中考总复习之最短路径问题
初中数学——最短路径问题常见题型及解题方法
初中数学——最短路径问题常见题型及解题方法
两点在直线同侧的最短路径问题
给出一条直线，A、B两点在直线的同侧，要在直线上找到一个点，使这个点到A点和到B点的距离最短。
步骤：
①找到A（或B）关于直线的对称点P
②连接PB（PA）交直线于O，点O就是所要找的点
造桥选址问题
A、B在一条河的两岸，要在河上造一座桥MN，使A到B的路径AMNB最短。
步骤：
①作出河的宽度M′N′
②将M′N′平移，使M′向A点平移，N′向A′点平移，即AA′=M′N′
③连接A′B与河岸b交于N点
④过N点作直线a的垂线，垂足为M 。
则MN就是桥的位置.
涉及到两个动点的最短路径问题
给出一个正方形，已知两个定点和两个动点，
要在直线上找到这两个动点，使这四个点所围的四边形周长最小。
步骤：
①找到两个定点关于正方形的边的对称点，
②连接两个对称点，和正方形边的两边有两个交点。
③交点就是动点的位置
例题：
（2015，广西玉林、防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．
思路：。
类型11 最短路径类问题(精选20题) 2020年中考数学 三轮冲刺 难点题型突破
最短路径类问题1．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm2．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm3．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．5B．25C．10+5D．354．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）dm．A．20B．25C．30D．355．如图，点A是正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）A．3B．C．D．46．如图所示，是一圆柱体，已知圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝10，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬行到对角C处去捕食，则它爬行最短路径是（）（本题π取3）．A．13B．3C．D．27．已知如图，圆锥的底面圆的半径为r（r＞0），母线长OA为3r，C为母线OB的中点在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A爬行到点C的最短线路长为（）A．B．C．D．8．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）9．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为cm．10．图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AD是∠BAC的平分线．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABD沿射线DB平移得到△A'B'D'，连接B′C，D′C，则B'C+D'C的最小值是．13．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4，D是AC的中点，P是AB上一动点，则CP+PD的最小值为．14．如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，点E，F分别是AB，BC边上的两个动点，且EF＝12，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则GH+CH的最小值为．15．如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为BC中点，AD＝4，P为AB 上一个动点，当P点运动时，PC+PD的最小值为．16．如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，有两种方案备选择．方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）（如图2）；方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM（即AM+BM）（如图3）．从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，若快艇Q在CD之间（即点Q在线段CD上），当DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形，请直接写出结果．17．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是度．（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，且AC是DE的中垂线．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）连接CE，写出BD和CE的数量关系．并说明理由；（3）当∠BAC＝90°，BC＝8时，在AD上找一点P，使得点P到点C与到点E的距离之和最小，求△BCP的面积19．如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图①，在盒子的内部我们先取棱BB1的中点E，再连接AE、EC1．虫乙如果沿路径A﹣E﹣C1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．仔细体会其中的道理，并在图①中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲；（请简要说明画法）（2）如图②，假设昆虫甲从顶点C1，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1秒）20．李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处；（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处；（3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．试题解析1．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm解：如图：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝13（Cm）．故选：A．2．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，∴AB＝2dm，BC＝BC′＝2dm，∴AC2＝22+22＝4+4＝8，∴AC＝2dm，∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝4dm．故选：A．3．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．5B．25C．10+5D．35解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，（1）如图，BD＝10+5＝15，AD＝20，由勾股定理得：AB＝＝＝＝25．（2）如图，BC＝5，AC＝20+10＝30，由勾股定理得，AB＝＝＝＝5．（3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB＝＝＝5；由于25＜5＜5，故选：B．4．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）dm．A．20B．25C．30D．35解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，解得：x＝25（dm）．故选：B．5．如图，点A是正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）A．3B．C．D．4解：如图，AB＝＝．故选：C．6．如图所示，是一圆柱体，已知圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝10，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬行到对角C处去捕食，则它爬行最短路径是（）（本题π取3）．A．13B．3C．D．2解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．