必修4_任意角和弧度制、任意角的三角函数练习
高一数学训练习题参考答案
数学必修（4）同步练习参考答案§1.1任意角和弧度制一、CDDCBA二、7.{x|x=k•3600+1800, k∈Z}, {x|x=k•1800+450,k∈Z} ; 8.-345°; 9. ;10.第二或第四象限, 第一或第二象限或终边在y轴的正半轴上三、11.{ α|α=k•3600+1200或α=k•3600+3000, k∈Z } -60° 120°12.由7θ=θ+k•360°，得θ=k•60°（k∈Z）∴θ=60°，120°，180°，240°，300°13.∵l=20－2r,∴S= lr= (20-2r)•r=－r2+10r=-(r-5)2+25∴当半径r=5 cm时，扇形的面积最大为25 cm2,此时，α= = =2(rad)14.A点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜π,14分钟后回到原位，∴14θ=2kπ,θ= ，且 <θ< π，∴θ= π或π§1.2.1 任意角的三角函数一、CCDBCD二、7.一、三； 8. 0 ； 9. 或π； 10.二、四三、11.[2kπ, 2kπ,+ ( k∈Z)12.13.∵sinθ= - ，∴角θ终边与单位圆的交点（cosθ，sinθ）=（ ,- ）又∵P(-2, y)是角θ终边上一点, ∴cosθ<0,∴cosθ= - .14.略.§1.2.2同角三角函数的基本关系式一、BCDBBA二、7. ; 8.0; 9. ; 10.三、11.12.原式= － ==sinx+cosx13.左边=tan2θ－sin2θ= －sin2θ=sin2θ• =sin2θ• =sin2θ•tan2θ=右边14.(1)当m=0时, α=kπ, k∈Z ,cosα=±1, tanα=0(2)当|m|=1时, α=kπ+ , k∈Z ,cosα=0, tanα=0不存在(3)当0<|m|<1时,若α在第一或第四象限,则cosα= tanα= ;若α在第二或第三象限,则cosα=- tanα=- .§1.3 三角函数的诱导公式一、BBCCBC二、7. ; 8.1 ; 9.1 ; 10.三、11. 112. f(θ)= = =cosθ-1∴f( )=cos -1=-13.∵cos(α+β)=1, ∴α+β=2kπ, k∈Z. ∴cos(2α+β)= cos(α+α+β)= cos(π+α)=- cosα= - .14. 由已知条件得：sinα= sinβ①, cos α=- cosβ②，两式推出sinα= ，因为α∈(- , )，所以α= 或- ；回代②，注意到β∈(0,π)，均解出β= ，于是存在α= ，β= 或α=- ，β= ，使两等式同时成立。
必修四三角函数练习题(简单,限时训练,含答案)
必修四三角函数练习题(简单,限时训练,含答案)3.1任意角、弧度制和任意角的三角函数值时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知角α终边上一点的坐标是(3，－4)，则sin α＝( )A.35 B ．－35 C.45 D ．－452．圆内一条弦长等于半径，这条弦所对的圆心角为( )A.π6弧度B.π3弧度C.12弧度 D ．以上都不对 3．若sin θ>0且sin θcos θ<0，则角θ的终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．sin2cos3tan4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在5．在下列各组角中，终边不相同的是( )A ．60°与－300°B ．230°与950°C ．1050°与－300°D ．－1000°与800°6．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( )A ．40π cm 2B ．80π cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 2二、填空题(每小题5分，共15分)7．写出－720°到720°之间与－1068°终边相同的角的集合________________．8．已知α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P (－4m,3m )(m ＞0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.9．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．三、解答题(共15分)10．设90°＜a ＜180°.角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求sin α与tan α的值．3.2同角三角函数及诱导公式时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．cos300°＝( )A ．－32B ．－12 C.12 D.322．已知sin α＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值为( ) A ．±45 B ．－45 C.45 D ．－353．α是第四象限角，tan α＝－34，则sin α＝( ) A.35 B ．－35 C.45 D ．－454．sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．25．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C.15 D.356．若sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，则tan α＝( ) A ．1 B ．－1 C.34 D ．－43二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知tan α＝3，则sin α＋cos αsin α－2cos α＝______.8.cos (－585°)sin495°＋sin (－570°)的值是______． 9．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________. 三、解答题(共15分)10．求证：cos (θ＋π)·sin 2(θ＋3π)tan (π＋θ)·cos 3(－π－θ)＝tan θ.3.3三角函数的图象与性质时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 是( )A ．最小正周期为2π的奇函 数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数2．使cos x ＝1－m 有意义的m 值为( )A ．m ≥0B ．m ≤0C ．0≤m ≤2D ．－2≤m ≤03．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( )A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线x ＝π2对称 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是( ) A ．x ＝－π6 B ．x ＝－π12 C ．x ＝π6 D ．x ＝π125．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( )A ．y max ＝3，x ＝π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )D ．y max π(k ∈Z ) 6．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°＜cos10°＜sin168°B ．sin168°＜sin11°＜cos10°C ．sin11°＜sin168°＜cos10°D ．sin168°＜cos10°＜sin11°二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________．8．设M 和m 分别是函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m ＝________. 9．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________． 三、解答题(共15分)10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．3.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的一个对称中心是( ) A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π3，0 C.⎝⎛⎭⎫－π3，0 D ．(3,0) 2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，可以把函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位 B ．向右平移π8个单位 C ．向左平移π4个单位 D ．向右平移π4个单位 3．函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( )A ．0 B.π4 C.π2D ．π 4．下列函数中，图象的一部分如图所示J341的是( )图J341A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象的两条相邻对称轴之间的距离是( ) A.π3 B.2π3 C ．π D.4π36．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( ) A ．ω＝12，φ＝π6 B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π3二、填空题(每小题5分，共15分)7．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向右平移π6个单位，再向上平移2个单位所得图象对应的函数解析式是________．8．函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(A >0，ω>0)在一个周期内，当x ＝π12时，函数f (x )取得最大值2，当x ＝7π12时，函数f (x )取得最小值－2，则函数解析式为________．9．对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，有下列四个结论： ①f (x )的图象关于直线x ＝π3对称； ②f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称；③把f (x )的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象； ④f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数． 其中正确命题的序号是________．三、解答题(共15分)10．已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. (1)用“五点法”画出函数的草图；(2)函数图象可由y ＝sin x 的图象怎样变换得到？3.5两角和与差及二倍角的三角函数公式时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( ) A ．－3 B ．－13 C ．3 D.132．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°cos15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215° D ．sin 215°＋cos 215°3．已知sin α＝35⎝⎛⎭⎫0<α<π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.7 210 B.210 C ．－7 210 D ．－2104．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α＝( ) A.35 B.15 C ．－35 D ．－155．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( )A.π2B ．ΠC ．2πD ．4π 6．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan2x 等于( ) A.724 B ．－724 C.247 D ．－247二、填空题(每小题5分，共15分)7．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于________8．已知sin(π＋α)＝－13，且α是第二象限角，那么sin2α＝________. 9．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是________．三、解答题(共15分)10．已知tan(π＋α)＝－13，求sin2⎝⎛⎭⎫π2－α＋4cos 2α10cos 2α－sin2α的值．3.6简单的三角恒等变换时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知sin α＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α的值为( ) A ．±1225 B ．－725 C.725 D.12252．已知α是第二象限角，且cos α＝－35，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值是( ) A.210 B ．－210 C.7 210 D ．－7 2103．sin α＋cos α＝35，则sin2α＝( ) A.1625 B ．－1625 C ．－825 D ．±8254.1－3tan75°3＋tan75°的值等于( ) A ．2＋ 3 B ．2－3 C ．1 D ．－15.2－sin 22＋cos4＝( )A ．sin2B ．－cos2 C.3cos2 D 6．若cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos αA ．－72 B ．－12 C.12 D.72二、填空题(每小题5分，共15分)7．若cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝________. 8．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝______. 9．若sin θ2－2cos θ2＝0，则tan θ＝________. 三、解答题(共15分) 10．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1的值．3.7正弦定理和余弦定理时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A ＝( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°2．已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°3．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．在△ABC 中，若b ＝2a sin B ，则A 等于( )A ．30°或60°B ．45°或60°C ．120°或60°D ．30°或150°5．有下列判断：①△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解；②△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解；③△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解；④△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解．不正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．在△ABC 中，已知sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形二、填空题(每小题5分，共15分)7．若在△ABC 中，A ＝60°，b ＝2，△ABC 的面积为2 3，则a ＝________.8．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________. 9．在△ABC 中，若a ＝14，b ＝7 6，B ＝60°，则C ＝________.三、解答题(共15分)10．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，求△ABC 的面积．3.8解三角形应用举例时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( )A ．α＞βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°2．两灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km)，灯塔A 在C 北偏东30°，B 在C 南偏东60°，则A ，B 之间距离为( ) A.2a km B.3a km C ．a km D ．2a km3．如图所示J381，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.25 22m 4．渡轮以15 km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h ，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)( )A ．14.5 km/hB ．15.6 km/hC ．13.5 km/hD ．11.3 km/h5．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是( )A ．20 3 m ，40 33m B ．10 3 m,20 3 m C ．10(3－2) m,20 3 m D.15 32 m ，20 33m 6．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为( )A ．20 kmB ．30 kmC ．20 2 kmD ．30 2 km二、填空题(每小题5分，共15分)7．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地距离为________km.8．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.9．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.三、解答题(共15分)10．隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C ，D 两点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离．参考答案 3.11．D 2.B 3.B 4.A 5.C 6．B 解析：72°＝2π5，∴S 扇形＝12αR 2＝12×2π5×202＝80 π(cm 2)． 7．{－708°，－348°，12°，372°}8.25 解析：由条件可求得r ＝5m ，所以sin α＝35，cos α＝－45.所以2sin α＋cos α＝25. 9．二 解析：∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0.∴角α在第二象限． 10．解：∵r ＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5.