黑龙江省齐齐哈尔市高中数学第一章三角函数1.2任意的三角函数1.2.2三角函数线导学案领学案(无答案)新人教
黑龙江省齐齐哈尔市高中数学 第一章 三角函数 1.2 任
任意角的三角函数学习目标掌握任意角的三角函数的定义；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.学习疑问学习建议【相关知识点回顾】用弧度制写出终边在下列位置的角的集合.（1）坐标轴上；（2）第二、四象限.【知识转接】初中锐角的三角函数如何定义？【预学能掌握的内容】1.三角函数的定义:设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y，那么：（1）叫做α的正弦(sine)，记做sinα；（2）叫做α的余弦(cossine)，记做cosα；（3）叫做α的正切(tangent)，记做tanα.即：sin yα=，cos xα=，tan(0)yxxα=≠.2. 三角函数的定义域和三角函数值的符号:①正弦值yr对于第、象限为正（0,0y r>>），对于第、象限为负（0,0y r<>）；②余弦值xr对于第、象限为正（0,0x r>>），对于第、象限为负（0,0x r<>）；③正切值yx对于第、象限为正（,x y同号），对于第、象限为负（,x y异号）．3. 三角函数的定义的推广:一般地,在α的终边上任取一点(,)P a b，它与原点的距离220r a b=+>.则sinMP bOP rα==；cosα= = ；tanMPOMα== .【探究点一】任意角的三角函数的定义（阅读教材11-12页，回答下列问题）问题1：如图，设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b，它与原点的距离220r a b=+>.过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为a，线段MP的长度为b.则sinMP bOP rα==；cosα= = ；tanMPOMα== .问题2：改变终边上的点的位置这三个比值会改变吗？为什么？问题3：将点取在使线段OP的长1r=的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数为：sinMPOPα==；cosOMOPα==；tanMPOMα== .yP（a，b）rαO MyP（a，b）rαO M问题4：上述锐角α的三角函数值可以用角α终边上一点的坐标表示. 那么，角的概念推广以后，是否可以将上述三角函数的定义方式推广到任意角呢？如果可以，请给出任意角的三角函数的定义。
高中数学第一章三角函数1.2任意的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系课件新人教A版必修
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7 1 2．将本例(1)的条件“sin α＋cos α＝ ”改为“sin α· cos α＝－ ”其他条 13 8 件不变，求cos α－sin α.
π 1 ， π [ 解] 因为sin αcos α＝－ ＜0，所以α∈ ，所以cos α－sin α＜0， 8 2
2
12 5 由①②解得sin α＝ ，cos α＝－ ， 13 13 sin α 12 所以tan α＝ ＝－ . cos α 5
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法二：(弦化切) 60 sin αcos α 60 tan α 60 同法一求出sin αcos α＝－ ， 2 ＝－ ， ＝－ ， 169 sin α＋cos2α 169 tan2α＋1 169 5 12 整理得60tan α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－ 或tan α＝－ . 12 5
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第一章
三角函数
1.2 任意角的三角函数
1.2.2 同角三角函数的基本关系
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学习目标：1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重 点)2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)
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[自 主 预 习· 探 新 知]
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母题探究：1.将本例(1)条件“α∈(0，π)”改为“α∈(－π，0)”其他条件 不变，结果又如何？
120 [ 解] 由例(1)求出2sin αcos α＝－ ， 169 因为α∈(－π，0)，所以sin α＜0，cos α＞0， 所以sin α－cos α＝－ sin α－cos α2 17 ＝－ 1－2sin αcos α＝－ . 13 7 5 12 与sin α＋cos α＝ 联立解得sin α＝－ ，cos α＝ ， 13 13 13 sin α 5 所以tan α＝ ＝－ . cos α 12
高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的
高中数学第一章三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的1.2.1任意角度的三角函数互动课堂疏导1.任意角三角函数的定义设P（a，b）为角α，单位圆的最终边缘与单位圆的交点从P轴到X轴引出一条垂直线，垂直脚为m。
sin根据锐角三角函数α的定义得到=|mp||om||mp|b?.=b,cosα==a,tanα=|Op | om | a | Op |类似地，我们也可以使用单位圆定义任意角度的三角函数，如图1-2-2所示，集α为1个任意角,它的终边与单位圆交于点p(x,y),那么图1-2-2(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y.(2)x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x.(3)YY被称为α，其切线被表示为tanα，tanα=。
三十二。
三角函数线设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x轴的交点分别为a(1,0)、a′(-1,0),与y轴的交点分别为b(0,1)、b′(0,-1).设角α的顶点在圆心o,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点p(如图1-2-3(a)),过点p作pm垂直于x轴于m,则点m是点p 在x轴上的正射影(简称射影),由三角函数的定义可知点p的坐标为(cosα,sinα),即p(cosα,sinα).其中cosα=om，sinα=mp。
