勾股定理求最短路径问题课件
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人教部初二八年级数学下册 运用勾股定理解决最短路径问题 名师教学PPT课件
涉及知识：“两点之间线段最短”， “垂线 段最短”“三角形三边关系”“轴对称”等
解题思路：按对称点实现“折”转“直”
例1 如图所示，在Rt△ABC中， ∠ACB= 90°，AC=BC=2，D是 BC边上的中点.若E是AB边上一 动点，求EC+ED的最小值.
A E
C
DB
例1 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC=BC=2， D是BC边上的中点.若E是AB边上一动点，求EC+ED的最 小值.
所以∠CBF= ∠C'BF. 又∠CAB=∠CBA=45°
所以∠CBC'= 90°. 在Rt△BC'D中，∠DBC'=90°
5 所以C'D= BD2 C' B2 = 12 22 =
A
C'
所以CE+DE=C'E+DE=C'D=. 5
故EC+ED的最小值为 5
F E
C
D
B
初中数学 八年级第二学期
Hale Waihona Puke 最短路径问题的应用之 用勾股定理求两线段和的最小值
新疆和硕县第一中学 刘杨
学习目标: 用勾股定理求两线段和的最小值 （确定起点终点的最短路径问题）
问题概述：最短路径问题是图论研究中的一个 经典算法问题，旨在寻找图(由结点和路径组 成的)中两结点之间的最短路径算法 问题原型：“将军饮马”，
解答:先作出点C关于AB所在直线的对称点C'
连接CC'，交AB于点F，连接C'D,交AB于点E，
连接CE,BC'，
A
C'
如图所示，由对称性可知AB所在直线垂 直平分CC'
解题思路：按对称点实现“折”转“直”
例1 如图所示，在Rt△ABC中， ∠ACB= 90°，AC=BC=2，D是 BC边上的中点.若E是AB边上一 动点，求EC+ED的最小值.
A E
C
DB
例1 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC=BC=2， D是BC边上的中点.若E是AB边上一动点，求EC+ED的最 小值.
所以∠CBF= ∠C'BF. 又∠CAB=∠CBA=45°
所以∠CBC'= 90°. 在Rt△BC'D中，∠DBC'=90°
5 所以C'D= BD2 C' B2 = 12 22 =
A
C'
所以CE+DE=C'E+DE=C'D=. 5
故EC+ED的最小值为 5
F E
C
D
B
初中数学 八年级第二学期
Hale Waihona Puke 最短路径问题的应用之 用勾股定理求两线段和的最小值
新疆和硕县第一中学 刘杨
学习目标: 用勾股定理求两线段和的最小值 （确定起点终点的最短路径问题）
问题概述：最短路径问题是图论研究中的一个 经典算法问题，旨在寻找图(由结点和路径组 成的)中两结点之间的最短路径算法 问题原型：“将军饮马”，
解答:先作出点C关于AB所在直线的对称点C'
连接CC'，交AB于点F，连接C'D,交AB于点E，
连接CE,BC'，
A
C'
如图所示，由对称性可知AB所在直线垂 直平分CC'
勾股定理—最短路径和折叠问题问题 课件
B
A O'
A O'
二、解决问题
方案1： OB
O B
方案2： OB
O B
A O'
A O'
A A O'
A O'
A
方案3： OBLeabharlann O B方案4： OB
O B
A O'
A
A A O'
A
A
O'
O'
二、解决问题
• 问题1. 有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等
于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点
B C
A
C
2
B
1
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
四、长方体中的最值问题
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A
出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三 条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短
路线长为多少？
D1 A1 D
A
4
C1
B1
1 C
2 B
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路 线有三种情况(如图①②③ ),由勾股 定理可求得图1中AC1爬行的路线最 短.
