据用假设检验方法来判断。
即要检验假设 H0 : b 0, H1 : b 0, 若原假设被拒绝，说明回归效果是显著的，否则， 若接受原假设，说明Y与x不是线性关系，回归方程 无意义。回归效果不显著的原因可能有以下几种：
将每对观察值( xi , yi )在直角坐标系中描出它相应的点 （称为散点图），可以粗略看出 ( x)的形式。
基本思想
(x, Y)
回归分析 回归方程
采集样本信息 ( xi, yi )
散点图
回归方程参数估计、显著性检验
对现实进行预测与控制
一元回归分析:只有一个自变量的回归分析 多元回归分析:多于一个自变量的回归分析
x1 x2 x3
xi
xn
整理得 na ( xi )b yi ,
( xi )a ( xi )b xi yi .——正规方程组
2 i 1 i 1 i 1
n
i 1
n
i 1
n
na ( xi )b yi ,
i 1 i 1
n
n
一元线性回归分析
一元线性回归分析摘要：一元线性回归分析是一种常用的预测和建模技术，广泛应用于各个领域，如经济学、统计学、金融学等。
本文将详细介绍一元线性回归分析的基本概念、模型建立、参数估计和模型检验等方面内容，并通过一个具体的案例来说明如何应用一元线性回归分析进行数据分析和预测。
1. 引言1.1 背景一元线性回归分析是通过建立一个线性模型，来描述自变量和因变量之间的关系。
通过分析模型的拟合程度和参数估计值，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。
1.2 目的本文的目的是介绍一元线性回归分析的基本原理、建模过程和应用方法，帮助读者了解和应用这一常用的数据分析技术。
2. 一元线性回归模型2.1 模型表达式一元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
2.2 模型假设一元线性回归模型的基本假设包括：- 线性关系假设：自变量X与因变量Y之间存在线性关系。
- 独立性假设：每个观测值之间相互独立。
- 正态性假设：误差项ε服从正态分布。
- 同方差性假设：每个自变量取值下的误差项具有相同的方差。
3. 一元线性回归分析步骤3.1 数据收集和整理在进行一元线性回归分析之前，需要收集相关的自变量和因变量数据，并对数据进行整理和清洗，以保证数据的准确性和可用性。
3.2 模型建立通过将数据代入一元线性回归模型的表达式，可以得到回归方程的具体形式。
根据实际需求和数据特点，选择适当的变量和函数形式，建立最优的回归模型。
3.3 参数估计利用最小二乘法或最大似然法等统计方法，估计回归模型中的参数。
通过最小化观测值与回归模型预测值之间的差异，找到最优的参数估计值。
3.4 模型检验通过对回归模型的拟合程度进行检验，评估模型的准确性和可靠性。
常用的检验方法包括：残差分析、显著性检验、回归系数的显著性检验等。
4. 一元线性回归分析实例为了更好地理解一元线性回归分析的应用，我们以房价和房屋面积之间的关系为例进行分析。
一元线性回归分析
S xx xi2 nx 2 218500 10 1452 8250 S xy xi yi nx y 101570 10 145 67.3
i 1
3985 ˆ S xy 3985 0.483 b S xx 8250 ˆ ˆ a y xb 67.3 145 0.483 2.735
这里45.394>2.306，即|t|值在H0的拒绝域内，故 拒绝H0 ，说明回归效果是显著的。 b的置信度为0.95(=0.05)的置信区间为 0.934 0.934 (b, b ) 0.483 2.306 , 0.483 2.306 8250 8250
i 1 n 2 n
2
ˆ ˆ yi y yi yi
i 1 i 1
2
S回 Qe
18
线性回归的方差分析
回归平方和
残差平方和
ˆ S回 yi y
i 1 n
n
2
ˆ Qe yi yi
i 1
2
Syy自由度为n-1， Qe自由度为n-2， S回自由度为1
平方和 1924.6 7.5 1932.1
自由度
均方
F比
回归 残差 总和
1 8 9
1924.6 0.94
2047.4
30