从而24x ＝x x 2＋5，解得x ＝0或x ＝± 3.∵90°＜α＜180°，∴x ＜0，因此x ＝－ 3.故r ＝2 2，sin α＝52 2＝104，tan α＝5－3＝－153.3.21．C 2.A 3.B 4.D 5.B 6.A 7.4 8.2－2 9.－3510．证明：左边＝－cos θ·sin 2θtan θ·(－cos 3θ)＝1tan θ·tan 2θ＝tan θ＝右边． 3.31．B 2.C 3.B 4.D5．C 解析：∵y ＝2－sin x ，∴当sin x ＝－1时，y max ＝3，此时x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )．6．C 解析：sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝cos(90°－80°)＝sin80°.因为正弦函数y ＝sin x 在区间[0,90°]上为增函数，所以sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°.7.⎣⎡⎦⎤－54，1 解析：(数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈ [－1,1]，画出函数图象如图所示D4，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎡⎦⎤－54，1.图D48．－2 解析：∵cos x ∈[－1,1]，∴M ＝13×1－1＝－23，m ＝13×(－1)－1＝－43.∴M ＋m ＝－23－43＝－2.9.⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析：由2x ＋π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2－π8，k ∈Z ，故交点坐标为⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0(k ∈Z )．10．解：(1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z .又－π＜φ＜0，则－54＜k ＜－14，k ∈Z .∴k ＝－1，则φ＝－3π4.(2)由(1)，得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4.令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z .因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 3.41．C 2.B 3.C 4.D 5.A6．D 解析：由T ＝2πω＝π，∴ω＝2.由f (0)＝3⇒2sin φ＝3，∴sin φ＝32.又|φ|＜π2，∴φ＝π3.7．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2 解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3向右平移π6个单位得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，再向上平移2个单位得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2. 8．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 解析：由题意可知A ＝2.T 2＝7π12－π12＝π2.∴T ＝π.∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 9．③10．解：(1)列表：图D5描点，连线如图所示D5.将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1在⎣⎡⎦⎤－π8，7π8上的图象向左、向右平移(每次π个单位长度)， 即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1的图象． (2)y ＝sin xy ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 3.51．D 2.B 3.B 4.C 5.B6．D 解析：∵x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45.∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34.∴tan2x ＝2tan x1－tan 2x ＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247. 7.128．－4 29 解析：∵由题意知，sin α＝13，且α是第二象限角，∴cos α＝－2 23.∴sin2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－2 23＝－4 29.9．1－2 解析：∵f (x )＝2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，∴f (x )min ＝1－ 2.10．解：∵tan(π＋α)＝－13.∴tan α＝－13.∴sin2⎝⎛⎭⎫π2－α＋4cos 2α10cos 2α－sin2α＝sin (π－2α)＋4cos 2α10cos 2α－sin2α＝2sin αcos α＋4cos 2α10cos 2α－2sin αcos α＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝516.3.61．C 2.A 3.B 4.D 5.D 6.C 7.－1114 8.3229．－43 解析：由sin θ2－2cos θ2＝0，得tan θ2＝2.则tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝－43.10．解：原式＝22(sin α＋cos α)2sin αcos α＋2cos 2α＝2(sin α＋cos α)4(cos αsin α＋cos 2α).∵α为第二象限角，且sin α＝154，∴sin α＋cos α≠0，cos α＝－14. ∴原式＝24cos α＝－ 2.3.71．C 2.C 3.C 4.D 5.C 6.A 7.2 38．1 解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(3)2＝a 2＋1－2a cos 2π3.∴a 2＋a －2＝0.解得a ＝1或a ＝－2(舍)．9．75° 解析：由正弦定理知，a sin A ＝b sin B .又a ＝14，b ＝76，B ＝60°，∴sin A ＝a sin B b ＝14sin60°7 6＝22.∵a ＜b ，∴A ＜B .∴A ＝45°.∴C ＝180°－(B ＋A )＝180°－(60°＋45°)＝75°.10．解：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即49＝a 2＋25－2×5×a cos120°.整理得a 2＋5a －24＝0，解得a ＝3或a ＝－8(舍)． ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×5sin120°＝15 34.3.81．B 2.A 3.A 4.C 5.A 6.D7．7 解析：如图所示D6，由题意可知AB ＝3 3，BC ＝2，∠ABC ＝150°.由余弦定理，得AC 2＝27＋4－2×3 3×2×cos150°＝49，AC ＝7.则A ，C 两地距离为7 km.图D68.40039．10 3 解析：如图所示D7，OM ＝AO tan45°＝30(m)，ON ＝AO tan30°＝33×30＝10 3(m)，由余弦定理，得MN ＝900＋300－2×30×10 3×32＝300＝10 3(m)．图D710．解：如图所示D8，在△ACD 中．∵∠ADC ＝30°，∠ACD ＝120°，图D8∴∠CAD ＝30°，AC ＝CD ＝3(千米)， 在△BDC 中，∠CBD ＝180°－45°－75°＝60°. 由正弦定理，得BC ＝3sin75°sin60°＝6＋22(千米)．在△ABC 中，由余弦定理，可得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠BCA ， 即AB 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2 3·6＋22cos75°＝5. ∴AB ＝ 5 (千米)．所以，两目标A，B间的距离为5千米．。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B坐标为(1,0)，∠BOA＝60°.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以1 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．(1)求经过1 s 后，∠BOA的弧度；(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间．【答案】（1）＋2.（2）s【解析】解：(1)经过1 s 后，∠BOA的弧度为＋2.(2)设经过t s 后质点A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋1)＋＝2π，所以t＝，即经过s 后质点A，B在单位圆上第一次相遇．3.设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．【答案】四【解析】由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋ (k∈Z)，kπ＋<<kπ＋ (k∈Z)，知是第二或第四象限角，再由＝－sin知sin<0，所以只能是第四象限角．4.点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A．(－，)B．(－，－)C．(－，－)D．(－，)【解析】设α＝∠POQ，由三角函数定义可知，Q点的坐标(x，y)满足x＝cosα，y＝sinα，∴x＝－，y＝，∴Q点的坐标为(－，)．5.已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．【答案】sinα＝－，tanα＝【解析】解：∵P(x，－)(x≠0)，∴P到原点的距离r＝.又cosα＝x，∴cosα＝＝x，∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－.当x＝－时，P点坐标为(－，－)，∴sinα＝－，tanα＝.6. [2014·潍坊质检]已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－，则m等于()A．－B．C．－4D．4【答案】C【解析】cosα＝＝－ (m<0)，解之得m＝－4，选C项．7.角终边上有一点，则下列各点中在角的终边上的点是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为角终边上有一点，所以因此即角的终边上的点在第三象限，所以选C.【考点】三角函数定义8.把表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．B．C．D．【解析】∵∴与是终边相同的角，且此时＝是最小的，选A.9.若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是()A．(-,)B．(-,0)C．(0,)D．(-,0)【答案】B【解析】由-<α<β<π知,-<α<π,-<β<π,且α<β,所以-π<-β<,所以-<α-β<且α-β<0,所以-<α-β<0.10.计算2sin(-600°)+tan(-855°)的值为()A．B．1C．2D．0【答案】C【解析】∵sin(-600°)=-sin600°=-sin(360°+240°)=-sin240°=-sin(180°+60°)=sin60°=,同理tan(-855°)=-tan(2×360°+135°)=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1,∴原式=2×+×1=2.11.已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),则角α的最小正值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵sin>0,cos>0,∴角α的终边在第一象限,∴tanα====,∴角α的最小正值为.12.若角θ的终边在射线y=-2x(x<0)上,则cosθ=.【答案】-【解析】由已知得角的终边落在第二象限,故可设角终边上一点P(-1,2),则r2=(-1)2+22=5,∴r=,此时cosθ==-.13.已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则θ的值为________．【答案】【解析】由题意可知，点P在第四象限，且点P落在角θ的终边上，所以tan θ＝－1，故θ＝.14.已知则= .【答案】【解析】.【考点】三角函数求值.15.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值16.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值17.角的终边经过点，则的可能取值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】1.任意角的三角函数；2.同角三角函数的基本关系18.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，所以，即，所以.【考点】弧度制.19.求值：________.【答案】【解析】.【考点】三角函数的计算及诱导公式.20.如图，在平面直角坐标系中，以x轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知点A的横坐标为；B点的纵坐标为．则 .【答案】【解析】单位圆的半径是1，根据勾股定理以及点A的横坐标为，B点的纵坐标为，可知点A的纵坐标为，点B的横坐标为，所以，，，，因为，是锐角，所以，所以.【考点】1.任意角的三角函数；2.三角函数的和角公式21.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】.故选C.【考点】扇形弧长公式.22.在平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则sin5α＝．【答案】【解析】根据题意，由于平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则可知，那么可知sin5α=sin,故答案为【考点】三角函数定义点评：解决的关键是利用三角函数的定义来求解三角函数值，属于基础题。
任意角的三角函数和弧度制 基础练习(含解析)
任意角的三角函数和弧度制 基础练习一、选择题1.下列选项中与－80°终边相同的角为（ ）A. 100°B. 260°C. 280°D. 380°2.在平面直角坐标系中，角3πα+的终边经过点P (1,2)，则sin α=（ ）3.若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A. 125 B. 512- C. 512 D. 125- 4.小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是( ) A. π3 B. π6 C. -π3 D. -π65.已知角α的终边经过点(sin 48,cos48)P ︒︒，则sin(12)α︒-=（ ）A. 12 C. 12- D. 6.若12cos 13x =，且x 为第四象限的角，则tanx 的值等于 A 、125 B 、－125 C 、512 D 、－5127.若函数()cos 2()6f x x xf π=+'，则()3f π-与()3f π的大小关系是（ ） A. ()()33f f ππ-= B. )3()3(ππf f <- C. )3()3(ππf f >- D. 不确定 8.若θ是第四象限角，则下列结论正确的是（ ）A ．sin 0>θB ．cos 0<θC ．tan 0>θD ．sin tan 0>θθ9.一扇形的中心角为2，对应的弧长为4，则此扇形的面积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410.已知tan 2α，其中α为三角形内角，则cos α=（）A. 5- D.二、填空题11.若扇形的面积是1 cm 2,它的周长是4 cm,则扇形圆心角的弧度数为______.12.已知角2α的终边落在x 轴下方，那么α是第 象限角． 13.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13，则sin β=_________．14.已知一扇形所在圆的半径为10cm ，扇形的周长是45cm ，那么这个扇形的圆心角为 弧度．15.弧长为3π，圆心角为135°的扇形，其面积为____.三、解答题16.已知角α的终边经过点P (54，53-)． (1)求sin α的值． (2)17.(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x 的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？18.在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，角α的终边与单位圆O 的交点B 在第一象限，已知(1,3)A -.（Ⅰ）若OA OB ⊥,求tan α的值.（Ⅱ）若B 点横坐标为45,求AOB S ∆.19.已知2sin tan 3⋅=αα，且0<<απ.（Ⅰ）求α的值；（Ⅱ）求函数()4cos cos()f x x x =-α在[0,]4π上的值域．试卷答案1.C2.A3.B4.B5.A6.D8.D9.D10.A11.212.二或四13.1/314.2.515.6π 16.17.(1)设扇环的圆心角为，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210x xθ+=+，………………………4分 (2) 花坛的面积为 2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．…7分 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+， …………………………9分 所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++， …………11分令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t=18时取等号，此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．……………………………14分18.⑴解法1:由题可知：(1,3)A -，(cos ,sin )B αα， (1,3)OA =-，(cos ,sin )OB αα=OA OB ⊥，得0OA OB ⋅= ∴cos 3sin 0αα-+=，1tan 3α= 解法2、由题可知：(1,3)A -，(cos ,sin )B αα 3OA k =-， tan OB k α= ∵OA OB ⊥，∴1OA OB K K ⋅=-得3tan 1α-=-， 得1tan 3α=⑵解法1：由⑴OA == 记AOx β∠=， (,)2πβπ∈∴sin β==，cos β==1OB = 4cos 5α=，得3sin 5α==43sin sin()10510510AOB βα∠=-=+=∴11sin 122AOB S AO BO AOB ∆=∠=32= ……12分 解法2：3sin 5α== 即43(,)55B 即：(1,3)OA =-，43(,)55OB = ，OA ==1OB =，4313cos OA OB AOB OA OB-⨯+⨯⋅∠===sin 10AOB ∠==则113sin 122102AOB S AO BO AOB ∆=∠=⨯= ……12分略19.解：（Ⅰ）由已知得ααcos 3sin 22=，则02cos 3cos22=-+αα…………… 3分 所以21cos =α或2cos -=α（舍）…………………………………5分 又因为πα<<0所以 3πα=……………………………………………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得)3cos(cos 4)(π-=x x x f)sin 23cos 21(cos 4x x x +=……………………9分 x x x cos sin 32cos 22+=x x 2sin 32cos 1++=)62sin(21π++=x ………………………………11分 由40π≤≤x 得32626πππ≤+≤x ……………………………………12分 所以 当0=x 时，)(x f 取得最小值2)0(=f 当6π=x 时，)(x f 取得最大值3)6(=πf ……………………14分 所以函数)(x f 在]4,0[π上的值域为]3,2[……………………………15分。