A
6
6E x
4
x 8-x C
Ｄ D
第8题图
B
练习:三角形ABC是等腰三角形
AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向
对折，再将CD折叠到CA边上，折痕为
CE，求三角形ACE的面积
A
A
A
12-x 8
12
13
x E x
D1 5
B D C D5 C D5 C
用勾股定理求最短路径课件
左面和上面
前面和右面
前面和上面
四、圆柱(锥)中的最值问题
底面圆周长的
B
C 一半
B
h
A
结论：圆柱体中的最短路径为展 开图中一半矩形的对角线长
AB=25
2 Ｂ
长方体中的最值问题（续）
例4、如图，长方体的长
为15 cm，宽为 10 cm，高
为20 cm，点B离点C 5 cm,
一只蚂蚁如果要沿着长方
体的表面从点 A爬到点B，
需要爬行的最短距离是多
少？
A
5B
C
20
15
10
E
5B C
20
15
A 10 F
E C5 B
20
A 10
5
B C
20
15 A 20
父 述 传 ， 欣 然承应 ，以表 缅怀， 寄字天 堂，遥 祝寝安 ！
蚂蚁A→B的路线
方案(2)
A’
B
A B
A
A
怎样计算AB？
A’ r
O
B
4
侧面展开图
A
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
A2B A A 2A 'B 2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)
圆柱(锥)中的最值问题
解：AC = 6 – 1 = 5 ，
BC
=
24
×
1 2
= 12，
在Rt△ABC
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169,
∴AB=13(m) .
正方体中的最值问题
例2、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出
发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.
用勾股定理求几何体中的最短路线长课件
问题描述
问题定义
给定一个几何体，如长方体、球体等，求从一个顶点到另一个顶点的最短路线长 度。
问题分析
最短路线问题可以通过几何学中的勾股定理进行求解。勾股定理是直角三角形中 ，直角边的平方和等于斜边的平方。在三维空间中，可以利用勾股定理找到最短 路径。
02
勾股定理简介
勾股定理的定义
勾股定理：在直角三角形中，直角边 的平方和等于斜边的平方。即，如果 直角三角形的两条直角边长度分别为 a和b，斜边长度为c，则有a^2 + b^2 = c^2。
用勾股定理求几何体中的 最短路线长ppt课件
• 引言 • 勾股定理简介 • 几何体的最短路线问题 • 用勾股定理求解最短路线长 • 结论
01
引言
目的和背景
目的
介绍如何使用勾股定理在几何体中寻找最短路线长度。
背景
几何体中的最短路线问题在实际生活中有着广泛的应用，如建筑、工程、机器 人等领域。通过解决这类问题，可以优化设计、提高效率、降低成本等。
THANKS
感谢观看
勾股定理的证明方法
勾股定理的证明方法有多种，其中比较常见的是欧几里得证 明法。该证明方法利用了相似三角形的性质和边长之间的关 系，通过一系列的推导和证明，最终证明了勾股定理。
除了欧几里得证明法外，还有其他的证明方法，如利用代数 方法和微积分方法等。这些证明方法虽然不同，但都能够证 明勾股定理的正确性。
的性质和勾股定理得出的结论。
空间几何体中的最短路线问题
1 2 3
球面几何中的大圆弧最短
在球面几何中，两点之间的大圆弧是最短的路径 。大圆弧是指经过球心并与球面相切的圆弧。
圆柱体或圆锥体中的母线最短
在圆柱体或圆锥体中，从顶点到底面的母线是最 短的路径。母线是与底面平行的线段，也是旋转 轴。
《勾股定理应用--最短路径》公开课教学PPT课件(终稿)
再求解
例1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽 和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相 对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物， 则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
Ａ
２０
Ｃ
A
20
Ｃ
3
23
２
3
2
B
3
AB=25
2
Ｂ
小 结：
把立体图形适当展开成平面图形，利用 “两点之间线段最短”的原理，构建直角 三角形，再用“勾股定理”来解决实际问 题。
智力加油站 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿 长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所 示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
D1 A1 D
A
4
C1
B1
1 C
2 B
D1
C1
①
D
1
②
C
2
A
4
B
AC1 =√42+32 =√25 ;
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路
线有三种情况(如图①②③ ),由勾股
求最短路径
（1）、勾股定理的基本内容是什么？
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方
（2）、在一个直角三角形中，三边分别为a、 b、c,那么a2 + b2 = c2 吗？ 为什么？
没有明确哪个角等于90度，也没明确a、b、c三边是什么边
（3）、在一个直角三角形中，已知两条边分 别为3、4，则直角三角形的第三边是多少？
圆锥，现在有一只蚂蚁在顶部A点处，它想吃
到圆锥底部B处的实物，蚂蚁需爬行的最短路
线是多少？A
A
O
B
O
例1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽 和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相 对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物， 则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
Ａ
２０
Ｃ
A
20
Ｃ
3
23
２
3
2
B
3
AB=25
2
Ｂ
小 结：
把立体图形适当展开成平面图形，利用 “两点之间线段最短”的原理，构建直角 三角形，再用“勾股定理”来解决实际问 题。
智力加油站 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿 长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所 示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
D1 A1 D
A
4
C1
B1
1 C
2 B
D1
C1
①
D
1
②
C
2
A
4
B
AC1 =√42+32 =√25 ;
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路
线有三种情况(如图①②③ ),由勾股
求最短路径
（1）、勾股定理的基本内容是什么？
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方
（2）、在一个直角三角形中，三边分别为a、 b、c,那么a2 + b2 = c2 吗？ 为什么？
没有明确哪个角等于90度，也没明确a、b、c三边是什么边
（3）、在一个直角三角形中，已知两条边分 别为3、4，则直角三角形的第三边是多少？
圆锥，现在有一只蚂蚁在顶部A点处，它想吃
到圆锥底部B处的实物，蚂蚁需爬行的最短路
线是多少？A
A
O
B
O
《勾股定理的应用-最短路径问题》课件
举一反三
解：经分析，有三种路径均最短。如图所示在Rt△AOB中，AB²=2²+1²=5答：最短路程为cm.