也就是说，角α的余弦和正弦分别等于最终边和单位圆相交的角度α横坐标和纵坐标，单位圆在点a和α处的切线，如果终端边或其反向延长线在点t（t’）处相交（图1-2-3（b）），则Ta nα=at（at’）。
我们把轴上向量om、mp、at(at')叫做α的余弦线、正弦线、正切线.图1-2-3三.三角函数在各象限的符号三角函数的符号可以通过三角函数的定义和每个象限点坐标的符号来确定sinα=y,于是sinα的符号与y的符号相同,即当α是第一、二象限的角时,sinα＞0;当α当它是第三和第四象限的角度时，sinα＜0cosα=x,于是cosα的符号与x的符号相同,即当α是第一、四象限角时,cosα＞0;当α是第二、三象限的角时,cosα＜0.tanα=y、当x和y有相同的符号时，它们的比率为正。
高中数学 第1章 三角函数 1.2.2 同角三角函数关系教学设计 苏教版必修4(2021年整理)
高中数学第1章三角函数1.2.2 同角三角函数关系教学设计苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第1章三角函数1.2.2 同角三角函数关系教学设计苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
2.2 同角三角函数关系错误!教学分析与三角函数的定义域、符号的确定一样，同角三角函数的基本关系式的推导，紧扣了定义，按照一切从定义出发的原则进行,通过对基本关系的推导，培养学生重视对基本概念学习的良好习惯，并通过对基本概念的学习，善于钻研，从中不断发掘更深层次的内涵．同角三角函数的基本关系式将“同角”的三种不同的三角函数直接或间接地联系起来，在使用时一要注意“同角”，如sin24π＋cos24π＝1等，二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的，如tanα中的α是使得tanα有意义的值，即α≠kπ＋错误!，k∈Z。
通过联系,让学生了解到基本关系式具有等式的一切性质（正用、逆用、变形用）,对公式不仅能牢固掌握，还能灵活运用，不仅掌握公式的标准形式，而且还应掌握它们的等价形式：sin2α＝1－cos2α,1＝sin2α＋cos2α，cosα＝±错误!，sinα＝tanαcosα，cosα＝错误!.熟练掌握这些等价形式，在应用上可更为方便，但在变形中要注意定义域从左到右的变化，如sinα＝tanαcosα，这时定义域由α∈R变为α≠kπ＋错误!,k∈Z，而tanαcosα＝sinα，这时定义域由α≠kπ＋错误!，k∈Z，变为α∈R.已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这是同角三角函数关系式的一个最基本功能，在求值时,根据已知的三角函数值，确定角的终边的位置是关键和必要的，有时由于角的终边的位置不确定，因此解的情况不止一种,解题时产生遗漏的主要原因：一是没有确定好或不去确定终边的位置;二是利用平方关系开方时,漏掉了负的平方根．三维目标1．通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明．2．掌握如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明．3．通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯，提高三角恒等变形的能力，树立转化与化归的思想方法．重点难点教学重点：课本的两个公式的推导及应用．教学难点：课本的两个公式的推导及应用．课时安排1课时错误!导入新课思路1.先请学生回忆任意角的三角函数定义，然后引导学生先计算后观察以下各题的结果，并鼓励学生大胆进行猜想，教师点拨学生能否用定义给予证明，由此展开新课．计算下列各式的值:(1）sin290°＋cos290°;（2)sin230°＋cos230°；(3)错误!;（4）错误!.思路2.既然角α的正弦、余弦、正切都是角α的函数，自然想到它们之间会有什么内在的联系呢？由此引导学生探究同角三角函数的关系式．推进新课错误!如图1，以正弦线MP、余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形，而且OP＝1。
高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系aa高一数学
＝2sin2α－si3ns2αin＋α·ccooss2αα＋cos2α
数 学 必 修
＝2tan21α＋－t3atna2nαα＋1＝2×321－＋33×2 3＋1＝1．
④
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人
教
A 版
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『规律总结』 1.若已知 tanα＝m，求形如acssiinnαα＋＋dbccoossαα(或acssiinn22αα＋＋dbccooss22αα)的
cos10°－sin10°2 sin10°－ cos210°
＝|scions1100°°－－csoins1100°°|＝csions1100°°－－csoins1100°°＝－1．
数 学 必 修
当 α 为第一象限角时，cosα＝ 1－sin2α＝ 1－215＝256，tanα＝csoinsαα＝126；
④
· 人 教 A 版
当
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α
为第二象限角时，cosα＝－2
5
6，tanα＝－
126．
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(2)∵cosα＝－35<0，∴α 是第二或第三象限角． 当 α 是第二象限角时，sinα>0，tanα<0，
(2)sin2α 是(sinα)2 的简写，读作“sinα 的平方”，不能将 sin2α 写成 sinα2，前
者是 α 的正弦的平方，后者是 α2 的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并
能正确书写．
数 学
(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α＋
必
修 ④ · 人
第五页，共四十九页。
同角三角函数的基本关系式 1．公式 (1)平方关系(guān xì)：__s_in_2_α_＋__co_s_2_α_＝__1_____________. (2)商数关系：__cs_oin_sα_α_＝__ta_n_α________.