任意角和弧度制、任意角的三角函数专题及答案
任意角和弧度制、任意角的三角函数专题一、基础小题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－342．sin2cos3tan4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 3．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( )A ．23B ．32C ．23πD ．32π4.如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) 5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．±3 C ．－2 D ．－ 36．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32 B ．32 C ．－12 D ．129．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．11．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．12．已知角α的终边上的点P 和点A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠b )，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝________. 二、高考小题13．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )14．若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin2α>0D ．cos2α>0 15．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b 16．设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A ．12B ．32C ．0D ．－12三、模拟小题17．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )18．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．3219．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 20．已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A ．5π6 B ．5π3 C ．11π6 D ．2π321．已知A (x A ，y A )是单位圆上(圆心在坐标原点O )任意一点，且射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A ． 2B ．32C ．1D ．1222．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )A ．2B ．1C ．12D ．323．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )24．已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin θ＋cos θ＝________.模拟大题1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值．2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．3．设函数f (x )＝－x 2＋2x ＋a (0≤x ≤3)的最大值为m ，最小值为n ，其中a ≠0，a ∈R.(1)求m ，n 的值(用a 表示)；(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点A (m －1，n ＋3)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6的值．4.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．(1)若x 1＝35，求x 2；(2)过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．任意角和弧度制、任意角的三角函数专题及答案一、基础小题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34答案 D解析 根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34，故选D. 2．sin2cos3tan4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 答案 A解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2cos3tan4<0.3．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( )A ．23B ．32C ．23πD ．32π答案 B解析 由题意知l ＝|α|r ，∴|α|＝l r ＝1812＝32.4.如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是()A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) 答案 A解析 由三角函数的定义知，选A.5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．±3 C ．－2 D ．－ 3答案 D解析 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x <0，由此解得x ＝－3，故选D. 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 答案 B解析 由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0，所以y ＝－1＋1－1＝－1.7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 C解析 设扇形的半径为R ，则12R 2|α|＝2，∴R 2＝1，∴R ＝1，∴扇形的周长为2R ＋|α|·R ＝2＋4＝6，故选C.8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32 B ．32 C ．－12 D ．12答案 D解析 因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z)，即得sin α＝12.9．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．10．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析 根据题意得Q (cos π3，sin π3)，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.11．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3解析 因为角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以角α为第四象限角，且tan α＝－3，即α＝－π3＋2k π，k ∈Z ，因此落在(－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3.12．已知角α的终边上的点P 和点A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠b )，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝________. 答案 0解析 由题意得P (a ，－b )，Q (b ，a )，∴tan α＝－b a ，tan β＝a b (a ，b ≠0)，∴sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝－b a 2＋b 2b a 2＋b 2＋－ba ab ＋1a a 2＋b 2·a a 2＋b 2＝－1－b 2a 2＋a 2＋b2a 2＝0.二、高考小题13．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )答案 C解析 由题意|OM |＝|cos x |，f (x )＝|OM ||sin x |＝|sin x cos x |＝ 12|sin2x |，由此可知C 正确． 14．若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin2α>0D ．cos2α>0 答案 C解析 由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号， 故sin2α＝2sin αcos α>0，故选C.15．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝sin35°cos35°，∴sin35°cos35°>sin35°>sin33°.∴c >b >a ，选C.16．设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A ．12B ．32C ．0D ．－12答案 A解析 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝12.三、模拟小题17．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．18．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案 B解析 r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12，∴m ＝12.19．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 答案 A解析 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3. 20．已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A ．5π6 B ．5π3 C ．11π6 D ．2π3答案 B解析 ∵sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴角x 的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，tan x ＝－3，∴x ＝2k π＋53π，k ∈Z ，∴角x 的最小正值为5π3.(也可用同角基本关系式tan x ＝sin xcos x得出．) 21．已知A (x A ，y A )是单位圆上(圆心在坐标原点O )任意一点，且射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A ． 2B ．32C ．1D ．12答案 C解析 如图，由三角函数的定义，设x A ＝cos α，则y B ＝sin(α＋30°)，∴x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝12cos α－32sin α＝cos(α＋60°)≤1.22．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )A ．2B ．1C ．12 D ．3答案 A解析 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2.从而α＝l r ＝21＝2.23．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )答案 C解析 如图，取AP 的中点为D ，设∠DOA ＝θ，则d ＝2r sin θ＝2sin θ，l ＝2θr ＝2θ， ∴d ＝2sin l2，故选C.24．已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin θ＋cos θ＝________.答案 15解析 因为π<α<3π2时，cos α<0，所以r ＝－5cos α，故sin θ＝－35，cos θ＝45，则sin θ＋cos θ＝15.模拟大题1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值． 解 ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3.当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5，∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66； 当x ＝－10时，同样可求得sin α＋1tan α＝65－66.2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ， 则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23)． P 点走过的弧长为43π·4＝163π，Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.3．设函数f (x )＝－x 2＋2x ＋a (0≤x ≤3)的最大值为m ，最小值为n ，其中a ≠0，a ∈R.(1)求m ，n 的值(用a 表示)；(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点A (m －1，n ＋3)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6的值．解 (1)由题意可得f (x )＝－(x －1)2＋1＋a ，而0≤x ≤3，所以m ＝f (1)＝1＋a ，n ＝f (3)＝a －3.(2)由题意知，角β终边经过点A (a ，a )， 当a >0时，r ＝a 2＋a 2＝2a ， 则sin β＝a 2a ＝22，cos β＝a 2a ＝22. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝2＋64.当a <0时，r ＝a 2＋a 2＝－2a ， 则sin β＝a －2a＝－22，cos β＝a －2a＝－22. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝－2＋64.综上所述，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝－2＋64或2＋64.4.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．(1)若x 1＝35，求x 2；(2)过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．解 (1)因为x 1＝35，y 1>0，所以y 1＝1－x 21＝45，所以sin α＝45，cos α＝35，所以x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210.(2)S 1＝12sin αcos α＝14sin2α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以S 2＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－14cos2α.因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43，所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以tan α＝2.。
4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数练习题