对=0.01，查出F0.01(1,8)=11.26 因为2047.3 >>11.26，所以回归效果是 非常显著的。
六、利用回归方程进行预报（预测） 回归问题中Y是随机变量，x是普通 变量。回归方程 y a bx 是Y对x的依赖 ˆ ˆ ˆ 关系的一个估计。对给定的x值，用回归 方程确定Y的值，叫预报。
第三节 一元线性回
1
1、回归系数的显著性检验
• 估计量 S 2 来代替。 ˆ • 但样本为小样本时，回归系数估计量 β1 的标准 化变换值服从t分布，即：
σ 2 是未知的，要用其无偏 一般来说，总体方差
tβˆ =
1
ˆ β1 − β1 Sβˆ
1
~ t (n − 2)
• 式中n为样本容量，n-2为自由度。 •
回归系数显著性检验步骤：
(二)一元线性回归分析的特点 二 一元线性回归分析的特点
• 1、在两个变量之间，必须根据研究目的具体确定哪个 是自变量，哪个是因变量。相关分析不必确定两个变量中 哪个是自变量，哪个是因变量。 2、计算相关系数时，要求相关的两个变量都是随机的； 但是，在回归分析中因变量是随机的，而自变量不是随机 的变量。 3、在没有明显的因果关系的两个变量与y之间，可以 3 y 求得两个回归方程。 4、回归方程的主要作用在于：给出自变量的数值来估 计因变量的可能值。一个回归方程只能做出一种推算，推 算的结果表明变量之间的具体的变动关系。 5、直线回归方程中，自变量的系数称回归系数。回归 系数的符号为正，表示正相关；为负则表示负相关。
ˆ β1 =
n∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi n∑ x − (∑ xi )
2 i 2
ˆ ˆ β 0 = yi − β1 xi
（一）参数 β 0 , β 1 的最小二乘估计
一元线性回归分析研究实验报告
一元线性回归分析研究实验报告一元线性回归分析研究实验报告一、引言一元线性回归分析是一种基本的统计学方法，用于研究一个因变量和一个自变量之间的线性关系。
本实验旨在通过一元线性回归模型，探讨两个变量之间的关系，并对所得数据进行统计分析和解读。
二、实验目的本实验的主要目的是：1.学习和掌握一元线性回归分析的基本原理和方法；2.分析两个变量之间的线性关系；3.对所得数据进行统计推断，为后续研究提供参考。
三、实验原理一元线性回归分析是一种基于最小二乘法的统计方法，通过拟合一条直线来描述两个变量之间的线性关系。
该直线通过使实际数据点和拟合直线之间的残差平方和最小化来获得。
在数学模型中，假设因变量y和自变量x之间的关系可以用一条直线表示，即y = β0 + β1x + ε。
其中，β0和β1是模型的参数，ε是误差项。
四、实验步骤1.数据收集：收集包含两个变量的数据集，确保数据的准确性和可靠性；2.数据预处理：对数据进行清洗、整理和标准化；3.绘制散点图：通过散点图观察两个变量之间的趋势和关系；4.模型建立：使用最小二乘法拟合一元线性回归模型，计算模型的参数；5.模型评估：通过统计指标（如R2、p值等）对模型进行评估；6.误差分析：分析误差项ε，了解模型的可靠性和预测能力；7.结果解释：根据统计指标和误差分析结果，对所得数据进行解释和解读。
五、实验结果假设我们收集到的数据集如下：经过数据预处理和散点图绘制，我们发现因变量y和自变量x之间存在明显的线性关系。
以下是使用最小二乘法拟合的回归模型：y = 1.2 + 0.8x模型的R2值为0.91，说明该模型能够解释因变量y的91%的变异。
此外，p 值小于0.05，说明我们可以在95%的置信水平下认为该模型是显著的。
误差项ε的方差为0.4，说明模型的预测误差为0.4。
这表明模型具有一定的可靠性和预测能力。
六、实验总结通过本实验，我们掌握了一元线性回归分析的基本原理和方法，并对两个变量之间的关系进行了探讨。
第一节一元线性回归分析-
回 归 分
线 性回归分析 非线性回归分析
一元线性回归分析 多元线性回归分析
析
一、一元线性回归的数学模型
问题的分析
设 随 机 变 量 Y (因 变 量 )和 普 通 变 量 x ( 自 变 量 )之
间 存 在 着 相 关 关 系
Y
F(y x)表示当x取
确定的值x时,所对应
的Y的分布函数 .