高中数学第一章三角函数1.2任意的三角函数1.2.1任意角的三角函数aa高一数学
第十二页，共三十五页。
x＝ 所以
55，
y＝2
5
5 .
于是 sin α＝y＝25 5，cos α＝x＝ 55，tan α＝xy＝2.
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解法二 在角 α 终边上任取一点 P(x，y)(x>0)，则
|OP|＝ x2＋y2＝ x2＋4x2＝ 5|x|.
∴角 θ 为第三或第四象限角．答案：C
第二十页，共三十五页。
探究三 诱导公式(一)的应用 [典例 3] 求下列各式的值： (1)cos 253π＋tan(－154π)； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.
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[解析] (1)原式＝cos(8π＋π3)＋tan(－4π＋π4)
答案：
3 2
2 2
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探究一 利用定义求三角函数值 [典例 1] 已知角 α 的终边在射线 y＝2x(x>0)上，求角 α 的正弦、余弦和正切值． [解析] 解法一 设 α 的终边与单位圆的交点为 P(x，y)， 则 y＝2x(x>0)． 又因为 x2＋y2＝1，
解析：因为 α 是第二象限角，所以 sin α>0，cos α<0， 所以 sin α·cos α<0. 答案：<
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4．计算 sin 143π＝________，cos －245π＝________. 解析：sin 143π＝sin 4π＋23π＝sin 23π＝ 23， cos －254π＝cos －6π－π4＝cos －π4＝ 22.
2019_2019年高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系课件苏教版必修
1－[（sin2x＋cos2x）2－2sin2xcos2x] 1－（sin2x＋cos2x）（sin4x＋cos4x－sin2xcos2x）
＝1－
1－1＋2sin2xcos2x [（sin2x＋cos2x）2－3sin2xcos2x]
＝23ssiinn22xxccooss22xx＝
2 3.
方法归纳 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角 三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有： (1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数， 从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然 后去根号达到化简的目的．
第1章 三角函数
1．2.2 同角三角函数关系
第1章 三角函数
学习导航
1.理解同角三角函数的两种基本关系．(重点) 学习 2．了解同角三角函数的基本关系的常见变形形式． 目标 3．学会应用同角三角函数的基本关系，掌握化简求
值与证明的方法．(重点、难点)
第1章 三角函数
1.推导和牢记同角三角函数间的基本关系是进行三角函
α＝2tan α 4tan
αα－－93＝24××22－－39＝－1.
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝
4sin2α－s3insi2nα＋αccoossα2α－5cos2α，
这时分子和分母均为关于 sin α，cos α 的二次齐次式．
因为 cos2α≠0,所以分子和分母同除以 cos2α，则 4sin2α－3sin
∴sin3α＋cos3α＝15×(1＋1225)＝13275.
技法导学
整体代换解决求值问题
已知 tan α＝2，求下列各式的值．
2sin (1)4sin
高中数学第一章三角函数1.2任意的三角函数1.2.1第1课时任意角的三角函数的定义aa高一数学
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2．设角α是第三象限角，且sinα2＝－sinα2，则角α2是第________象限角． 四 [角α是第三象限角，则角α2是第二、四象限角，
∵sinα2＝－sinα2，∴角α2是第四象限角．]
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诱导公式一的应用
求值： (1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°； (2)sin73πcos－263π＋tan－145πcos133π.
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后
判断乘积的符号．
(1)C
[(1)因为点P在第四象限，所以有tan cos
α>0， α<0，
由此可判断角α终边在
第三象限．]
(2)①∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
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(1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝ 1100x， 则sin θ＋tan θ的值为________．
(2)已知角α的终边落在直线 3x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α 的值．
[思路探究] (1) 依据余弦函数定义列方程求x
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[跟踪训练] 1．已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取 值范围是________． －2＜a≤3 [因为cos α≤0，sin α＞0， 所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过(3a－9，a＋ 2)， 所以3aa＋－29＞≤00，， 所以－2＜a≤3.]
