勾股定理求最短路径问题课件
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（）
2 10
检测题三、如图所示，一圆柱高8cm， 底面半径2cm，一只蚂蚁从点A沿表 面爬到点B处吃食，要爬行的最短路
程（π取3）是（ ）
10
检测题四
如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方 体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示）， 问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
D1 A1 D
小 结： 把几何体适当展开成平面图
形，再利用“两点之间线段最 短”，或点到直线“垂线段最短” 等性质来解决问题。
一、台阶中的最值问题
A
a
cb
Ａ
a
Ｃ
b
B
c
b c
b
AB= （nb nc）2 a2
c Ｂ
二、正方体中的最值问题
B
C
A
C
2a
B
a
AFra Baidu bibliotek
结论：5a，即由两个正方形组成 的长方形的对角线长
B C
A
C
2
B
1
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
长方体中的最值问题
如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm 和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块 的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体 上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行
的最短路径的长是（ ）
三、长方体中的最值问题
左面和上面
前面和右面
前面和上面
四、圆柱(锥)中的最值问题
底面圆周长的
B
C 一半
B
h
A
结论：圆柱体中的最短路径为展 开图中一半矩形的对角线长
圆柱(锥)中的最值问题
有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只 老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C
B
A
A
分析：由于老鼠是沿着圆柱的
表面爬行的，故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短，可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短 路线.(如图)
A′
B
点食物在B处，恰好一只在A处
的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它
想从A 处爬向B处，你们想一想，
蚂蚁怎么走最近？
A
A’ d
B
A’
B
A
A
蚂蚁A→B的路线
O
B
B
A
A
怎样计算AB？
A’ r
O
B
4
侧面展开图
A
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
AB2 AA2 A' B2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)
A
4
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路
C1 线有三种情况(如图①②③ ),由勾股
B1
1 C
定理可求得图1中AC1爬行的路线最
2 B
短.
D D1
C1
D1
①
D
C1
A1
1
②
B1
C1
1
③
2
C
2
A
4
B2 C
A 1 A1
4
B1
A
4
B
AC1 =√42+32 =√25 ;
AC1 =√62+12 =√37 ; AC1 =√52+22 =√29 .
解：AC = 6 – 1 = 5 ，
BC
=
24
×
1 2
= 12，
在Rt△ABC
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169,
∴AB=13(m) .
正方体中的最值问题
例2、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出
发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.
（A）3
（B） √5
（C）2 （D）1
第一种情况：把我们所看到的前面和 上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，
则所走的最短线段
是
=
第二种情况：把我们看到的左面与上 面组成一个长方形，
；
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是 =
第三种情况：把我们所看到的前面和 右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3，
AB=25
2 Ｂ
长方体中的最值问题（续）
例4、如图，长方体的长
为15 cm，宽为 10 cm，高
为20 cm，点B离点C 5 cm,
一只蚂蚁如果要沿着长方
体的表面从点 A爬到点B，
需要爬行的最短距离是多
少？
A
5B
C
20
15
10
E
5B C
20
15
A 10 F
E C5 B
20
A 10
5
B C
20
15 A 20
B
5 E 10 C
A 10 F
找方法、巧归纳
分别画出立体图形和对应的平面展开图 制作实体模型 归纳出所在直角三角形的两直角边的一般性
规律，并记录在平面图或模型上
检测题一：如图，一只蚂蚁沿边长为 a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，
则它走过的路程最短为（ ）
答案： 5a
检测题二、如图是一个棱长为4cm的 正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点 M处，它到BB1的中点N的最短路线是
所以走的最短线段是 =
三种情况比较而言，第二种情况最短 答案：
台阶中的最值问题
例1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高
分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对
的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，
则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
Ａ
２０
Ｃ
A
20
3
23
２
3
2
B
3
勾股定理 的应用
东湖中学
考考你的记性：
1、勾股定理的文字及符号语言 2、在平面上如何求点与点、点与线的最短路径，
依据什么？ （1）两点之间线段最短 （2）垂线段最短 3、那么如何求某些几何体中的最短路径呢？
勾股定理 的应用之
求解几何体的最 短路线长
例1 如图 在一个底面周长为