C1
(x2)
求Q的最小值可以利用微分法
n
设 Q (,) (Y i x i)2 ,求 偏 导 可 得 i 1 Q ( ,)2i n 1(Y ixi)0
Q(
,
)
2
n i 1
xi (Yi
来自xi)0
n
(
n
[
i1
2 (
xi )2]
2 n[
n
(
i1
i1
n
= i1
(n1(xin(xx)i(x0x)2x))Yi
i1
因 而 Y ˆ 0 服 从 正 态 分 布 ， 其 期 望 值 为
E Y 0 E ( ˆ ˆx 0 ) x 0
D(Yˆ0)=i n1(n 1(xin(xx)i(x0x)2x))2DYi
例1 为研究某一化学反应过程中,温度x(oC)对产 品得率Y(%)的影响,测得数据如下.
温度x(oC) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
得率Y(%) 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 用MATLAB画出散点图
x=100:10:190;y=[45,51,54,61,66,70,74,78,85,89]; plot(x,y,'.r')
一元线性回归分析的作用方法步骤
一元线性回归分析的作用方法步骤一元线性回归分析是一种用来探究两个变量之间关系的统计方法。
它基于一个假设，即两个变量之间存在线性关系。
以下是一元线性回归分析的一般步骤：1. 数据收集：首先，需要收集所需的数据。
需要考虑收集的数据是否与研究目的相关，并确保数据的准确性和完整性。
2. 变量定义：定义自变量和因变量。
自变量是用来预测因变量的变量，而因变量是我们想要预测或解释的变量。
3. 数据探索：进行数据探索，包括数据的描述性统计和绘图。
这一步可以帮助我们了解数据的分布、异常值和离群点。
4. 模型选择：选择适当的线性模型。
这可以通过查看散点图、相关性分析和领域知识来完成。
通常，一个线性模型可以用以下方程表示：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
5. 模型估计：使用最小二乘法来估计回归系数。
最小二乘法的目标是找到最佳拟合直线，使得预测值与实际值之间的残差平方和最小化。
6. 模型评估：评估模型的拟合优度。
常用的指标包括R平方值和调整R平方值。
R平方值介于0和1之间，表示因变量变异性的百分比可以由自变量解释。
调整R平方值是对R平方值的修正，考虑了自变量的数量和样本量。
7. 模型解释：根据回归系数的估计值，解释自变量对因变量的影响。
根据回归系数的正负和大小，可以确定变量之间的关系是正向还是负向，并量化这种关系的强度。
8. 结果验证：验证模型的有效性和稳健性。
这可以通过对新数据集的预测进行测试，或使用交叉验证的方法来完成。
9. 结果解释：对模型结果进行解释，提供有关回归系数的结论，并解释模型对现实世界问题的意义。
总结来说，一元线性回归分析的方法步骤包括数据收集、变量定义、数据探索、模型选择、模型估计、模型评估、模型解释、结果验证和结果解释。
它们相互关联，构成了一元线性回归分析的完整过程。
一元线性回归分析
9--36
判定系数与回归估计标准差的计算
根据前述计算公式计算判定系数与回归估计标准差 ，需先根据样本回归方程计算出 X 的各观测值 xi 对 应的回归估计值 yi ，计算过程比较繁琐。
借助于 EXCEL 的“回归”分析工具可轻松得到其数 值。显示在 EXCEL 的回归输出结果的第一部分
判定系数（ R Square ）
也称为可解释的平方和。
3. 残差平方和（ SSE 、 Q ）
反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影 响，
9--29
可决系数（判定系数 r2 或
R2 ）
1. 可决系数 = 回归平方和占总离差平方和的
比例
r2
SSR SST
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
回归平方和 总离差平方和
1
残差平方和 总离差平方和
综合度量回归方程对样本观测值拟合优度， 衡量变量之间的相关程度。
称为古典线性回归模型。
9--12
2. 样本回归方程（ SRF ）
实际中只能通过样本信息去估计总体回归方程的参 数。
一
元
线
性回归的
yˆi ˆ
样
本ˆx回i
归
方
a
程
的形
bxi
式
：
ˆ a, ˆ b 是样本回归方程的截距和斜率
yˆ ； i 是与 xi 相对应的 Y 的条件均值的估计 ； 9--13
样本回归方程与总体回归方程之关系
i 1
n2