黑龙江省齐齐哈尔市高中数学 第一章 三角函数 1.2 任
任意角的三角函数学习目标1.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来。
2.会利用三角函数线解决三角函数问题。
学习疑问学习建议【相关知识点回顾】1.单位圆的定义：以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.2.任意角的三角函数定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y那么①y叫做α的正弦，即sin yα=②x叫做α的余弦，即cos xα=②yx叫做α的正切，即tan(0)yxxα=≠【知识转接】1、有向线段：的线段。
【预学能掌握的内容】三角函数线：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交点),(yxP。
当角α的终边不在坐标轴上时，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点)0,1(A作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T.规定有向线段ATMP,向上为正，OM向右为正yPy TPyT y（1） （2） \（3） （4）则αsin = ；αcos = ；αtan = 。
我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
当角α的终边与x 轴重合时： ； 当角α的终边与y 轴重合时： 。
【探究点一】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1）3π； （2）65π-； 〖典例解析〗〖概括小结〗〖课堂检测〗作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线（1）23π-； （2）136π-．【层次一】⑴写出满足条件 13cos 22α-≤<的角α的集合. ⑵求函数 ()1cos 2-=x x f 的定义域【层次二】已知点()αααtan ,cos sin -P 在第一象限，在[]π2,0内求α的取值范围。
【层次三】利用三角函数线证明：当20π<<x 时 （1）x x x tan sin <<；（2）1cos sin >+x x 。
【思维导图】（学生自我绘制）。
黑龙江省齐齐哈尔市高中数学第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制领学案(无答案)新人教A版必修4
弧度制
学习
目标
1.理解弧度制的定义，熟练地进行角度制与弧度制的换算；
2.理解在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系
3..掌握弧长及扇形面积公式
学习
疑问
学习
建议
【探究点一】弧度数的绝对值与半径及弧长关系
〖合作探究〗
半径为的圆的圆心与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，交圆于点,终边与圆交于点.请填充
的长旋转的方
向
的弧度
数
的度
数
逆时针方向
逆时针方向
1
〖概括小结〗
半径为的圆的圆心角所对的弧长为，那么的弧度数的绝对值是________。
【探究点二】角度与弧度的互化
〖合作探究〗
根据_______=,=____得到=_________；=_________；
〖典例解析〗
例1：把下列弧度化为度或度化为弧度：
（1）（2）
（3）（4）
〖课堂检测〗
1.把下列弧度化为度：
（1）（2）（3）（4）
2.把下列度化为弧度：
（1）（2）（3）（4）
度30°90°120°150°弧度0
300°用弧度制可表示为．
= ．。
高中数学 第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数关系学案 苏教版必修4
1．2.2 同角三角函数关系1.理解同角三角函数的两种基本关系．2.了解同角三角函数的基本关系的常见变形形式．3．学会应用同角三角函数的基本关系化简、求值与证明．同角三角函数的基本关系式1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意角α，sin 24α＋cos 24α＝1都成立．( ) (2)对任意角α，sinα2cosα2＝tan α2都成立．( )(3)对任意的角α，β有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (4)sin 2α与sin α2所表达的意义相同．( )解析：(1)正确．当角α∈R 时，sin 24α＋cos 24α＝1都成立，所以正确．(2)错误．当α2＝k π＋π2，k ∈Z ，即α＝2k π＋π，k ∈Z 时，tan α2没意义，故sinα2cosα2＝tanα2不成立，所以错误．(3)错误．当α＝π2，β＝0时，sin 2α＋cos 2β≠1，故此说法是错误的．(4)错误．sin 2α是(sin α)2的缩写，表示角α的正弦的平方，sin α2表示角α2的正弦，故两者意义不同，此说法是错误的．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则cos α等于( )A ．45B ．－45C ．－17D ．35答案：B3．化简：(1＋tan 2 α)·cos 2α等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案：C4．已知tan α＝1，则2sin α－cos αsin α＋cos α＝________．解析：原式＝2tan α－1tan α＋1＝2－11＋1＝12.答案：12已知一个三角函数值求其他三角函数值已知cos α＝－35，求sin α，tan α的值．【解】 因为cos α<0且cos α≠－1， 所以α是第二或第三象限角． 所以当α为第二象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－43.当α为第三象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝ －45，tan α＝sin αcos α＝43.已知角α的某一三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择；若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论．1.(1)已知α是第二象限角，且tan α＝－724，则cos α＝________．(2)已知sin θ＝a (a ≠0)，且tan θ>0，求cos θ、tan θ. 解：(1)因为α是第二象限角， 故sin α＞0，cos α＜0， 又tan α＝－724，所以sin αcos α＝－724，又sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos α＝－2425.故填－2425.(2)因为tan θ＞0，则θ在第一、三象限，所以a ≠±1. ①若θ在第一象限，sin θ＝a ＞0，且a ≠1时， cos θ＝1－sin 2θ＝1－a 2. 所以tan θ＝sin θcos θ＝a1－a2. ②若θ在第三象限，sin θ＝a ＜0，且a ≠－1时， cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－a 2. 所以tan θ＝sin θcos θ＝－a1－a2. 利用同角三角函数关系化简化简下列各式： (1)1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°； (2)1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α，其中sin αtan α＜0.【解】 (1)1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210° ＝（cos 10°－sin 10°）2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1. (2)由于sin αtan α＜0，则sin α，tan α异号， 所以α是第二、三象限角，所以cos α＜0.