在RT△ADC中，∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD为底面半圆弧长，AD＝5π＝15，所以AC＝＝3，此时考虑一种情况就是蚂蚁在圆柱体上方走直径这一情况：即路程为AB+R BC＝3+10＝13∵13＜3∴最短路径为13．故选：A．7．已知如图，圆锥的底面圆的半径为r（r＞0），母线长OA为3r，C为母线OB的中点在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A爬行到点C的最短线路长为（）A．B．C．D．解：由题意知，底面圆的直径为2r，故底面周长等于2rπ，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2rπ＝，解得n＝120，所以展开图中扇形的圆心角为120°，∴∠AOA′＝120°，∴∠1＝60°，过C作CF⊥OA，∵C为OB中点，BO＝3r，∴OC＝r，∵∠1＝60°，∴∠OCF＝30°，∴FO＝r，∴CF2＝CO2﹣OF2＝r2，∵AO＝3r，FO＝r，∴AF＝r，∴AC2＝AF2+FC2＝r2+r2＝r2，∴AC＝，故选：B．8．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为3cm．（结果保留π）解：如图所示，∵无弹性的丝带从A至C，绕了1.5圈，∴展开后AB＝1.5×2π＝3πcm，BC＝3cm，由勾股定理得：AC＝＝＝3cm．故答案为：3．9．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为13cm．解：∵P A＝2×（4+2）＝12，QA＝5∴PQ＝13．故答案为：13．10．图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3+3）cm．解：如图所示：△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，在Rt△BCD中，CD＝＝6cm，∴BE＝CD＝3cm，在Rt△ACE中，AE＝＝3cm，∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3+3）cm．故答案为：（3+3）．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AD是∠BAC的平分线．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+PQ＝EQ取最小值，如图所示．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，∴AB＝═15．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠EAD，在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AE＝AC＝9．∵EQ⊥AC，∠ACB＝90°，∴EQ∥BC，∴，即，∴EQ＝，故答案为．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABD沿射线DB平移得到△A'B'D'，连接B′C，D′C，则B'C+D'C的最小值是．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝1，∠A＝90°，∴＝2，∵将△ABD沿射线DB平移得到△A'B'D'，∴B′D′＝BD＝2，作点C关于BD的对称点G，连接CG交BD于E，连接D′G，则CD′＝GD′CE⊥BD，CG＝2CE，∵CE＝＝＝，∴CG＝，以B′D′，GD′为邻边作平行四边形B′D′GH，则B′H＝D′G＝CD′，当C，B′，H在同一条直线上时，CB′+B′H最短，则B'C+D'C的最小值＝CH，∵四边形B′D′GH是平行四边形，∴HG＝B′D′＝2，HG∥B′D′，∴HG⊥CG，∴CH＝＝，故答案为：．13．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4，D是AC的中点，P是AB上一动点，则CP+PD的最小值为2．本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．14．如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，点E，F分别是AB，BC边上的两个动点，且EF＝12，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则GH+CH的最小值为44．解：由已知，点G在以B圆心，5为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．作C关于AD的对称点C′，连接C′B，交AD于H，交以D为圆心，以5为半径的圆于G，由两点之间线段最短，此时C′B的值最小最小值为＝＝50，则GH+CH的最小值＝50﹣6＝44，故答案为：44．15．如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为BC中点，AD＝4，P为AB 上一个动点，当P点运动时，PC+PD的最小值为4．解：设CD＝x，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为BC中点，∴AC＝BC＝2x，∵AD＝4，∴（2x）2+x2＝42，∴x＝（负值舍去），∴CD＝，∴AC＝BC＝，作点C关于AB对称点C′，则OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接BC′．此时DP+CP＝DP+PC′＝DC′的值最小．∵BD＝CD＝，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，∴∠CBC′＝90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，∴BC＝BC′＝，根据勾股定理可得DC′＝＝4．故答案为：4．16．如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，有两种方案备选择．方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）（如图2）；方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM（即AM+BM）（如图3）．从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，若快艇Q在CD之间（即点Q在线段CD上），当DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形，请直接写出结果．解：（1）方案1：AC+AB＝1+5＝6，方案2：，∵，∴方案1更合适；（2）（方法不唯一）如图，①若AQ1＝AB＝5或AQ4＝AB＝5时，（或）＞4∴（不合题意，舍去）②若AB＝BQ2＝5或AB＝BQ5＝5时，，③当AQ3＝BQ3时，设DQ3＝x，则有x2+42＝（4﹣x）2+128x＝1∴，即：；故当DQ＝3或时，△ABQ为等腰三角形．17．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是50度．（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70°，∴∠A＝40°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，∴∠ANM＝90°，∴∠NMA＝50°，故答案为：50；（2）①∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴△MBC的周长＝BM+CM+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC，∵AB＝8，△MBC的周长是14，∴BC＝14﹣8＝6；②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，理由：∵PB+PC＝P A+PC，P A+PC≥AC，∴P与M重合时，P A+PC＝AC，此时PB+PC最小，∴△PBC周长的最小值＝AC+BC＝8+6＝14．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，且AC是DE的中垂线．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）连接CE，写出BD和CE的数量关系．