�n ( yi yˆi ) 2
i 1
n2
9--34
回归估计标准差的作用
1. 反映实际观察值在回归直线周围的分散状 况；反映因变量各实际值与其回归估计值之
一元线性回归分析实验报告doc
一元线性回归分析实验报告.doc一、实验目的本实验旨在通过一元线性回归模型，探讨两个变量之间的关系，即一个变量是否随着另一个变量的变化而呈现线性变化。
通过实际数据进行分析，理解一元线性回归模型的应用及其局限性。
二、实验原理一元线性回归是一种基本的回归分析方法，用于研究两个连续变量之间的关系。
其基本假设是：因变量与自变量之间存在一种线性关系，即因变量的变化可以由自变量的变化来解释。
一元线性回归的数学模型可以表示为：Y = aX + b，其中Y是因变量，X是自变量，a是回归系数，b是截距。
三、实验步骤1.数据收集：收集包含两个变量的数据集，用于建立一元线性回归模型。
2.数据预处理：对数据进行清洗、整理和标准化，确保数据的质量和准确性。
3.绘制散点图：通过散点图观察因变量和自变量之间的关系，初步判断是否为线性关系。
4.建立模型：使用最小二乘法估计回归系数和截距，建立一元线性回归模型。
5.模型评估：通过统计指标（如R²、p值等）对模型进行评估，判断模型的拟合程度和显著性。
6.模型应用：根据实际问题和数据特征，对模型进行解释和应用。
四、实验结果与分析1.数据收集与预处理：我们收集了一个关于工资与工作经验的数据集，其中工资为因变量Y，工作经验为自变量X。
经过数据清洗和标准化处理，得到了50个样本点。
2.散点图绘制：绘制了工资与工作经验的散点图，发现样本点大致呈线性分布，说明工资随着工作经验的变化呈现出一种线性趋势。
3.模型建立：使用最小二乘法估计回归系数和截距，得到一元线性回归模型：Y = 50X + 2000。
其中，a=50表示工作经验每增加1年，工资平均增加50元；b=2000表示当工作经验为0时，工资为2000元。
4.模型评估：通过计算R²值和p值，对模型进行评估。
在本例中，R²值为0.85，说明模型对数据的拟合程度较高；p值为0.01，说明自变量对因变量的影响是显著的。
一元线性回归分析和多元线性回归分析
一元线性回归分析和多元线性回归分析一元线性回归分析1.简单介绍当只有一个自变量时，称为一元回归分析（研究因变量y 和自变量x 之间的相关关系）；当自变量有两个或多个时，则称为多元回归分析（研究因变量y 和自变量1x ，2x ，…，n x 之间的相关关系）。
如果回归分析所得到的回归方程关于未知参数是线性的，则称为线性回归分析；否则，称为非线性回归分析。
在实际预测中，某些非线性关系也可以通过一定形式的变换转化为线性关系，所以，线性回归分析法成为最基本的、应用最广的方法。
这里讨论线性回归分析法。
2.回归分析法的基本步骤回归分析法的基本步骤如下： （1） 搜集数据。
根据研究课题的要求，系统搜集研究对象有关特征量的大量历史数据。
由于回归分析是建立在大量的数据基础之上的定量分析方法，历史数据的数量及其准确性都直接影响到回归分析的结果。
（2） 设定回归方程。
以大量的历史数据为基础，分析其间的关系，根据自变量与因变量之间所表现出来的规律，选择适当的数学模型，设定回归方程。
设定回归方程是回归分析法的关键，选择最优模型进行回归方程的设定是运用回归分析法进行预测的基础。
（3） 确定回归系数。
将已知数据代入设定的回归方程，并用最小二乘法原则计算出回归系数，确定回归方程。
这一步的工作量较大。
（4） 进行相关性检验。
相关性检验是指对已确定的回归方程能够代表自变量与因变量之间相关关系的可靠性进行检验。
一般有R 检验、t 检验和F 检验三种方法。
（5） 进行预测，并确定置信区间。
通过相关性检验后，我们就可以利用已确定的回归方程进行预测。
因为回归方程本质上是对实际数据的一种近似描述，所以在进行单点预测的同时，我们也需要给出该单点预测值的置信区间，使预测结果更加完善。
3. 一元线性回归分析的数学模型用一元线性回归方程来描述i x 和i y 之间的关系，即i i i x a a y ∆++=10 （i =1，2，…，n ）（2-1）式中，i x 和i y 分别是自变量x 和因变量y 的第i 观测值，0a 和1a 是回归系数，n 是观测点的个数，i ∆为对应于y 的第i 观测值i y 的随机误差。
第6讲 一元线性回归分析
估计的回归方程
(estimated regression equation)
1. 总体回归参数b 0和b1是未知的，必须利用样本数 据去估计 ˆ 和b ˆ 代替回归方程中的未知参 2. 用样本统计量 b 0 1 数 b 0和 b1，就得到了估计的回归方程 3. 一元线性回归中估计的回归方程为