所以1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α＝（1－sin α）21－sin 2α＋ （1＋sin α）21－sin 2α＝|1－sin α||cos α|＋|1＋sin α||cos α|＝1－sin α＋1＋sin α－cos α＝－2cos α.(1)三角函数式的化简过程中常用的方法①化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．②对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(2)对三角函数式化简的原则 ①使三角函数式的次数尽量低． ②使式中的项数尽量少． ③使三角函数的种类尽量少． ④使式中的分母尽量不含有三角函数． ⑤使式中尽量不含有根号和绝对值符号．⑥能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示.2.化简：1－sin 4x －cos 4x1－sin 6x －cos 6x.解：原式＝1－[（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x cos 2x ]1－（sin 2x ＋cos 2x ）（sin 4x ＋cos 4x －sin 2x cos 2x ） ＝1－1＋2sin 2x cos 2x1－[（sin 2x ＋cos 2x ）2－3sin 2x cos 2x ] ＝2sin 2x cos 2x 3sin 2x cos 2x ＝23. 利用同角三角函数关系式证明求证：(1)1＋tan 2α＝1cos 2α；(2)sin α1－cos α＝1＋cos αsin α. 【证明】 证明：(1)因为1＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝ cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α， 所以原式成立．(2)法一：由sin α≠0知，cos α≠－1， 所以1＋cos α≠0.于是左边＝sin α（1＋cos α）（1－cos α）（1＋cos α）＝sin α（1＋cos α）1－cos 2α＝sin α（1＋cos α）sin 2α＝1＋cos αsin α＝右边． 所以原式成立．法二：因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝1－cos 2α， 即sin 2α＝(1－cos α)(1＋cos α)． 因为1－cos α≠0，sin α≠0， 所以sin α1－cos α＝1＋cos αsin α.证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则． (2)证明左右两边等于同一个式子．(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．3.(1)求证：1－2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1－tan x1＋tan x. (2)求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.证明：(1)左边＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2xcos 2x －sin 2x＝tan 2x －2tan x ＋11－tan 2x＝（tan x －1）2（1－tan x ）（1＋tan x ）＝1－tan x1＋tan x ＝右边． 所以原式成立．(2)因为右边＝tan 2α－sin 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan 2α（1－cos 2α）（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan 2αsin 2α（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α ＝左边， 所以原等式成立．1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1.2．在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan 90°＝sin 90°cos 90°不成立．3．注意公式的变形，如sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，sin α＝cos αtan α，cosα＝sin αtan α等． 4．在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．已知sin α＋cos α＝13，其中0＜α＜π，求sin α－cos α的值．【解】 因为sin α＋cos α＝13，所以(sin α＋cos α)2＝19，可得：sin α·cos α＝－49.因为0＜α＜π，且sin α·cos α＜0，所以sin α＞0，cos α＜0.所以sin α－cos α＞0， 又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.(1)在处得到sin α·cos α＜0，为判断sin α，cos α的具体符号提供了条件，是解答本题的关键；若没有判断出处的关系式，则下一步利用平方关系求解sin α－cos α的值时，可能会出现两个，是解答本题的易失分点；若前边的符号问题都正确，但在处书写不正确，没有考虑前面的符号而出现sin α－cos α＝±173，则是解答本题的又一易失分点． (2)在解题过程中要充分利用题中的条件，判断出所求的三角函数式的符号．1．已知sin α＝23，tan α＝255，则cos α＝( )A ．13 B ．53 C ．73D ．55解析：选B ．因为tan α＝sin αcos α，所以cos α＝sin αtan α＝23255＝53.2．化简：⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选A ．⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin α. 3．已知cos θ＝35，且3π2＜θ＜2π，那么tan θ的值为________．解析：因为θ为第四象限角， 所以tan θ＜0，sin θ＜0，sin θ＝－1－cos 2θ＝－45，所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.答案：－434．已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，所以cos α＝－35，sin α＝－45.[学生用书P83(单独成册)])[A 基础达标]1．若cos α＝13，则(1＋sin α)(1－sin α)等于( )A ．13B ．19C ．223D ．89解析：选B ．原式＝1－sin 2α＝cos 2α＝19，故选B ．2．若α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( )A ．15B ．－14C ．513D ．－513解析：选D ．因为tan α＝sin αcos α＝－512，sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝±513.因为α是第四象限角，所以sin α＝－513.3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13解析：选A ．由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，所以sin 2θcos 2θ＝29.因为θ是第三象限角，所以sin θ<0，cos θ<0，所以sin θcos θ＝23. 4．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝( ) A ．73 B ．75 C ．54D ．53解析：选B ．