§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．sin 2cos 3tan 4的值( )．A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 解析 ∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0， ∴sin 2cos 3tan 4＜0. 答案 A2．已知点P (sin 5π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ是第________象限角．( )A ．一B ．二C ．三D ．四 解析：因P 点坐标为(－22，－22)，∴P 在第三象限． 答案：C3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4解析 设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎨⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎨⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.答案 C4．若cos α＝－32，且角α的终边经过点(x,2)，则P 点的横坐标x 是( )．A ．2 3B ．±2 3C ．－2 2D ．－2 3解析 由cos α＝x x 2＋4＝－32，解得，x ＝－2 3.答案 D5.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则cos2θ=( )A.45-B.35-C.35D.45解析 设(,2)P a a 是角θ终边上任意一点,则由三角函数定义知:cos θ=,所以223cos 22cos 12(15θθ=-=⨯-=-,故选B. 答案 B6．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )．A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解析 ∵r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴m ＞0，∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12.∵m ＞0，∴m ＝12. 答案 B7．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析 设α＝∠POQ ，由三角函数定义可知，Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos α， y ＝sin α，∴x ＝－12，y ＝32，∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案 A 二、填空题8．若β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________， tan β＝________.解析：因为β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限． 所以sin β＝22或－22，tan β＝－1. 答案：22或－22－1 9．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第______象限． 解析 ∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0. ∴角α在第二象限． 答案 二10.弧长为3π,圆心角为135的扇形的半径为 ,面积为 .解析 由扇形面积公式得：12lR =6π.答案 4；6π11．若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________． 解析 ∵sin αcos β＜0，且α，β是三角形的两个内角． ∴sin α＞0，cos β＜0，∴β为钝角．故三角形为钝角三角形． 答案 钝角三角形 12．函数y ＝sin x ＋12－cos x 的定义域是________． 解析由题意知⎩⎨⎧sin x ≥0，12－cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x ≥0，cos x ≤12.∴x 的取值范围为π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z)三、解答题13． (1)确定tan －3cos8·tan5的符号；(2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号．解析 (1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角， ∴tan(－3)>0，tan5<0，cos8<0， ∴原式大于0.(2)若0<α<π2，则如图所示，在单位圆中，OM ＝cos α，MP ＝sin α，∴sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1.若α＝π2，则sin α＋cos α＝1.由已知0<m <1，故α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.于是有sin α－cos α>0.14．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.解析：∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22. 15．如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，△AOB 为正三角形．(1)求sin ∠COA ； (2)求cos ∠COB .解析 (1)根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45.(2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°， 又sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35，∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°) ＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60° ＝35·12－45·32＝3－4310. 16．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·c os β＋tan α·tan β的值．解析 由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )， 点Q 的坐标为(2a ，a )． 所以，sin α＝－2aa 2＋－2a2＝－25， cos α＝a a 2＋－2a 2＝15， tan α＝－2aa＝－2，sin β＝a 2a 2＋a 2＝15，cos β＝2a 2a2＋a2＝25， tan β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β ＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.。
高考数学专题《任意角和弧度制及任意角的三角函数》习题含答案解析
专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．（2021·宁夏高三三模（文））已知角α终边经过点()1,2,P-则cosα=（）A．12B．12-C D．【答案】D【解析】直接利用三角函数的定义即可.【详解】由三角函数定义，cos5α==-.故选：D.2.（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）已知角α的终边经过点()3,1P-，则cosα=（）A B．C．D【答案】C【解析】由三角函数的定义即可求得cosα的值．【详解】角α的终边经过点(3,1)P-，cosα∴==故选：C．3．（2020·全国高一课时练习）若α＝－2，则α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】练基础根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.【详解】因为1 rad≈57.30°，所以－2 rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限．故选：C.4．（2021·江苏高一期中）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90︒的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60︒；⑥若5α=，则α是第四象限角．其中正确的题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.【详解】对于①：钝角是大于90小于180的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确；对于②：锐角是大于0小于90的角，小于90的角也可能是负角. 故②错误；对于③：359-显然是第一象限角. 故③错误；对于④：135是第二象限角，361是第一象限角，但是135361<. 故④错误；对于⑤：时针转过的角是负角. 故⑤错误；对于⑥：因为157.3rad≈，所以5557.3=286.5rad≈⨯，是第四象限角. 故⑥正确.综上，①⑥正确.故选：B.5．（2021·辽宁高三其他模拟）装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为23π，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩光的小灯泡且在背面用导线将小灯泡串连（弧的两端各一个灯泡，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米，则连接导线大致需要的长度约为（）A．55厘米B．63厘米C．69厘米D．76厘米【答案】B【解析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.【详解】因为在弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小， 所以可以用弧长近似代替弦长， 所以导线的长度为23020633ππ⨯=≈(厘米）． 故选：B6．（2021·上海格致中学高三三模）半径为2，中心角为3π的扇形的面积等于（ ） A ．43π B ．πC ．23π D ．3π 【答案】C 【解析】根据扇形的面积公式即可求解. 【详解】解：因为扇形的半径2r ，中心角3πα=，所以扇形的面积2211222233S r ππα==⨯⨯=， 故选：C.7．（2021·辽宁高三其他模拟）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA ＝20cm ，∠AOB ＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 2【答案】B 【解析】根据扇形面积公式计算可得； 【详解】解：扇环的面积为22211332400100222883r S r r παααπ⎛⎫=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选：B8．（2021·重庆八中高三其他模拟）如图所示，扇环ABCD 的两条弧长分别是4和10，两条直边AD 与BC 的长都是3，则此扇环的面积为（ ）A ．84B ．63C ．42D ．21【答案】D 【解析】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，依题意可得4αr =且()310αr +=，解得α、r ，进而可得结果. 【详解】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，由题可得4αr =且()310αr +=，解得2α=，2r ，从而扇环面积()221252212S =⨯⨯-=. 故选：D ．9．（2021·浙江高二期末）已知角α的终边过点(1,)P y ，若sin 3α=，则y =___________．【答案】【解析】利用三角函数的定义可求y . 【详解】由三角函数的定义可得sin α==y =故答案为：10．（2021·山东日照市·高三月考）已知函数()3sin,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则13f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 【答案】12- 【解析】利用分段函数直接进行求值即可． 【详解】∵函数()3,06log ,0xsinx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩， ∴311log 133f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝， ∴611(1)sin 32f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：12-.1．（2021·河南洛阳市·高一期中（文））点P 为圆221x y +=与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周逆时针旋转至点P '，当转过的弧长为2π3时，点P '的坐标为（ ）A ．1,2⎛ ⎝⎭B ．12⎛- ⎝⎭C ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】先求出旋转角，就可以计算点的坐标了. 【详解】设旋转角为θ，则22123θπππ⨯⨯=，得23πθ=，从而可得1(,22P '-. 故选：B.2．（2021·上海高二课时练习）若A 是三角形的最小内角，则A 的取值范围是（ ）练提升A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】由给定条件结合三角形三内角和定理即可作答. 【详解】设B ，C 是三角形的另外两个内角，则必有,A B A C ≤≤，又A B C π++=, 则3A A A A A B C π=++≤++=，即3A π≤，当且仅当3C B A π===，即A 是正三角形内角时取“=”，又0A >，于是有03A π<≤，所以A 的取值范围是(0,]3π.故选：D3．（2021·北京清华附中高三其他模拟）已知,R αβ∈．则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】求解出sin 2sin 2αβ=成立的充要条件，再与,k k Z αβπ=+∈分析比对即可得解. 【详解】,R αβ∈，sin 2sin 2sin[()()]sin[()()]αβαβαβαβαβ=⇔++-=+--⇔2cos()sin()0αβαβ+-=，则sin()0αβ-=或cos()0αβ+=，由sin()0αβ-=得,k k k Z αβπαβπ-=⇔=+∈， 由cos()0αβ+=得,22k k k Z ππαβπαβπ+=+⇔=-+∈，显然s ,in 2sin 2k k Z απαββ=+∈=⇒，sin 2s ,in 2k k Z αβαβπ=+=∈，所以“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件. 故选：A4．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））已知一个半径为3的扇形的圆心角为()02θθπ<<，面积为98π，若()tan 3θϕ+=，则tan ϕ=（ ） A ．12-B ．34C ．12D ．43【答案】C 【解析】由扇形的面积公式得4πθ=,进而根据正切的和角公式解方程得1tan 2ϕ=. 【详解】解:由扇形的面积公式212S r θ=得9928πθ=,解得4πθ=, 所以()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕθϕθϕϕ+++===--,解得1tan 2ϕ=故选:C5．（2021·新蔡县第一高级中学高一月考）一个圆心角为60的扇形，它的弧长是4π，则扇形的内切圆（与扇形的弧和半径的相切）的半径等于（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【答案】B 【解析】设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ，求得3r x =，结合弧长公式，列出方程，即可求解. 【详解】如图所示，设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ， 过点O 作OD CD ⊥， 在直角CDO 中，可得2sin 30ODCO x ==，所以扇形的半径为23r x x x =+=， 又由扇形的弧长公式，可得343x ππ⨯=，解得4x =，即扇形的内切圆的半径等于4. 故选：B.6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））已知顶点在原点的锐角α，始边在x 轴的非负半轴，始终绕原点逆时针转过3π后交单位圆于1(,)3P y -，则sin α的值为（ ）A ．6B C ．16D ．16【答案】B 【解析】根据任意角的三角函数的定义求出1cos()33πα+=-，然后凑角结合两角差的正弦公式求出sin α. 【详解】由题意得1cos()33πα+=-(α为锐角) ∵α为锐角，∴5336πππα，∴sin()03πα+>sin()sin sin ()3333πππααα⎡⎤⇒+=⇒=+-⎢⎥⎣⎦1132326⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭ 故选：B7．（2020·安徽高三其他模拟（文））已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点A (1，-3)，则tan()4πα+=（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．-1【解析】根据终边上的点求出tan 3α=-，再结合正切和公式求解即可． 【详解】由题知tan 3α=-，则tan tan3114tan()41321tan tan 4παπαπα+-++===-+-. 故选：B8．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（理））已知顶点在原点，始边在x 轴非负半轴的锐角α绕原点逆时针转π3后，终边交单位圆于P x ⎛ ⎝⎭，则sin α的值为（ ） ABCD． 【答案】C 【解析】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，由2113x +=，则x =，分x 的值结合三角函数的定义，求解即可，根据条件进行取舍. 【详解】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，则3πβα=+，由α为锐角， 根据题意角β终边交单位圆于,3P x ⎛ ⎝⎭，则2113x +=，则3x =±若3x =，则sin ,cos 33ββ==所以sin sin sin cos cos sin 03336πππαβββ⎛⎫=-=-=< ⎪⎝⎭，与α为锐角不符合.若x =，则sin ββ==所以sin sin sin cos cos sin 0333πππαβββ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭,满足条件.9．（2021·安徽宣城市·高三二模（文））刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当π取3.1416时，可得sin 2︒的近似值为（ ）A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.03491【答案】D 【解析】由圆的垂径定理，求得2sin 2AB =︒，根据扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，列出方程，即可求解. 【详解】将一个单位圆分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4︒由圆的垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长221sin 22sin 2AB AC ==⨯⨯︒=︒， 因为这90个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长， 所以9021sin 2180sin 22π⨯⨯⨯︒=︒≈， 所以22 3.1416sin 20.03491180180π⨯︒≈=≈． 故选：D ．10．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示.QRT 是一个以点O 为圆心､QT 长为直径的半圆，QT =.QST 的圆心为P ，2dm PQ PT ==.QRT与QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为___________2dm .6π 【解析】连接PO ，可得PO QT ⊥，求出23QPT π∠=，利用割补法即可求出月牙的面积. 【详解】解：连接PO ，可得PO QT ⊥，因为sin 2QO QPO PQ ∠==， 所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙的面积为2221121(21)dm 22326S πππ=⨯⨯-⨯⨯-⨯=.6π.1．（全国高考真题）已知角α的终边经过点(−4,3)，则cosα=（ ）A ．45B ．35C ．−35D ．−45 练真题【答案】D【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以cosα=x r =−45.故选D. 2．（2020·全国高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ）A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<0 【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α<故选：D. 方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D.3.