20cm,高AA′为4cm的圆柱石凳 上，若小明在吃东西时留下了一
2 10
检测题三、如图所示，一圆柱高8cm， 底面半径2cm，一只蚂蚁从点A沿表 面爬到点B处吃食，要爬行的最短路
程（π取3）是（ ）
10
检测题四
如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方 体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示）， 问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
D1 A1 D
小 结： 把几何体适当展开成平面图
形，再利用“两点之间线段最 短”，或点到直线“垂线段最短” 等性质来解决问题。
一、台阶中的最值问题
A
a
cb
Ａ
a
Ｃ
b
B
c
b c
b
AB= （nb nc）2 a2
c Ｂ
二、正方体中的最值问题
B
C
A
C
2a
B
a
AFra Baidu bibliotek
结论：5a，即由两个正方形组成 的长方形的对角线长
B C
A
C
2
B
1
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
长方体中的最值问题
如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm 和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块 的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体 上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行
的最短路径的长是（ ）
三、长方体中的最值问题
左面和上面
前面和右面
前面和上面
四、圆柱(锥)中的最值问题
底面圆周长的
B
C 一半
B
h
A
结论：圆柱体中的最短路径为展 开图中一半矩形的对角线长
圆柱(锥)中的最值问题
有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只 老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C
B
A
A
分析：由于老鼠是沿着圆柱的
表面爬行的，故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短，可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短 路线.(如图)
A′
B
点食物在B处，恰好一只在A处
的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它
想从A 处爬向B处，你们想一想，
蚂蚁怎么走最近？
A
A’ d
B
A’
B
A
A
蚂蚁A→B的路线
O
B
B
A
A
怎样计算AB？
A’ r
O
B
4
侧面展开图
A
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
AB2 AA2 A' B2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)
A
4
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路
C1 线有三种情况(如图①②③ ),由勾股
B1
1 C
定理可求得图1中AC1爬行的路线最
2 B
短.
D D1
C1
D1
①
D
C1
A1
1
②
B1
C1
1
③
2
C
2
A
4
B2 C
A 1 A1
4
B1
A
4
B
AC1 =√42+32 =√25 ;
AC1 =√62+12 =√37 ; AC1 =√52+22 =√29 .
解：AC = 6 – 1 = 5 ，
BC
=
24
×
1 2
= 12，
在Rt△ABC
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169,
∴AB=13(m) .
正方体中的最值问题
例2、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出
发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.
（A）3
（B） √5
（C）2 （D）1
第一种情况：把我们所看到的前面和 上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，
则所走的最短线段
是
=
第二种情况：把我们看到的左面与上 面组成一个长方形，
；
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是 =
第三种情况：把我们所看到的前面和 右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3，
AB=25
2 Ｂ
长方体中的最值问题（续）
例4、如图，长方体的长
为15 cm，宽为 10 cm，高
为20 cm，点B离点C 5 cm,
一只蚂蚁如果要沿着长方
体的表面从点 A爬到点B，
需要爬行的最短距离是多
少？
A
5B
C
20
15
10
E
5B C
20
15
A 10 F
E C5 B
20
A 10
5
B C
20
15 A 20
B
5 E 10 C
A 10 F
找方法、巧归纳
分别画出立体图形和对应的平面展开图 制作实体模型 归纳出所在直角三角形的两直角边的一般性
规律，并记录在平面图或模型上
检测题一：如图，一只蚂蚁沿边长为 a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，
则它走过的路程最短为（ ）
答案： 5a
检测题二、如图是一个棱长为4cm的 正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点 M处，它到BB1的中点N的最短路线是
所以走的最短线段是 =
三种情况比较而言，第二种情况最短 答案：
台阶中的最值问题
例1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高
分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对
的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，
则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
Ａ
２０
Ｃ
A
20
3
23
２
3
2
B
3
勾股定理 的应用
东湖中学
考考你的记性：
1、勾股定理的文字及符号语言 2、在平面上如何求点与点、点与线的最短路径，
依据什么？ （1）两点之间线段最短 （2）垂线段最短 3、那么如何求某些几何体中的最短路径呢？
勾股定理 的应用之
求解几何体的最 短路线长
例1 如图 在一个底面周长为
20cm,高AA′为4cm的圆柱石凳 上，若小明在吃东西时留下了一