法一：1＋sin θcos θ＝1＋sin θcos θ1＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，所以1＋sin θcos θ＝22＋2＋122＋1＝75.法二：tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ， 又sin 2θ＋cos 2θ＝1， 所以(2cos θ)2＋cos 2θ＝1， 所以cos 2θ＝15.又tan θ＝2>0，所以θ为第一或第三象限角． 当θ为第一象限角时，cos θ＝55，此时sin θ＝1－cos 2θ＝255，则1＋sin θcos θ＝1＋255×55＝75；当θ为第三象限角时，cos θ＝－55， 此时sin θ＝－1－cos 2θ＝－255，则1＋sin θcos θ＝1＋(－255)×(－55)＝75.5．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A ．12 B ．2C ．－12D ．－2解析：选B ．由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1得(5sin α＋2)2＝0. 所以sin α＝－255，cos α＝－55.所以tan α＝2.6．已知tan α＝m ⎝⎛⎭⎪⎫π＜α＜3π2，则sin α＝________．解析：因为tan α＝m ，所以sin 2αcos 2α＝m 2，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝1m 2＋1，sin 2α＝m 2m 2＋1.又因为π＜α＜3π2，所以tan α＞0，即m ＞0.因而sin α＝－mm 2＋1. 答案：－m1＋m27．已知sin α－cos αsin α＋cos α＝2，则sin αcos α的值为________．解析：由sin α－cos αsin α＋cos α＝2，等式左边的分子分母同除以cos α，得tan α－1tan α＋1＝2，所以tanα＝－3，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－310. 答案：－310 8．已知α是第二象限角，则sin α1－cos 2 α＋21－sin 2 αcos α＝________． 解析：因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin α1－cos 2α＋21－sin 2αcos α＝sin αsin α＋－2cos αcos α＝－1. 答案：－19．化简：sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x tan 2x －1. 解：原式＝sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x sin 2xcos 2x－1 ＝sin 2x sin x －cos x －cos 2x （sin x ＋cos x ）sin 2x －cos 2x＝sin 2x －cos 2x sin x －cos x＝sin x ＋cos x . 10．已知tan α＝2，求下列各式的值：(1)2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1.解：(1)因为tan α＝2，所以cos α≠0.所以2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝2tan 2α－34tan 2α－9 ＝2×22－34×22－9＝57. (2)因为tan α＝2，所以cos α≠0.所以sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α)＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35. [B 能力提升]1．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝13，则sin A ＋cos A 的值为( ) A ．153 B ．－153 C ．53 D ．－53解析：选A ．因为A 为△ABC 的内角，且sin A cos A ＝13＞0，所以A 为锐角，所以sin A ＋cos A ＞0.又1＋2sin A cos A ＝1＋23，即(sin A ＋cos A )2＝53，所以sin A ＋cos A ＝153. 2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________．解析：因为tan θ＝2，所以cos θ≠0，则原式可化为sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2cos 2θcos 2θsin 2θcos 2θ＋cos 2θcos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 答案：453．已知2sin θ－cos θ＝1，3cos θ－2sin θ＝a ，记数a 形成的集合为A ，若x ∈A ，y ∈A ，则以点P (x ，y )为顶点的平面图形是什么图形？解：联立⎩⎪⎨⎪⎧2sin θ－cos θ＝1，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以a ＝3cos θ－2sin θ＝－3或15，即A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，15.因此，点P (x ，y )可以是P 1(－3，－3)，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，15，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－3.经分析知，这四个点构成一个正方形．4．(选做题)已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别为sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cosθ1－tan θ的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：由根与系数的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，①sin θ·cos θ＝m2，②Δ＝4＋23－8m ≥0.③(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2)由①平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，所以sin θcos θ＝34.又由②，得m 2＝34，所以m ＝32，由③，得m ≤2＋34， 所以m ＝32符合题意； (3)当m ＝32时，原方程变为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝32，sin θ＝12. 又因为θ∈(0，2π)，所以θ＝π3或π6.。
高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1.2任意角的三角函数2课件新人教A版必修409
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|素养提升| 1．三角函数线的主要作用 (1)解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小． (2)是以后学习三角函数图象与性质的基础． 2．对三角函数定义的三点说明 (1)三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角 的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应．
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【解析】 角34π的终边(如图)与单位圆的交点为 P.作 PM 垂直 于 x 轴，垂足为 M，过 A(1,0)作单位圆的切线 AT，与34π的终边的反 向延长线交于点 T，则34π的正弦线为 MP，余弦线为 OM，正切线为 AT.