（2015·上海高考真题（文））已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）. A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】由题意，设OA 与x 轴所成的角为，显然，，故，故纵坐标为4．（2018·全国高考真题（文））已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1 ， a)，B(2 ， b)，且cos2α=23，则|a −b |= A ．15 B ．√55 C ．2√55D ．1 【答案】B【解析】由O,A,B 三点共线，从而得到b =2a ，因为cos2α=2cos 2α−1=2⋅(√a 2+1)2−1=23， 解得a 2=15，即|a |=√55， 所以|a −b |=|a −2a |=√55，故选B.5.（2017·北京高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则()cos αβ-=___________. 【答案】79- 【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 6．（2021·北京高考真题）若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___． 【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可） 【解析】根据,P Q 在单位圆上，可得,6πθθ+关于y 轴对称，得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解. 【详解】(cos ,sin )P θθ与cos ,sin66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称， 即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈， 则5,12k k Z πθπ=+∈， 当0k =时，可取θ的一个值为512π. 故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题1.化为弧度是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】本题角度化为弧度，变换规则是度数乘以,,故选B.【考点】弧度与角度的互化．2.是第( )象限角.A．一B．二C．三D．四【答案】C【解析】本题主要考查三角函数终边相同的角.由得出终边在第三象限，故选C.【考点】终边相同的角的表示.3.已知角的终边过点(－5,12),则=________.【答案】【解析】.【考点】任意角的三角函数的定义.4.与终边相同的最小正角是．【答案】【解析】因为与终边相同的角是所以当时，与终边相同的最小正角是【考点】与终边相同的角5.与60°角终边相同的角的集合可以表示为( )A．{|=k·360°+，k Z}B．{|=2k+60°，k Z}C．{|=k·180°+60°，k Z}D．{|=2k+，k Z}【答案】D【解析】A,B把弧度制与角度制混在了一起，不规范，而C，应为=k·360°+60°，D正确．【考点】终边相同的角的集合．6.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．7.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．8.计算：= ；【答案】1【解析】原式=【考点】三角函数值的计算9.一个扇形的周长是6，该扇形的中心角是1弧度，该扇形的面积是_______.【答案】【解析】设该扇形的半径、弧长分别为，则依题意有，从中解得，从而.【考点】1.扇形的弧长公式；2.扇形的面积公式.10.已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴，终边经过点,则【答案】-.【解析】由题意可得 x=-1，y=，r2=x2+y2=4,r=2,故cosa==-.【考点】任意角的三角函数的定义．11.已知圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，那么这段弧所对的圆心角的弧度数为 ( )A．B．C．D．2【答案】D【解析】根据题意，由于设圆的半径为r，则可知，圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，可知圆心到三角形不边长的距离为r，利用30得三角函数知可知，正三角形得边长得的长度为2r,那么利用弧长公式可知，弧度数等于弧长除以半径即为2，故选D.【考点】弧度数的问题点评：解决的关键是根据弧长公式，利用圆的半径来得到弧度数，属于基础题。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题1.已知角的终边经过点，则．【答案】【解析】由题意可得：,所以.【考点】任意角三角函数的定义.2.半径为1m的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为（）m．A．B．C．60D．1【答案】B【解析】因为60°=又根据弧长计算公式L=故选B.【考点】扇形的弧长计算公式.3.下列命题正确的是 ( )A．小于的角一定是锐角B．终边相同的角一定相等C．终边落在直线上的角可以表示为，D．若,则角的正切值等于角的正切值【答案】D【解析】小于的角可以是锐角、零角及负角，故错；终边相同的角相差的整数倍，故错；终边落在直线上的角可以表示为，故错；正确.故选D.【考点】三角函数的概念的应用.4.一个半径大于2的扇形，其周长，面积，求这个扇形的半径和圆心角的弧度数.【答案】，【解析】由题设条件给出周长，面积，因为扇形周长由两半径和弧长组成，故可列出方程，再结合扇形面积公式：，可解得半径，从而求得圆心角试题解析：由得：将上式代入得（舍去）【考点】扇形的面积公式和弧长公式.5. sin480°等于（）.A．B．C．D．【答案】D.【解析】因为，所以选D.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.6.一扇形的中心角为2，对应的弧长为4，则此扇形的面积为（）.A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】，，则扇形的面积.【考点】扇形的弧长与面积公式.7.半径为3，中心角为120o的扇形面积为（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】，.【考点】扇形面积公式.8.如图，在直角坐标系中，射线OP交单位圆O于点P，若∠XOP ＝θ，则点P的坐标是().A．(cosθ，sinθ)B．(－cosθ，sinθ)C．(sinθ，cosθ)D．(－sinθ，cosθ)【答案】A【解析】设，则，由任意角的三角函数定义得：，即.【考点】任意角的三角函数定义.9.如果有意义，那么的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，即，∴．【考点】三角函数的取值范围．10. 2400化成弧度制是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查度与弧度的互化，利用公式弧度，可得.【考点】度与弧度的互化.11.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．12.已知点是角终边上一点，且，则的值为（）A．5B．C．4D．【答案】D【解析】由两点间距离公式知点P到原点的距离=，有三角函数定义知==＜0，故＜0，平方解得=4（舍）或=4.由题知=,∴==＜0，∴＜0，解得=-4，故选D.【考点】任意角的三角函数定义13.设角的终边上有一点，则的值是( )A．B．C．或D．1【答案】A【解析】由三角函数的定义可知，所以，选A.【考点】任意角的三角函数.14.已知角是第二象限角，角的终边经过点,且,则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由角的终边经过点与，可得，解得或，而是第二象限角，所以，故，所以，故选答案D.【考点】任意角的三角函数.15.是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【解析】因为第一象限角的范围为;第二象限角的范围为;第三象限角的范围为;第四象限角的范围为；是第三象限角，故选C.【考点】象限角的概念.16.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．17.已知角的终边过，则= ．【答案】【解析】根据题意，由于角的终边过，那么可知，该点的，则可知该点的正切值为，结合角的范围可知，的值为，故答案为。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.若为第三象限，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为第三象限，所以．因此，故选择B．【考点】同角三角函数基本关系及三角函数符号．2.下列各式中，值为的是A．B．C．D．【答案】D【解析】;;;.【考点】二倍角的正弦、余弦、正切公式.3.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是【答案】.【解析】圆心角；由扇形的面积公式得.【考点】扇形的面积公式及圆心角的计算.4.是第( )象限角.A．一B．二C．三D．四【答案】C【解析】本题主要考查三角函数终边相同的角.由得出终边在第三象限，故选C.【考点】终边相同的角的表示.5.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.6.已知点P（）在第三象限，则角在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】由已知得，即，则角在第二象限。
【考点】（1）三角函数值符号的判断；（2）象限角的判断。
7. 2400化成弧度制是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查度与弧度的互化，利用公式弧度，可得.【考点】度与弧度的互化.8.的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.任意角的三角函数值可利用诱导公将角化为锐角的三角函数值求得.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.9.若，且，则角的终边所在的象限是()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，又因为，所以，所以角的终边所在象限是第四象限，故选D．【考点】1、三角函数值的符号；2、二倍角的正弦．10.设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，求和．【答案】；．【解析】利用余弦函数的定义求得，再利用正弦函数的定义即可求得的值与的值．∵为第四象限角，∴，∴，∴，∴，∴＝，∴，．【考点】任意角的三角函数的定义．11.将120o化为弧度为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故.【考点】弧度制与角度的相互转化.12.下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．-30°C．630°D．-630°【答案】B【解析】与330°终边相同的角可写为，当时，可得-30°.【考点】终边相同的角之间的关系.13.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，从而，选A.【考点】任意角的三角函数.14.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为 .【答案】【解析】扇形面积公式，即（必须为弧度制）.【考点】扇形面积公式.15.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．16.已知【答案】【解析】由已知得，又因为，所以，而，故答案为．【考点】1．诱导函数；2．特殊角的三角函数值．17.一钟表的分针长5 cm，经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是________cm【答案】【解析】分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是，分针经40分钟，分针的端点所转过的角的弧度数为2π×=，代入弧长公式l=αr，得出分针的端点所转过的长为×5=（cm）．故答案为：。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.3.已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是()A．(，)B．(π，)C．(，)D．(，)∪(π，)【答案】D【解析】由已知得，解得α∈(，)∪(π，)．4.已知角α终边上一点P(－，y)，且sinα＝y，求cosα和tanα的值．【答案】cosα＝－1，tanα＝0.【解析】r2＝x2＋y2＝y2＋3，由sinα＝＝＝y，∴y＝±或y＝0.当y＝即α是第二象限角时，cosα＝＝－，tanα＝－；当y＝－即α是第三象限角时，cosα＝＝－，tanα＝；当y＝0时，P(－，0)，cosα＝－1，tanα＝0.5.设集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________．【答案】【解析】由－π＜＜π，得－＜k＜.∵k∈Z，∴k＝－1，0，1，2，故M∩N＝6.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知,圆内接正三角形边长a与圆的半径之间关系为a=r,∴α===.7. tan(－1 410°)的值为()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】tan(－1 410°)＝tan(－4×360°＋30°)＝tan 30°＝8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1) ()；(2)少．【解析】(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．试题解析：(1) 扇形半径， 2分扇形面积等于 5分弧田面积=（m2） 7分（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=. 10分平方米 12分按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.【考点】(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．9.在平面直角坐标系中,若角的顶点在坐标原点,始边在轴的非负半轴上,终边经过点(其中)则的值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，根据任意角的三角函数的定义得，，所以.【考点】任意角三角函数的定义.10.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值11.在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则 .【答案】【解析】由任意角的三角函数的定义得：.【考点】任意角的三角函数的定义.12.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.13.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.14.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.15.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα=．【答案】．【解析】由题意及图所示，易知A点的横坐标为，所以．【考点】三角函数的定义．16.已知函数的定义域为[a,b]，值域为[-2，1]，则的值不可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因的值域[-2,1]含最小值不含最大值,根据图象可知定义域小于一个周期,故选D.【考点】三角函数的定义域和值域.17.若角的终边上有一点P(a，－2)，则实数a的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】三角函数的定义.18.若，则角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角【答案】D【解析】因为，则角是第二或第四象限角，选D19.点位于直角坐标面的A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，位于直角坐标面的第四象限,选D20.已知圆与轴的正半轴相交于点,两点在圆上,在第一象限,在第二象限,的横坐标分别为，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设与轴正半轴的夹角分别为则，21.已知动点在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t=0时，点A（，则0≤t≤12时，动点A的横坐标x关于t（单位：秒）的函数单调递减区间是（）A．[0, 4]B．[4,10]C．[10,12]D．[0,4]和[10,12]【答案】D【解析】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时α=π/ 3 ，每秒钟旋转π /6 ，在t∈[0，1]上α∈[π/ 3 ，π/ 2 ]，在[7，12]上α∈[3π/ 2 ，7π /3 ]，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．故选D．22.曲线与坐标轴所围的面积是【答案】３【解析】据余弦函数的图象，23.已知，且在第二象限，那么在 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】解：∵sinθ="3" /4 ，且θ在第二象限，∴cosθ=-/4,所以sin2θ=2sinθcosθ=-3/16Cos2θ=1-2sin2θ=-1/8故2θ在第三象限。
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还有一件有趣的事也不得不提。我的前桌坐着一个很秀气的姑娘，常常梳着一个麻花辫，说起话来总是温温柔柔的，暂且起名叫她“淑女”吧！有一天早上，我惊奇地发现她纤纤的十指，涂了黑漆漆的指甲油，她迫不及待地和班上的人炫耀了她的杰作。很不巧的是第一堂课是内科，老师教的又是“叩诊”，国字脸的女老师，用严厉的目光环顾了教室一周，最后锁定了我的前座，她冷冷地说：“来，这位同学，你上黑板给大家演示一下—叩诊的方法。” “淑女”显得有些难为情，慢腾腾地起身走到在黑板前，低下头，缓慢地伸出涂着黑色指甲油的双手，给大家表演着“叩诊”。如果老师当时没问也还好，可老师偏偏问了，“你这手怎么弄的，指甲都成这样了，怎么没上医院啊？”这一问引起全班哄堂大笑，老师感到有些莫名其妙，纳闷地问：“你们都笑什么？”不料班级最捣蛋的一个男 生出卖了她，“她涂的是黑色指甲油，不是病。”从此以后，我没见她再涂过任何颜色的指甲油。