并说明理由；（3）当∠BAC＝90°，BC＝8时，在AD上找一点P，使得点P到点C与到点E的距离之和最小，求△BCP的面积解：（1）∵AB＝AC，AD是中线，∴∠BAD＝∠CAD；（2）连接EC．结论：BD＝CE．理由：∵AD是中线，∴BD＝CD，∵AD，AE关于AC对称，∴CD＝CE，∴BD＝CE；（3）连接BE交AD于点P，此时PE+PC的值最小．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝DC＝4，∴AD＝AE＝4，由题意AE∥BD，AE＝AD＝BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴P A＝PD＝2，∵PD⊥BC，∴S△BCP＝×8×2＝819．如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图①，在盒子的内部我们先取棱BB1的中点E，再连接AE、EC1．虫乙如果沿路径A﹣E﹣C1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．仔细体会其中的道理，并在图①中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲；（请简要说明画法）（2）如图②，假设昆虫甲从顶点C1，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1秒）解：（1）画出图①中A⇒E2⇒C1，A⇒E3⇒C1，A⇒E4⇒C1中任意一条路径；（E1、E2、E3分别为各棱中点）（说明：无画法，扣2分）（2）由（1）可知，当昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿下列四种路径中的任意一种爬行：可以看出，图②﹣1与图②﹣2中的路径相等，图②﹣3与图②﹣4中的路径相等．①设昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F 爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，如图②﹣1，在Rt△ACF中，（2x）2＝（10﹣x）2+202，解得x＝10；设昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E2→F 爬行捕捉到昆虫甲需y秒钟，如图④﹣4，在Rt△ABF中，（2y）2＝（20﹣y）2+102，解得y≈8；所以昆虫乙从顶点A爬行捕捉到昆虫甲至少需8秒钟．[说明]未考虑到A→E→F和图④中其它路径，而直接按路径A→E→F（或A→E→F）计算，并求出正确答案的不扣分．20．李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处；（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处；（3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．解：（1）（cm）；（2）画图分两种情况：①当横向剪开时：（cm），②当竖向剪开时：（cm）；∵，∴最短路程为cm．（3）如图所示：连接AA1，过点O作OD⊥AA1于点D，在Rt△ADO和Rt△A1DO中，∵OA＝OA1，∴AD＝A1D，∠AOD＝∠AOA1＝60°，∴AD＝OA sin60°＝4×＝2（cm），∴AA1＝2AD＝4（cm），∴所求的最短的路程为AA1＝cm．。
中考专题复习——最短路径问题(有答案)
B CD AL 中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。
（构建“对称模型”实现转化） 三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是 。
②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。
②如图，直线L 同侧有两点A 、B ，已知A 、B 到直线L 的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L 上找一个点P ，使PA+PB 的和最小。
请在图中找出点P 的位置，并计算PA+PB 的最小值。
③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km 和3Km ，张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为 。
四、练习题（巩固提高）张村李庄ABCD 图(2)EBDACP图(3)D OP（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。
3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。
4、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN的最小值为 。
第4题 第5题 第6题 第7题5、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 。
中考数学《最短路径问题1》专题复习
中考压轴题（4）最短路径问题1【典型例题】1．如图，点A、B分别在直线m的上方．（1）在直线m上找到点P，使得AP BP+最短．（要求：保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，若点A、B到直线m的距离分别为3.5cm、8.5cm，且点B在点A的东北方向，则AP BP+的最短距离为______cm．2．如图，在45⨯的网格中，最小正方形的边长为1，A，B，C，D均为格点（最小正方形的顶点）．（1）如图1，在网格中画出一个以AB为一边且与△ABC全等的格点三角形，△ABC的面积为．（2）如图2，在线段AB上画出一点P，使CP PD+最小，其最小值为__________．知识点思想方法步骤其他【对应练习】3．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点△ABC顶点均在格点上关于直线DE对称的111CBA∆；（2）在DE上画出点P，使1PB PC+最小；（3）在DE上画出点Q，使1QB QC-最大4．如图，在旷野上，一个人骑着马从A地到B地，半路上他必须让马先到河岸l的P点去饮水，然后再让马到河岸m的Q点再次饮水，最后到达B点，他应该如何选择马饮水地点P、Q，才能使所走路程AP PQ QB++最短？（假设河岸l、m为直线）5．在桌面上放了一个正方体盒子，如图，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B处找食物，你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗？要是爬到顶点C呢？6．有一根底面周长为30cm，高2米的圆柱形枯木，一条长藤自根部缠绕向上，缠了五周刚好到达顶部，这条长藤最短有多长？7．一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是12 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少？8．已知点P在∠MON内．（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP.①若∠MON=50°，则∠GOH=______°；②若OP=5，连接GH，请说明当∠MON 为°时，GH=10；（2）如图2，若∠MON=60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．9．（源模：模型建立）白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，从而解决距高和最短的一类问题．“将军饮马”问题的数学模型如图所示：（新模1：模型应用）如图1，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且1BE=，F为对角线AC上一动点，欲使BFE△周长最小．（1）在图中确定点F的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）；（2）BFE△周长的最小值为______．（新模2：模型变式）（3）如图2，在矩形ABCD中，5AB=，4=AD，在矩形ABCD内部有一动点P，满足14PAB ABCDS S=矩形△，则点P到A，B两点的距离和PA PB+的最小值为．（超模：模型拓广）（4）如图3，90ABD BDE∠=∠=︒，2AB=，3BD DE==．请构造合理的数学模型，并借助模()22439x x+-+()0x>的最小值．。
中考专题复习——最短路径问题