1、若蚂蚁是沿一个长、宽、高分别为5、3、4的长方体的顶点A外表面爬到顶点B呢？爬行路径唯一吗？最短路径是多长？
拓展思考
拓展思考
2、若已知无盖圆柱体高为12 cm，底面半径为3cm，π取3，圆柱下底面点A一只蚂蚁绕圆柱侧面2圈爬到点B处，问蚂蚁爬行的最短路程是多少？
2、已知无盖圆柱体高为12cm，底面周长为12cm，圆柱下底面点A有一只蚂蚁，它想吃点A对面圆柱外侧点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
6
A
A`
B
小试牛刀
解：如图，在圆柱的侧面展开图中AA`=6，A`B=12-4=8∴在RT△AA`B中AB²=6²+8²∴AB=10答：最短路程为10cm.
3、若已知无盖圆柱体高为12cm，底面周长为20cm，圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对的圆柱内壁点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
第一章 勾股定理
3. 勾股定理的应用
--最短路径问题
两点之间,线段最短．
1、在一个平面内，如果一只蚂蚁要从A点爬到B点，怎么爬路径最短？
情境引入
A
B
2、在一个无盖圆柱下底面的点A有一只蚂蚁,它想吃到与点A相对的点B处的食物，蚂蚁怎么爬路程最短？
情境引入
合作探究
1、小组讨论
小组为单位讨论蚂蚁爬行最短路线。并在本组的圆柱上用不同颜色的彩色笔画出蚂蚁爬行的路径。时间：两分钟
∴AB²=___________
πr
合作探究
1、已知无盖圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3，圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对的点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
解：经分析，有三种路径均最短。如图所示在Rt△AOB中，AB²=2²+1²=5答：最短路程为cm.
1、若蚂蚁是沿一个长、宽、高分别为5、3、4的长方体的顶点A外表面爬到顶点B呢？爬行路径唯一吗？最短路径是多长？
拓展思考
拓展思考
2、若已知无盖圆柱体高为12 cm，底面半径为3cm，π取3，圆柱下底面点A一只蚂蚁绕圆柱侧面2圈爬到点B处，问蚂蚁爬行的最短路程是多少？
2、已知无盖圆柱体高为12cm，底面周长为12cm，圆柱下底面点A有一只蚂蚁，它想吃点A对面圆柱外侧点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
6
A
A`
B
小试牛刀
解：如图，在圆柱的侧面展开图中AA`=6，A`B=12-4=8∴在RT△AA`B中AB²=6²+8²∴AB=10答：最短路程为10cm.
3、若已知无盖圆柱体高为12cm，底面周长为20cm，圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对的圆柱内壁点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
第一章 勾股定理
3. 勾股定理的应用
--最短路径问题
两点之间,线段最短．
1、在一个平面内，如果一只蚂蚁要从A点爬到B点，怎么爬路径最短？
情境引入
A
B
2、在一个无盖圆柱下底面的点A有一只蚂蚁,它想吃到与点A相对的点B处的食物，蚂蚁怎么爬路程最短？
情境引入
合作探究
1、小组讨论
小组为单位讨论蚂蚁爬行最短路线。并在本组的圆柱上用不同颜色的彩色笔画出蚂蚁爬行的路径。时间：两分钟
∴AB²=___________
πr
合作探究
1、已知无盖圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3，圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对的点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
初中数学课件勾股定理的几何应用：最短路径
么这根棉线的长度最短是多少？
如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底
面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则
问题中葛藤的最短长度是________尺．
求由外到内最短距离
如图，圆柱形玻璃板，高为12，底面周长为18，在杯内离杯底4的点处
将求立体图形上两点间
的距离转化为求平面内
两点间的距离.
确定圆柱上的最短路线
图为圆柱体，小蚂蚁从A点走
到B点怎样走才最近？
B
A
C
B
A
C
B’
易错点：
圆柱展开为底面圆周长（或倍数关系），而非直径或半径，找点的位置时，注意是走半个底
面圆周长，还是整个底面圆周长。
利用圆柱展开图直接求最短距离
如图，一圆柱高8，底面周长为12，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬
2 = (2 × 4)2 + 62 = 64 + 36 = 100，
所以，彩带长至少是10．
故答案为：10．
-18-
求多圈最短距离，可采用两种方法：
①先求多圈之后的底面周长，和高构成直角三角形，求斜边长；
②先求一圈的底面周长，和一圈的高构成直角三角形求斜边长，再乘以圈数，
得到总斜边长.
如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子
-26-
化“立体”为“平面”，
将求立体图形上两点间
的距离转化为求平面内
两点间的距离.
确定长方体上的最短路线
图为长方体，小蚂蚁从A
点走到B点怎样走才最近？
利用长方体展开图求最短距离
如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点处，一只苍蝇在这个长方体的对
如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底
面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则
问题中葛藤的最短长度是________尺．
求由外到内最短距离
如图，圆柱形玻璃板，高为12，底面周长为18，在杯内离杯底4的点处
将求立体图形上两点间
的距离转化为求平面内
两点间的距离.
确定圆柱上的最短路线
图为圆柱体，小蚂蚁从A点走
到B点怎样走才最近？
B
A
C
B
A
C
B’
易错点：
圆柱展开为底面圆周长（或倍数关系），而非直径或半径，找点的位置时，注意是走半个底
面圆周长，还是整个底面圆周长。
利用圆柱展开图直接求最短距离
如图，一圆柱高8，底面周长为12，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬
2 = (2 × 4)2 + 62 = 64 + 36 = 100，
所以，彩带长至少是10．
故答案为：10．
-18-
求多圈最短距离，可采用两种方法：
①先求多圈之后的底面周长，和高构成直角三角形，求斜边长；
②先求一圈的底面周长，和一圈的高构成直角三角形求斜边长，再乘以圈数，
得到总斜边长.
如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子
-26-
化“立体”为“平面”，
将求立体图形上两点间
的距离转化为求平面内
两点间的距离.
确定长方体上的最短路线
图为长方体，小蚂蚁从A
点走到B点怎样走才最近？
利用长方体展开图求最短距离
如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点处，一只苍蝇在这个长方体的对
专题(一) 利用勾股定理解决最短路径问题 公开课获奖课件
解：如图①，将该长方体的右表面翻折至前表面，使A，C两点共面，连 接AC，此时线段AC的长度即壁虎爬行的最短距离，所以AC2＝32＋(2＋2)2 ＝25.
如图②，将该长方体的背表面翻折至上表面，使A，C两点共面，连接AC， 此时线段AC的长度即壁虎爬行的最短距离，AC2＝22＋(2＋3)2＝29.因为29>25， 所以AC最短时，AC＝5 m．综上所述，壁虎爬行的最短路程是5 m
A．14 cm B．15 cm C．16 cm D．17 cm
3. 如图，有一圆柱形杯子，它的高为8 cm，底面周长为12 cm.A点在内壁 距杯口2 cm处，在A点正对面的外壁距杯底2 cm的B处有一只小虫，小虫要到 A处，需要爬行的最短路径是_____1_0___ cm.
4. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺， 有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所 示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周 长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问 题中葛藤的最短长度是_________2_5尺．
10 cm，所以蚂蚁从 A 点爬到 P 点的最短距离为 10 cm
6. (广州模拟)葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光， 常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最 短路线——螺旋前进的，难道植物也懂数学？
通过阅读以上信息，解决下列问题： (1)如果树干的周长(即图中圆柱体底面圆的周长)为30 cm，绕一圈升高(即 圆柱的高)40 cm，则它爬行一圈的路程是多少？ (2)如果树干的周长为80 cm，绕一圈爬行100 cm，它爬行10圈到达树顶， 则树干高多少？
勾股定理在折叠问题和最短路径中的应用(精品)-完整版PPT课件
R
D A
S
F
C
B
小 结： 把几何体适当展开成平面图形， 再利用“两点之间线段最短”， 或点到直线“垂线段最短”等性
质来解决问题。
走的最短路程是多少？
F
3 2
A2
四、节节高升
例4、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为 20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿 着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距
离是多少？
B C 20
分析 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有 两种情况如图①② ,由勾股定理可求
得图1中AB最短
B
A
A
2 如图,一个圆柱的底面周长为60cm，高AB =18cm， AF=1cm，CD=1cm，蚂蚁从C点爬行到F点的最短路程
是多少？
A E
F.
.C D
三、长方体中的最值问题
例3、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发， 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图 所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
2点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分
全等性
折
轴对称 本 质 折叠问题
对称性
重结果 叠
精 髓
利用方程思想
折叠问题
1、两手都要抓：重视“折”，关注“叠” 2、本质：轴对称（全等性，对称性） 3、关键：根据折叠实现等量转化 4、基本方法：构造方程：
（1）根据勾股定理得方程。 （2）根据相似比得方程。 （3）根据面积得方程。
D1 A1 D
A
4
C1
B1
1 C
2 B
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情 况如图①②③ ,由勾股定理可求得图1中AC1爬
勾股定理专题讲座：最短路径问题PPT
……
D
B'
A'
16
A
B
上的点，且A、B在同一母线上，用一
棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求
棉线最短为
cm.
B
B
9
A
A
12
10
4.如图，在棱长为1的正方形ABCDA’B’C’D’的表面上，求出从顶点A到 顶点C’的最短距离.
D’ B’ C’
A’
B’
C’
A’
D
C
A
B
A
B
C
11
5、如图，长方体的底面边长分别为2cm
和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始
（1）当沿着A1B1棱爬行时，如 图：
D1
C1 1
A1
B1
2
A
4
B
（2）当沿着BB1棱爬行时，
如图：
A1
B1
C1
（3）当沿着A1D1棱爬行时，
如图：
D
D1
C1
1
2
A
4
B 2C
A 1 A1
4
B1
14
实际问题
抽象
数学问题
解决
利用勾 股定理归类源自已知两边求第三边已知一边设未 知数列方程
直角三角 形的问题
15
专题讲座：最短路径问题
1
1.有一圆柱状的透明玻璃杯，由内部 测得其底部半径为3㎝，高为8㎝，今有 一支12㎝长的吸管随意放在杯中,若不考 虑吸管的粗细,则吸管露出杯口外的长度 至少为 cm。
D
B
8cm
6cm
A
C
2
2.如图，将一根25㎝长的细木棒放入 长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长 方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面 的最短长度是多少㎝．(保留1位小数)
勾股定理的应用-最短距离介绍PPT课件
B P
A
CB P
D A
2021
C D
21
2021
12 B
7
想体 或者长方体，情况又该怎么样呢？
2021
8
例3.如果盒子换成长为4cm，宽为2cm， 高为1cm的长方体盒子，蚂蚁沿着表面 从A点爬行到B点的最短路程又是多少呢？
A
4
2021
B 1 2
9
分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有
多少种情况？
B
B
A A
答：13米
2021
6
例2. 一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分 别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对 的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物. 请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？
A
5
A
3
1
5
C
B
分析：∵ AB2=AC2+BC2=52+122=169 ∴ AB=13.
C
28尺
A 3×7=21（尺） B
2021
19
为
4
5.如图，已知圆 柱体的底面圆的半径 ，高AB=3，AD、BC分别是两底面的直
径。若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C
点，则小虫爬行的最短路线的长度
是5 。
2021
20
实际应用（一）
例1、如图一圆柱体底面周长为32cm,高AB位12cm,BC是 上底面的直径。一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的表面 爬行到C点，试求出爬行的最短路径。
2021
15
2、如图，蚂蚁从地面上A点爬到墙上B 点的最短路程是___________cm,其中 CD=30cm,AC=23cm,BD=17cm。
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（）
2 10
检测题三、如图所示，一圆柱高8cm， 底面半径2cm，一只蚂蚁从点A沿表 面爬到点B处吃食，要爬行的最短路
程（π取3）是（ ）
10
检测题四
如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方 体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示）， 问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
D1 A1 D
圆柱(锥)中的最值问题
有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只 老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C
B
A
A
分析：由于老鼠是沿着圆柱的
表面爬行的，故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短，可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短 路线.(如图)
所以走的最短线段是 =
三种情况比较而言，第二种情况最短 答案：
台阶中的最值问题
例1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高
分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对
的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，
则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
Ａ
２０
Ｃ
A
20
3
23
２
3
2
B
3
A
4
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路
C1 线有三种情况(如图①②③ ),由勾股
B1
1 C
定理可求得图1中AC1爬行的路线最
2 B
短.
D D1
C1
D1
①
D
C1
A1
1
②
B1
C1
1
③
2
C
2
A
4
B2 C
A 1 A1
4
B1
A
4
B
AC1 =√42+32 =√25 ;
AC1 =√62+12 =√37 ; AC1 =√52+22 =√29 .
三、长方体中的最值问题
左面和上面
前面和右面
前面和上面
四、圆柱(锥)中的最值问题
底面圆周长的
B
C 一半
B
h
A
结论：圆柱体中的最短路径为展 开图中一半矩形的对角线长
解：AC = 6 – 1 = 5 ，
BC
=
24
×
1 2
= 12，
在Rt△ABC
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169,
∴AB=13(m) .
正方体中的最值问题
例2、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出
发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.
（A）3
（B） √5
（C）2 （D）1
AB=25
2 Ｂ
长方体中的最值问题（续）
例4、如图，长方体的长
为15 cm，宽为 10 cm，高
为20 cm，点B离点C 5 cm,
一只蚂蚁如果要沿着长方
体的表面从点 A爬到点B，
需要爬行的最短距离是多
少？A5B NhomakorabeaC
20
15
10
E
5B C
20
15
A 10 F
E C5 B
20
A 10
5
B C
20
15 A 20
小 结： 把几何体适当展开成平面图
形，再利用“两点之间线段最 短”，或点到直线“垂线段最短” 等性质来解决问题。
一、台阶中的最值问题
A
a
cb
Ａ
a
Ｃ
b
B
c
b c
b
AB= （nb nc）2 a2
c Ｂ
二、正方体中的最值问题
B
C
A
C
2a
B
a
A
结论：5a，即由两个正方形组成 的长方形的对角线长
A′
B
点食物在B处，恰好一只在A处
的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它
想从A 处爬向B处，你们想一想，
蚂蚁怎么走最近？
A
A’ d
B
A’
B
A
A
蚂蚁A→B的路线
O
B
B
A
A
怎样计算AB？
A’ r
O
B
4
侧面展开图
A
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
AB2 AA2 A' B2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)
B C
A
C
2
B
1
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
长方体中的最值问题
如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm 和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块 的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体 上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行
的最短路径的长是（ ）
勾股定理 的应用
东湖中学
考考你的记性：
1、勾股定理的文字及符号语言 2、在平面上如何求点与点、点与线的最短路径，
依据什么？ （1）两点之间线段最短 （2）垂线段最短 3、那么如何求某些几何体中的最短路径呢？
勾股定理 的应用之
求解几何体的最 短路线长
例1 如图 在一个底面周长为
20cm,高AA′为4cm的圆柱石凳 上，若小明在吃东西时留下了一
第一种情况：把我们所看到的前面和 上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，
则所走的最短线段
是
=
第二种情况：把我们看到的左面与上 面组成一个长方形，
；
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是 =
第三种情况：把我们所看到的前面和 右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3，
B
5 E 10 C
A 10 F
找方法、巧归纳
分别画出立体图形和对应的平面展开图 制作实体模型 归纳出所在直角三角形的两直角边的一般性
规律，并记录在平面图或模型上
检测题一：如图，一只蚂蚁沿边长为 a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，
则它走过的路程最短为（ ）
答案： 5a
检测题二、如图是一个棱长为4cm的 正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点 M处，它到BB1的中点N的最短路线是
2 10
检测题三、如图所示，一圆柱高8cm， 底面半径2cm，一只蚂蚁从点A沿表 面爬到点B处吃食，要爬行的最短路
程（π取3）是（ ）
10
检测题四
如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方 体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示）， 问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
D1 A1 D
圆柱(锥)中的最值问题
有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只 老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C
B
A
A
分析：由于老鼠是沿着圆柱的
表面爬行的，故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短，可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短 路线.(如图)
所以走的最短线段是 =
三种情况比较而言，第二种情况最短 答案：
台阶中的最值问题
例1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高
分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对
的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，
则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
Ａ
２０
Ｃ
A
20
3
23
２
3
2
B
3
A
4
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路
C1 线有三种情况(如图①②③ ),由勾股
B1
1 C
定理可求得图1中AC1爬行的路线最
2 B
短.
D D1
C1
D1
①
D
C1
A1
1
②
B1
C1
1
③
2
C
2
A
4
B2 C
A 1 A1
4
B1
A
4
B
AC1 =√42+32 =√25 ;
AC1 =√62+12 =√37 ; AC1 =√52+22 =√29 .
三、长方体中的最值问题
左面和上面
前面和右面
前面和上面
四、圆柱(锥)中的最值问题
底面圆周长的
B
C 一半
B
h
A
结论：圆柱体中的最短路径为展 开图中一半矩形的对角线长
解：AC = 6 – 1 = 5 ，
BC
=
24
×
1 2
= 12，
在Rt△ABC
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169,
∴AB=13(m) .
正方体中的最值问题
例2、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出
发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.
（A）3
（B） √5
（C）2 （D）1
AB=25
2 Ｂ
长方体中的最值问题（续）
例4、如图，长方体的长
为15 cm，宽为 10 cm，高
为20 cm，点B离点C 5 cm,
一只蚂蚁如果要沿着长方
体的表面从点 A爬到点B，
需要爬行的最短距离是多
少？A5B NhomakorabeaC
20
15
10
E
5B C
20
15
A 10 F
E C5 B
20
A 10
5
B C
20
15 A 20
小 结： 把几何体适当展开成平面图
形，再利用“两点之间线段最 短”，或点到直线“垂线段最短” 等性质来解决问题。
一、台阶中的最值问题
A
a
cb
Ａ
a
Ｃ
b
B
c
b c
b
AB= （nb nc）2 a2
c Ｂ
二、正方体中的最值问题
B
C
A
C
2a
B
a
A
结论：5a，即由两个正方形组成 的长方形的对角线长
A′
B
点食物在B处，恰好一只在A处
的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它
想从A 处爬向B处，你们想一想，
蚂蚁怎么走最近？
A
A’ d
B
A’
B
A
A
蚂蚁A→B的路线
O
B
B
A
A
怎样计算AB？
A’ r
O
B
4
侧面展开图
A
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
AB2 AA2 A' B2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)
B C
A
C
2
B
1
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
长方体中的最值问题
如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm 和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块 的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体 上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行
的最短路径的长是（ ）
勾股定理 的应用
东湖中学
考考你的记性：
1、勾股定理的文字及符号语言 2、在平面上如何求点与点、点与线的最短路径，
依据什么？ （1）两点之间线段最短 （2）垂线段最短 3、那么如何求某些几何体中的最短路径呢？
勾股定理 的应用之
求解几何体的最 短路线长
例1 如图 在一个底面周长为
20cm,高AA′为4cm的圆柱石凳 上，若小明在吃东西时留下了一
第一种情况：把我们所看到的前面和 上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，
则所走的最短线段
是
=
第二种情况：把我们看到的左面与上 面组成一个长方形，
；
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是 =
第三种情况：把我们所看到的前面和 右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3，
B
5 E 10 C
A 10 F
找方法、巧归纳
分别画出立体图形和对应的平面展开图 制作实体模型 归纳出所在直角三角形的两直角边的一般性
规律，并记录在平面图或模型上
检测题一：如图，一只蚂蚁沿边长为 a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，
则它走过的路程最短为（ ）
答案： 5a
检测题二、如图是一个棱长为4cm的 正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点 M处，它到BB1的中点N的最短路线是