甚至不知所措。我傻傻地站在那里，也不知道是过去一个小时，还是几个小时，人才渐渐地少了，突然间我的耳朵捕获了一串数字，是住宿费的缴费窗口传出来的，我不由得摸了一下包，心里便有了主意：先把住宿费交了，其他再说。于是，我深吸了一口气，故作镇定地交了住宿费，领了被罩和盆，就忐忑不安地住进了宿舍。 宿舍共八个人，来自不同的地方，因为都是年轻人，很快都熟络了起来。我的班主任则是一个娇小的，长得很漂亮的女老师，叫李丽。医学虽然看上枯燥，但很多东西都与我们息息相关，所以学起来也没有那么难。不论解剖课的死人骷髅头，各类人骨，还是内外科的各种病理药理，以及活体的各种器官，我都学得津津有味。可是学习的高涨的热情，无法掩盖我内心的不安，我很害怕触碰到老师的目光，怕她对我说：白XX，你不知道学费没有交吗？就这样我怀着惴惴不安的心情，熬过了整整三个月。直到有一天，李丽老师气匆匆地走进教室，用鄙夷的略带愤怒的目光注视着我时，我心虚了，低下头不敢再去看她，我心跟明镜似的。她喝道：“白XX， 王校长要见你，在二楼校长室。” 走廊里我挪着步，每走一步都觉得很沉，不知道校长会怎么批评我，或者是严惩我，害怕与紧张让我在房门前不得不倒吸了一口气，接着又闭上眼睛静等五秒钟后，我才敢扣响房门，听到里面传出：进来，我才小心翼翼地推开那扇门。我径直地站在校长的办公桌前，不敢发出一点声响。看见王校长端坐在桌前书写着什么，看见我进来，便马上收起笔，他从椅子上慢慢站起来，用惊愕的眼神上下打量着我，他严肃的目光里还带着一股寒气，仿佛瞬间就能将我冰封，我连大气都不敢出。紧接着他开始发怒了，大声呵斥道：“你，你就是XXX。”我不敢说话，只是点点头。他猛然摘下眼镜，愤怒下的眼睛突出的更加厉害，手在不停地拍打着豪华的办公桌，来压抑着他内心的烦躁，他一声高过一声地责问我：“你小小年纪，也太有主意了，这么多钱没交，竟然能瞒这么久”。我羞愧地低下了头了，
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.如果角的终边经过点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直接利用三角函数的定义，求出.因为角θ的终边经过点,由三角函数的定义可知，，故选A.【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是【答案】.【解析】圆心角；由扇形的面积公式得.【考点】扇形的面积公式及圆心角的计算.3.若点P位于第三象限，则角是第象限的角.【答案】二【解析】点P位于第三象限，则即,所以角是第二象限的角,答案为二.【考点】三角函数的符号4.半径为，中心角为所对的弧长是（）.A．B．C．D．【答案】D.【解析】弧长cm,故选D.【考点】弧长公式：（其中的单位是弧度）.5.已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）.A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】，，是第二象限角或第三象限角.【考点】象限角的符号.6.已知，则的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由知，在第一或第三象限，因为，所以．【考点】简单三角方程7.与角-终边相同的角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】与−终边相同的角为2kπ−，k∈z，当 k=-1时，此角等于，故选：C．【考点】终边相同的角的定义和表示方法.8.如图，长为4米的直竹竿AB两端分别在水平地面和墙上（地面与墙面垂直），T为AB中点，，当竹竿滑动到A1B1位置时，，竹竿在滑动时中点T也沿着某种轨迹运动到T1点，则T运动的路程是_________米.【答案】.【解析】如图可知，点运动的轨迹为一段圆弧，由题意已知：，，∴，∴点运动的路程为.【考点】弧度制有关公式的运用.9.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.10.若角的终边上有一点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】先利用诱导公式化简，根据三角函数的定义知，即，故选B.【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．11. 60°=_________．（化成弧度）【答案】【解析】根据,可得．【考点】角度与弧度的互化．12.与终边相同的最小正角是．【答案】【解析】因为与终边相同的角是所以当时，与终边相同的最小正角是【考点】与终边相同的角13.比较的大小 .【答案】【解析】,在上为增函数，可知，，可得.【考点】正弦函数的性质，特殊角的三角函数.14.已知扇形的周长为30，当它的半径R和圆心角各取何值时，扇形的面积S最大？并求出扇形面积的最大值．【答案】当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．【解析】根据条件扇形的周长为30可以得到l+2R=30,从而扇形的面积S=lR=（30－2R）R=，即把S表示为R的二次函数，根据二次函数求最值的方法，可以进一步变形为S=－（R－）2+，从而得到当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．∵扇形的周长为30，∴l+2R=30，l=30-2R，∴S=lR=（30－2R）R==－（R－）2+．．．．．5分∴当R=时，扇形有最大面积，此时l=30－2R=15，==2．．．．．．．．8分答：当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．．．．．10分．【考点】1、弧度制下扇形相关公式；2、二次函数求最值．15.若点P(Cos,Sin)在直线y=-2x上，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点在直线上，所以，则.【考点】任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．16.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．17.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．18.扇形的半径是,圆心角是60°,则该扇形的面积为 .【答案】π【解析】扇形的面积公式为.【考点】扇形的弧度制面积公式.19.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，从而，选A.【考点】任意角的三角函数.20.计算：= ；【答案】1【解析】原式=【考点】三角函数值的计算21.已知扇形的圆心角为2rad，扇形的周长为8cm，则扇形的面积为___________cm2。
高中数学必修四同步练习题库：任意角和弧度制(简答题：容易1,较易8,一般26,较难29,困难30)
任意角和弧度制（简答题：容易1，较易8，一般26，较难29，困难30）1、把下列各角用另一种度量制表示出来：；；；.2、如果角的终边经过点，试写出角的集合，并求集合中最大的负角和绝对值最小的角.3、已知扇形的中心角为，扇形所在圆的半径为，若扇形的面积值与周长值的差为，求的最小值及对应的值.4、扇形AOB的周长为8cm，它的面积为3 cm2，求圆心角的大小．5、（本小题满分13分）直角坐标系中，锐角的终边与单位圆的交点为，将绕逆时针旋转到，使，其中是与单位圆的交点，设的坐标为．（Ⅰ）若的横坐标为，求；（Ⅱ）求的取值范围．6、一个半径大于2的扇形，其周长，面积，求这个扇形的半径和圆心角的弧度数.7、一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.8、已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，(1)求的弧长；(2)求弓形OAB的面积．9、写出如图所示阴影部分的角α的范围．10、如图，动点，从点出发，沿圆周运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，求，第一次相遇时所用的时间及，点各自走过的弧长．11、已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．（1）；（2）；（3）.12、已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：（I）弧的长；（II）扇形所含弓形的面积 (即阴影面积)．13、一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0°＜α＜β＜180°），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．14、在角的集合{α|α=k•90°+45°，k∈Z}中：（1）有几种终边不相同的角？（2）有几个适合不等式﹣360°＜α＜360°的角？（3）写出其中是第二象限角的一般表示法．15、已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为.（1）若，，求扇形的弧长.（2）若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积.16、已知一个扇形的半径为，圆心角为，求这个扇形的面积。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．【答案】【解析】由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝.3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________.【答案】－＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标【解析】因为A点纵坐标yAx＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.A4.已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．【答案】sinα＝－，tanα＝【解析】解：∵P(x，－)(x≠0)，∴P到原点的距离r＝.又cosα＝x，∴cosα＝＝x，∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－.当x＝－时，P点坐标为(－，－)，∴sinα＝－，tanα＝.5.如果点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限；【答案】第二象限角【解析】因为点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθ·cosθ<0，2cosθ<0，即所以θ为第二象限角．6.若θ是第二象限角，试判断sin(cosθ)的符号．【答案】负号【解析】∵2kπ＋<θ<2kπ＋π(k∈Z)，∴－1<cosθ<0，∴sin(cosθ)<0.∴sin(cosθ)的符号是负号．7.已知2rad的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长．【答案】【解析】如图，∠AOB＝2rad，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交于D.∠AOD＝∠BOD＝1rad，且AC ＝AB＝1.在Rt△AOC中，AO＝，从而弧AB的长为l＝|α|·r＝8.已知角α(0≤α≤2π)的终边过点P，则α＝__________．【答案】【解析】将点P的坐标化简得，它是第四象限的点，r＝|OP|＝1，cosα＝＝.又0≤α≤2π，所以α＝.9.若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα＜0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________．【答案】2【解析】依题意知解得m＝1，n＝3或m＝－1，n＝－3.又sinα＜0，∴α的终边在第三象限，∴n＜0，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.10.等于()A．sin2-cos2B．cos2-sin2C．±(sin2-cos2)D．sin2+cos2【答案】A【解析】原式===|sin2-cos2|,∵sin2>0,cos2<0,∴原式=sin2-cos2.11.已知点P(sinπ,cosπ)落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为()A．B．C．D．【答案】D【解析】点P(sinπ,cosπ),即为P(,-),它在第四象限的角平分线上,且θ∈[0,2π),故选D.12.在单位圆中,一条弦AB的长度为,则弦AB所对的圆心角α是rad.【答案】π【解析】由已知R=1,∴sin==,∴=,∴α=π.13.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值14.若角的终边上有一点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】角600°的终边与角-120°的终边相同，且角-120°的终边在第三象限，，所以.故选B.或解：因为角角600°的终边在第三象限，第三象限角终边上的点任一点，，由选项可知，只有B满足.故选B.【考点】1.终边相同的角的运用；2.三角函数的定义的运用.15.如图，在平面直角坐标系中，以x轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知点A的横坐标为；B点的纵坐标为．则 .【答案】【解析】单位圆的半径是1，根据勾股定理以及点A的横坐标为，B点的纵坐标为，可知点A的纵坐标为，点B的横坐标为，所以，，，，因为，是锐角，所以，所以.【考点】1.任意角的三角函数；2.三角函数的和角公式16.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：两点等分单位圆时，有相应正确关系为，三等分单位圆时，有相应正确关系为，由此推出：四等分单位圆时的相应正确关系为 .【答案】【解析】用两点等分单位圆时，关系为，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差为：，用三点等分单位圆时，关系为，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，均为有，依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角为，第三个角，第四个角为，即其关系为.【考点】三角函数的定义与三角恒等式.17.（1）设扇形的周长是定值为，中心角．求证：当时该扇形面积最大；（2）设．求证：．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由扇形周长为定值可得半径与弧长关系(定值)，而扇形面积，一般地求二元函数最值可消元化为一元函数(见下面详解)，也可考虑利用基本不等式，求出最值，并判断等号成立条件，从而得解；（2）这是一个双变元(和)的函数求最值问题，由于这两个变元没有制约关系，所以可先将其中一个看成主元，另一个看成参数求出最值(含有另一变元)，再求解这一变元下的最值，用配方法或二次函数图象法. 试题解析：（1）证明：设弧长为，半径为，则， 2分所以，当时， 5分此时，而所以当时该扇形面积最大 7分（2）证明：9分∵，∴， 11分∴当时， 14分又，所以，当时取等号，即． 16分法二：9分∵，, 11分∴当时，， 14分又∵，∴当时取等号即． 16分【考点】扇形的周长和面积、三角函数、二次函数.18.若，则A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以==，=，故选A.【考点】本题主要考查特殊角的三角函数值，诱导公式、和差倍半公式的应用。
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数(经典练习及答案详解)
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数知识梳理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. (2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. (2)公式3.任意角的三角函数 (1)定义(2)定义的推广设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝yr；cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0).1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.3.象限角4.轴线角诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角.2.已知角θ的终边过点P (－12，m )，cos θ＝－1213，则m 的值为( ) A.－5 B.5C.±5D.±8答案 C解析 由三角函数的定义可知cos θ＝－12（－12）2＋m2＝－1213，解得m ＝±5. 3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________. 答案 {－675°，－315°}解析 所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z ). 解得k ＝－2或k ＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.4.(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则( ) A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0D.sin 2α<0答案 D解析 ∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0，∴sin 2α＝2sin αcos α<0，故选D. 5.(多选题)(2021·武汉调研)下列说法正确的是( ) A.时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B.钝角大于锐角C.三角形的内角必是第一或第二象限角D.若α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角 答案 BD解析 对于A ，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误； 对于B ，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C ，若三角形的内角为90°，则是终边在y 轴正半轴上的角，故错误； 对于D ，∵角α的终边在第二象限， ∴2k π＋π2＜α＜2k π＋π，k ∈Z ， ∴k π＋π4＜α2＜k π＋π2，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π＋π4＜α2＜2n π＋π2，n ∈Z ，得α2是第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，(2n ＋1)π＋π4＜α2＜(2n ＋1)π＋π2，n ∈Z ，得α2是第三象限角，故正确.6.(2021·菏泽质检)密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周分成6 000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于________rad. 答案 π50解析 ∵周角为2π rad ， ∴1密位＝2π6 000＝π3 000(rad)， ∴60密位＝π3 000·60＝π50(rad).考点一 角的概念及其表示1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A 、B ，易知D 错误，C 正确.2.(多选题)(2021·海南调研)已知α为第三象限角，则α2的终边所在的象限可能是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限答案 BD解析 ∵α为第三象限角， ∴π＋2k π<α<3π2＋2k π，k ∈Z ， ∴π2＋k π<α2<3π4＋k π，k ∈Z ，当k ＝2m ，m ∈Z 时，π2＋2m π<α2<3π4＋2m π，m ∈Z ，此时α2在第二象限， 当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，3π2＋2m π<α2<7π4＋2m π，m ∈Z ， 此时α2在第四象限.