ˆ +b ˆx ˆb y 0 1
相关系数的经验解释
1. 2. 3. 4. |r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关 0.5|r|<0.8时，可视为中度相关 0.3|r|<0.5时，视为低度相关 |r|<0.3时，说明两个变量之间的相关程度极弱 ，可视为不相关 5. 上述解释必须建立在对相关系数的显著性进行 检验的基础之上
3. 用最小二乘法拟合的直线来代表 x 与 y 之间的 关系与实际数据的误差比其他任何直线都小
Karl Gauss的最小化图
y
( xn , yn )
( x2 , y2 ) e i = y iyi ＾ (xi , yi)
ˆ +b ˆx ˆb y 0 1
Байду номын сангаас
( x1 , y1 )
相关关系
(几个例子)
子女的身高与其父母身高的关系
从遗传学角度看，父母身高较高时，其子女的身高一般也比 较高。但实际情况并不完全是这样，因为子女的身高并不完 全是由父母身高一个因素所决定的，还有其他许多因素的影 响 收入水平相同的人，他们受教育的程度也不可能不同，而受 教育程度相同的人，他们的收入水平也往往不同。因为收入 水平虽然与受教育程度有关系，但它并不是决定收入的惟一 因素，还有职业、工作年限等诸多因素的影响 在一定条件下，降雨量越多，单位面积产量就越高。但产量 并不是由降雨量一个因素决定的，还有施肥量、温度、管理 水平等其他许多因素的影响
一元线性回归分析
第二节 一元线性回归分析回归是分析变量之间关系类型的方法，按照变量之间的关系，回归分析分为：线性回归分析和非线性回归分析。
本节研究的是线性回归，即如何通过统计模型反映两个变量之间的线性依存关系。
回归分析的主要内容：1. 从样本数据出发，确定变量之间的数学关系式；2. 估计回归模型参数；3. 对确定的关系式进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出影响显著的变量。
一、一元线性回归模型：一元线性模型是指两个变量x 、y 之间的直线因果关系。
（一）理论回归模型：εββ++=x y 10理论回归模型中的参数是未知的，但是在观察中我们通常用样本观察值),(i i y x 估计参数值10,ββ，通常用10,b b 分别表示10,ββ的估计值，即称回归估计模型：x b b y10ˆ+= 二、模型参数估计：用最小二乘法估计10,b b ：⎪⎩⎪⎨⎧-=--=∑∑∑∑∑xb y b x x n y x xy n b 10221)( 三．回归系数的含义（2）回归方程中的两个回归系数，其中b0为回归直线的启动值，在相关图上变现为x=0时，纵轴上的一个点，称为y 截距；b1是回归直线的斜率，它是自变量（x ）每变动一个单位量时，因变量（y ）的平均变化量。
（3）回归系数b1的取值有正负号。
如果b1为正值，则表示两个变量为正相关关系，如果b1为负值，则表示两个变量为负相关关系。
四．回归方程的评价与检验：当我们得到一个实际问题的经验回归方程后，还不能马上就进行分析与预测等应用，在应用之前还需要运用统计方法对回归方程进行评价与检验。
进行评价与检验主要是基于以下理由：第一，在利用样本数据估计回归模型时，首先是假设变量y 与x 之间存在着线性关系，但这种假设是否存在需要进行检验；第二，估计的回归方程是否真正描述了变量y 与x 之间的统计规律性，y 的变化是否通过模型中的解释变量去解释需要进行检验等。
一般进行检验的内容有：1.经济意义的检验：利用相关的经济学原理及我们所积累的丰富的经验，对所估计的回归方程的回归系数进行分析与判断，看其能否得到合理的解释。
一元线性回归的基本步骤
一元线性回归的基本步骤一元线性回归分析的基本步骤如下：•1、散点图判断变量关系（简单线性）；2、求相关系数及线性验证；3、求回归系数，建立回归方程；4、回归方程检验；5、参数的区间估计；6、预测；•••请点击输入图片描述•一、什么是回归分析法“回归分析”是解析“注目变量”和“因于变量”并明确两者关系的统计方法。
此时，我们把因子变量称为“说明变量”，把注目变量称为“目标变量址(被说明变量)”。
清楚了回归分析的目的后，下面我们以回归分析预测法的步骤来说明什么是回归分析法：回归分析是对具有因果关系的影响因素（自变量）和预测对象（因变量）所进行的数理统计分析处理。
只有当变量与因变量确实存在某种关系时，建立的回归方程才有意义。
因此，作为自变量的因素与作为因变量的预测对象是否有关，相关程度如何，以及判断这种相关程度的把握性多大，就成为进行回归分析必须要解决的问题。