word专业资料-可复制编辑-欢迎下载A B C DABABL A BCDDO CP中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。
（构建“对称模型”实现转化）三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是。
②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。
例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。
②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。
请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。
③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。
四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。
2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为。
3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为。
4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN第2题张村李庄张村李庄AABB第1题第3题图(2)EBDACP＋MN 的最小值为 。
第4题 第5题 第6题 第7题 5、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 。
初中数学中考复习专题 最短路径问题 (24张PPT)
【例题分层探究】 问题 1：边 CD 是定值，此问题可转化为计算 CE＋DE 的最小值问题． 问题 2：线段 CD，EF 均为定值，此问题可借助轴对称 求最短路径的方法计算出 DE＋CF 的最小值．
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT） 初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
∵C(0,-5) ∴C′(0,5) ∴直线C′D为y=-7x+5
D(2,-9)
ME
x
AO
B
∴y=0 ， 即-7x+5=0 ∴m=5 ∕ 7
∴x=5 ∕ 7
C D
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
中考链接
24 如图 Z8－3，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的
A
B l
在直线l上求一 点P，使 PA+PB值最小
作B关于l 的对称点 B＇，连A B＇与l交 点即为P
图形
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
问题3
作法
l1
P
分别作点P关于
l2
两直线的对称
在直线l1、l2上 点P＇和P＂，连 分别求点M P＇P＂与两直线
AM+MN+NB的 值最小．
作点A关于l2的 对称点A＇，作 点B关于l1的对 称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段 最短．
AM+MN+NB 的最小值为线 段A＇B＇的
中考数学《最短路径问题2》专题复习
中考压轴题（5）最短路径问题2【典型例题】1．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_______．2．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．点A、B、M、N均在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹．（1）在图①中的线段MN上确定一点P，使PA+PB的值最小．（2）在图②中的线段MN上确定两点C、D，使CD=2，且AC+CD+DB的值最小．知识点思想方法步骤其他【对应练习】3．如图，在Rt ABC中，90ACB∠︒＝，6AC=，8BC=，AD平分CAB∠交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，求CE EF+的最小值．4．如图，在锐角ABC中，7AC cm=，221ABCS cm=，AD平分BAC∠，M N、分别是AD和AB 上的动点，求BM MN+的最小值并说明理由.5．如图1，△ABC中AB=AC，DE垂直平分AB分别交AB，AC于点D，E．（1）若∠C=70°，则∠A的大小为；（2）若AE=BC，求∠A的度数；（3）如图2，点M是边BC上的一个定点，若点N在直线DE上，当BN+MN最小时，点N在何处？请用无刻度直尺作出点N的位置．（不需要说明理由，保留作图痕迹）6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点(0,6)B ，AB AC =，AB AC ⊥，30BAO ∠=︒．（1）如图①，若点D 为AB 的中点，求OD 的长；（2）如图②，若点E 在x 轴上，且45OEB ∠=︒，求ACE ∠的度数；（3）如图③，设BF 平分ABO ∠交x 轴于点P ，点M 是射线BF 上一动点，点N 是射线PA 上一动点，OM MN -的最大值为m ，判断是否存在这样点M ，N ，使m 的值最小？若存在，请在答题卷上作出点M ，N ，并直接写出作法和m 的最小值；若不存在，请说明理由．7．阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点()11,A x y ，()22,B x y 之间的位置关系有以下三种情形； ①如果ABx 轴，则12y y =，12AB x x =-②如果AB y ∥轴，则12x x =，12AB y y =-③如果AB 与x 轴、y 轴均不平行，如图，过点A 作与x 轴的平行线与过点B 作与y 轴的平行线相交于点C ，则点C 坐标为()21,x y ，由①得12AC x x =-；由②得12BC y y =-；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式()()221212AB x x y y =-+-． （1）若点A 坐标为(4,6)，点B 坐标为(1,2)则AB =________； （2）若点A 坐标为(3,3)，点B 坐标为(6,6)，点P 是x 轴上的动点，直接写出AP PB +最小值=_______；（3）已知22(6)16(3)4M x x =-++-+，22(6)16(3)4N x x =-+--+根据数形结合，求出M的最小值？N 的最大值？。
【配套K12】中考数学 专题复习六 求最短路径问题
中考数学专题复习学案六求最短路径问题【专题思路剖析】知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
这类问题在中考中出现的频率很高，一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【典型例题赏析】类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题例题1：（2015•辽宁省盘锦,第15题3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为．考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析：连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；由菱形的性质得出∠BPC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出PE=BE，证明△PBE是等边三角形，得出PB=BE=PE=1，即可得出结果．解答：解：连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA=2，∴∠BPC=90°，∵E为BC的中点，∴BE=BC=1，PE=BC=1，∴PE=BE，∵∠DAB=60°，∴∠ABC=120°，∴∠PBE=60°，∴△PBE是等边三角形，∴PB=BE=PE=1，∴PB+BE+PE=3；故答案为：3．点评：本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．【方法点评】本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点．【变式练习】（2015•福建第16题 4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A 长度的最小值是．