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方法归纳 三角函数线的画法
(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比 值有意义的角的范围．
(3)三角函数值的大小只与角有关，而与点 P(x，y)的位置无关．
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|巩固提升| 1．已知角 α 的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向 线段，则 α 的终边在( ) A．第一象限角平分线上 B．第四象限角平分线上 C．第二、四象限角平分线上 D．第一、三象限角平分线上 解析：正弦线、余弦线所在线段以及一条半径组成一个直角三 角形，根据题意知角 α 所在的终边在直线 y＝－x 上，∴α 的终边在 第二、四象限角平分线上，故选 C. 答案：C
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【课标要求】 1.掌握诱导公式一并会应用. 2.会用三角函数线表示角的正弦、余弦和正切. 3.会用三角函数线来解三角不等式问题．
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自主学习 基础认识 |新知预习| 1．相关概念 (1)单位圆： 以原点 O 为圆心，以单位长度为半径的圆． (2)有向线段： 带有方向(规定了起点和终点)的线段． 规定：方向与 x 轴或 y 轴的正方向一致的为正值，反之为负值．
黑龙江省齐齐哈尔市高中数学第一章三角函数1.2任意的三角函数1.2.2三角函数线导学案领学案(无答案
任意角的三角函数
学习
目标
1.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出
2.会利用三角函数线解决三角函数问题。
学习
疑问
学习
建议
【相关知识点回顾】
1.单位圆的定义：以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆
2.任意角的三角函数定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
(,)
P x y那么
①y叫做α的正弦，即sin y
α=②x叫做α的余弦②
y
x
叫做α的正切，即tan(0)
y
x
x
α=≠
【知识转接】
1、有向线段：的线段。
【预学能掌握的内容】
三角函数线：
设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交点)
,
(y
x
P。
当角α的终边不在作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T.规定有向线段AT
MP,向上为正，OM向右为正（1）（2） \（3）（4）
o x
y
M
T
P
A
x
y
o M
T
P
A
x
y
o
M
T
P
A
o x
y
M
T
P
A
则αsin = ；αcos = ；αtan = 。
我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
当角α的终边与x 轴重合时： ； 当角α的终边与y 轴重合时： 。
黑龙江省齐齐哈尔市高中数学第一章解三角形1.2余弦定理教学案无答案新人教A版必修5201711032
1.2余弦定理学习掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解目标决两类基本的解三角形问题。
学习学生填写疑问学习学生填写建议a b c【相关知识点回顾】正弦定理及推论：2R；sin A sin B sin CsinA ；sinB ：sinC=a：b：c【知识转接】平面向量数量积（内积）的定义:【预学能掌握的内容】1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即：（1）：_______________________（2）：_______________________（3）：_______________________2.余弦定理的三个推论：（1）：_______________________（2）：_______________________（3）：_______________________1【探究点一】余弦定理的推导〖合作探究〗如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C，求边c 。
Ab cC a B问题1.联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决上述这个问题？(推导证明)用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
设C B a，CA b，A B c，那么c a b，则2cc c a b aba ab b2a b2 2a b2a b从而: ____________________ 同理可证: ________________________________于是得到以下定理问题2.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即：（1）：_______________________（2）：_______________________2（3）：_______________________思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中 三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（参考书第 6页）〖典例解析〗例 1．在 ABC 中，已知 a 2 3 ， c 6 2 ，B=45°，求 b 及 A〖课堂检测〗1. 已知 a ＝ 3 ，c ＝2，B ＝150°，则边 b 的长为（）. 3422 A. B. C. D. 22 2 292．在△ABC 中，若 AB ＝ 5 ，AC ＝5，且 cos C ＝10，则 BC ＝________．【探究点二】余弦定理的推论〖合作探究〗从余弦定理，又可得到以下推论：（1）：_______________________ （2）：_______________________（3）：_______________________问题 4.余弦定理及其推论的基本作用为：（1）：____________________________________________________（2）：____________________________________________________〖典例解析〗例 2．在 ABC 中，已知 a134.6cm ，b 87.8cm ， c 161.7cm ，解三角形(角度精确到 1′)（课本第 7页例 4）〖课堂检测〗1.