进行相关分析，一般要求出相关关系，以相关系数的大小来判断自变量和因变量的相关的程度。
二、回归分析的目的回归分析的目的大致可分为两种：第一，“预测”。
预测目标变量，求解目标变量y和说明变量(x1，x2，…)的方程。
y=a0+b1x1+b2x2+…+bkxk+误差（方程A）把方程A叫做(多元)回归方程或者(多元)回归模型。
a0是y截距，b1，b2，…，bk是回归系数。
当k=l时，只有1个说明变量，叫做一元回归方程。
根据最小平方法求解最小误差平方和，非求出y截距和回归系数。
若求解回归方程．分别代入x1，x2，…xk的数值，预测y的值。
第二，“因子分析”。
因子分析是根据回归分析结果，得出各个自变量对目标变量产生的影响，因此，需要求出各个自变量的影响程度。
希望初学者在阅读接下来的文章之前，首先学习一元回归分析、相关分析、多元回归分析、数量化理论I等知识。
根据最小平方法，使用Excel求解y=a+bx中的a和b。
简单线性相关(一元线性回归分析)
第十三讲简单线性相关（一元线性回归分析）对于两个或更多变量之间的关系，相关分析考虑的只是变量之间是否相关、相关的程度，而回归分析关心的问题是：变量之间的因果关系如何。
回归分析是处理一个或多个自变量与因变量间线性因果关系的统计方法。
如婚姻状况与子女生育数量，相关分析可以求出两者的相关强度以及是否具有统计学意义，但不对谁决定谁作出预设，即可以相互解释，回归分析则必须预先假定谁是因谁是果，谁明确谁为因与谁为果的前提下展开进一步的分析。
一、一元线性回归模型及其对变量的要求（一）一元线性回归模型1、一元线性回归模型示例两个变量之间的真实关系一般可以用以下方程来表示：Y=A+BX+方程中的 A 、B 是待定的常数，称为模型系数，是残差，是以X预测Y 产生的误差。
两个变量之间拟合的直线是：y a bxy 是y的拟合值或预测值，它是在X 条件下 Y 条件均值的估计a 、b 是回归直线的系数，是总体真实直线距，当自变量的值为0 时，因变量的值。
A、B 的估计值， a 即 constant 是截b 称为回归系数，指在其他所有的因素不变时，每一单位自变量的变化引起的因变量的变化。
可以对回归方程进行标准化，得到标准回归方程：y x为标准回归系数，表示其他变量不变时，自变量变化一个标准差单位（ Z XjXj），因变量 Y 的标准差的平均变化。
S j由于标准化消除了原来自变量不同的测量单位，标准回归系数之间是可以比较的，绝对值的大小代表了对因变量作用的大小，反映自变量对Y 的重要性。
（二）对变量的要求：回归分析的假定条件回归分析对变量的要求是：自变量可以是随机变量，也可以是非随机变量。
自变量 X 值的测量可以认为是没有误差的，或者说误差可以忽略不计。
回归分析对于因变量有较多的要求，这些要求与其它的因素一起，构成了回归分析的基本条件：独立、线性、正态、等方差。
（三）数据要求模型中要求一个因变量，一个或多个自变量（一元时为 1 个自变量）。
一元线性回归分析
• 因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条件 均值（conditional mean）或条件期望（conditional expectation）：
E(Y | X X i )
该例中：E（Y | X=800）=650
2020/4/28
朱晋
13
• 从散点图发现：随着收入的增加，消费“平均
地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一根正 斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。
均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相 关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。
2020/4/28
朱晋
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回归分析构成计量经济学的方法论基 础，其主要内容包括：
（1）根据样本观察值对计量经济模型参数进行 估计，求得回归方程；
（2）对回归方程、参数估计值进行检验； （3）利用回归方程进行分析、评价及预测。
随机变量间的关系。 • 统计依赖或相关关系：研究的是非确定现象随 机变量间的关系。
2020/4/28
朱晋