考点：翻折变换（折叠问题）．.分析：首先由勾股定理求得AC的长度，由轴对称的性质可知BC=CB′=3，当B′A有最小值时，即AB′+CB′有最小值，由两点之间线段最短可知当A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值．解答：解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC===4，由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∴当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值，∴AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1．故答案为：1．点评：本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理和线段的性质，将求B′A的最小值转化为求AB′+CB′的最小值是解题的关键．类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题例题2：（2015•四川凉山州第26题5分）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．考点：菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题．.分析：点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可．解答：解：连接ED，如图，∵点B的对称点是点D，∴DP=BP，∴ED即为EP+BP最短，∵四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°，∴点D的坐标为（1，），∴点C的坐标为（3，），∴可得直线OC的解析式为：y=x，∵点E的坐标为（﹣1，0），∴可得直线ED的解析式为：y=（1+）x﹣1，∵点P是直线OC和直线ED的交点，∴点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点P的坐标为（），故答案为：（）．点评：此题考查菱形的性质，关键是根据一次函数与方程组的关系，得出两直线的解析式，求出其交点坐标．【方法点评】“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可．【变式练习】（2015•营口，第10题3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°考点：轴对称-最短路线问题．分析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．解答：解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴CM+DN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故选：B．点评：本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．类型3、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。
初中数学_中考专题复习——最短路径问题教学设计学情分析教材分析课后反思
中考专题复习教学目标知识与技能1.建立数学模型，能利用轴对称变换找对称点，并用两点之间线段最短的方法来求最短路径。
2.借助特殊四边形、一次函数、反比例函数以及二次函数的图像等这些基本图形，运用对称变换的方法，能清晰的抓住求最短路径问题的本质。
3．在探索最短路径的过程中，体会轴对称、“桥梁”作用，感悟转化思想，一题多解，一题多变的思想。
过程与方法经历探索最短路径过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，培养学生的解题技能技巧。
情感态度与价值观体验数学活动来源于生活又服务于生活，体会异侧直接连，同侧找对称点，提高学生的学习兴趣。
重点利用轴对称数学知识，将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题，增强解决实际问题的能力。
掌握解决问题的方法和技巧。
难点综合运用轴对称数学知识，将同侧的两定点通过轴对称变换转化到已侧，从而借助两点之间线段最短解决线段和（周长）最小值问题。
活动一：旧知回顾师生行为设计意图问题1 A，B是路边两个新建小区，要在路边增设一个公共汽车站C。
使两个小区到车站的路程最短，该公共汽车站应建在什么地方？问题2相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？师生集体宣誓师：提出问题。
生：讨论交流，板书作图过程师：提出问题导入课题。
师：请思考问题1和问题2的相同点是解决的那类问题？不同点是什么？解决问题的方法和技巧是什么？1、活跃课堂气氛，使学生在轻松愉快的环境中学习。
2、复习两点之间线段最短，从而引出课题3、渗透转化思想，了解解题方法和解题技巧。
4、建立数学模型：将军饮马问题5、探究解题方法：异侧直接连，同侧找对称点6、发现解题技巧活动二：典题赏析类型一：四边形中的最短路径问题培养学生善于思考、善于观察的良好习惯例1 生：一生读题一生解答师：配合学生完成审题过程师：提出新问题若本题其它条件不变。
中考复习之——《最短路径问题》
中考复习之——《最短路径问题》【问题概述】最短路径问题是图形研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图中两点之间的最短（长）路径．算法具体形式包括：①确定起点的最短路径问题 —— 即已知起始结点，求最短路径的问题． ②确定终点的最短路径问题 ——与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 —— 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 —— 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”，“点圆距离”，“捆绑旋转（瓜豆原理）”等． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十四个基本问题】图形在直线 l 上求一点 P ，使PB 值最小．图形在直线 l 1 、l 2 上分别求点图形图形在直线l 上求两点M、在左），使MN = a ，图形图形在直线l 上求一点P在直线l 上求一点P，使在直线l 上求一点P，使PB 的值最大．图形图形造正△ADE，使HE最小。
1.（2017徐州模拟）如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且C B 为60°，D 为C B的中点，P 是直径AB 上一动点，则PC ＋PD 的最小值为 。
2.（2017南通中考）如图，矩形ABCD 中，AB=10，BC=5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的各边上，且AE=CG ，BF=DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为 。
3.（2017徐州模拟）如图，已知N （1,0），直线2+-=x y 与两坐标轴分别交于A 、B 两点，M 、P 分别是线段OB 、AB 上的动点，则PM+MN 的最小值是 。
4.（2016无锡模拟）如图，在△ABC 中，AC=6，∠BAC=22.5°，M 、N 分别是射线AB 和AC 上的动点，则CM+MN 的最小值是 。
最短路径问题(中考复习)
m的函数关系式，s是否存在最大值，若存在，求出最大值，若
不存在，说明理由。
y
A
O
Bx
P
C
一点两线型：
例：如图，∠AOB=45，角内有一动点P ，
PO=10，在AO，BO上有两动点QR，求
△PQR周长的最小值。
.
P1
A
P Q
45°
O
R
B
P2
两点两线型：
饮马模型: 如图牧马人从A地出发，先到草地边 某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画 出最短路径。
一所候车亭P，要使候车亭到村庄A到公路的距离 最短，试确定候车亭P的位置。
A
∟
P P′
l
★理论依据： 垂线段最短.
。
1.如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+2
上运动,过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩
形ABCD,连接BD,则对角线BD的最小值为
.