在△ABC 中，已知三边长 a 3 ，b 4 ， c 37 ，求三角形的最大内角． 32. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求AB BC的值.4【层次一】一：选择题：1. 已知三角形的三边长分别为 3、5、7，则最大角为（）. A ．60 B ．75 C ．120 D ．1502. 已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x ，则 x 的取值范围是（）. A ． 5 x 13 B ． 13 ＜x ＜5C ． 2＜x ＜ 5D ． 5 ＜x ＜5 二：填空题3. 在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2， AB 与 AC 的夹角为 60°，则|AB － AC |＝________．4. 在△ABC 中，已知三边 a 、b 、c 满足b 2a 2 c 2 ab ，则∠C 等于 ．三：解答题：13 141. 在△ABC 中，已知 a ＝7，b ＝8，cos C ＝ ，求最大角的余弦值．2.在△ABC 中，已知 a 3 ，b 2 ， B 45 ，求 A ,C 和 c ．【思维导图】（学生自我绘制）5。
黑龙江省齐齐哈尔市高中数学 第一章 三角函数 1.2 任
同角三角函数的基本关系学习目标1、教师填写掌握同角三角函数的两个基本关系式2、能准确应用同角三角函数关系进行化简、求值3、对于同角三角函数来说，认清什么叫“同角”，学会运用整体观点看待角4、结合三角函数值的符号问题，求三角函数值学习疑问学习建议【相关知识点回顾】1三角函数线2.勾股定理:_______________【知识链接】【预学能掌握的内容】同角三角函数的两个基本关系式：_______________________________________;_______________________________________. 1、),0(,54cosπαα∈=，则tanα的值等于2、化简：=ααtancos3.222cos112sinαα--=____________【探究点一】〖合作探究〗例1.已知21sin =α，并且α是第二象限角，求ααtan ,cos 的值 〖典例解析〗例2，已知21sin =α，求ααtan ,cos 的值 〖典例解析〗〖课堂检测〗已知512tan =α，求ααcos ,sin 的值．【探究点二】〖合作探究〗例3.化简 21sin 440-o ．〖典例解析〗〖课堂检测〗化简：12sin 40cos40-o o ．探究点三】〖合作探究〗【层次一】1、已知4cos 5α=-，求αsin 和αtan 的值【层次二】2、已知,0πα<<sin αcos α =2512-,则cos α－sin α的值等于3、已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=+θθ，则=θθcos sin【层次三】4、如果角θ满足2cos sin =+θθ,那么1tan tan θθ+的值是5、若θθcos ,sin 是方程0242=++m mx x 的两根，则m 的值为6.求证：1tan 1tan cos sin cos sin 2122-+=-+αααααα【思维导图】（学生自我绘制）。
高中数学第一章三角函数1.2任意的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系aa高一数学
2．化简：
1－2sin αcos α＋
1＋2sin
αcos
π
α0<α<2.
解析：原式＝ sin2α＋cos2α－2sin αcos α
＋ sin2 α＋cos2 α＋2sin αcos α
＝ sin α－cos α2＋ sin α＋cos α2
cos ＝
α－sin
α＋sin
α＋cos
α＝2cos
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探究一 利用基本关系式求值
[典例 1] 已知 tan α＝－2，求 sin α，cos α 的值． [解析] 解法一 ∵tan α＝－2<0，
∴α 为第二或第四象限角，且 sin α＝－2 cos α，①
又 sin2α＋cos2α＝1，②
由①②消去 sin α，得(－2cos α)2＋cos2α＝1，即
的最基本的数学解题原则．
(2)关注点：不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活
应用这些公式的等价变形，如 sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α，
sin
α＝tan
α·cos
α，cos
α＝tsainn
α α.
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∴sin
α＝tan
α·cos
α＝(－2)×－
55＝2
5
5 .
当 α 为第四象限角时，cos α>0，
∴cos α＝
1＋t1an2α＝
1＋1－22＝ 55，
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∴sin
α＝tan
α·cos
α＝(－2)×
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任意角的三角函数
学习
目标
1.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出
2.会利用三角函数线解决三角函数问题。
学习
疑问
学习
建议
【相关知识点回顾】
1.单位圆的定义：以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆
2.任意角的三角函数定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
(,)
P x y那么
①y叫做α的正弦，即sin y
α=②x叫做α的余弦②
y
x
叫做α的正切，即tan(0)
y
x
x
α=≠
【知识转接】
1、有向线段：的线段。
【预学能掌握的内容】
三角函数线：
设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交点)
,
(y
x
P。
当角α的终边不在作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T.规定有向线段AT
MP,向上为正，OM向右为正（1）（2） \（3）（4）
o x
y
M
T
P
A
x
y
o M
T
P
A
x
y
o
M
T
P
A
o x
y
M
T
P
A
则αsin = ；αcos = ；αtan = 。
我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
当角α的终边与x 轴重合时： ； 当角α的终边与y 轴重合时： 。