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△对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关分析 (correlation analysis)或回归分析(regression analysis) 来完成的：
统计依赖关系
正相关 线性相关 不相关 相关系数：
yi 0 1xi ui
• 利用样本观察值找出参数0和 1的估计值，
得到样本回归模型：
yˆi ˆ0 ˆ1xi
• 检验估计值的性质，并利用样本回归模
型分析被解释变量的总体平均规律。
2020/4/28
朱晋
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• 由于变量间关系的随机性，回归分析关心的是根据 解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体
负相关 1 XY 1
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第八章 第二节 一元线性回归分析 ●一、什么是回归分析？
测定变量之间数量变化关系的数学方法，称为回归分析。
只有一个因变量和一个自变量的线性回归模型，叫一元线性回归模型。
由于总体回归函数实际上是未知的，一元线性回归模型称为“样本回归直线”。
其近似的函数关系为：
t u x y ++=211ββ
其中：β1、β2是待定系数，也叫回归系数。
u t 又
称随机干扰项，（或随机误差项）它是一个特殊的随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对y 的影响，随机误差项u t 是无法直接观测的。
随机误差项u t 的假定条件如下： ●二、标准假定（高斯假定）：
（1）误差项的期望值为0，即：
)(t u E
（2）误差项的方差为常数，即：2
2)()(σ==t
t u E u Var ； （3）误差项之间无系列相关关系，其协方差为0，
即：0)()(==s t s t u u E u u Cov ；
（4）自变量是给定的变量，与随机误差项线性无关；
（5）随机误差项服从正态分布。
※关于非标准条件下的分析方法参照《计量经济学》。
●三、回归系数β1、β2的估计值
由于假定的第一条，故：x y t 21ββ+=。
理论上令：
∑∑=--=-0)(0)(2
2
12
x y y y t
ββ 对β1、β2求偏导数，经整理得： ⎪
⎩⎪⎨
⎧-=--=∑∑∑∑∑x
y x x n y
x xy n 212
22)(βββ 以相关分析中例题为例：
▲案例1：某地区对15户居民家庭人均可支配收入与某类商品消费支出的调查数据如下：（百元/月）
合计：ΣX=1516，ΣY=423，ΣXY=44632，
ΣX 2=163654，ΣY 2
=12311 。
代入公式：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=-⨯⨯-⨯==⨯-=1802
.0151616365415423151644632159872.91515161802.015423221ββ
回归方程为：
x
y t 1802.09872.9+=
◎ 9.9872和0.1802的经济含义？
●四、回归方程的估计标准差S y ：
◎估计标准差S 越小，说明实际观察值与所拟合的样本回归线的离散度越小，样本回归线的代表性越强。
●五、回归方程的拟合度
●拟合度：指回归直线与各样本观察点的接近程度。
●可决系数：用来说明回归直线的拟合度。
●可决系数的理论依据：对“总离差平方和”进行分解。
X
从上图看出，每一观察点的离差，都可以分解为：
将上式两边平方，并对所有点（n
个）求和，经整理得：
总的离差平方和 = 回归平方和 + 残差平方和
SST = SSR + SSE 两边同除以SST 得：
1= SSR/ SST+ SSE/ SST SSR/ SST=1- SSE/ SST
SST SSE SST SSR r -
==12
r 2
叫做可决系数（判定系数）
※可决系数r 2
测度了回归直线对观测数据的拟合程度。
假定所有观测值都落在直线上，则“残差平方
和”SSE=0，r 2=1，表示完全拟合；r 2
越接近于1，表示“回归平方和” 占“总的离差平方和”的比例越大，可决系数越大，回归直线的拟合度越高。
可决系数的取值范围为：0≤r 2
≤1。
◎r 2
的另一算法：
可决系数 = 相关系数的平方
◎用可决系数说明回归直线的拟合度比相关系数更慎重些。
●六、回归系数的显著性检验
回归系数的显著性检验是检验自变量对因变
量的影响是否显著的问题。