∟
H
2、如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴
距离AC=8,B到MN的距离BD=5,CD=4,P在直线MN
上运动,则｜PA-PB ｜的最大值为：
。
H P
2线（、1已 ）y2 知求点反12 x比A 12（例1函与，数双a）解曲是析线反式交比于例B函、数D两y点1 ，mx 且上B一（点3，，直-1） （2）求点D的坐标，并直接写出y1<y2时的取值范围。 （3）动点P在x轴正半轴上运动，当线段PA与PB之差 最大时求P点坐标。
AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针
转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF
的最小值是
．
【初中数学】最短路径模型及例题解析
【初中数学】最短路径模型及例题解析一、最短路径模型简介在日常生活中，我们常常会遇到寻找从一个地点到另一个地点的最短路径问题。
例如，从家到学校、从甲地到乙地等。
在数学领域，最短路径问题属于图论的研究范畴，是图论中的一个基本问题。
最短路径模型就是用来解决这类问题的一种数学方法。
最短路径模型主要包括以下几个要素：1. 图：由顶点（地点）和边（路径）组成的集合。
2. 距离：表示两个顶点之间的距离或权重。
3. 路径：从一个顶点到另一个顶点经过的边的序列。
4. 最短路径：在所有路径中，长度最小的路径。
二、最短路径模型的求解方法1. 枚举法：枚举所有可能的路径，然后从中选择长度最小的路径。
这种方法适用于顶点数量较少的简单图。
2. Dijkstra算法：适用于带权重的有向图，通过逐步求解，找到从源点到其他所有顶点的最短路径。
3. Floyd算法：适用于求解任意两个顶点之间的最短路径，通过动态规划的方法，求解所有顶点对之间的最短路径。
三、例题解析【例题1】某城市有6个主要交通枢纽，分别用A、B、C、D、E、F表示。
下面是这6个交通枢纽之间的距离表（单位：千米）：```A B C D E FA 0 5 7 8 9 10B 5 0 6 7 8 9C 7 6 0 4 5 6D 8 7 4 0 3 4E 9 8 5 3 0 2F 10 9 6 4 2 0```求从A到F的最短路径。
【解析】这是一个典型的最短路径问题，我们可以使用Dijkstra算法求解。
1. 初始化：将所有顶点的距离设置为无穷大，源点A的距离设置为0。
2. 选取距离最小的顶点，标记为已访问。
此时，A为已访问顶点。
3. 更新相邻顶点的距离：从A出发，更新B、C、D、E、F的距离。
此时，B、C、D、E、F的距离分别为5、7、8、9、10。
4. 重复步骤2和3，直到所有顶点都被访问。
最后得到的最短路径为A→B→E→F，长度为14千米。
【例题2】某城市有5个公园，分别用P1、P2、P3、P4、P5表示。
中考数学-最短路径(将军饮马)问题(无答案)
最短路径（将军饮马）问题与拓展相关定理或公理：①线段公理：两点之间，线段最短。
由此可以推出两边之和大于第三边；②垂线段性质：垂线段最短。
问题提出：唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。
”诗中隐隐含着一个有趣的数学问题。
如图，将军在观望烽火后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后再走到B 点的营地。
怎样走才能使总的路程最短？模型【1】一定直线，异侧两定点已知：直线l 和它异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使＋最小模型【2】一定直线，同侧两定点已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使＋最小模型【3】两定直线，两定点 已知：∠内部有两点P、Q A 、B ，使四边形周长最小 模型【4】两定直线，一定点已知：∠内部有一点P 在、上分别作点A 、B ，使△周长最小模型【5】两定直线，一定点 已知：∠内部有一点P 在、上分别作点A 、B ，使＋最小注意：模型4与模型5的联系与区别变式：线段之差最大问题 模型【6】一定直线，同侧两定点已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P 模型【7】一定直线，异侧两定点 已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使︱－︱最大造桥选址问题利用平移变换进行造桥选址，是平移变换的一个重要应用。
原题再现如图1，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥。
桥造在何处才能使从A 到B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥与河垂直）。
（人教版八年级上册第86页）变式拓展模型【8】一定直线及直线上一长度不变的线段，同侧两定点已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线求作一条线段（长度不变），使＋＋最小巩固练习1、如图，在四边形中，∠B ＝∠D ＝90°，∠＝110°，在上存在一点M ，在上存在点N ，使△的周长最短，则∠的度数为 ；2、如图，△中，＝3，＝4，＝5， 分别为、上的动点，连接、，则＋的最小值是 3、如图，若＝4，∠＝30°，在上有一动点上有一动点N ，则周长的最小值是4、如图，△在平面直角坐标系中，且，1)、 若M （1，0）、N （a ，0）l AO N 第1题图 DC B AB直接写出a的值是．几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．例1、如图，△是等边三角形，边长为6，⊥，垂足是点D，点E为直线上一点，以为边作等边三角形，则的最小值是A练习：1、如图，△是等边三角形，边长为6，点最小值是2、平面直角坐标系中，C(0，4)，K(2，0)，AA在x轴上运动，取最小值时，点B。
中考专题立体图形中的最短路径问题
中考复习专题1——立体几何中的最短路径问题 姓名： （蚂蚁沿阶梯、正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题）1、台阶问题 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想， 这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？2、圆柱问题 有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？变式1：有一圆柱形油罐，已知油罐底面圆周长是12m ，高AB是5m ，要从点A处开始绕油罐一周建造 梯子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子最短有多长？变式2： 桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米 的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的 B 处时，突然发现了蜜糖。
问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。
3、正方体问题 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是（ ）. （A ）3 （B ） 5 （C ）2 （D ）1A BABcABCABD C D 1C 1①421AC 1=√42+32=√25;②A B B 1CA 1C 1412AC 1=√62+12=√37;A B 1D 1D A 1C 1③412AC 1=√52+22=√29 .4、长方体问题 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？分析：展开图如图所示，372925<<路线①即为所求。
小结：长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边， 斜边长即为最短路线长。
5、圆锥问题 如图，已知O 为圆锥的顶点，MN 为圆锥底面的直径，一只蜗牛从M 点出发，绕圆锥侧面爬行到N 点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（ ）．练习：1、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计）， 圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。
初中数学最短路径问题
初中数学最短路径问题在初中数学中，最短路径问题是经常出现的一类问题，它涉及到轴对称、坐标轴、一次函数、三角函数以及两点之间的距离公式等多个方面。
下面将分别对这些问题进行介绍和解析。
1.轴对称与最短路径轴对称是最基本的一种对称形式，是指在平面内，将一个图形沿一条直线折叠，使得直线两旁的部分能够完全重合。
在最短路径问题中，轴对称可以用来寻找两点之间的最短路径。
例如，在一条直线上有两个点A和B，要求找到A到B的最短路径，可以通过作A关于直线对称的点A'，然后连接A'和B，得到的线段A'B就是最短路径。
2.坐标轴上的最短路径在坐标轴上，最短路径问题通常涉及到两点之间的距离。
在x轴和y轴上分别有点A(x1,0)和B(0,y1)，那么A到B的最短路径就是在x轴和y轴上分别截取两个点C(x2,0)和D(0,y2)，使得AC=BD，那么线段AB就是最短路径。
3.一次函数与最短路径在一次函数中，最短路径问题通常涉及到函数的单调性和最值。
例如，在一条直线上有点A(x1,y1)，有点B(x2,y2)，要求找到A到B的最短路径，可以通过作A关于直线对称的点A'，然后连接A'和B，得到的线段A'B就是最短路径。
在这个过程中，可以运用一次函数的单调性和最值来计算最短路径的长度。
4.三角函数与最短路径在三角函数中，最短路径问题通常涉及到角度和长度之间的关系。
例如，在一张三角形ABC中，有点A(x1,y1)，有点C(x2,y2)，要求找到A到C的最短路径，可以通过作AB边上的一点D，使得AD=CD，那么线段AD就是最短路径。
在这个过程中，可以运用三角函数的性质和定理来计算最短路径的长度。
5.两点之间距离公式在解决最短路径问题时，常常需要使用两点之间距离公式。
这个公式可以用来计算两点之间的直线距离，也可以用来计算两点之间的曲线距离。
例如，在一张三角形ABC中，有点A(x1,y1)，有点C(x2,y2)，要求找到A到C的最短路径，可以先运用两点之间距离公式计算出AC的距离，然后根据三角函数的性质和定理来计算出最短路径的长度。
初中数学中考复习专题 最短路径问题 24张
●
A' ●
P
B ● l
最短路径问题是初中阶段图论研究中的经典算 法问题，旨在寻找图（有结点和路径组成的）中两 结点之间的最短路径算法形式包括：
一、确定起点的最短路径问题
二、确定终点的最短路径问题
三、确定起点、终点的最短路径问题
四、全局最短路径问题
问题原型 “将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”
作B关于l 的对称点B ＇,作直线 A B＇与l 交点即为P
．
图形
原理
三角形任意两边 之差小于第三边 ︱PA-PB︱≤AB＇． ︱PA-PB︱最大值 ＝AB＇
问题12 “费马点”
作法
图形
原理
所求点为“费马点”，
既满足
△ABC中每一 内角都小于
∠APB=∠BPC=∠ APC=1200.以AB、
1200，在 △ABC内求一
AM+MN+NB的 值最小．
作点A关于l2的 对称点A＇，作 点B关于l1的对 称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段 最短．
AM+MN+NB 的最小值为线 段A＇B＇的
长
问题9
作法
A
B l
在直线l上求一 点P，使︱PAPB︱的值最小
连AB， 作AB的 中垂线与 直线l的交 点即为P
AC为边向外作等边 △ABD、△ACE,连
点P，使
CD、BE相交于P，
PA+PB+PC最 点P即为所求点.
小．
两点之间 线段最
短.PA+PB+ PC最小值
=CD.
随堂练习一
如图,已知正方形ABCD，点M为BC边的中点，
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提取数学模型
如图，EF∥MN，要在直线MN、EF上各 找一点C、D使得CD⊥MN，且使AC+CD+DB的 长度和最短
M
F
●B
C
D
A●
N
E
最值问题专题探究
提取数学模型
如图，EF∥MN，要在直线MN、EF上各找 一点C、D使得CD⊥MN，且使AC+CD+DB的长度 和最短
M
C
●
A N
C
AO B
Xx
（1）求 m 的值及抛物线的函数表达式；
（3）若 P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，
X=1
求 P 点坐标
最值问题专题探究
中考中的基本模型
解解： （ ：（11））得得mm== ， ，抛 抛物 物线 线解 解析 析式 式为 为 yy==
xx22++ xx++ ；；
y
C（0，15 ）
最值问题专题探究
思考题
（12 年雅安）在直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2 +bx+c
与 x 轴 交于点 A(1，0)和点 B，顶点为 P. （2）若点 P 的坐标为（－1，k）,k＜0，点 Q 是 y 轴上一 个动点，当 k 为何值时，QB＋QP 取得最小值为 5。
y
B O Ax
P
最值问题专题探究
2012 年中考题展示
最值问题专题探究
最短路径 问题
最短路径问题
如图，A（2，－3），B（4，－1）， 案例一二：若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当
p=____时， △PAP+APBB的的周和长最最短短。。
解：B 点关于x轴的对称点B（1 4，1）
令直线yAB1 kx b, 则
y
解
4k 2k
， PO分别10是 Q 、R 上的动OA点、，O则B
周长△的P最QR小值为
。 10 2
最值问题题探究
M。● 。●
●
基本图形都 为轴对称图形
●
。●
。● N
基本模型在生活中的应用
小组讨论：（北师大八下P95第13题）
甲、乙两个村庄分别位于一条河流的两 旁，现准备合作修建一座天桥。
问：桥建在何处才能使由甲到乙的路线 最短？（注意，桥必须与河流垂直。）
4
P
m 与 x 轴交于点 A( 3 ，0)， A O
为对称轴的抛物线 y ax2 bx c
B x
对称方法
△ACP 的周长取得最小值 最值问题专题探究
X=1
所以P（1，3）
中考中的基本模型
（12 年南宁）已知点 A（3，4），点 B 为直线 x=-1 上的动 点． （3）如图，当点 B 的坐标为（-1，1）时，在 x 轴上另取 两点 E，F，且 EF=1．线段 EF 在 x 轴上平移，线段 EF 平 移至何处时，四边形 ABEF 的周长最小？求出此时点 E 的 坐标．
y
B O Ax
P
最值问题专题探究
归纳、总结
解决求最短路径问题运用了什么（知识）？ 两点之间线段最短
在解决问题的过程中运用了什么（方法）？ 对称、平移
这过程中体现了什么样的数学（思想）？ 实现转化，体现化归的数学思想
最值问题专题探究
没有归纳，就不会提高 没有思考，就没有进步
最值问题专题探究
祝同学们 中考成功
小值是____5___；
。P
最值问题专题探究
基本模型的应用
2、如图，⊙O 的半径为 2，点 A、B、C 在⊙O 上， OA OB ， AOC 60°， P 是 OB 上一动点， 求 PA PC 的最小值___2___3______；
最值问题专题探究
Q
●
。
A’
基本模型的应用
3、如图，AOB 45° ， P 是 AOB 内一点，
X=-1
所以点 E 的坐标为（ 2 ，0）． 5
最值问题专题探究
思考题
（12 年雅安）在直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2 +bx+c
与 x 轴 交于点 A(1，0)和点 B，顶点为 P. （2）若点 P 的坐标为（－1，k）,k＜0，点 Q 是 y 轴上一 个动点，当 k 为何值时，QB＋QP 取得最小值为 5。
最值问题专题探究
F
D
●
A1 E
B
●
平移、对称
中考中的基本模型
（2012 年成都）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次
y
函数 y 5 x m 的图象与 x 轴交于点 A( 3，0)，与 y 轴 4
交于点 C．以直线 x=1 为对称轴的抛物线 y ax2 bx c （ a ≠0)经过 A，C 两点，并与 x 轴的正半轴交于点 B．
y A
最值问题专题探究
B(-
1,1)
DO E F
x
X=-1
基本模型在中考
已知：EF=1
y
A A（3,4
’
）
B(-1,1) O
EF B’
X=-1
x
平移、对称
所以点 E 的坐标为（ 2 ，0）． 5
最值问题专题探究
基本模型在中考
y
已知：EF=1
A（3,4 ）
B(-1,1)
C
● E OF
C ’
x
平移、对称
b b
1 3
得k
2,
b
7
o
● B1 P●
x ●B
y AB1
2x
7,令y
0得x
7 2
●A
则P( 7 , 0)， p 7
2
2
最值问题专题探究
问题回归到教材
源于：七（下）教材P228如图，要在街 道旁 边修建一个奶站,向居民区A,B提供 牛奶,奶站应建 在什么地方,才能使从A,B 到它的距离和最短?
街道
B● A●
最值问题专题探究
基本问题类型
A
1
P
e
要求：DE e
、
B
求PA+PB的最小值
模型特3、点A：三定一动
解决方法C：对称、D平移
2
C
P
e
目到间的一线：条段将直最两线短条上求P线，最段运小E的用值B和两转点化之e
、
B
A
求AD+DE+EB的最小值
最值问题专题探究
基本模型的应用
1、如图，正方形的边长为2，E为AB的中点， P是BD上一动点．连结AP、EP ，则AP+EP的最