综上，α2的终边在第二或第四象限.3.终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________. 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3解析 终边在直线y ＝3x 上的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π3＋k π，又由α∈[－2π，2π)，即－2π≤π3＋k π<2π，k ∈Z ， 解得k ＝－2，－1，0，1，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.感悟升华 1.确定nα，αn (n ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出nα或αn 的范围，然后根据n 的可能取值讨论确定nα或αn 的终边所在位置(也可采用等分象限角的方法). 2.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角. 考点二 弧度制及其应用【例1】已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l ，若α＝π3，R ＝10 cm ，求：(1)扇形的面积；(2)扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 (1)由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2). (2)l ＝α·R ＝π3·10＝10π3(cm)，S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3 ＝12×10π3·10－12×102×32＝50π－7533(cm 2).感悟升华 应用弧度制解决问题时应注意：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 【训练1】 (1)(多选题)(2020·青岛质检)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有( ) A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2(2)已知扇形的周长为8 cm ，则该扇形面积的最大值为________cm 2. 答案 (1)ABC (2)4解析 (1)设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α，则由题意得⎩⎨⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝1，可得圆心角的弧度数是4或1. (2)设扇形半径为r cm ，弧长为l cm ， 则2r ＋l ＝8，S ＝12rl ＝12r ×(8－2r ) ＝－r 2＋4r ＝－(r －2)2＋4， 所以S max ＝4(cm 2).考点三 三角函数的定义及应用角度1 求三角函数值【例2】已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α等于( )A.－33 B.±33C.－32D.±32答案 C解析 由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3， 此时sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3， 此时，sin α·tan α＝－32. 综上sin α·tan α＝－32. 角度2 由三角函数值求参数【例3】已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12 B.－32 C.12D.32答案 C解析 由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9，所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，所以m >0，解得m ＝12.角度3 三角函数值的符号【例4】 (多选题)(2021·重庆调研)已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则角θ2的终边可能在( ) A.第二、四象限 B.第一、三象限 C.y 轴上D.x 轴上答案 AD解析∵|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，∴cos θ≥0，tan θ≤0，∴角θ的终边在第四象限或x轴正半轴上，∴角θ2的终边在第二、四象限或x轴上.故选AD.感悟升华 1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.【训练2】(1)若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－31010，则y＝________.答案(1)D(2)－3解析(1)由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.故选D.(2)因为sin θ＝－31010<0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，由三角函数的定义，得yy2＋1＝－31010.解得y ＝－3.A 级 基础巩固一、选择题1.小明出国旅游，当地时间比北京时间晚一个小时，他需要调整手表的时间，则时针转过的角的弧度数为( ) A.π3 B.π6C.－π3D.－π6答案 B解析 因为当地时间比北京时间晚一个小时，所以时针应该是逆时针方向旋转，故时针转过的角的弧度数为π6.故选B.2.(多选题)(2021·淄博调研)下列四个命题正确的是( ) A.－3π4是第二象限角B.4π3是第三象限角C.－400°是第四象限角D.－315°是第一象限角答案 BCD解析 －3π4是第三象限角，故A 错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，B 正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，从而C 正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，从而D 正确.3.(2020·天津期末)在平面直角坐标系中，若角α以x 轴的非负半轴为始边，且终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，则sin α＝( )A.－32B.－12C.32D.12答案 D解析 由任意角三角函数的定义得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.故选D.4.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A.2B.4C.6D.8答案 C解析 设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.5.若角α的终边在直线y ＝－x 上，则角α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·2π－π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·2π＋3π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·π－3π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·π－π4，k ∈Z 答案 D解析 由图知，角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π＋3π4，k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝（2n ＋1）π－π4，k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π－π4，k ∈Z . 6.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案 B解析 由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角， 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，所以cos θ2<0， 综上可知，θ2为第二象限角.7.(2020·长沙模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A.12B.－12C.32D.－32答案 A解析 由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去).故选A.8.(多选题)(2021·山东新高考模拟)如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA ＝60°，质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则( )A.经过1 s 后，∠BOA 的弧度数为π3＋3B.经过π12 s 后，扇形AOB 的弧长为7π12C.经过π6 s 后，扇形AOB 的面积为π3D.经过5π9 s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇答案 ABD解析 经过1 s 后，质点A 运动1 rad ，质点B 运动2 rad ，此时∠BOA 的弧度数为π3＋3，故A 正确；经过π12 s 后，∠AOB ＝π12＋π3＋2×π12＝7π12，故扇形AOB 的弧长为7π12×1＝7π12，故B 正确；经过π6 s 后，∠AOB ＝π6＋π3＋2×π6＝5π6，故扇形AOB 的面积为S ＝12×5π6×12＝5π12，故C 不正确；设经过t s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t (1＋2)＋π3＝2π，解得t ＝5π9(s)，故D 正确.二、填空题9.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 答案 π3解析 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎨⎧l ＝π3，r ＝2. 10.在平面直角坐标系xOy 中，点P 在角2π3的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标为________.答案 (－1，3)解析设点P 的坐标为(x ，y )，由三角函数定义得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|OP |cos 2π3，y ＝|OP |sin 2π3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，所以点P 的坐标为(－1，3).11.(2021·河北九校联考)已知点P (sin 35°，cos 35°)为角α终边上一点，若0°≤α<360°，则α＝________.答案 55°解析 由题意知cos α＝sin 35°＝cos 55°，sin α＝cos 35°＝sin 55°，P 在第一象限，所以α＝55°.12.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝________.答案 55解析 由O ，A ，B 三点共线，从而得到b ＝2a ，因为cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋12－1＝23，解得a 2＝15， 即|a |＝55，所以|a －b |＝|a －2a |＝|a |＝55.B 级 能力提升13.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( )A.M ＝NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅ 答案 B解析 由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .14.(2019·北京卷)如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β＋4cos βB.4β＋4sin βC.2β＋2cos βD.2β＋2sin β 答案 B解析 如图，设点O 为圆心，连接PO ，OA ，OB ，AB ，在劣弧上取一点C ，则阴影部分面积为△ABP 和弓形ACB 的面积和.因为A ，B 是圆周上的定点，所以弓形ACB 的面积为定值，故当△ABP 的面积最大时，阴影部分的面积最大.又AB 的长为定值，故当点P 为优弧的中点时，点P 到弦AB 的距离最大，此时△ABP 面积最大，即当P 为优弧的中点时，阴影部分面积最大.下面计算当P 为优弧的中点时阴影部分的面积.因为∠APB 为锐角，且∠APB ＝β，所以∠AOB ＝2β，∠AOP ＝∠BOP ＝180°－β，则阴影部分的面积S ＝S △AOP ＋S △BOP ＋S 扇形OAB ＝2×12×2×2sin(180°－β)＋12×22×2β＝4β＋4sin β.故选B.15.一扇形的圆心角为2π3，则此扇形的面积与其内切圆的面积的比值为________.答案 7＋439解析 设扇形半径为R ，内切圆半径为r .则(R －r )sin π3＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋233r . 又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，所以S 扇πr 2＝7＋439.16.在平面直角坐标系中，劣弧，，，是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是________.答案解析 因为tan α<cos α，所以P 所在的圆弧不是，因为tan α<sin α，所以P 所在的圆弧不是，又cos α<sin α，所以P 所在的圆弧不是，所以P 所在的圆弧是.。
必修4第一章三角函数同步练习及答案
第一章 三角函数§1.1 任意角和弧度制一、选择题1.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 ( ) (A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α2.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( ) (A){α|α=k ·360°，k ∈Z} (B){α|α=k ·180°+90°，k ∈Z} (C){α|α=k ·180°，k ∈Z} (D){α|α=k ·90°，k ∈Z}3.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z ） ( ) (A) α+β=π （B) α-β=2π(C) α-β=(2k +1)π (D) α+β=(2k +1)π 4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( )(A)3π (B)32π (C)3 (D)25.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π(B)－3π (C)6π (D)－6π *6.已知集合A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，下列四个命题：①A =B =C ②A ⊂C ③C ⊂A ④A ∩C =B ,其中正确的命题个数为 ( ) (A)0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 二.填空题7.终边落在x 轴负半轴的角α的集合为 ，终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是 . 8. -1223πrad 化为角度应为 . 9.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍. *10.若角α是第三象限角，则2α角的终边在 ，2α角的终边在 . 三.解答题11.试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.12.已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.13.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ *14.如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.§.任意角的三角函数一.选择题1.函数y =|sin |sin x x +cos |cos |x x +|tan |tan x x的值域是 ( )(A){-1，1} (B){-1，1，3} (C) {-1，3} (D){1，3} 2.已知角θ的终边上有一点P （-4a ,3a )（a ≠0）,则2sin θ+cos θ的值是 ( )(A) 25 (B) -25 (C) 25或 -25 (D) 不确定3.设A 是第三象限角，且|sin2A |= -sin 2A ,则2A是 ( ) (A) 第一象限角 (B) 第二象限角 (C) 第三象限角 (D) 第四象限角4. sin2cos3tan4的值 ( ) (A)大于0 (B)小于0 (C)等于0 (D)不确定5.在△ABC 中,若cos A cos B cos C <0，则△ABC 是 ( )(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角或钝角三角形*6.已知|cos θ|=cos θ, |tan θ|= -tan θ,则2θ的终边在 ( )(A)第二、四象限 (B)第一、三象限 (C)第一、三象限或x 轴上 (D)第二、四象限或x 轴上 二.填空题 7.若sin θ·cos θ＞0, 则θ是第 象限的角;8.求值：sin(-236π)+cos 137π·tan4π -cos 133π= ;9.角θ(0<θ<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则θ的值为 ;*10.设M =sin θ+cos θ, -1<M <1,则角θ是第 象限角. 三.解答题11.求函数y =lg(2cos x的定义域。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.化为弧度是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】本题角度化为弧度，变换规则是度数乘以,,故选B.【考点】弧度与角度的互化．2.若是第三象限角，则是第象限角.【答案】一【解析】是第三象限角，则.所以,故在第一象限.【考点】角的象限.3.化简sin600°的值是( ).A．0.5B．-C．D．-0.5【答案】B【解析】.【考点】诱导公式.4.已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）.A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】，，是第二象限角或第三象限角.【考点】象限角的符号.5.若角的终边经过点，则的值为．【答案】【解析】由三角函数定义知，==.考点:三角函数定义6.函数的定义域为A．B．为第Ⅰ、Ⅱ象限的角C．D．【答案】C【解析】由题知，解得，故选C【考点】三角函数在各象限的符号7.已知角的终边经过点，则=___________．【答案】【解析】由题知，所以==．【考点】三角函数定义8.某扇形的半径为1cm，它的弧长为2cm，那么该扇形的圆心角为（）A．2°B．4rad C．4°D．2rad【答案】D【解析】因为扇形的弧长公式为l=r|α|，由已知，l=2，r=1，所以＝2弧度故选D．【考点】扇形的弧长公式.9.与13030终边相同的角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】终边与1303°相同的角是k•360°+1303°，k∈Z∴k=-4时，k•360°+1303°=-137°．故选C．【考点】终边相同的角．10.已知Ｐ（-8,6）是角终边上一点,则的值等于( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】Ｐ（-8,6）是角终边上一点,所以，；则=【考点】三角函数的定义．11. 60°="_________" ．（化成弧度）【答案】【解析】根据角的弧度数的定义，弧度．【考点】角度制与弧度制的转化．12.若点P(Cos,Sin)在直线y=-2x上，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点在直线上，所以，则.【考点】任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．13.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．14. sin2100 = ( )A．B．-C．D．-【答案】D【解析】sin210°=sin（180°+30°）=-sin30°=-．【考点】运用诱导公式化简求值．15.将120o化为弧度为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故.【考点】弧度制与角度的相互转化.16.化为弧度角等于；【答案】【解析】，.【考点】角度制与弧度制的互化17.已知角α的终边经过点(3a，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α等于( )A．B．C．D．－【答案】A【解析】,,.故选A.【考点】三角函数的定义18.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为 .【答案】【解析】扇形面积公式，即（必须为弧度制）.【考点】扇形面积公式.19.已知角的终边上有一点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由三角函数的定义可知，故选D.【考点】三角函数的定义.20.点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点，则值为 ( )A．B．-C．D．-【答案】B【解析】由题意知,故正确答案为B.【考点】三角函数的定义21.已知，，则＝________.【答案】－【解析】法一：因为，，则可取角的终边上一点P，，则；法二：，因为，所以＝－【考点】任意角三角函数定义，同角三角函数基本关系式22. sin(-)= ．【答案】【解析】．【考点】本题主要考查了利用三角函数的诱导公式求三角函数值得方法，属基础题．23.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不伦用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在圆的半径的大小无关；④若，则与的终边相同；⑤若，则是第二或第三象限角.其中正确命题的个数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由终边相同的角的定义易知①是错误的；②的描述中没有考虑直角，直角属于的正半轴上的角，故②是错误的；④中与的终边不一定相同，比如；⑤中没有考虑轴的负半轴上的角.只有③是正确的.【考点】角的推广与象限角.24. .【答案】－【解析】由三角函数的诱导公式，=－。
高中数学必修4 第一章 三角函数(B卷)
高中数学必修4 第一章三角函数（B卷）试卷一、选择题（共23题；共100分）1.时针经过一小时，时针转过了()A.radB.radC.radD.rad【答案】B【考点】任意角和弧度制和任意角的三角函数【解析】时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝rad，故选B.2.已知圆的半径为2，若弦AB的长等于2，则这条弦所对圆心角的弧度数为()A.1B.2C.D.【答案】C【考点】任意角和弧度制和任意角的三角函数【解析】由半径为2，弦长为2，由两半径，弦可构成一个等边三角形，其内角为60°，则这条弦所对圆心角的弧度数为3.点M(－3,4)是角α终边上一点，则有()A.B.C.D.以上都不对【答案】C【考点】任意角和弧度制和任意角的三角函数【解析】点M(－3,4)是角α终边上一点，所以.由任意角的三角函数的定义可知sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.4.利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是()A.sin 1>sin 1.2>sin 1.5B.sin 1>sin 1.5>sin 1.2C. sin 1.5>sin 1.2>sin 1D.sin 1.2>sin 1>sin 1.5【答案】C【考点】任意角和弧度制和任意角的三角函数【解析】∵1,1.2,1.5均在内，正弦线在内随α的增大而逐渐增大，∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1.5.若，则为()A. cosθ－sinθB.sinθ＋cosθC. sinθ－cosθD.－cosθ－sinθ【答案】A【考点】同角三角函数的基本关系式【解析】∵，∴0＞cosθ＞sinθ＞－1，则6.若角α∈(，π)，则点P(sinα，cosα)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【考点】任意角和弧度制和任意角的三角函数【解析】∵角，∴sinα＞0，cosα＜0.∴点P(sinα，cosα)位于第四象限.7.已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝，则tanα等于()A.B.C.-D.-【答案】D【考点】同角三角函数的基本关系式【解析】将sinα＋cosα＝①两边平方得：(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝＜0，∵0＜α＜π，∴＜α＜π，∴sinα－cosα＞0，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，即sinα－cosα＝②，联立①②解得：sinα＝，cosα＝，则tanα＝.8.在△ABC中，若cos(A＋B)＞0，sinC＝，则tanC等于()A.B.C.D.【答案】B【考点】同角三角函数的基本关系式【解析】在△ABC中，∵cos(A＋B)＞0，∴0＜A＋B＜，又A＋B＋C＝π，∴＜C＜π，∴cosC＝－＝，∴，故选B.9.一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是S=，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l等于() A.B.C.D.【考点】三角函数的应用【解析】因为周期，所以，则，故选D.10.要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin的图象()A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【答案】A【考点】三角函数图象变换【解析】提取x的系数－，得y＝sin，故选A.11.下列函数中，图象的一部分如图所示的是()A.B.C.D.【答案】D【考点】三角函数图象变换【解析】由图知，∴ω＝＝2.又x＝时，y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求. 12.函数在一个周期内的图象是()A.B.C.D.【答案】A【考点】三角函数的图象与性质【解析】令，则有，再令k＝0，得，可知函数图象与x轴一交点的横坐标为，故可排除C、D，又函数的周期为由选项B知，其函数周期为，故排除B，选A.13.在同一坐标系中，曲线y＝sinx与y＝cosx的图象的交点是()A.B.C.D.【答案】B【考点】三角函数的图象与性质【解析】在同一坐标系中，画出曲线y＝sinx与y＝cosx的图象，观察图形可知选项B正确，14.已知函数的最小正周期为π，为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】A【考点】三角函数图象变换【解析】由，得ω＝2，，的图象向左平移单位，得到的图象．15.若f(x)＝asinx＋b(a，b为常数)的最大值是3，最小值是－5，则的值为()A.-4B.4C.±4D.2【答案】C【考点】三角函数的图象与性质【解析】∵f(x)＝a sin x＋b(a，b为常数)的最大值是3，最小值是－5，∴b＋|a|＝3，且b－|a|＝－5，解得b＝－1，|a|＝4，即b＝－1，a＝±4，∴＝±4.16.已知函数，则f(x)在区间[0，]上的最大值与最小值分别是()A.1，-2B.1，-1C.2，-2D.2,0【答案】A【考点】三角函数的图象与性质【解析】∵，∴，∴当时，即时，函数取得最大值为2－1＝1，当时，即时，函数取得最小值为－×2－1＝－2.17.设函数，则下列结论叙述正确的是()A.周期是，且有一条对称轴为x＝0B.周期是π，且有一条对称轴为x＝0C.周期是2π，且有一条对称轴为x＝πD.非周期函数，但有无数条对称轴【答案】C【考点】三角函数的应用【解析】∵的周期为2π，∴的周期也为2π.又有对称轴，即x＝kπ(k∈Z)，而x＝π为其中一条.18.将函数的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，所得图象关于直线对称，则φ的最小值为()A.B.C.D.【答案】C【考点】三角函数图象变换【解析】将函数的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，可得的图象.再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为.再根据所得图象关于直线对称，可得，即，故φ的最小值为.19.已知sin(α－180°)－sin(270°－α)＝m，则sin(180°＋α)·sin(270°＋α)用m表示为()A.B.C.D.【答案】C【考点】同角三角函数的基本关系式【解析】sin(α－180°)－sin(270°－α)＝－sin(180°－α)－sin[180°＋(90°－α)]＝－sinα＋sin(90°－α)＝cosα－sinα＝m，sin(180°＋α)sin(270°＋α)＝－sinα·(－cosα)＝sinαcosα＝.20.如果函数的图象关于直线x＝π对称，则正实数a的最小值是()A.a＝B.a＝C.a＝D.a＝1【答案】A【考点】三角函数的应用【解析】由，当x＝π时，，因为a＞0，所以当k＝1时，正数a取得最小值是，故选A.21.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值.A.B.C.D.以上都不对【答案】C【考点】三角函数图象变换【解析】∵f(x)在R上是偶函数，∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值.即sinφ＝±1，得φ＝kπ＋，k∈Z，又0≤φ≤π，∴φ＝.由图象关于M对称可知，解得又f(x)在上是单调函数，∴T≥π，即≥π，∴ω≤2，又ω＞0，∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2.22.已知函数y＝tanωx在上是减函数，则()A. 0＜ω≤1B. －1≤ω＜0C.ω≥1D.ω≤－1【答案】B【考点】三角函数的图象与性质【解析】由题意知ω＜0，且周期≥π，∴|ω|≤1，即－ω≤1，∴－1≤ω＜0.23.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立，且f()＞f(π)，则f(x)的单调递增区间是()A.[kπ－，kπ＋](k∈Z)B.[kπ，kπ＋](k∈Z)C.[kπ＋，kπ＋](k∈Z)D.[kπ－，kπ](k∈Z)【答案】C【考点】三角函数的应用【解析】若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立，则f()等于函数的最大值或最小值，即2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，则φ＝kπ＋，k∈Z.又f()＞f(π)，即sinφ＜0，令k＝－1，此时φ＝－，满足条件.令2x－∈[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z，解得x∈[kπ＋，kπ＋](k∈Z).。
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必修4 任意角和弧度制、任意角的三角函数各题型与练习
题型一 角的概念辨析
例1 下列各命题正确的是（ ）
A ．0°~90°的角是第一象限角
B ．第一象限角都是锐角
C ．锐角都是第一象限角
D ．小于90°的角都是锐角
题型二 终边相同的角
例2 与-457°角终边相等的角的集合是（ ）
A ．}{Z k k ∈︒+︒⋅=，457360|αα
B ．}{Z k k ∈︒+︒⋅=，97360|αα
C ．}{Z k k ∈︒+︒⋅=，263360|αα
D ．}{Z k k ∈︒-︒⋅=，263360|αα
例3 如果角α与β终边相同，则有（ ）
A ．α-β=π
B ．α+β=0
C ．α-β=2k π（k ∈Z ）
D ．α+β=2k π（k ∈Z ） 题型三 已知角α所在象限，求角2α、2α
所在象限问题
例4 已知角α是第二象限角，求角2α是第几象限角
例5 若α是第一象限角，则2α
是第几象限角？
题型四 弧度制的概念问题
例6 下列诸命题中，假命题是（ ）
A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B ．一度的角是周角的3601，一弧度的角是周角的π21
C ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位
D ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关
题型五 角度与弧度互化问题
例7 （1）将112°30′化为弧度 （2）将125π
-rad 化为度
题型六 与弧长、扇形面积有关问题
例8 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，试求扇形的中心角的弧度数
题型七 用弧度表示终边相同角的问题
例9 将-1485°表示成Z k k ∈+,2απ的形式，且πα20<≤
题型八 由两角终边的位置确定两角的关系
例10 若角α、β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系一定是（ ）
A ．α=-β
B ．α=180°+β
C ．α=k ·360°+β（k ∈Z ） D. α= k ·360°+180°+β（k ∈Z ）
题型九 分类讨论
例11 α是第二象限角，则3
α是第几象限角？
题型十 函数思想
例12 扇形的周长C 一定时，它的圆心角θ取何值才能使该扇形面积S 最大？最大值是多少？
题型十一 实际应用题
例13 经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？
题型十二 数学与应用
例14 一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2km ，一列火车用每小时30km 的速度通过，10s 间
转过多少弧度？
题型十三 三角函数的定义及应用
例15 已知角θ终边上一点P （x ,3）（x ≠0），且x 1010cos =
θ，求θθtan ,sin
题型十四 三角函数值在各象限的符号
例16 下列各三角函数值：①sin 1125°；②1237sin 1237tan
ππ⋅；③4
cos 4sin ；④1cos 1sin -.其中为负值的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
一、选择题
1．sin(－270°)＝( )
A ．－1
B ．0 C.12 D ．1 2．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( )
A.π3
B.2π3
C. 3
D. 2
3．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是( )
A.π3
B.π6 C ．－π3 D ．－π6
4．已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π3 D.11π6
5．已知θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，以下四个答案中，可能正确的是( )
A ．－3
B ．3或13
C ．－13
D ．－3或－13
6．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )
二、填空题
7．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π＜α＜π}，则M ∩N ＝________.
8．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为________．
9．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则α的取值范围是________．
三、解答题
10．已知α＝π3.
(1)写出所有与α终边相同的角；
(3)若角β与α终边相同，则β2是第几象限的角？
11．已知|cos θ|＝－cos θ，且tan θ＜0，试判断
sin (cos θ)cos (sin θ)
的符号．
提升 1．设α角属于第二象限，且|cos α2|＝－cos α2，则α2
角属于( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选C.2k π＋π2<α<2k π＋π (k ∈Z )，k π＋π4<α2<k π＋π2
(k ∈Z )． 当k ＝2n (n ∈Z )时，α2终边在第一象限；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，α2
终边在第三象限． 而|cos α2|＝－cos α2⇒cos α2≤0，∴α2
终边在第三象限． 2．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈(π2
，π)，则cos α＝________. 解析：∵θ∈(π2，π)，∴cos θ<0，r ＝5|cos θ|＝－5cos θ，∴cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35
. 3．(1)求函数y ＝2cos x －1的定义域；
(2)求满足tan x ＝－1的角x 的集合．
解：(1)如图，∵2cos x －1≥0，
∴cos x ≥12
. ∴函数定义域为[2k π－π3，2k π＋π3
](k ∈Z )．
(2)在单位圆过点A (1,0)的切线上取AT ＝－1，连结OT ，OT 所在直线与单位圆交于P 1、P 2，则OP 1或OP 2是角α
的终边，则α的取值集合是{α|α＝3π4＋2k π或α＝7π4
＋2k π，k ∈Z }．如图． 4．已知1|sin α|＝－1sin α
，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M (35
，m )，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α
可知sin α<0， ∴α是第三或第四象限角或y 轴的负半轴上的角．
由lg(cos α)有意义可知cos α>0，∴α是第一或第四象限角或x 轴的正半轴上的角．
综上可知角α是第四象限的角．
(2)∵点M (3，m )在单位圆上，
∴(3
2＋m2＝1，解得m＝±45.又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－45.由正弦函数的定义可知sin α＝－45. 5)。