在 x y t 21ββ+=中，
假如总体回归系数β2= 0，则总体回归线是一条水
平线，表明自变量对因变量没有影响。
※回归系数的显著性检验就是检验回归系数与0之间是否有显著差异。
检验的步骤： （1） 陈述假设：0:,0:2120≠=ββH H ；
（2） 计算假设统计量t 值：
（3）确定显著水平α，（一般为：0.05或0.01）
自由度为df= n-2，查找相应的临界值；
（4）计算相关统计量，做出统计判断。
以上题为例：S=1.834 ΣX=1516，
ΣX2=163654。
陈述假设：H0：β2= 0，H0：β2≠ 0。
df=15-2=13，α=0.05 （双尾）t=2.1604
10.037879大于2.1604，拒绝原假设，接受备择假设。
收入对该类商品消费支出有显著影响。
●七、回归预测
根据自变量X的取值，估计因变量y取值的可能范围，这个可能范围称为预测区间，或置信区间(置信度为1-α)。
在小样本的条件下，一般使用t分布df=n-2。
设自变量x的任意取值为x0，根据回归方程可知因
变量
y
t
的点估计值为：假定
x0
=280
（百元）
，则：
44
.
60
280
1802
.0
9872
.
9
ˆ
2
1
=
⨯
+
=
+
=
x
y
t
β
β
上述问题的估计区间为：∑
-
-
+
+
±
2
2
2
/
)
(
)
(
1
1
ˆ
x
x
x
x
n
S
t
y
i
t
α
若置信度1-
α为95%，df=n-2=15-2=13，tα/2=2.1604
之间
百元)
(
496
.
68
384
.
53
056
.8
44
.
60
0333
.2
834
.1
1604
.2
44
.
60
15
/
1516
163654
)
15
/
1516
280
(
15
1
1
834
.1
1604
.2
44
.
60
2
2
≤
≤
±
=
⨯
⨯
±
=
-
-
+
+
⨯
⨯
±
t
y
▲习题1：
已知12户居民家庭收入与储蓄的有关数据。
X：月收入（百元）；Y：月储蓄（百元）。
ΣX=254，ΣY=92，ΣX2=5950，ΣY2=794，ΣXY=2164。
要求：（1）计算相关系数；（2）拟一条回归模型并解释经济含义；（3）计算可决系数；（4）计算回归估计标准差；（5）对回归系数进行显著性检验（显著水平5%）；（6）若x0=40（百元），置信度为95%时，其置信区间是多少？
解：（1）r=0.9607；（2）Y t=-0.328+0.3777x；（3）
r2=0.923
（4）S=0.8266（百元）；（5）t=10.9478＞tα
=2.2281，拒绝H0，回归系数显著；（6）当x0=40 /2
时：
Y t=-0.328+0.3777×40=14.78（百元）；置信区间为：
▲习题2：教材290页1、3、4
[]
n
x x nn x n n x x n x n n
x x x x x x x x x 2
22
222
2
2
22)
()
()(22)(2)(∑
∑∑∑
∑∑∑∑∑∑
∑-=+-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=+-=-
◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎
()
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[]2
22
2
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2
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2
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)()
()()n x ( 1
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(2)(2x x n
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x x n x n n x n n
x n nn
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∴-=⨯-=
-
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--=
∑∑
∑
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑σσ。